L.I.N.F.A. Laboratorio Informatico-Numerico di Fondamenti di Automatica Prof. Paolo Rocco MODULO 1: MATLAB e l’algebra lineare Alcune funzioni utili eye(n) diag(v) det(A) inv(A) poly(A) eig(A) [V,AD]=eig(A) polyval(p,x) polyvalm(p,A) expm(A) norm(A) matrice identità di ordine n matrice diagonale con gli elementi di v sulla diagonale determinante inversa polinomio caratteristico autovalori autovalori e autovettori (nella matrice V) valutazione del polinomio p nel punto x valutazione del polinomio p con argomento la matrice A esponenziale di matrice norma (in L2) di matrice Esercizio 1 Data la matrice: 4 0 A= 0 0 1. 2. 3. 4. 3 0 3 1 2 3 2 1 −3 −1 , −2 0 se ne ricavi il polinomio caratteristico; si calcolino gli autovalori; si determini la matrice T che mette in forma diagonale, verificando il risultato; si verifichi il teorema di Cayley-Hamilton. Esercizio 2 Si considerino le seguenti matrici: −13 A1 = −12 12 0 −1 0 −8 −8, 7 1 0 A2 = 0 0 2 0 2 0 −1 1 0 0 1 0 , 0 1 7 0 A3 = −1 1 0 0 3 0 −1 5 1 4 0 0 . 1 5 Per ciascuna di esse: 1. Si ricavino gli autovalori, verificando che non sono distinti; 2. Si ricavi il polinomio minimo; 3. Sulla base del polinomio minimo, si determini la forma di Jordan della matrice. Esercizio 3 Si consideri nuovamente la matrice dell’esercizio 1. 1. Si calcoli la matrice esponenziale eA; { } 2. Detti λi gli autovalori di A, e T la matrice che mette A in forma diagonale, si verifichi che e A = T −1 diag e λ i T . A2 A3 + + 3. Si determini il minimo valore di m tale che, detta Em = I + A + 2! 3! e A − Em Am < 0.05 . , risulti m! eA