ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO DI ANALISI II

ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO DI ANALISI II
ANALISI
Limiti
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Convergenza di una successione di punti
Definizione di limite
Condizione necessaria e condizione sufficiente all’esistenza del limite in R 2
Continuità di funzione
Curve
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Definizione di curva in forma parametrica
Continuità e regolarità
Versore tangente alla curva
Lunghezza di un arco di curva
Parametro d’arco
Parametrizzazione con il parametro d’arco
Integrali di linea di prima specie e proprietà
Utilizzi fisici dell’integrale di linea di prima specie
Topologia
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Insiemi chiusi ed aperti
Intorno
Punti di frontiera
Insieme limitato
Insieme connesso
Teorema di Weierstrass (con controesempi)
Differenziabilità
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Definizione di derivata parziale (con il limite del rapporto incrementale)
Gradiente
Derivabilità
Definizione di differenziale e differenziabilità
Condizione sufficiente per la differenziabilità
Equazione del piano tangente e condizioni per l’esistenza
Derivate direzionali (definizione con limite del rapporto incrementale e mediante l’utilizzo del
gradiente)
Derivazione di funzioni composte
Sviluppo di Taylor
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Teorema di Schwarz
Sviluppo in serie di Taylor
Concetto di matrice Hessiana e proprietà di simmetria
Differenziale II
Massimi e minimi
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Definizione di massimo e minimo, assoluto e relativo
Teorema di Fremat
Forme quadratiche
Determinazione della natura dei punti singolari mediante lo studio della matrice Hessiana
Teorema del Dini
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Caso particolare in due dimensioni
Caso in n dimensioni
Massimi e minimi vincolati
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Caso semplice con vincolo esplicitabile
Moltiplicatori di Lagrange (con un minimo di dimostrazione)
Funzione Lagrangiana
Funzioni di più variabili a valori vettoriali
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Concetto di differenziabilità
Matrice Jacobiana
Matrice Jacobiana di funzioni composte
Superfici parametrizzate
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Linee coordinate
Regolarità
Versore normale
Piano tangente
Superfici di rotazione
Cambi di coordinate
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Regolarità
Trasformazioni invertibili
Coordinate polari, cilindriche e sferiche
Trasformazione dell’elemento d’area dS
Derivazione
Campi vettoriali
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Definizione
Linea integrale (particolarità di unicità)
Campi conservativi
Potenziale
Condizione necessaria e condizione sufficiente affinché un campo sia conservativo
Insieme semplicemente connesso
Rotore e campi irrotazionali
Divergenza e campi solenoidali
Potenziale vettore
Definizione di lavoro
Lavoro in un campo conservativo
Integrali doppi
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Definizione di integrale doppio come limite della sommatoria
Significato fisico dell’integrale doppio
Domini x-semplici e y-semplici
Domini semplici
Domini regolari
Calcolo dell’integrale doppio come iterazione di integrali singoli
Proprietà dell’integrale
Cambio di variabile
Formula di Gauss-Green ed orientazione del bordo del dominio
Integrali tripli
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Domini z-semplici
Calcolo dell’integrale triplo come iterazione di integrali singoli
Derivazione sotto il segno di integrale
Integrali
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Integrale di superficie
Flusso di un campo vettoriale
Teorema di Stokes (del rotore)
Teorema di Gauss (della divergenza)
Notazione tensoriale
PROBABILITÀ
Statistica descrittiva
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Tipi di campioni statistici
Modalità, classi e frequenza relativa
Istogrammi
Numero di classi in cui dividere un campione
Moda
Calcolo della media
Somma e prodotto nella media
Calcolo della varianza
Somma e prodotto nella varianza
Mediana
Proprietà della mediana rispetto la media con dati sballati
Quantile
Quartile
Dispersione dei dati: intervallo interquartile e range
Correlazione di dati
Retta di correlazione e metodo dei minimi quadrati (conto)
Covarianza
Momento centrato di ordine k
Calcolo skewness e significato
Calcolo kurtosi e significato
Probabilità
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σ-algebra delle parti di Ω
Definizione di probabilità
Definizione di spazio di probabilità
Formula di De Morgan
Proprietà degli spazi di probabilità (insiemi complementari, unione di insiemi non disgiunti)
Distribuzione uniforme di probabilità
Probabilità condizionata
Formula di Bayes
Indipendenza
Calcolo combinatorio (definizione, disposizioni, permutazioni, combinazioni)
Variabili aleatorie discrete
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Definizione di variabile aleatoria
Legge o distribuzione di una variabile aleatoria
Densità di una variabile aleatoria
Variabile indicatrice (legge e densità)
Legge binomiale
Densità di una variabile aleatoria a legge binomiale
Legge di Bernulli
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Legge ipergeometrica
Densità di una variabile aleatoria a legge ipergeometrica
Legge geometica
Densità di una variabile aleatoria a legge geometrica
Proprietà di mancanza di memoria
Legge di Poisson come approssimazione della binomiale per n grande e p piccolo
Densità di una variabile aleatoria a legge si Poisson
Funzione di ripartizione
Correlazione legge – funzione di ripartizione
Leggi congiunte
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Definizione di variabile aleatoria multidimensionale
Densità congiunta
Densità marginali
Correlazione tra densità congiunta e marginale
Indipendenza di variabili aleatorie
Probabilità condizionata
Funzioni di variabili aleatorie
Densità della somma di variabili aleatorie
Speranza matematica
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Definizione
Proprietà (somma, prodotto, φ(X))
Momenti
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Definizione di momento centrato di ordine k
Varianza
Significato di varianza
Varianza della somma di due variabili aleatorie
Covarianza
Coefficiente di correlazione
Disuguaglianza di Chebyshev
Variabili aleatorie continue
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Caratteristica della funzione di ripartizione
Densità di una variabile aleatoria continua
Da densità a funzione di ripartizione e viceversa
Densità di una variabile aleatoria uniforme
Densità e funzione di ripartizione di una variabile aleatoria esponenziale
Proprietà di una variabile aleatoria esponenziale
Quantili
Calcolo di leggi
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Funzione di ripartizione e densità della variabile aleatoria φ(X)
Indipendenza di variabili aleatorie
Legge normale
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Densità di una variabile aleatoria normale
Densità di una variabile aleatoria normale standard
Densità della somma di due variabili aleatorie normali indipendenti
Funzione di ripartizione della variabile aleatoria normale
Proprietà di simmetria
Quantili di una variabile aleatoria normale
Speranza matematica e momenti
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Definizione di speranza matematica
Proprietà della speranza
Speranza della variabile aleatoria φ(X)
Momento centrato di ordine k
Varianza
Covarianza
Significato dei parametri µ e σ2 nella legge normale
Teoremi del limite
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Convergenza in probabilità
Legge dei grandi numeri
Varianza di una successione di variabili aleatorie aventi tutte varianza σ2
Teorema del limite centrale
STATISTICA INFERENZIALE
Stima di parametri
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Definizione di statistica
Definizione di stimatore
Definizione di stima
Distorsione
Errore quadratico medio
Metodo dei momenti per la stima di media e varianza
Legge normale per la stima della media con varianza nota
t di Student per la stima della media con varianza non nota
Stimatori di massima verosimiglianza (esempio della lotteria)
Stime intervallari
Livello di confidenza
Distribuzione pivotale
Distribuzione del chi quadro
Stima intervallare della media con varianza nota
Stima intervallare della media con varianza non nota
Stima intervallare della varianza con media nota
Stima intervallare della varianza con media non nota
Verifica di ipotesi
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Ipotesi nulla ed ipotesi alternativa
Statistica campionaria e regione critica
Livello significatività
Potenza del test
Test sulla media
p-value
Tolleranza
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Definizione di tolleranza
Maggiorazione deterministica dell’errore
Maggiorazione probabilistica dell’errore
Affidabilità
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Definizione di affidabilità ed inaffidabilità
Schema in serie e schema in parallelo
Durata di vita
Funzione di affidabilità