UNITÀ DIDATTICA 8 ELEMENTI DI CALCOLO LETTERALE 8.1 – Somma, moltiplicazione e divisione di numeri relativi Notazione letterale Nella matematica è molto comodo rappresentare i numeri relativi mediante lettere dell’alfabeto. Una lettera rappresenta un numero Somma, moltiplicazione e divisione di numeri relativi relativo con il suo segno e il suo valore aritmetico. Se a indica un numero relativo si pone che: +a = (+1) ⋅ a -a = (-1) ⋅ a Quando non vi è il segno davanti alla lettera si sottintende un numero positivo: a = +a. Quando vi è il segno meno davanti alla lettera si intende il numero a moltiplicato per –1: -a = (-1)(a). Somma tra lettere La somma tra due lettere (tra due numeri relativi rappresentati da lettere) non si risolve ma si lascia indicata: (a+b) = a+b; – (a-b) = -a + b. L’opposto di una somma algebrica indicata è la somma degli opposti dei suoi termini. Es: l’opposto di (a + b – c) è (-a – b + c) infatti (a + b – c) + (-a – b + c) = 0 Per cambiare il segno a una somma algebrica indicata basta cambiare il segno a tutti i suoi termini. 35 Moltiplicazione letterale La moltiplicazione letterale tra due numeri relativi a e b si indica con un puntino o, più spesso, non si indica e si scrivono i due numeri uno di seguito all’altro: a ⋅ b = ab Teorema: per moltiplicare un prodotto indicato per un numero basta moltiplicare per quel numero uno dei fattori e lasciare inalterati gli altri; per moltiplicare fra loro due o più prodotti indicati, basta formare un unico prodotto con tutti i fattori dei fattori dati. Es: 7 ⋅ (abc) = 7abc ; (ab)(cde) = abcde. La proprietà distributiva della moltiplicazione vale anche per l’addizione algebrica qualunque sia il numero dei suoi termini: (a – b + c – d) f = af – bf + cf – df L’inverso di tale proprietà prende il nome di raccoglimento a fattor comune e può essere così espressa: quando i termini di una somma algebrica indicata contengono tutti uno stesso fattore la somma stessa è uguale al prodotto del fattore comune per la somma indicata che si ottiene da quella data sopprimendo in ogni termine il fattore comune: af – bf – cf + df –ef = (a – b – c + d –e)f Divisione letterale Il quoziente di due numeri relativi si indica con la frazione e se una lettera compare al denominatore si deve sottintendere che essa è diversa da zero: a a≠b b Teorema: un quoziente non cambia se si dividono o si moltiplicano per uno stesso numero diverso da zero sia dividendo che divisore. 36 Es: a a ac = = bc b bc c Teorema: per dividere una somma algebrica indicata per un numero relativo, diverso da zero, si divide ogni termine della somma per questo numero e poi si fa la somma algebrica dei quozienti ottenuti: am c c am + bm - c bm = + = a + b m m m m m Teorema: per dividere un prodotto indicato per un numero relativo diverso da zero basta dividere uno solo dei fattori del prodotto per quel numero e lasciare inalterati gli altri. 37