Scheda 1. Il teorema del coseno
A. Dal teorema di Pitagora al teorema del coseno
1. Completa lo schema seguente per richiamare alcune relazioni che legano gli elementi di un
triangolo rettangolo.
a2 + b2 = …..
Teorema di …………..
c ⋅ cosβ = …..
2. Apri il file Teor_coseno ed esplora la figura, che è riportata qui sotto in un caso particolare.
Completa la tabella seguente per spiegare il teorema del coseno.
Rettangolo Base
Altezza
Area
Triangolo rettangolo esaminato
CKML
CK = ……….
a
S = ………… ACK con ipotenusa b e CK cateto
adiacente a γ.
CDEF
CD = ………. ………. S = ………… BCD con ipotenusa ….. e CD
cateto ……………………..
3. Completa le seguenti frasi e formule per esprimere il teorema del coseno.
Se l’angolo γ è retto, applico il teorema di Pitagora e scrivo …………. = c2
Se lascio fermo il lato c, ma l’angolo γ diventa acuto, i lati a e b aumentano e trovo ……….. > c2
Per avere c2, debbo sottrarre 2S = ………………………… all’espressione ……………
Ottengo dunque c2 = ……………………………………….
4. Apri il file Teor_coseno_ottuso ed esplora la figura per scoprire perché la relazione scritta qui
sopra vale anche se l’angolo γ diventa ottuso.
5. I ragionamenti seguiti finora si possono ripetere a partire dagli altri due angoli di un qualunque
triangolo. Si trovano così le tre relazioni seguenti.
TEOREMA DEL COSENO
a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cosα
b2 = a2 + c2 − 2ac ⋅ cosβ
c2 = a2 + b2 − 2ab ⋅ cosγ
Attenzione alla scelta delle lettere!
a è il lato opposto all’angolo α , che è compreso fra i lati b e c.
6. Il teorema del coseno vale anche per un triangolo rettangolo? SI NO
Motiva la risposta.
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Anna Maria Miele, Treccani Scuola
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B. Risolvere problemi con il teorema del coseno
I Problema
Per guidare un missile antiaereo, la stazione radar da terra deve valutare in ogni istante la
distanza del missile M dall’aereo P da colpire. Il radar, disposto in R fornisce le misure
indicate nella figura qui sotto. Quanto vale la distanza PM?
1. Osserva le figure e completa le seguenti frasi per risolvere il problema.
“Debbo calcolare la lunghezza del lato a che è opposto all’angolo ….. ampio 65° nel triangolo
ABC, che non è rettangolo. Applico il teorema del coseno nella forma
a2 = ……………………………………..”
2. Completa la tabella seguente per scrivere i calcoli necessari ed eseguirli con il tascabile
…….. = 12
…….. = 20
…….. = 65°
a2 =_______________________________________
a = ____________________________ ≅ ………..
Scrivi qui sotto la sequenza dei tasti che hai utilizzato per eseguire i calcoli:
II Problema
La foto qui sotto a sinistra mostra un esperimento di fisica in una camera a bolle: nel punto A
vengono prodotte due particelle che decadono dopo aver percorso le distanze AB e AC indicate
nella figura a destra; l’esperimento consente di misurare anche la distanza BC. Quanto è ampio
l’angolo α fra le traiettorie delle due particelle?
1. Osserva le figure e completa le seguenti frasi per risolvere il problema.
“Debbo calcolare l’ampiezza α dell’angolo che è opposto al lato ….. lungo 4,5cm nel triangolo
ABC, che non è rettangolo. Applico il teorema del coseno nella forma
a2 = ……………………………………..”
2. Completa la tabella seguente per scrivere i calcoli necessari ed eseguirli con il tascabile
cosα = _______________________________________
α ≅ ………..
Scrivi qui sotto la sequenza dei tasti che hai utilizzato per eseguire i calcoli
.......... = 4,5
.......... = 3,6
Anna Maria Miele, Treccani Scuola
.......... = 1,3
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