derivata - Io Studio Online

PENDENZA (ripasso classe II)
Vediamo di definire quantitativamente il concetto di pendenza. Già ritroviamo la pendenza indicata
in percentuale nei cartelli di pericolo nelle strade di montagna.
La definizione di pendenza in matematica è analoga a quella utilizzata nei cartelli stradali.
Una pendenza del 10 % ha il seguente significato geometrico :
La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale ed il cateto orizzontale del triangolo
rettangolo così come indicato in figura. Quindi, in questo caso, pendenza = 10 % = 10 / 100 = 0,1.
Se il cateto verticale fosse di 100 metri come quello orizzontale, la pendenza
sarebbe del 100 %,
ovvero uguale ad 1, e corrisponderebbe ad un angolo di 45° :
Col crescere del cateto verticale si hanno pendenze sempre maggiori fino
all'infinito. Per esempio,
una pendenza del 700 %, ovvero uguale a 7, significa :
Si noti che col crescere della pendenza, l'angolo alla base (a sinistra) tende ad avvicinarsi sempre
più a 90°. Quando l'angolo alla base sarà di 90°, la pendenza sarà infinita.
La pendenza è quindi il rapporto fra il cateto verticale e quello orizzontale.
Se riportiamo questa definizione su una curva, possiamo definire in un punto la pendenza di
quest'ultima tracciando la tangente alla curva nel punto specificato :
Nel grafico, la curva rappresenta la funzione y = f(x). La
pendenza della curva nel punto P è la pendenza della retta
tangente alla curva tracciata nel medesimo punto P.
Punto per punto, la pendenza in generale è diversa :
Nell' esempio, in P è positiva, in Q è nulla (la retta tangente è orizzontale) ed in R è negativa.
DERIVATA
La pendenza di una curva in un punto si chiama derivata della funzione in quel punto.
Per trovare la pendenza di una curva in un punto occorre quindi trovare la pendenza della retta
tangente (coefficiente angolare) alla curva in quel punto.
RAPPORTO INCREMENTALE
Consideriamo una funzione y  f (x) definita in un intervallo a; b e sia Px0 ; f ( x0 ) un punto del
grafico della funzione, con la condizione che x0 sia un valore interno all’intervallo, cioè a  x0  b .
Indichiamo con h un numero positivo o negativo in modo che sia verificata la condizione
x0  h a; b .
I valori che la funzione assume nei punti x0 e x0  h sono rispettivamente f ( x0 ) e f ( x0  h) .
Si dice incremento della variabile indipendente x nel passaggio dal punto x0 al punto x0  h la
quantità : x  ( x0  h)  x0  h
Si dice incremento della variabile dipendente y=f(x) relativo all’incremento h e al punto x0 la
quantità : y  f ( x0  h)  f ( x0 )
Graficamente si ha:
Si dice rapporto incrementale della funzione y  f ( x) relativo al
s
y
Q
punto di ascissa x 0 e all’incremento h la quantità:
y
P
x

f ( x0  h)  f ( x0 )
h
x
O
a
x0
x0  h
x0
x0
b
SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL RAPPORTO INCREMENTALE
Ricordando che il coefficiente angolare di una retta è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la
y  yP
differenza delle ascisse di due punti qualunque della retta, cioè m  Q
e prendendo in
xQ  xP
considerazione i due punti Px0 ; f ( x0  e Qx0  h; f ( x0  h , punti d’intersezione della curva con la
retta secante s risulta che:
yQ  yP  y
f ( x0  h)  f ( x0 ) f ( x0  h)  f ( x0 )
m



.
xQ  xP  x
x0  h  x0
h
Ossia: il rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto è il coefficiente angolare
della retta secante passante per il punto dato e per il punto di ascissa incrementata.
DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN SUO PUNTO
Si chiama derivata della funzione y  f ( x) nel suo punto di ascissa x 0 il limite, se esiste ed è finito, del
rapporto incrementale della funzione al tendere a zero dell’incremento h della variabile, ossia :
f ( x0  h)  f ( x0 )
.
h
La derivata della funzione y  f (x) nel punto di ascissa x0 si suole indicare con una qualunque
lim
h 0
delle seguenti notazioni: y( x0 ) , f ( x0 ) .
Può darsi che, pur non esistendo il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale, esista e
sia finito tuttavia il limite a desta o il limite a sinistra, questi si chiameranno allora, rispettivamente,
derivata destra e derivata sinistra della funzione y  f (x) in x0 , e si rappresenteranno con i simboli
f ( x0 ) e f ( x0 ) , si ha quindi, per definizione:
f  ( x 0 )  limh0
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
e f  ( x 0 )  limh0
.
h
h
Una funzione si dice derivabile in un punto se esiste la derivata della funzione in quel punto.
Quindi affinchè una funzione sia derivabile in un punto x0 si devono verificare le tre seguenti
condizioni:
1) La funzione sia definita in un intorno del punto x0
2) Esista il limite del rapporto incrementale relativo a x0 per h che tende a zero
3) Tale limite sia finito
Una funzione si dice derivabile in un intervallo (a;b) se è derivabile in tutti i punti dell’intervallo
(a;b).
SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA
Partendo dal significato geometrico del rapporto incrementale e osservando che al tendere di h a zero, il
punto Q tende a P e la retta secante , passante per i punti P e Q , tende a disporsi tangente alla curva nel
punto P, si può affermare che:
la derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva in
quel punto.
Graficamente si ha:
t
s
y
Q
P
x
O
a
x0
x0  h
x0
x0
b
DERIVATA ESERCIZI
ESEMPIO. 1 Calcolare la derivata della funzione f(x)=x2 nel punto x0=1
x0 = 1
x0 + h = 1 + h
f(x0) = f(1) = 1
f(x0+h) = f(1+h) = (1+h)2 = 1+2h+h2
2
f(x0+h) - f(x0) = 1+2h+h - 1 = 2h - h2 = h(2+h)
La derivata richiesta è data dal limite del rapporto incrementale:
ESEMPIO. 2: Calcolare la derivata della funzione y = -x2+2x-5 nel punto x0 = -1
Se la derivata viene calcolata in un punto x generico (variabile) essa è funzione di tale punto e si
dice: FUNZIONE DERIVATA PRIMA.
Esempio: Calcolare la derivata prima della funzione:
y  f ( x)   x 2  2 x  5

 

y f ( x  h)  f ( x)  x  h  2( x  h)  5   x 2  2 x  5



x
h
h
 x 2  2 xh  h 2  2 x  2h  5  x 2  2 x  5 h( 2 x  h  2)


h
h
Ri 
2
lim Ri  f ' ( x)  lim(2 x  h  2)  2 x  2
h 0
h 0
Calcolata la funzione derivata prima, per calcolare la derivata della funzione in un punto qualsiasi
basta sostituire in valore della variabile indipendente corrispondente a quel punto. Per la funzione
precedentemente calcolata si ha:
ESERCIZI:
 Calcolare la derivata della funzione f(x)=2x2 - 3x + 1 nel punto x0=-1
 Calcolare la derivata prima della funzione y  3x  7 nel punto x

(soluzione: -7)
Calcolare la derivata prima della funzione y  x 2  5x nel punto di ascissa x=3
REGOLE DI DERIVAZIONE
Funzione
y=k
y=xα
y=f(x)+g(x)
La derivata di una costante è uguale a 0
La derivata della somma algebrica di due
funzioni derivabili è uguale alla somma
algebrica delle derivate delle funzioni stesse.
La derivata del prodotto di di due funzioni
derivabili è uguale al prodotto della derivata
della prima funzione per la seconda aumentato
del prodotto della prima funzione per la
derivata della seconda.
La derivata del prodotto di una costante per
una funzione ha come derivata il prodotto della
costante per la derivata della funzione
La derivata del quoziente di due funzioni
derivabili è uguale ad una frazione che ha per
denominatore il quadrato della funzione
divisore e per numeratore il prodotto tra la
derivata del dividendo e il divisore diminuito del
prodotto del dividendo per la derivata del
divisore.
La derivata della potenza di una funzione è
uguale al prodotto dell’esponente α per la
funzione elevata ad α-1 per la derivata prima
della funzione stessa
y=f(x)g(x)
y=kf(x)
y=f(x)/g(x)
y=f(x)α
Derivata
Esempio
y'=0
y’=αxα-1
y'=f'(x)+g'(x)
y=5
y’=0
y=x3
y’=3x2
y=x2+x-4
y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
y'=2x+1
y=3x2+5x-4
y'=6x+5
y'=kf'(x)
y=5x2
y'=10x
f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
y' 
g ( x)2
y’=αf(x)α-1f’(x)
ESERCIZI:
1)
y  3x  7
2)
x 2  3x
5) y  x 
x5
2
9)
3 3 7 3
x  x 2
2
3
1
7) y 
2 x
y  4 x2  5x  2
y  ( x 2  3x  5)(2 x  1)
3)
x3
6) y 
x2

10) y  x  1 3  x 2

y


11) y  3x 4  5 x  1
x3
13) y  2
x 1
 4x
14) y  2
x 2
15) y 
17) y 
2x  3
18) y  3 x 2
19) y  3 3x  5
21) y 
2
x3
x 1
 3x  5
22) y 
x
3
23) y  2
x 1
25) y 
2x  5
x3
26) y  x 
4
5
x
27) y 
1
3
3
4)
y
3
x 1
3
4x2  2x  1
8) y 
7 x 2  3x  2
12) y 
x 2  3x  5
16) y  3 x
x2
3
2

2
x
2x  5
20) y 
x
24) y 
2x 2
x3
FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI
Si dice che una funzione y=f(x) definita in un intervallo (a;b) è monotona


crescente se x1, x2 (a; b), se x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
decrescente se x1, x2 (a; b), se x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Teorema
Data una funzione y=f(x) continua in un intervallo (a;b) e derivabile nei suoi punti interni, se la
derivata prima della funzione è sempre positiva allora la funzione è crescente in (a;b); se la derivata
prima della funzione è sempre negativa allora la funzione è decrescente
Se x (a; b) f ' ( x) f 0  f ( x) è crescente in (a; b)
Se x (a; b) f ' ( x) p 0  f ( x) è decrescent e in (a; b)
e viceversa
ESERCIZIO
Determinare gli intervalli di monotonia della funzione y  x3  2 x 2  1
Si calcola la derivata prima: y'  3x 2  4 x
Si studia il segno della derivata prima: y '  0  3x 2  4 x  0  x  0  x 
4
3
Si rappresenta il segno della derivata prima sulla retta reale:
Ne segue che:
per x  0 la derivata prima è positiva, quindi la funzione è crescente
per 0  x 
per x 
4
la derivata prima è negativa, quindi la funzione è decrescente
3
4
la derivata prima è positiva, quindi la funzione è crescente
3
MASSIMI E MINIMI
MASSIMI E MINIMI RELATIVI
-una funzione f(x) si dice che ha un massimo relativo in
xoD, se è possibile
determinare l'intorno completo I di xo tale che per ogni x
I risulti: f(x)≤ f (xo)
-una funzione f(x) si dice che ha un minimo relativo in
determinare l'intorno completo I di xo tale che per ogni x
xoD, se è possibile
I risulti: f(x)≥ f(xo)
MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI
-Una funzione definita in un intervallo
si dice che ha un massimo assoluto in
xo 
se per
ogni x dell'intervallo risulti: f(x)≤ f (xo) ;
-Una funzione definita in un intervallo
si dice che ha un minimo assoluto in
xo 
se per
ogni x dell'intervallo risulti: f(x)≥ f (xo) .
PUNTI STAZIONARI
Si chiamano stazionari quei punti nei quali la derivata è uguale a zero.
I punti stazionari possono essere punti di:
 massimo relativo
 minimo relativo
 flesso a tangente orizzontale.
1. Un punto di ascissa x0 si dice di massimo relativo se in esso la derivata prima si annulla e la
derivata della funzione in un suo intervallo sinistro è maggiore di 0 ( funzione crescente), mentre in
un suo intervallo destro è minore di zero ( funzione decrescente). Nel punto di ascissa x0 la retta
tangente alla curva è parallela all’asse delle ascisse.
2. Un punto di ascissa x0 si dice di minimo relativo se in esso la derivata prima si annulla e la
derivata della funzione in un suo intervallo sinistro è minore di 0 ( funzione decrescente), mentre in
un suo intervallo destro è maggiore di zero ( funzione crescente). Nel punto di ascissa x0 la retta
tangente alla curva è parallela all’asse delle ascisse.
3. Un punto di ascissa x0 si dice di flesso a tangente orizzontale se in esso la derivata prima si
annulla e la derivata sia in un intervallo destro di x0 in uno sinistro non cambia segno ( la funzione
sia prima che dopo x0 ha sempre lo stesso andamento crescente o decrescente
Per trovare, invece, i punti di massimo e minimo assoluto di una funzione definita in un intervallo I

determiniamo gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo nell'intervallo I
calcoliamo inoltre i valori della funzione in tali punti, se dall'andamento della funzione non
riusciamo a stabilire se sono anche punti di massimo o minimo assoluto;


calcoliamo i valori della funzione negli estremi di I
confrontiamo i valori della funzione ottenuti:
- il minimo assoluto è nel punto corrispondente al valore minore,
- il massimo assoluto è nel punto corrispondente al valore maggiore
PUNTI DI NON DERIVABILITA’
Abbiamo già ribadito che non necessariamente la derivata esiste: ciò è legato all'esistenza (finita!!!) del limite del
rapporto incrementale:
Possono quindi verificasi diversi casi che vengono raggruppati in 3 specie:
Se la funzione y=f(x) non è derivabile in x= x0 perché la derivata destra e
la derivata sinistra sono finite ma diverse tra loro si parla allora di
punto angoloso
In questo caso ci sono una semiretta tangente sinistra e una semiretta
tangente destra.
Se la funzione y=f(x) non è derivabile in x= x0 perché la derivata destra è
  e quella sinistra   ( o viceversa) si parla allora di
cuspide
In questo caso (pendenza infinita) la retta tangente ha equazione x= x0 ed è
parallela all’asse y.
Se la funzione y=f(x) non è derivabile in x= x0 perché il limite del
rapporto incrementale (derivata) è   si parla allora di
punto di flesso a tangenza verticale
In questo caso (pendenza infinita) la retta tangente ha equazione x= x0 ed è
parallela all’asse y.
ESERCIZIO-1
Dato il grafico della funzione:
1.
Individua quello della sua derivata:



2.



3.



4.



ESERCIZIO-2
Dato il grafico della derivata:
Individua quello della funzione corrispondente:












In quali intervalli le seguenti funzioni hanno la derivata positiva? In quali nulla? In quali negativa?
y'  0
y'  0
y' 0
y'  0
y'  0
y' 0
REGOLE DI DE L’HOPITAL: Applicazione alle forme indeterminate
0 
Questa regola e' molto utile e si puo' applicare a tutte le forme indeterminate del tipo   e  
0 
f ( x)   
Se ho che lim
 
x c g ( x)

allora per calcolare il limite posso sostituire alle due funzioni le loro derivate
f ' ( x)
lim
xc g ' ( x )
0
stessa cosa con  
0
( x 2  4)
0
Esempio: consideriamo un limite lim
Tale limite si presenta nella forma  
x  2 ( x  2)
0
Sostituiamo al numeratore ed al denominatore le loro derivate:
La derivata di x2-4 e' 2x
La derivata di x - 2 e' 1
2x
quindi posso calcolare lim
4
x2 1
DERIVATA SECONDA
Si dice che la funzione y=f(x) è:
convessa (o che volge la concavità verso l'alto) nel punto x0 se esiste un intorno I in cui il grafico
non è mai al di sotto della retta t tangente al grafico nel punto P.
concava (o che volge la concavità verso il basso) nel punto x0 se esiste un intorno Ix0 in cui il
grafico non è mai al di sopra della retta t tangente al grafico nel punto P.
Per definizione i punti di flesso sono quei punti in cui la curva cambia concavità passando da
concava a convessa (o viceversa) con continuità;di conseguenza la funzione f''(x) passerà da
un valore positivo ad uno negativo (o viceversa)
Introduciamo pertanto il calcolo della derivata seconda ed enunciamo i seguenti teoremi:
TEOREMA
a.Se f''(x0)>0 la funzione ha la concavità verso l’alto in x0;
b.Se f''(x0)<0 la funzione ha la concavità verso il basso in x0;
c.Se f''(x0) =0 la curva ha nel punto P0(x0,f(x0)) un flesso.
Nel Punto di Flesso la Derivata seconda si annulla, mentre la Derivata prima può avere vari
comportamenti. Un punto di flesso può essere:



A tangente orizzontale se la tangente nel punto P è parallela all’asse delle ascisse ( in questo caso
la derivata seconda =0 e la derivata prima=0)
A tangente verticale se la tangente nel punto P è parallela all’asse delle ordinate ( in questo caso la
derivata seconda =0 e la derivata prima tende ad infinito)
A tangente obliqua se la tangente nel punto P non è parallela agli assi ( in questo caso la derivata
seconda =0 e la derivata prima ha un valore qualsiasi)
CALCOLO DELLE ORDINATE DEGLI EVENTUALI PUNTI DI FLESSO
Basta sostituire una alla volta le ascisse dei punti di flesso nell'equazione della curva e
ricavare l'ordinata corrispondente.
LA PARABOLA E LA CONCAVITA’
L’anno scorso abbiamo studiato che il segno del termine a (coefficiente numerico del
termine di secondo grado) determina la concavità della parabola. Dimostriamo questo alla
luce di quanto appena studiato
y  ax 2  bx  c
Per stabilire la concavità è necessario calcolare la derivata seconda:
y'  2ax  b
y ''  2a
Quindi la parabola ha la concavità verso l’alto se 2a  0  a  0
DOMANDE DI MATEMATICA per l’interrogazione orale di ripasso–CLASSE V
1) Enuncia la definizione di funzione
2) Spiega come si classificano le funzioni motivando le risposte
3) Come si stabilisce se un punto appartiene ad una funzione?
4) Che cosa si intende per dominio di una funzione?
5) Che cosa si intende per codominio di una funzione?
6) Spiega come si calcola il dominio di una funzione razionale intera motivando la risposta
7) Spiega come si calcola il dominio di una funzione razionale fratta motivando la risposta
8) Spiega come si calcola il dominio di una funzione irraz. intera pari motivando la risposta
9) Spiega come si calcola il dominio di una funzione irraz. intera dispari motivando la risposta
10) Spiega come si calcola il dominio di una funzione irraz. fratta pari motivando la risposta
11) Spiega come si calcola il dominio di una funzione irraz. fratta dispari motivando la risposta
12) Spiega quale ragionamento occorre fare per scrivere una funzione che ha CE: x    2
13) Spiega come si trovano le intersezioni con gli assi
14) Spiega come si trova il segno di una funzione
14) A cosa serve il calcolo dei limiti ?
15) Spiega graficamente quali sono i quattro tipi di limiti e i vari sottocasi?
16) Parla del limite della somma di due funzioni: enuncia il teorema e spiega che cosa capita a seconda
dei risultati di l1 e l2
17) Parla del limite del prodotto di due funzioni: enuncia il teorema e spiega che cosa capita a seconda
dei risultati di l1 e l2
18) Parla del limite del quoziente di due funzioni: enuncia il teorema e spiega che cosa capita a
seconda dei risultati di l1 e l2
19) Dimostra con un esempio numerico che il limite per x→∞ di una funzione razionale intera è uguale
al limite del suo termine di grado massimo
20) Spiega i tre tipi di forme indeterminate studiate
21) Come si calcola il grado di un polinomio?
22) Parla degli asintoti: definizione, condizione, esempi algebrici e grafici
23) Spiega quale ragionamento devi fare per scrivere una funzione che ha A.V. x=3
24) Spiega quale ragionamento devi fare per scrivere una funzione che ha A.O. y=3
25) Se una funzione ha dominio illimitato, ha sicuramente un asintoto orizzontale?
26) Se una funzione ha un asintoto orizzontale deve avere dominio illimitato?
27) Una funzione può intersecare l’asintoto orizzontale? E quello verticale?
28) Quando una funzione si dice continua?
29) Parla delle discontinuità?
30) Parla del rapporto incrementale: definizione e suo significato geometrico
31) Qual è la definizione di derivata
32) Qual è il significato geometrico della derivata prima?
33) Quando una funzione si dice derivabile?
34) Parla dei punti stazionari (massimi,minimi e flessi a tangente orizzontale)
35) Perché in un punto stazionario la derivata prima è nulla?
36) All’interno dello studio di funzione che informazioni fornisce la derivata prima?
37) Quando una funzione si dice crescente e quando si dice decrescente?
38) Che cosa sono gli intervalli di monotonia?
39) Enuncia le regole di derivazione?
40) Quando una funzione si dice derivabile?
41) Quali informazioni permette di ricavare la derivata seconda?
42) La funzione f(x) ha derivata seconda f ' ' x  6 x 2  3x : che informazioni ricavi?
43) Che cos’ è un punto di flesso? Che tipi di flesso ci sono?
44) Quali sono i passi da seguire per fare lo studio di una funzione?
45) Quando una funzione si dice pari? Quando si dice dispari?