18 Equazioni Differenziali Lineari con Coeffici

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Equazioni Differenziali Lineari con Coefficienti Costanti
In questa sezione consideriamo equazioni lineari differenziali con coefficienti
costanti, cioé equazioni del tipo
an y (n) + an−1 y n−1 + · · · + a1 y 0 + a0 y0 = R(x).
(1)
Qua, gli aj sono costanti (numeri reali o complessi) ed R(x) é una funzione da
un aperto in R in R. Inizialmente consideriamo il caso omogeneo, ossia, il caso
R(x) ≡ 0.
In questo caso la soluzione dell’equazione differenziale si riduce alla soluzione
di un equazione algebrica. Infatti, se si pone y = eλx , allora y 0 = λeλx , e
y 00 = λ2 eλx . In generale si ha che la k-esima derivata di y risulta y (k) = λk eλx .
Dunque, se si cerca una soluzione della nostra equazione differenziale del tipo
y = eλx , cioé se si sostituisce y con eλx nell’equazione differenziale si trova che
dire
an y (n) + an−1 y n−1 + · · · + a1 y 0 + a0 y0 ≡ 0,
(2)
con coefficienti ai costanti, é equivalente al dire
(an λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 )eλx ≡ 0.
Ma poiché la funzione esponenziale eλx non si annulla mai, deve essere l’annullarsi
del primo fattore che produce l’uguaglianza, e tale primo fattore si annulla se e
solo se λ é uno zero (ossia radice) del polynomio
an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
cioé se e solo se si ha
an λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0.
In generale non é facile trovare le radici di polinomi di grado elevato (ed anzi,
per n ≥ 5 non cé una formula analoga alla formula per le radici di un polinomio
quadratico, o alle formule di Cardan per la resoluzione di una cubica). D’altra
parte, una volta si ottiene una radice del polinomio associato, si ha una soluzione
dell’equazione differenziale. La soluzione generale dell’equazione differenziale
dovrebbe coinvolgere n costanti arbitrari, C1 , C2 , . . . , Cn , almeno quando an 6= 0
(di modo che l’equazione é veramente di grado n). Non é meno generale supporre
che an = 1. Se, allora il polinomio
χ(x) = xn + an−1 xn−1 ∗ · · · + a1 x + a0
ha n radici distinti λ1 , λ2 , . . . , λn , allora abbiamo la soluzione generale yg (x)
nella forma
yg (x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x + · · · + Cn−1 eλn−1 x + Cn eλn x .
1
Tutto bene, se il polinomio NON ha radici moltiple. Se invece λ é una
radice moltipla del polinomio χ(x), diciamo di moltiplicita k, allora dobbiamo
trovare k − 1 altre soluzioni (linearmente indipendenti, nel linguaggio di algebra lineare) dell’equazione differenziale. In effetti questo non é difficile perché si
∗
∗
∗
trova che non solo eλ x , xeλ x , . . . , xk−1 eλ x sono tutte e k soluzioni linearmente
indipendenti. Questo fatto discende dal fatto che essi sono linearmente indipendenti: piú esplicitamente l’unico modo in cui un loro combinazione lineare
∗
c0 e λ
x
∗
∗ c1 xeλ
x
∗
+ · · · + ck−1 xk−1 eλ
x
≡0
sia la funzione IDENTICAMENTE 0 é che c0 = c1 = · · · = ck−1 = 0.
In questo modo (e badando al fatto (non dimostrato sopra!) che le soluzioni
del tipo considerato sopra ma con scelte diverse dell’esponente “magico” λ∗ sono
linearmente indipendenti.
Esercizio: Per chiarire quest’ultima riga verificare che le quattro soluzioni
y = ex , y = xex , y = e−x, ed y = xe−x dell’equazione differenziale lineare
omogeneo
y (4) − 2y 00 + y = 0
sono linearmente indipendenti. Esplicitamente, mostrare che l’unico modo in
cui si puó avere
c1 ex + c2 xex + c3 e−x + c4 xe−x ≡ 0
con ci costante, i = 1, 2, 3, 4 é avere infatti che c1 = c2 = c3 = c4 = 0.
Esercizio.
Provare a formulare le tesi generale sulla indipendenza lineare delle soluzioni di un’equazione differenziale del tipo (2). Se ti senti in
forma, prova pure a dimostrare la tesi generale che hai appena formulata (e che
dovrebbe essere essenzialemente quanto detto poco sopra in modo rapido).
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Equazioni lineari ordinari con coefficienti costanti:
il caso non omogeneo
Ora si deve considerare il caso di un equazione del tipo (1) con R(x) funzione
arbitraria.
Supponiamo che abbiamo una fattorizzazione del polinomio associato, il
quale assumiamo essere essere monico, ossia con coefficiente conducente 1. Dunque
il nostro equazione differenziale é
y (n) + an−1 y (n−1) ∗ · · · + a1 y 0 + a0 y = R(x)
e il polinomio associato é
xn + an−1 xn−1 ∗ · · · + a1 x + a0 = (x − λ1 )(x − λ2 ) · · · (x − λn )
ove puó benissimo succedere che taluni dei lambdai compaiono con molteplicitá
maggiore di uno.
2
Se operiamo la notazione (D − λ)y per indicare dy/dx − λy. Allora la nostra
equazione differenziale si scrive nella forma
(D − λ1 )(D − λ2 ) · · · (D − λn−1 )(D − λn )y = R(x).
In effetti, come nel caso di composizione di funzioni, la scrittura (D−λ1 )(D−λ2 )
indica la composizione degli OPERATORI DIFFERENZIALI D − λ1 e
D − λ2 : in modo piú dettagliato (D − λ1 )(D − λ2 ) indica l’operatore differenziali
che su una funzione (differenziabile due volte) f produce il risultato
(D − λ1 )(D − λ2 )(f )
df
− λ2 f )
dx
df
df
− λ2 f ) − λ1 (
− λ2 f )
= D(
dx
dx
d2 f
df
df
=
− λ2
− λ1
+ λ1 λ2 f
dx2
dx
dx
= D2 − (λ1 + λ2 )D + λf 1λ2 f
= (D − λ1 )(
Dunque, D é solo un altro modo per scrivere l’operatore d/dx, la derivata
rispetto x, mentre si deve avere ben presente che ora λ1 indica L’OPERATORE
“MOLTIPLICARE PER λ1 (ed analogamente per D − λ2 ecc.
Ora possiamo riscrivere la nostra equazione differenziale nella forma
(D − lλ1 )(D − λ2 ) · · · (D − λn )y = R(x)
(3)
Questa scrittura suggerisce un metodo ricorsivo per risolvere l’equazione
non-omogenea, o, almeno un metodo per ridurre il problema ad una serie di
problemi di quadratura.
In effetti, se il grado del polinomio in D é uno, si tratta di un’equazione
lineare, e sappiamo giá come risolvere equazioni lineare di primo ordine (anche
con coefficienti non costanti!).
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