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Bilanciare e Ricostruire
Sommario
La Bayt al-Hikma, Casa della Sapienza, di Baghdad fu per diversi
secoli la massima istituzione culturale del mondo arabo-islamico. Fondata come biblioteca privata nel IX secolo dal califfo Harun al-Rashid
venne ampliata dal figlio e successore al-Ma’mun, divenendo un centro
d’eccellenza tra i più straordinari dell’antichità. Proprio sotto il califfato di al Ma’mun venne redatto l’Al Kitab al jabr wa’al muqabalah dal
responsabile della biblioteca, il noto astronomo, geografo e matematico
Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al Khwarizmi.
Gru nella nebbia (2011)
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L’Al Kitab
Il Libro della Ricostruzione e del Bilanciamento, questa la traduzione dell’opera di al Khwarizmi, o Algorizmi nella sua versione latina, rappresenta il
primo trattato di algebra della storia. Problemi relativi alla determinazione di
incognite vengono esposti e risolti dal matematico persiano con un approccio
radicalmente diverso da quello tramandato dalle opere elleniche, un nuovo
metodo moderno ed innovativo. Per capire meglio quali siano le differenze,
ci rifacciamo ad uno degli esempi più noti tratti proprio dall’Al Kitab.
Una storica equazione
Il problema tratta della risoluzione dell’equazione x2 + 10x = 39, ovvero della
determinazione di quel valore dell’incognita x che rende vera l’uguaglianza.
Prima di proseguire, però, due precisazioni sono necessarie:
1. spesso l’obiettivo di al Khwarizmi non è determinare il valore di x, come
faremmo oggi, bensı̀ del suo quadrato x2 ;
2. il problema non viene espresso in questa forma nella pagine dell’Al
Kitab, dal momento che il linguaggio simbolico ha cominciato a svilupparsi solo verso il XVII secolo.
Una formulazione più aderente a quella reale potrebbe essere:
Una ricchezza aggiunta a 10 oggetti equivale a 39 unità.
Nell’Al Kitab vengono utilizzate le parole mal (ricchezza) per indicare x2 ,
shay (oggetto) per x, mentre l’unità di misura è il dihram (attualmente è una
valuta usata in Marocco e presso gli Emirati Arabi). Oggigiorno sappiamo
che le soluzioni (più precisamente, le radici) sono x = 3 e x = −13 e per
determinarle è sufficiente utilizzare la ben nota formula risolutiva:
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
(1)
2a
meglio ancora se nella sua forma ridotta, dato che il problema si presta a
tale riduzione. Tuttavia è bene tenere presente che questa semplice formula
2
ci richiede la conoscenza di diversi elementi della matematica moderna che,
all’epoca della stesura dell’Al Kitab non erano nemmeno stati concepiti, quali:
- un linguaggio simbolico appropriato,
- strumenti per operare con numeri razionali,
- ma soprattutto la conoscenza dei radicali e delle loro proprietà.
Il metodo greco
Nulla di tutto ciò sarebbe servito ad un matematico greco cui fosse stato
posto tale problema. Armato di riga e compasso l’avrebbe risolto geometricamente ottenendo come soluzione x = 3, seguendo una costruzione come
quella illustrata in figura 1.
5
x
x
mal
mal
x
x
1. Costruisci il quadrato di lato x.
shay
x
mal
shay
x
5
3. . . . e completa la figura.
5
shay
25
x
mal
shay
5
5
2. Prolunga i lati di 5 unità. . .
x
5
4. L’area gialla è di 39 dihram.
Figura 1: La risoluzione geometrica illustrata nei suoi passi fondamentali. Nei
diagrammi sono riportati anche i termini utilizzati da al Khwarizmi.
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Ovviamente non era nemmeno contemplata una possibile soluzione negativa, segmenti di lunghezza negativa non sono nemmeno concepibili, e poi
per avvicinarci al concetto di numeri con il meno dobbiamo quantomeno
aspettare il metodo della partita doppia introdotto da frà Luca Pacioli nella
Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita, stampata
a Venezia nel 1494. Ma lasciamo per un momento da parte i metodi ellenici
e concentriamoci sugli insegnamenti di al Khwarizmi.
La ricetta
Seguiamo le indicazioni del matematico persiano riportate in tabella 1.
Istruzione
Valore numerico
Prendi metà degli oggetti
10 : 2 = 5
e calcolane il quadrato.
52 = 25
Aggiungi le unità note
25 + 39 = 64
√
64 = 8
e calcola la radice.
L’oggetto vale la radice meno la metà calcolata prima.
8−5=3
Tabella 1: I passi fondamentali del metodo di al Khwarizmi con i loro equivalenti
algebrici simbolici.
Pochi e semplici passi (al massimo la radice quadrata di un quadrato perfetto!) e troviamo la soluzione. Anche al Khwarizmi non si pone il problema
dell’esistenza di un’ulteriore radice dell’equazione iniziale, proprio come i
matematici greci. Ma a differenza di questi non vi è traccia di alcun riferimento a righe, compassi o costruzioni geometriche: il problema è numerico e
numerica è anche la sua trattazione per determinarne la soluzione. Proprio
per questo netto distacco con il pensiero matematico greco al Khwarizmi si
è guadagnato il titolo di padre dell’algebra, aprendo la strada ad un nuovo
approccio alla materia che porterà fino alla moderna algebra astratta.
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La geometria colpisce ancora
I metodi proposti nell’Al Kitab sono precisi e rigorosi, ma l’influenza greca
è ancora forte nel 830 d.C. (anno della stesura dell’opera), tanto che l’autore si sente in dovere di giustificare geometricamente quanto affermato. La
costruzione geometrica è quella vista precedentemente (figure 1), un affascinante modo di approcciarsi ai problemi, e di ricavarne la soluzione, al quale
non siamo più abituati da secoli.
Allenarsi, sempre!
Questo esempio è un modello per un’infinità di altri esercizi. Provate, ad
esempio, a mettere alla prova il metodo di al Khwarizmi e la sua versione
geometrica con queste altre equazioni:
1. x2 + 4x = 32
2. x2 + 8x = 9
3. x2 + 16x = 36
Ma è possibile fare molto di più! Consideriamo le seguenti
1.
1 2
x + 2x = 16
2
2. 3x2 + 24x = 27
3.
x2
+ 4x = 9
4
Come possiamo risolverle con il metodo dell’Al Kitab? Semplice: prendiamo
come esempio l’equazione 2x2 − 2x − 12:
- ricostruiamo il termine di secondo grado, moltiplicandolo o dividendolo
per un certo valore, in modo da ottenere esclusivamente x2 :
2x2 : 2 = x2 ⇒ divisione per 2
5
- bilanciamo applichiamo agli altri termini la stessa moltiplicazione/divisione:
2x : 2 = x ∧ 12 : 2 = 6 ⇒ x2 − x − 6
- concludiamo come visto in precedenza con la nuova equazione ottenuta.
Bilanciare e ricostruire, è tutto quello che c’è da fare.
Buona Matematica!
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Riferimenti bibliografici
[1] www.wikipedia.org
[2] C.B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori
[3] A.Baki, Al Khwarizmi’s contribution to the science of mathematics: Al
kitab al jabr wa’al muqabalah
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