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&DSLWROR9,,
In questo capitolo introdurrò alcuni preliminari euclidei necessari alla costruzione del “Modello” di geometria non euclidea secondo Poincaré e precisamente:
LFHUFKLRUWRJRQDOLeO¶LQYHUVLRQHFLUFRODUH Farò inoltre un breve cenno sul ELUDSSRU
WR
&(5&+,2572*21$/,
D $QJRORWUDGXHOLQHHGLXQSLDQRHXFOLGHRFKHVLLQFRQWUDQRLQXQSXQWR3:
si intende l’angolo formato dalle tangenti alle due linee nel punto 3.
L1^L2 = t1^t2
o L1 P̂L 2 = t 1 P̂t 2
E/LQHHRUWRJRQDOLLQXQSXQWRFRPXQH
L 1PˆL 2 = t 1Pˆt 2 = R
77
Elenchiamo ora alcune proprietà dei cerchi ortogonali:
'XHFHUFKLRUWRJRQDOLVRQRVHFDQWL
{ }
C1 C 2 = P,P ’ , P ≠ P ’
se, infatti, fossero tangenti, sarebbe:
C1PˆC 2 = 0
6H C1 ⊥ C2 in P
⇒ O1 ∈ t 2 ∧ O 2 ∈ t 1 Siano & e &2 due cerchi ortogonali in un loro punto comune 3 e sia 21 il
centro di &1 ed 22 il centro di &2; t1 sia la retta tangente a &1 in 3 e W2 quella
tangente a&2 in 3. Per ipotesi W1 è perpendicolare a W2. Poiché W1 è perpendicolare a 213 e 3 ∈ W2 allora (unicità della perpendicolare) W2 coincide con
213, cioè 21 ∈ W2. Analogamente si prova che 22 ∈ W1
3) Siano &1 e &2 due cerchi secanti e sia 3 ∈ &1 &2 .
SiaW1 la tangente a &1 in 3 e W2 la tangente a &2 in 3.
Se 22 ∈ W 1 e 21 ∈ W2
allora
213 ≡ W2 e W1 risulta perpendicolare a
W2 e di conseguenza &1 ⊥ &2 in 3
( proporzione inversa della 2) ).
4) Siano &1 e &2 due cerchi secanti di centri 21 e 22 rispettivamente, e sia
3 ∈ &1 &2. Dette W1 eW2 le rispettive tangenti in 3, risulta:
&1 ⊥ &2 (in 3) VHHVRORVH 21 ∈ W2, 22 ∈ W1
cioè se e solo se il raggio di uno di essi è tangente all’altro cerchio.
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5) Con le stesse ipotesi del punto 4) si dimostra che
C1 ⊥ C 2 (in P)
⇒ O1PˆO 2 = R (retto)
Infatti la retta 213 è W2 e la retta 223 è W1, quindi:
O1PˆO 2 = t 1 ^ t 2 = C1 ^ C 2 = R .
6) Se O1PˆO 2 = R ⇒ C1 ⊥ C 2 (in P) .
Infatti 322 è la retta tangente W1 a &1 in 3e 321 è la tangente W2 a &2 in 3 e
quindi: O1PˆO 2 = t 1Pˆt 2 = R .
7) Se &1 e &2 sono due cerchi secanti di centri 21 e 22 e 3 ∈ &1 &2 allora
risulta &1 ⊥ &2 in 3VHHVRORVH O1PˆO 2 = R .
8) &1 ⊥ &2 (in 3) ⇒ &1 ⊥ &2 in 3’
t1
t2
O1PˆO 2 = R
la corda comune 33’ è perpendicolare a 2122. I triangoli 21+3 e
21+3’ in figura, sono congruenti e
quindi,
in
particolare,
risulta
O1PˆH = O1Pˆ’H .
Analogamente nei triangoli 22+3 e
22+3’, anch’essi congruenti, gli angoli O 2PˆH e O 2Pˆ’H sono congruenti.
Risulta quindi: O1PˆO 2 = O1PˆO 2 = R
e, in virtù della proposizione 7), &1 e
&2 sono perpendicolari in 3’.
9) Se &1 è perpendicolare a &2 allora 21 è esterno a &2 e 22 è esterno a &1.
Infatti: 2122 > U1 = 213 e 2122 > U2 = 223.
79
10'XHFHUFKLVRQRRUWRJRQDOLVHHVRORVHLOTXDGUDWRGHOODGLVWDQ]DGHLORUR
FHQWULqXJXDOHDOODVRPPDGHLTXDGUDWLGHLORURUDJJL
11) Fissato un cerchio &2 di centro 22 e raggio U2 ed un punto 21 esterno a
&2, esiste uno e un solo cerchio &1 ⊥ &2 di centro 21.
Per costruire tale cerchio procediamo nel modo seguente.
Sia 0 il punto medio di 2122: 210 ≡ 022 e sia & il cerchio di centro 0 e
raggio 210. I punti 3 e 3’ comuni a & e a&2 appartengono anche a &1. Infatti O1PˆO 2 è un angolo retto (insiste in mezza circonferenza) per cui il cerchio di
centro 21 e raggio 213 è &1.
12) Se &1 e &2 sono due cerchi ortogonali di raggi U1 e U2 e centri 21 e 22 rispettivamente, allora per ogni retta passante per 21 e secante &2 nei punti &
e ' si ha: O1D ⋅ O1C = r12
Per il teorema della secante e della tangente risulta:
21' : 213 = 213: 21&
2 1 ' · 2 1 & = 2 1 32
O1D ⋅ O1C = r12
80
13) Se &1 e &2 sono due cerchi di raggi U1 e U2 e centri 21 e 22, rispettivamente, e tali che 21 è esterno a &2 e 22 è esterno a &1, se esiste una retta
per 21 secante &2
in & e ' (
21 ' ⋅21& = U12 ), allora C1 è ortogonale
a C2.Sia
21 ' ⋅21& = U12 . Considerando la secante 2122 si ha:
O1F ⋅ O1E = r12
da cui:
(O1O 2 + r2 )(O1O 2 − r2 ) = r12 ;
2
O1O 2 − r22 = r12 ;
2
O1O 2 = r12 + r22
Relazione, quest’ultima, che permette di affermare che &1 ⊥ &2.
Pertanto &1 e &2 sono ortogonali se e solo se esiste una retta per 21 secante
&2 in & e ' tale che 21 ' ⋅21& = U12 .
7HRUHPD)LVVDWRXQFHUFKLR&GLFHQWUR2HUDJJLRUHVLVWHXQRHXQ
VRORFHUFKLR&RUWRJRQDOHD&HSDVVDQWHSHUGXHSXQWLGLVWLQWL$H%LQWHU
QLD&HQRQDOOLQHDWLFRQ2
Sia $’ un punto sulla retta 21$ tale che O1A ⋅ O1 A’ = r12 .
Il cerchio &2 passante per i punti $, %, $’ (univocamente determinato) risulta
ortogonale a &1 per la 13).
81
7HRUHPD): )LVVDWR LO FHUFKLR &GLFHQWUR2HGXQDUHWWDVVHFDQWH&H
QRQSDVVDQWHSHU2HVLVWHXQRHXQVRORFHUFKLR&RUWRJRQDOHD&HWDQ
JHQWHDVLQXQSXQWR$LQWHUQRD&
Sia $’ un punto su 21$tale che O1A ⋅ O1 A’ = r12 e sia &2 il cerchio avente il centro sull’asse di $$’ e sulla retta ⊥ a V in $ e passante per $ (univocamente
determinato). Risulta, come è facile verificare, &2 ⊥ &1.
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7HRUHPD)LVVDWRXQFHUFKLR&GLFHQWUR2HUDJJLRUHXQSXQWR2H
VWHUQRD&HVLVWHXQRHXQVRORFHUFKLRRUWRJRQDOHD&DYHQWHFHQWURLQ2
/¶LQYHUVLRQHFLUFRODUH
Sia &0 un cerchio di centro 2 e raggio U. Si associ ad ogni punto 3 del
piano (3 ≠ 2) il punto 3’ appartenente alla retta 23 tale che: OP ⋅ OP’ = r 2
o Il punto 3’ si dice SXQWRLQYHUVR di 3. Si osservi che se 3’ ≠ 3, 3 e 3’
sono allineati con il centro.
o Il punto 2 si dice FHQWURGLLQYHUVLRQH.
o Il cerchio &0 si dice FHUFKLRGLLQYHUVLRQH.
o Il raggio U si dice UDJJLRGLLQYHUVLRQH.
L’applicazione che associa ad ogni punto 3 ≠ 2il suo inverso 3’ si dice: LQ
YHUVLRQHFLUFRODUH. Se indichiamo con $ = – 2 l’insieme dei punti del piano,
eccetto il punto 2 e con I l’inversione circolare di centro 2 e raggio U, si ha:
I:$ → $
L’inversione I è una trasformazione geometrica che gode delle seguenti proprietà:
1) I è LQYROXWRULD: se 3’ è il punto inverso di3allora 3 è l’inverso di 3’.
2) Se 3 è interno al cerchio &0, allora 3’ è esterno e viceversa.
3) Se 3 ∈ &0 allora 3’ ≡ 3: ogni punto di &0 è fisso in I; ne consegue che &0
è fisso punto per punto.
Studieremo ulteriori proprietà dell’inversione circolare utilizzando il metodo
analitico.
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Sia &0 il cerchio di inversione di raggio r e consideriamo un sistema di assi
cartesiani ortogonali [2\ di origine 2 coincidente con il centro di &0.
L’equazione di &0 è:
x2 + y2 = r2
Sia 3([,\) un punto distinto da 2
e 3’([’,\’), il suo inverso.
Dalla similitudine dei triangoli
23+ e 23’+’ ricaviamo:
[ : [’ = 23 : 23’
\ : \’ = 23 : 23’
x’ =
x ⋅ OP’ x ⋅ OP’⋅OP
x ⋅r2
x
=
=
= r2 ⋅ 2
2
2
2
OP
OP
x +y
x + y2
Si ottengono così le equazioni dell’inversione:
x’ = r 2 ⋅
x
;
x + y2
2
y’ = r 2 ⋅
y
x + y2
2
'DWDODOLQHD GLHTXD]LRQH
: S([2 + \2) + D[+E\ + F = 0, con D, E, F, S ∈ R
non tutti nulli, vogliamo determinare l’equazione della linea trasformata di essa mediante l’inversione di equazione .
Otteniamo:
’ : F([’ 2 + \’ 2) + DU2[’ + EU2\’ + SU4 = 0
L’esame di questo risultato conduce alle seguenti considerazioni:
1. S ≠ 0, F ≠ 0 : è un cerchio passante per 2 come ’;
2. S ≠ 0, F = 0 : è un cerchio passante per 2, mentre ’ è una retta
QRQSDVVDQWHSHU2HSDUDOOHODDOODWDQJHQWHD[E\ D LQ2;
3. S = 0, F ≠ 0 : è una retta passante per 2 e ’ è una circonferenza
passante per 2con tangente in 2 II a ;
4. S = 0, F = 0 : è una retta per 2 e ’ ≡ .
Dai risultati precedenti troviamo conferma del fatto che:
1) LOFHUFKLRGLLQYHUVLRQHqOXRJRGLSXQWLXQLWL;
OHUHWWHSHU 2 sono UHWWHXQLWHQHOVHQVRFKHRJQLSXQWR 3 GHOODUHWWD 23
KDLOVXRLQYHUVR 3’ VX 23.
84
Vale anche la seguente proprietà.
Se è ortogonale a &0 allora è unito (I( ) = ).
Sia 3 ∈ , 3 ≠ 2 (2 è esterno a ) e consideriamo la retta 23 che interseca
in un ulteriore punto '.
Per l’ipotesi: ⊥ &0 e la
validità della 12), si ha:
OP ⋅ OD = r 2 .
Cioè ' è l’inverso di 3e,
come 3, appartiene a .
Viceversa: se un cerchio
passa per due punti 3
e 3’ corrispondenti
nell’inversione avente
come cerchio di inversione &0, allora è
ortogonale a &0.
Infatti se 3 ∉ &0 e I(3) = 3’ ≠ 3 (3’ è l’inverso di 3) ogni cerchio per 3 e 3’
risulta ortogonale a &0.
Possiamo pertanto concludere che: LFHUFKLXQLWLQHOO¶LQYHUVLRQHDYHQWHFRPH
FHUFKLRGLLQYHUVLRQH&0 VRQRWXWWLHVROLFHUFKLRUWRJRQDOLD &0.
Vale, infine, la proprietà: O¶LQYHUVLRQHFLUFRODUHFRQVHUYDJOLDQJROLDPHQRGHO
YHUVR.
Dove due rette, oppure due cerchi, oppure una retta e un cerchio, che indichiamo con 1 e 2 aventi un punto comune 3 (incidenti in 3), dette 1’ e 2’
le linee corrispondenti nell’inversione avente &0 come cerchio di inversione di
centro 2 e indicato con 3’ l’inverso di 3 si ha: 1’^ 2’ (in 3’) = 1^ 2 (in 3).
Abbiamo già visto che rette e cerchi incidenti vengono trasformati per inversione in rette e cerchi incidenti.
Sia 3 il punto di incidenza delle due rette ed esaminiamo il caso particolare in
cui una delle due rette è la retta 23 e l’altra la retta D.
I casi possibili, in relazione alla posizione del punto3, sono i seguenti:
,FDVR: 3 interno a &0 e Dnecessariamente secante &0;
,,FDVR: 3 ∈ &0 e 
1) a tangente a C 0 

2) a secante C 0 
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1) a secante C 0 
,,,FDVR: 3 esterno a &0 e 2) a tangente a C 0 
3) a esterna a C 
0 

Dimostriamo la validità dell’enunciato nel I caso.
Siano $ e % i punti di intersezione di D con &0. L’inversione trasforma la retta
a nella circonferenza passante per2(con tangente in 2 II ad D) e per i
punti $ e%, che sono fissi. Il punto inverso di 3 è l’intersezione 4, distinta da
2, della retta 23 con 6LD O¶DQJROR23$ tra 23 eD. L’angolo ’ è l’angolo
formato dalla retta Wtangente a ’ in 4 e dalla retta 23.
L’angolo ’ è congruente all’angolo 32% = perché angoli alla circonferenza
che insistono sullo stesso arco 24. D’altra parte e sono angoli congruenti in quanto alterni interni rispetto alle rette parallele D e E e alla trasversale
23. Ne consegue che ’ è congruente ad . Il procedimento di dimostrazione
per gli altri casi è analogo a quello ora adottato per dimostrare il I caso.
'LVHJQLUHODWLYLDLWUHFDVL
,FDVR
,,FDVR3 ∈ &0; a tangente a &0
= OPˆA = R (retto);
’ = I2(D) è la circonferenza avente 23 come diametro;
’ = OPˆA (I2(3) = 3)
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,,FDVR3 ∈ &0; a secante
= ’ (angoli alla circonferenza
insistono sullo stesso arco);
che
,,,FDVR P esterno; a
secante
OPˆA =
;
’ = perché angoli alla
cirFRQIHUHQ]D FKHLQFidono sullo stesso arco
23;
= perché alterni interni rispetto alla retta D
ad D’ (parallele) ed alla
trasversale 23.
87
,,,FDVR 3 esterno; D tangente
OPˆT =
88
,,,FDVR 3 esterno; D esterna
+’ è il punto inverso di +;
’= = .
Se le due rette considerate D e E sono entrambe non passanti per 2,
posto = D^E, 1 = OPˆa , 2 = OPˆb , = 2 – 1, 3 = D E,si può osservare
che dalla conservazione di 1 e 2
possiamo dedurre
quella di e il teorema è completamente provato.
89
,/%,5$332572
Siano $, %, &, ' quattro punti allineati e, per il momento, a due a due
distinti.
6LGLFHELUDSSRUWRGL$%&'HVLLQGLFDFRQ$%&'LOQXPHURUHDOHIRUQLWR
GD
($%&') =
AC ⋅ BD AC AD
=
:
BC ⋅ AD BC BD
in cui $&, %&, $', %' sono segmenti orientati (o le loro misure relative).
Valgono le seguenti proprietà:
1)
2)
3)
4)
5)
($%&') = 0 VHHVRORVH $ ≡ & oppure % ≡ '.
Il segno di ($%&') non dipende dall’eventuale orientamento della retta
su cui si trovano i quattro punti.
($%&') = 1 VHHVRORVH & ≡ ' oppure $ ≡ %.
Si pone ($%&') = ∞ se % ≡ & oppure $ ≡ D; in tutti gli altri casi
($%&') ≠ 0,1, ∞ (cioè $,%,&,' sono a due a due distinti se e solo se
($%&') ≠ 0,1, ∞ ).
($%&') > 0 se &e ' sono ambedue interni ad $% oppure ambedue
esterni; ($%&') < 0 nel caso contrario.
Il birapporto verifica le seguenti proprietà di invarianza:
($%&') = (%$&');
(&'$%) = ($%&');
($%&') = ('&%$).
Cioè LOELUDSSRUWRQRQFDPELDVHVLVFDPELDO¶RUGLQHGLGXHVXRLSXQWLHFRQ
WHPSRUDQHDPHQWHTXHOORGHJOLDOWULGXH.
Poniamo ($%&') = E
($%&') = (%$'&) = (&'$%) = ('&%A) = E
Si verifica che (%$&') = 1/E, infatti
(%$&') =
BC AD 1
⋅
=
AC BD b
90
e quindi:
($%&') = (%$&') = (&'%$) = ('&$%) = 1/E
Si può provare che
($%&') + ($&%') = 1
da cui si ricava che
($&%') = (%'$&) = (&$'%) = ('%&$) = 1 – E
Siamo così in grado di calcolare tutti gli altri birapporti che si possono formare con i punti $,%,&,':
($&'%) = (%'&$) = (&$%') = ('%$&) =
1
;
1− b
($'%&) = (%&$') = (&%'$) = ('$&%) = 1 – 1/E;
($'&%) = (%&'$) = (&%$') = ('$%&) =
b
.
b −1
Particolarmente importante per la trattazione del nostro tema è la seguente
proprietà di LQYDULDQ]DGHOELUDSSRUWRSHULQYHUVLRQHFLUFRODUH
Siano $,%,&,' quattro punti allineati su una retta, oppure appartenenti ad
una circonferenza (la definizione di birapporto di quattro punti di una circonferenza si da utilizzando il WHRUHPDGL6WHLQHU sulle coniche) e siano $’,%’,&’,'’
gli inversi nell’inversione circolare rispetto a &0, circonferenza di centro 2 e
raggio U.
Si verifica (utilizzando, per esempio, coordinate polari) che:
($’%’&’'’) = ($%&')
Vale anche il seguente teorema:
ILVVDWLWUHSXQWLDOOLQHDWLDGXHDGXHGLVWLQWL$%&HGXQQXPHURUHDOH.H
VLVWHHGqXQLFRLOSXQWR;VXOODUHWWDSHU$%&WDOHFKH
$%&; .
91