Programma Analisi Matematica 2009-2010

Programma dell’ Insegnamento di Analisi I A.A.
2009/2010 C.D.L. in Ingegneria Civile (9 CFU)
Stefano Nardulli
11 febbraio 2010
Teoria degli insiemi
Definizioni. Prodotto cartesiano di insiemi. Relazioni. Relazioni di equivalenza e d’ordine. Funzioni come relazioni univoche. Grafico di una funzione.
Dominio e codominio.
Insiemi numerici
Assiomatica di Peano dell’aritmetica. Dimostrazioni per induzione. Costruzione formale dei principali insiemi numerici. N, Z, Q, R, C.[Cit],[AMS85]
Numeri reali
Valore assoluto. Intervalli di R. Limitatezza di un insieme. Massimo e
minimo. Elementi di topologia in R. Teorema di Heine-Borel sulla retta.
Numeri complessi
Forma algebrica. Coniugato e modulo. Operazioni algebriche. Piano complesso. Notazione esponenziale e trigonometrica. Radici n-esime. Formule
di Eulero. I numeri complessi come roto-omotetie del piano. Elementi di
topologia in R2 . Teorema di Heine-Borel nel piano.
Successioni e serie numeriche
Definizione di succesione. Classe limite di una successione, limite superiore
ed inferiore. Esempi. Definizione e carattere di una serie. Serie geometrica,
1
2
serie armonica e serie armonica generalizzata. Serie a termini di segno costante. Serie di segno alterno. Convergenza e convergenza assoluta. Criteri
di convergenza. [Cit], [PS], [Rud], [Dem],[CPS], [AMS85]
Successioni e serie di funzioni
. Definizioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Scambio dell’ operazione
di limite ed integrale, di limite e derivata , ecc. Serie di potenze.
Funzioni reali di una variabile reale
Generalità. Invertibilità. Monotonia. Operazioni algebriche puntuali. Limitatezza. Esempi. Cenni sulle serie e successioni di funzioni. [Cit], [PS],
[Rud], [Dem], [CPS], [AMS85].
Limiti e continuità per le funzioni reali di una variabile reale
definizioni. Generalità. Teoremi di confronto e teoremi per il calcolo dei
limiti. Esempi. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Confronto tra infiniti
e tra infinitesimi, notazione di Landau (o-piccolo, O-grande, ecc. ). Funzioni continue. Operazioni algebriche e composizione di funzioni. Funzioni elementari dell’analisi matematica. Continuità delle funzioni elementari.
Teoremi fondamentali sulle funzioni continue su un intervallo. [Cit], [PS],
[Rud], [Dem], [CPS], [AMS85].
Calcolo differenziale
Definizione di derivata e generalità. Regole di calcolo. Derivate delle funzioni elementari. Interpretazione geometrica e cinematica del concetto di
derivata. Punti di massimo e di minimo relativo. Teorema del valor medio
di Lagrange ed applicazioni. Funzioni convesse. Asintoti. Formula di De
l’Hôpital. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor. Introduzione
all’analisi asintotica. Sviluppo asintotico di funzioni implicite e di funzioni
inverse. Studio del grafico di una funzione reale di variabile reale. [Cit],
[PS], [Rud], [Dem], [CPS], [AMS85].
Bibliografia
3
Calcolo integrale
Integrale di Riemann. Interpretazione geometrica. Proprietà algebriche.
Teorema della media. Funzioni definite da un integrale. Primitive e integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive delle
funzioni elementari. Linearità. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Esempi ed applicazioni. Integrali impropri. Generalità. Criteri
di confronto e criteri di convergenza. Accenni alla teoria della misura e
dell’integrale di Lebesgue su R. [Cit], [PS], [Rud], [Dem], [CPS], [AMS85].
Equazioni differenziali ordinarie
Problema di Cauchy. Spazio delle soluzioni. Teoremi di esistenza in piccolo
ed in grande e dipendenza continua dai dati. Principali tipi di equazioni risolvibili con integrazioni, per esempio: equazioni a variabili separabili,
equazioni lineari del primo ordine, equazioni differenziali lineari a coefficienti
costanti omogenee e non omogenee.[PS]
Curve in R2 ed in R3 (tempo permettendo)
Interpretazione cinematica, geometrica. Curva di Peano. Cambio di parametrizzazione. Ascissa curvilinea. Riferimento di Frenet. Formule di FrenetSerret. Cenni sulla generalizzazione in Rn , n ∈ N. Integrali curvilinei. [PS]
[Rud] [Dem][CPS],[AMS85]
Prerequisiti
Matematica per i precorsi, i.e. corso 0.[CR]
Riferimenti bibliografici
[AMS85] Emilio Acerbi, Luciano Modica, and Sergio Spagnolo. Problemi
scelti di analisi matematica I-II. Liguori Editore, 1985.
[Cit]
Claudio Citrini. Analisi Matematica 1. Bollati Boringhieri.
[CPS]
J.P. Cecconi, L.C. Piccinini, and G. Stampacchia.
problemi di analisi matematica Vol. 1-2.
Esercizi e
Bibliografia
4
[CR]
Richard Courant and Herbert Robbins. Che cos’è la matematica.
Bollati Boringhieri.
[Dem]
Demidovic. Esercizi e Problemi di Analisi Matematica. Mir.
[PS]
Carlo Pagani and Sandro Salsa. Analisi I-II. Masson.
[Rud]
Walter Rudin. Principi di analisi matematica. McGraw-Hill.