ESERCIZI su matrici hermitiane
Quasi tutti gli esercizi sono stati svolti in classe (quelli con l’asterisco sono
versioni diverse o completamente nuovi). Altri esercizi svolti in classe non sono
espressamente citati perche’ esercizi del libro di testo (Gregorio Salve, Algebra
lineare)
1. Sia A una matrice hermitiana, se l’eliminazione di Gauss non richiede
permutazioni per portare A in forma ridotta, allora il segno dei pivot
coincide con il segno degli autovalori.
0 2 0
2. * Si verifichi il risultato di Ostrowski per le matrici A = 2 0 0 e
2 2 0
1 −1 0
B = −1 1
0
0
0 −1
3. * Verificare che le seguenti matrici sono definite o semi-definite positive
applicando almeno due diverse caratterizzazioni in particolare, se possibile
trovarne la decomposizione di Cholesky e la radice quadrata:
2 −1 0
(a) A = −1 2 −1
0 −1 2
4
0 −1
(b) B = 0
2 −4
−1 −4 9
9 3 3
(c) C = 3 1 1
3 1 1
4. * Per quali valori del numero reale r la
1
A(r) = 2
3
matrice
2 3
4 6
6 r
e’ definita positiva e semidefinita positiva. Si trovi un vettore v ∈ R3 tale
che A(9) = vv H e si trovino gli autovalori di A(9).
3
5. * Si determino le condizioni sul vettore
x ∈ C e lo scalare a ∈ C in modo
A3 x
che la matrice in forma bordata A =
sia definita o semi-definita
xH a
positiva dove
1 2 3
A3 = 2 4 6 .
3 6 9
6. Sia C una matrice diagonalizzabile ad autovalori reali. Allora C si puo’
scrivere come il prodotto di una matrice definita positiva e di una matrice
hermitiana.
7. Siano A una matrice definita positiva e B una matrice hermitiana dello
stesso ordine, allora la matrice AB e’ diagonalizzabile e i suoi autovalori
hanno lo stesso segno di quelli di B.
8. Sia A una matrice semidefinita positiva di ordine n e x un vettore di Cn .
Si provi che xH Ax = 0 se e solo se Ax = 0.
9. Sia A = [ai,j ] una matrice hermitiana. Si provi che il piu’ piccolo autovalore λ di A soddisfa λ ≤ ai,i per ogni i.
10. * Verificare il teorema di inclusione per le sottomatrici principali delle
matrici dell’esercizio 3.
11. Siano A e B matrici hermitiane dello stesso ordine. Se A e’ definita positiva
allora esiste una matrice T invertibile tale che A = T H T e B = T H DT
con D matrice diagonale.
12. Siano A matrice definita positiva e B matrice semidefinita positiva dello
stesso ordine. Allora det(A + B) ≥ det(A) + det(B). Inoltre vale uguale
se e solo se B = 0.
13. Sia
1
ρ
.
An =
..
ρ
ρ
ρ
1
...
...
... ρ
... ρ
..
.
1 ρ
ρ 1
Provare che A e’ semidefinita positiva se e solo se −1/(n − 1) ≤ ρ ≤ 1.
14. Q
Sia A = [ai,j ]i,j una matrice semidefinita positiva. Si provi che det(A) ≤
n
i=1 ai,i .
15. Sia B = [bi,j ]i,j una matrice di grado n e b = maxi,j {|bi,j |}. Si provi che
|det(B)| ≤ bn nn/2 .
16. Sia A una matrice semidefinita positiva di rango r, allora esistono r vettori
v1 , . . . , vr tra loro ortogonali tali che A = v1 v1H + · · · + vr vrH .
17. Sia A una matrice reale simmetrica definita positiva di grado n. Allora
maxi,j≤n {|ai,j |} = maxi≤n {ai,i }.
18. Si limitino gli autovalori di A + B in funzione degli autovalori delle matrici
A e B, dove
1 0 1
0 2 0
A = 0 −1 0 , B = 2 0 0 .
1 0 1
0 0 0
19. Provare che i teoremi di Rayleigh-Ritz e di monotonicita’ di Weil non
funzionano se le matrici non sono Hermitiane.
20. Siano A e B matrici hermitiane e sia B semidefinita positiva. Indicati con
λk (A) e λk (A + B) il k-esimo autovalore di A e di A + B rispettivamente,
dove gli autovalori si intendono in ordine crescente e k ≤ n, allora λk (A) ≤
λk (A + B).
21. Siano A e B matrici hermitiane di grado n e k ≤ n, allora λk (A + B) ≤
min{λi (A) + λj (B) | i + j = k + n}.
22. Siano A e B matrici hermitiane di grado n tali che xH Ax ≤ xH Bx per
ogni vettore x, allora λk (A) ≤ λk (B) per ogni k ≤ n.
23. Siano A, B e C matrici hermitiane di grado n. Si provi che
(a) Se A−B e B−C sono semidefinite positive allora A−C e’ semidefinita
positiva.
(b) Se A − B e B − A sono semidefinite positive allora A = B.
(c) Se A, B e A − B sono semidefinite positive allora det(A) ≥ det(B).
24. Teorema di monotonicita’ e principio d’inclusione per valori singolari.
25. Teorema di Albert per matrici definite e semidefinite positice (es 6.23-6.24
libro di testo).
26. * Sia A una matrice definita positiva di grado n. Usare la disuguaglianza
di Hadamard per provare che
det A = min{
n
Y
viH Avi | {v1 , . . . , vn } e‘ insieme ortonormale di Cn }.
i=1
27. * Dati i due vettori x = [0, 2, 4]H e y = [−1, 3, 4]H di C3 , provarne teoricamente l’esistenza e poi esibire una matrice A hermitiana tale che d(A) = x
e l(A) = y.
28. * Senza trovare gli autovalori
dove
3 2
A = 2 −5
2 −1
provare che λk (A) ≤
2
9 6
−1 , B = 6 0
−1
3 −2
λk (B) per ogni k ≤ 3
3
−2 .
2
29. * Verificare che le seguenti matrici si possono scrivere come combinazione
convessa di matrici di permutazione
0 1 3
(a) A = 14 3 1 0
1 2 1
2 6 2
1
(b) B = 10
5 1 4
3 3 4
a c b
(c) C = c b a per ogni terna di numeri reali positivi la cui somma
b a c
sia 1.
30. Sia A matrice quadrata reale di ordine n. Allora A e’ bistocastica se s solo
se Ax x per ogni vettore x ∈ Rn .
31. Sia S matrice bistocastica di ordine n, siano x, y ∈ Rn di coordinate
x1 ≥ x2 ≥ .. ≥ xn ≥ 0 e y1 ≥ y2 ≥ .. ≥ yn ≥ 0. Allora xT y xT Sy.
32. * Siano A e B matrici bistocastiche dello stesso ordine. Provare che AB
e’ bistocastica.
33. Sia A matrice hermitiana; allora il vettore d(A) appartiene all’inviluppo
convesso dell’insieme {P l(A) | P matrice di permutazione}.
B 0
34. * Sia A =
matrice a blocchi riducibile bistocastica con B e D
C D
quadrate. Allora C e’ la matrice nulla.
35. * Provare che la classe delle matrici n × n bistocastiche e’ un insieme
convesso, chiuso per moltiplicazione ma non e’ un gruppo. Inoltre ogni
matrice di permutazione e’ un punto estremo di questo insieme.
36. * Se x y allora x appartiene all’inviluppo convesso dei vettori ottenuti
da y permutando le coocdinate.
A B
37. Sia M la matrice a blocchi M =
con D invertibile, allora
C D
det M = det D det(M/D) dove M/D e‘ il complemento di Shur di M .
A B
38. Sia M la matrice a blocchi M =
con A invertibile e A D della
C D
stessa dimensione. Se AC = CA allora det M = det(AD − CB).
A B
39. Sia M =
matrice hermitiana con A invertibile, allora i(M ) =
BH C
i(A) + i(M/A)
