Moltiplicazione di numeri relativi e principio di Hankel di permanenza delle proprietà formali
di Luciano Porta
La giustificazione della regola dei segni nel prodotto di numeri relativi utilizza le proprietà dell’operazione.
Le proprietà delle operazioni sono però definite per i numeri naturali e l’uso di esse in altri insiemi numerici
non è per nulla automatico , ma presuppone un atto di libera scelta della comunità dei matematici basata
unicamente sull’eleganza formale e sulla convenienza.
Si applica inconsapevolmente un principio (non un teorema) codificato dal matematico tedesco Hermann
Hankel (1839 – 1873) , il Principio di permanenza delle proprietà formali: “le operazioni aritmetiche per le
classi numeriche via via più ampie devono possedere le proprietà che la nostra mente è già abituata a sentir
soddisfatte nelle classi più ristrette considerate precedentemente”.
Possiamo formulare il principio con un linguaggio più attuale affermando che se un’operazione aritmetica
possiede una proprietà nell’insieme N deve conservare la stessa proprietà negli insiemi che includono N.
Giustifichiamo allora la regola dei segni nella moltiplicazione algebrica, considerandola come addizione
ripetuta di addendi uguali:
1) numero positivo per numero positivo:
(+3)(+4) = (+4)+(+4)+(+4) = +12
2) numero positivo per numero negativo:
(+3)(-4) = (-4)+(-4)+(-4) = -12
3) numero negativo per numero positivo:
(-3)(+4) (poiché la ripetizione di un addendo positivo per un numero negativo di volte non ha significato,
applichiamo la proprietà commutativa seguendo il principio di Hankel e siamo nuovamente nel caso 2)
(-3)(+4) = (+4)(-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3) = -12
4) numero negativo per numero negativo:
(-3)(-4) = ... solo al termine del ragionamento conosceremo il segno di questo prodotto. Per ora effettuiamo
calcoli in casi già conosciuti.
(-3)*0 = 0
(-3)(+4-4) = 0
Ora, seguendo il principio di Hankel, applichiamo la proprietà distributiva:
(-3)(+4)+(-3)(-4) = 0
Il primo prodotto è calcolato al punto 3, mentre non conosciamo il segno del secondo prodotto.
-12 + ... = 0
Dobbiamo scrivere al posto dei puntini, che per ora sostituiscono (-3)(-4), un numero che addizionato a -12
dia per somma 0.
L’unico numero che sommato a -12 dia 0 è +12.
Quindi (-3)(-4) = +12
Riassumiamo ora la regola dei segni nella moltiplicazione algebrica:
1) numero positivo per numero positivo = numero positivo
2) numero positivo per numero negativo = numero negativo
3) numero negativo per numero positivo = numero negativo
4) numero negativo per numero negativo = numero positivo
Pertanto il prodotto di due numeri concordi è positivo e di due numeri discordi è negativo.
Consideriamo infine alcune analogie tra lingua italiana e i segni nella moltiplicazione algebrica,
esaminando il significato di alcune frasi:
1)
2)
3)
4)
Voglio che tu legga ……………
significa:
devi leggere
Voglio che tu non legga ………. significa: non devi leggere
Non voglio che tu legga ………. significa: non devi leggere
Non voglio che tu non legga ….. significa
devi leggere
(+)*(+) = (+)
(+)*(‒) = (‒)
(‒)*(+) = (‒)
(‒)*(‒) = (+)
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