L.I.N.F.A. Laboratorio Informatico

L.I.N.F.A. Laboratorio Informatico-Numerico di Fondamenti di Automatica
Prof. Paolo Rocco
MODULO 1: MATLAB e l’algebra lineare
Alcune funzioni utili
eye(n)
diag(v)
det(A)
inv(A)
poly(A)
eig(A)
[V,AD]=eig(A)
polyval(p,x)
polyvalm(p,A)
expm(A)
norm(A)
matrice identità di ordine n
matrice diagonale con gli elementi di v sulla diagonale
determinante
inversa
polinomio caratteristico
autovalori
autovalori e autovettori (nella matrice V)
valutazione del polinomio p nel punto x
valutazione del polinomio p con argomento la matrice A
esponenziale di matrice
norma (in L2) di matrice
Esercizio 1
Data la matrice:
4

0
A=
0

0
1.
2.
3.
4.
3
0
3
1
2
3
2
1
−3

−1
,
−2 

0 
se ne ricavi il polinomio caratteristico;
si calcolino gli autovalori;
si determini la matrice T che mette in forma diagonale, verificando il risultato;
si verifichi il teorema di Cayley-Hamilton.
Esercizio 2
Si considerino le seguenti matrici:
 −13

A1 = −12

 12
0
−1
0
−8

−8,

7 
1

0
A2 = 
0

0
2
0
2
0
−1
1
0
0
1

0
,
0

1
7

0
A3 = 
−1

 1
0
0
3
0
−1
5
1
4
0

0
.
1

5
Per ciascuna di esse:
1. Si ricavino gli autovalori, verificando che non sono distinti;
2. Si ricavi il polinomio minimo;
3. Sulla base del polinomio minimo, si determini la forma di Jordan della matrice.
Esercizio 3
Si consideri nuovamente la matrice dell’esercizio 1.
1. Si calcoli la matrice esponenziale eA;
{ }
2. Detti λi gli autovalori di A, e T la matrice che mette A in forma diagonale, si verifichi che e A = T −1 diag e λ i T .
A2 A3
+
+
3. Si determini il minimo valore di m tale che, detta Em = I + A +
2!
3!
e A − Em
Am
< 0.05 .
, risulti
m!
eA