n. 107
3 Febbraio 2016
Risposte 3 3 3
Domande 1 2 3
5 4 2 2 4 3
4 5 6 7 8 9
1 5
10 11
Numero matricola
*
*
Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda
ATTENZIONE: ciascuna domanda ammette una ed una sola risposta giusta.
−1 2
• Domanda 1 La conica di equazione
3 e sia M la matrice inversa di
7x2 −4xy +3y 2 +2y −1 = 0 ha centro C0 = (x0 , y0 ) B = 2
0
−1
e assi A1 , A2 con:
AB. Allora:
1) y0 = 2/17
√e
√
√
1) m12 = 2m11 e tr(M ) = 7/6
A1 : (5 + 2 2)x − (9 + 7 2)y + 1 + 2 = 0
2) AB non è invertibile
2) x0 = −7/17
√
√ e
3) m21 = 2m11 e tr(M ) = 7/6
A1 : (5 + 2 2)x − (9 + 7 2)y + 1 = 0
4) m11 + m21 = 0 e det(M ) = 1/6
3) y0 = −7/17
√ e
√
√
5) m11 + m12 = 0 e det(M ) = 1/6
A2 : (5 − 2 2)x + (1 + 3 2)y + 1 + 2 = 0
6) nessuna delle altre risposte
4) x0 = 2/17
√
√e
A2 : (5 − 2 2)x + (1 + 3 2)y + 1 = 0
• Domanda 6 Sia a ∈ R e sia
5) nessuna delle altre risposte
2a
0
1
• Domanda 2 Sia k ∈ R. Il sistema lineare
A = 3a − 1 1 + a 2 + a
2x + 3y + kz + w = 3
−1
0
a−1
9y + (3k + 2)z + (3 − 2k)w = 7
3x − z + kw = 1
La matrice A è diagonalizzabile:
1) non ha mai soluzione
1) se a 6= 1, −3
2
2) ha ∞ soluzioni per due valori distinti di k
2) se a > 3/2
3) ha infinite soluzioni per ogni valore di k
3) se a < 1
4) nessuna delle altre risposte
4) se a > −3
1
5) ha ∞ soluzioni per infiniti valori di k
5) nessuna delle altre risposte
2x − y + 3z = 1
• Domanda 3 La retta r :
e • Domanda 7 Sia f : R3 −→ R3 l’applicazione
5x + 3y − 2z = 7
lineare t.c. (2, 3, 1) ∈ V3 , (2, −1, −3) ∈ V−1 ,
il piano π : 21x − 57y − 33z = 1 sono:
f (1, 0, 2) = (−2, −7, −5) e sia w = (13, 3, −1). Al1) r è contenuta in π
lora:
2) incidenti ma non ortogonali
1) w ∈ V2
3) incidenti e ortogonali
2) w ∈ Ker(f )
4) paralleli e disgiunti
3) nessuna delle altre risposte
• Domanda 4 La retta passante per il punto
4) w ∈ V3/2
A
=
(1, 1, 1),
incidente
le
rette
5) f (w) = (1, 0, 3)
x = 3λ + 1
2x − y + 3z = 1
• Domanda 8 Sia k ∈ R. La conica di equazione:
r :
, s : y = 2λ
5x − 3y − 2z = 7
z = 7λ − 1
2kx2 + 6xy + (k + 1)y 2 − 2x + k − 1 = 0
ha vettore direttore:
1)
2)
3)
4)
5)
(37, −7, 22)
nessuna delle altre risposte
(22, 37, −7)
(1, 1, 1)
(7, −22, −37)
• Domanda 5 Siano A
=
2
1
3
−1
7
2
,
1) è una parabola per√due valori distinti di√k ed è
una iperbole se −(1 + 19)/2 < k < (−1 + 19)/2
2) è degenere
√ per un solo valore di k ed è una ellisse
se (−1 + 19)/2 < k < 2
3) nessuna delle altre risposte
4) è degenere
√ per tre valori distinti di k ed è vuota
se |k| > 1 + 3
1071
√
√
5) è una ellisse se −1 − 3 < k < −(1 + 19)/2 e
non è mai vuota
• Domanda 9 Sia k ∈ R e sia ABCD il parallelogramma tale che A = (3, 2, 7), B = (7, −1, 2),
D = (−2, 7, k). Allora:
1) nessuna delle altre risposte
2) ABCD è un quadrato per un solo
√ valore di k
3) se ABCD è un rombo ha area 5 51
4) ABCD è un rettangolo per due valori distinti
di k
• Domanda 10 Sia t = (a, b, c) il simmetrico del
vettore w = (7, 7, −8) rispetto al piano generato
dai vettori u = (7, 3, 2), v = (1, −1, 0). Allora:
1) c = 4b
2) nessuna delle altre risposte
3) a = b = c
4) a = 4c
5) b = 4a
• Domanda 11 Sia A una matrice quadrata di ordine 4 con 12 elementi nulli e tale che tr(A) = 0.
Allora il sistema lineare AX = 0:
1) ha almeno ∞1 soluzioni
2) non può avere ∞2 soluzioni
3) ha sempre ∞3 soluzioni
4) nessuna delle altre risposte
5) potrebbe avere solo la soluzione nulla
1072
