LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA
ANALISI MATEMATICA II
12 CFU, A.A. 2011-2012
Stefano Meda – Gianni Manno
Capitolo 1. Calcolo differenziale in più variabili
§1.1. Preliminari. Norma su uno spazio vettoriale. Distanza associata
a una norma. La norma euclidea. Norme equivalenti. Caratterizzazione dei
compatti in Rn . Teorema di Weierstrass (funzioni continue su un compatto).
Tutte le norme in Rn sono equivalenti∗ . Spazio di Banach. Rn è di Banach. Disuguaglianza fondamentale (tra norma euclidea e norma infinito in
Rn )∗ . Ogni mappa lineare da Rn a Rm è continua∗ . Norma operatoriale su
L(Rn , Rm ). Norma di Hilbert–Schmidt.
§1.2. Differenziabilità per funzioni da Rn a Rm . Continuità e continuità per rette. Derivata secondo un vettore, derivata direzionale, derivata
parziale. Differenziabilità: unicità del differenziale∗ , continuità delle funzioni
differenziabili∗ , differenziabilità per componenti∗ . Differenziali di mappe lineari e di mappe bilineari. La matrice jacobiana∗ .
§1.3. Proprietà di funzioni differenziabili. Algebra delle funzioni
differenziabili. Differenziale di funzioni composte. Esempi. Teorema del
differenziale totale∗ . Spazio tangente al grafico di una funzione differenziabile. Teorema dell’incremento finito (m = 1). Caratterizzazione delle
funzioni costanti su un aperto connesso. Teorema dell’incremento finito
(m > 1)∗ . Differenziabilità e lipschitzianità∗ . Funzioni di classe C 1 e loro
caratterizzazione∗ .
§1.4. Derivate di ordine superiore. Derivate direzionali seconde. Teorema di Schwarz. Matrice hessiana e forma bilineare associata. Derivate di
ordine k, k ≥ 2, e forme k-lineari. Funzioni positivamente omogenee di grado
α e loro proprietà (differenziabilità). Teorema di Eulero. Polinomi omogenei.
Formula di Taylor (resti in forma di Lagrange∗ e di Peano∗ ). Notazione compatta per le derivate di ordine superiore.
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§1.5. Estremi liberi. Condizione necessaria del primo ordine∗ . Condizione
necessaria di ordine superiore. Punti stazionari. Punti di sella. Condizione
sufficiente del secondo ordine∗ . Studio del segno di forme quadratiche in
Rn (Criterio del segno dei minori principali di nord-ovest). Studio del caso
critico (punti stazionari degeneri).
§1.6. Funzioni implicite: caso n = 2, m = 1. Definizione di funzione implicita. Esempi. Teorema di esistenza e unicità in grande (incluso continuità
e differenziabilità della funzione implicita)∗ . Studio del grafico di funzioni
implicite. Teorema di esistenza e unicità in piccolo∗ .
Capitolo 2. Integrazione in più variabili
§2.1. Integrali su rettangoli. Integrale di Riemann su un rettangolo di
R2 . Condizione necessaria e sufficiente di integrabilità. Integrabilità delle
funzioni continue. Teorema di riduzione∗ .
§2.2. Integrali su sottoinsiemi qualunque. Estensione di una funzione definita su un sottoinsieme di R2 . La classe R delle funzioni Riemann
integrabili. Proprietà di R e del funzionale integrale su R.
§2.3. Misura di Peano–Jordan. Definizione di insieme misurabile e della
sua misura. Caratterizzazione degli insiemi di misura nulla∗ . Il grafico di una
funzione in R([a, b]) ha misura nulla in R2∗ . Proprietà elementari (additività,
monotonia,...) della misura di Peano–Jordan. Misura interna e misura esterna. Caratterizzazione degli insiemi misurabili (mediante le misure interna ed
esterna)∗ . Funzioni generalmente continue e loro integrabilità∗ . Domini semplici e formule di riduzione relative. Misura del sottografico di una funzione
non negativa in R([a, b]).
§2.4. Cambiamento di variabile. Mappe invertibili. Teorema della
funzione inversa. Diffeomeorfismi di classe C 1 . Coordinate polari, cilindriche,
sferiche. Trasformazioni di insiemi. Teorema di cambiamento di variabile
negli integrali multipli.
§2.5. Integrali impropri. Definizione di integrale improprio per funzioni
non negative. Buona definizione∗ . Funzioni (di segno qualunque) integrabili
in senso improprio. Esempi. Calcolo dell’integrale di una gaussiana.
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Capitolo 3. Successioni e serie di funzioni
§3.1. Convergenza puntuale e uniforme. Convergenza puntuale. Esempi. Convergenza uniforme. Test di convergenza uniforme per serie∗ . Il
limite uniforme di funzioni continue è una funzione continua∗ . Completezza
di C([0, 1])∗ . Passaggio al limite sotto il segno di integrale (di Riemann)∗ .
Derivazione e convergenza uniforme. La norma integrale su C([0, 1]) non è
equivalente alla norma uniforme∗ .
§3.2. Serie di potenze.
Definizione di serie di potenze. Raggio di
∗
convergenza . Convergenza uniforme in compatti contenuti nell’intervallo
di convergenza∗ . Comportamento agli estremi dell’intervallo di convergenza.
Serie di Taylor. Criteri di convergenza della serie di Taylor. Serie di Taylor
di funzioni elementari. Applicazione al calcolo approssimato di integrali.
Capitolo 4. Contrazioni in spazi metrici
§4.1. Il teorema delle contrazioni. Definizione di contrazione. Esempi. Punti fissi di una mappa. Il Teorema di Banach–Caccioppoli (o delle
contrazioni)∗ . Lipschitzianità “parziale”. Equazioni integrali di Volterra:
esistenza e unicità∗ .
Capitolo 5. Equazioni differenziali
§5.1. Il problema di Cauchy per equazioni del primo ordine. Equazioni del primo ordine in forma normale: equivalenza tra il problema di
Cauchy e la corrispondente equazione di Volterra∗ . Teorema di esistenza di
Peano. Teorema di esistenza e unicità in piccolo (continuità+lipschitzianità)∗ .
Prolungabilità delle soluzioni: prolungabilità del grafico al di fuori di ogni
compatto∗ e teorema di esistenza e unicità in grande (crescita al più lineare)∗ .
La lipschitzianità parziale in strisce implica la crescita al più lineare∗ . La teoria precedente si adatta al caso di sistemi di equazioni e al caso di equazioni
di ordine superiore in forma normale. Studio qualitativo delle soluzioni di
un’equazione differenziale del primo ordine: Teorema del confronto.
§5.2. Sistemi lineari. Sistemi lineari a coefficienti continui: esistenza e
unicità in grande∗ . Spazio vettoriale delle soluzioni: sua dimensione∗ . Wronskiano di funzioni e wronskiano di soluzioni di un sistema lineare omogeneo∗ .
Sistemi lineari non omogenei: struttura delle soluzioni. Esponenziale di
un’applicazione lineare da Rn in sè e sue proprietà. Formula risolutiva per un
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problema di Cauchy associato a un sistema omogeneo a coefficienti costanti∗ .
Metodo di variazione delle costanti e formula risolutiva per un problema di
Cauchy associato a un sistema non omogeneo a coefficienti costanti∗ . Metodo
di variazione delle costanti∗ per sistemi lineari (non necessariamente a coefficienti costanti).
Equazioni lineari di ordine n. Equazioni lineari omogenee di ordine
n a coefficienti costanti: polinomio caratteristico e struttura dell’integrale
generale∗ . Equazioni non omogenee (applicazione del metodo di variazione
delle costanti per i sistemi).
Risoluzione di equazioni differenziali a variabili separabili, lineari del
primo ordine, di Bernoulli, di Riccati, omogenee.
Capitolo 6. Curve e superfici
§6.1. Curve e superfici in Rn . Curve in Rn : terminologia, velocità vettoriale, curve regolari. Curve equivalenti, versore tangente. Lunghezza di una
curva di classe C 1 : definizione e proprietà equivalente per curve regolari∗ .
Superfici regolari in R3 : definizione ed esempi. Area di una superficie regolare.
Capitolo 7. Forme differenziali
§7.1. Forme differenziali in Rn . Lavoro di una forza. 1-forme differenziali: definizione. Integrazione di 1-forme su curve equivalenti. Forme
esatte, forme chiuse. Primitiva di una forma esatta. Condizioni necessarie e
sufficienti per l’esattezza di una forma differenziale∗ . Ogni forma chiusa in
un aperto stellato è esatta∗ . Risoluzione di equazioni differenziali esatte ed
equazioni differenziali che ammettono un fattore integrante.
Teorema di Gauss–Green nel piano∗ . Riformulazione del Teorema di
Gauss–Green in termini di divergenza. Teorema della divergenza in Rn . Applicazioni del Teorema di Gauss–Green nel piano. Forme differenziali in insiemi semplicemente connessi. La formula di Stokes. Insiemi semplicemente
connessi in R3 .
Il candidato dovrà conoscere i dettagli delle dimostrazioni contrassegnate
con ∗ ed essere in grado di discutere le principali definizioni, i concetti fondamentali e le tecniche illustrate durante le lezioni e le esercitazioni. Per i
Capitoli 1-5, il candidato può fare riferimento alle tracce delle lezioni pubblicate sul sito del docente; per i Capitoli 6-7 al libro di testo di Giusti.
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