Problema 2
Come lunghezze a e x sono maggiori di 0
a) Si studia quando ciascun lato è minore della somma degli altri due
a+2x<a-x+2a-x
a-x<a+2x+2a-x
2a-x<a+2x+a-x
Si ha un triangolo quando queste 3 condizioni sono soddisfatte e quindi 0<x<1/2 a
b) I triangoli dati hanno perimetro 2p costante uguale a 4a al variare di x. Quindi l’area
è data dalla formula di Erone S=√[2a(a-2x)(a+x)x] Di conseguenza l’area ha un
massimo (o un minimo) quando ha un massimo (o un minimo) il radicando. La funzione
f(x)= 2a(a-2x)(a+x)x si annulla per x=-a, per x=0 e per x=(1/2)a. Ha un minimo
nell’intervallo –a<x<0 (che non interessa perché non corrisponde a nessun triangolo) e
un massimo nell’intervallo 0<x<(1/2) a (corrispondente a un triangolo non degenere).
Si può anche osservare che l’insieme dei triangoli con perimetro costante ammette
massimo.
c) Per x=a/4 si ha un triangolo i cui lati hanno misura (3/2)a, (3/4)a, (7/4)a. Con riga e
compasso si traccia il segmento BC di lunghezza (7/4)a. Centrando in B si prende la
circonferenza di raggio (6/4)a. Centrando in C si prende la circonferenza (3/4)a.
Ciascun punto di intersezione dii queste circonferenze definisce un A tale che il
triangolo ABC corrisponda a x=a/4.
Il triangolo è ottusangolo perché
AB2 +AC2=45/16 mentre BC2=49/16
d) L’area del triangolo corrispondente a x=a/4 è
data da (formula di Erone) S=(√5/4)a2. Sia AE
l’altezza tracciata da A alla base BC. Si ha
AE=(2/7) a√5 e il rapporto AD/AE fornisce la
tangente dell’angolo richiesto. Precisamente
(7/10) √5≈1,53. Ricorrendo alle tavole
trigonometriche (oppure a un calcolatrice
tascabile) si ottiene che l’angolo richiesto tra 56°
e 57° .
