MODELLI

MODELLI
In questo capitolo vengono studiati i principali modelli descriventi sistemi caratterizzati da un
comportamento collettivo che li rende interessanti dal punto di vista della fisica dei fenomeni critici.
Verrà dato particolare rilievo ai sistemi magnetici, perchè le corrispondenti Hamiltoniane risultano
piuttosto semplici ed adatte per lo studio di fenomeni critici che caratterizzano altri sistemi non
magnetici. Tratteremo come primo esempio il caso del paramagnete semplice. Tuttavia, questo
sistema non presenta transizioni critiche a causa dell’assenza di un comportamento collettivo fra gli
spin. Lo scopo è infatti quello di mettere in evidenza la differenza fra tale comportamento e quello
di altri sistemi in cui è invece presente un comportamento collettivo che porta a sua volta ad un
comportamento critico.
4.1 Paramagnete semplice a spin-1/2
Consideriamo una distribuzione regolare nello spazio di momenti magnetici di spin ½ che possono
quindi assumere solo i valori ± μ , rispettivamente orientati lungo un asse unico z corrispondenti
alle due componenti sz = ∓1/ 2 . I due valori assunti ± μ sono i due vincoli del sistema. Si può
quindi considerare questa distribuzione di momenti magnetici tutti uguali fra di loro come un
sistema di N particelle di spin-½ non interagenti fra di loro facenti parte di una struttura più
complessa come un reticolo di atomi. Se si pongono questi momenti magnetici in un campo esterno
l’Hamiltoniana corrispondente vale
N
H = -Hμ
∑s
i
i =1
(4.1)
dove si = ±1 è la variabile scalare corrispondente a ± μ ed N è il numero totale di dipoli. Il
parametro d’ordine è quindi rappresentato da uno scalare a due componenti. L’Hamiltoniana di
Eq.(4.1) è l’Hamiltoniana di un paramagnete semplice ed esprime l’interazione degli N momenti
magnetici con il campo magnetico esterno H di intensità H. Gli N momenti magnetici di uguale
intensità μ assumono valori casuali pari a + μ oppure a − μ in funzione del sito che occupano nel
reticolo di atomi, ma al crescere dell’intensità del campo gli N momenti μ si dispongono tutti
paralleli ad H . E’ da notare che in Eq.(4.1) non si specifica la dimensionalità del sistema per cui
1
può rappresentare un sistema d-dimensionale con d = 1 (unidimensionale), d = 2 (bidimensionale),
d = 3 (tridimensionale) e così via. Non si ha interazione fra momenti magnetici, poiché si considera
il caso del paramagnete semplice dove l’interazione di scambio è nulla, cioè J = 0. Ciò implica
l’assenza di un comportamento collettivo. Il numero totale di stati possibili è
222....2= 2 N .
N
Infatti, poiché ad ogni momento magnetico sono associati due stati e tali stati sono indipendenti
occorre fare il prodotto degli stati associati a ciascun momento per avere il numero totale di stati. Lo
stato fondamentale del sistema è quello corrispondente alla minima energia E = - N H μ < 0 (le
tre quantità sono positive) che si realizza quando tutti gli si hanno valore pari a +1. Gli stati eccitati
si ottengono per rovesciamento degli spin. Ad esempio, il primo stato eccitato si ottiene ponendo lo
spin s1 = −1 e lasciando invariati gli altri N - 1 spin e così via per gli altri stati. In figura sono
mostrati lo stato fondamentale ed il primo stato eccitato ottenuto rovesciando uno spin a piacere in
un sistema unidimensionale (catena). I cerchi vuoti rappresentano gli atomi della catena a cui le
variabili di spin sono associate
s1 = 1
s2 = 1
sN= 1
STATO FONDAMENTALE
s1 = 1
s2= -1
sN= 1
Io STATO ECCITATO
Le proprietà macroscopiche del sistema si ricavano calcolando la funzione di partizione
corrispondente. Scriviamo la funzione di partizione del paramagnete semplice espressa come
somma sugli stati s possibili degli spin. Ciascuno spin ha due stati, quindi per ogni atomo si deve
2
sommare su due stati. Si ha anche che esplicitamente
∑ = ∑ =∑ ∑ ...∑
{s}
s1 , s2 ,...sN
s1
s2
essendo le
sN
variabili si , associate ognuna a ciascun atomo, fra di loro indipendenti. La funzione di partizione
risulta quindi
Z = Tr ⎡e − β H ⎤ =
⎣
⎦
∑
⟨ s | e − β H | s⟩ =
{s}
∑
1
e − β Es =
{s}
1
βμ H
1
∑ ∑
∑
s1 =−1 s2 =−1
e
N
∑ si
i =1
sN =−1
dove Tr indica la traccia, cioè la somma sugli elementi diagonali (stati diagonali s),
mentre β = 1/ k BT con kB la costante di Boltzmann e T la temperatura assoluta. Lo stato energetico
E s è l’ ”autovalore” (le virgolette indicano che il sistema descritto è classico) corrispondente
all’Hamiltoniana di Eq.(4.1) ed è uguale all’Hamiltoniana stessa, poiché il sistema è classico. In
particolare si è applicata l’equazione agli autovalori H ( H ) | s⟩ = Es | s⟩ e si è tenuto conto della
condizione di normalizzazione degli stati, cioè ⟨ s | s⟩ = 1 . Ogni sommatoria è calcolata sommando
su due termini si = −1, +1 con i = 1,2, N. La funzione di partizione può essere riscritta applicando
una
βμ H
e
proprietà
della
funzione
esponenziale
secondo
la
quale
N
∑ si
i =1
=e
βμ H ( s1 + s2 +...s N )
= e βμ H s1 e βμ H s2 ....e βμ H sN . Quindi, sostituendo nell’espressione di Z,
si ottiene
1
1
1
∑ ∑
Z=
∑ eβμ
s1 =−1 s2 =−1
1
=
∑e
s1 =−1
(
βμ H s1
H s1 βμ H s2
e
....e βμ H sN =
s N =−1
1
∑e
βμ H s2
s2 =−1
= e − βμ H + e βμ H
)( e βμ
−
1
∑ eβμ
H sN
=
s N =−1
H
+ e βμ H
) ...... ( e βμ
−
H
)
+ e βμ H =
= 2cosh ( βμ H ) 2cosh ( βμ H ).....2cosh ( βμ H ) = ( 2cosh βμ H )
N
In questa serie di passaggi si è portato ciascun esponenziale dentro la somma sugli stati
corrispondente e, dopo avere sommato ciascun si sui due stati -1 e +1, si è usata l’identità
trigonometrica e− x + e x = 2cosh x . La funzione di partizione di un paramagnete semplice assume
quindi la forma
3
Z = ⎡⎣ 2cosh ( βμ H ) ⎤⎦
N
(4.2)
A partire da Z si possono ricavare due altre grandezze fondamentali del sistema, cioè l’energia
libera F di Helmholtz e la magnetizzazione M.
Infatti, tenendo presente che F = − k BT ln Z , si trova che l’energia libera di un paramagnete
semplice vale F = − k BT ln ⎡⎣ 2cosh ( βμ H ) ⎤⎦
N
da cui
F = − N k BT ln ⎡⎣ 2cosh ( βμ H ) ⎤⎦
(4.3)
N
applicando la proprietà del logaritmo secondo cui ln x = N ln x .
1 ⎛ ∂F ⎞
A partire da F si ricava la magnetizzazione del sistema M = − ⎜
⎟
V ⎝ ∂H ⎠T
dove non si è moltiplicato
per N, poiché il numero di atomi (dipoli) è già contenuto in F. Sostituendo la F di Eq.(4.3) si ottiene
M =−
= k BT
(
))
1⎛ ∂ ⎞
− k BT N ln 2cosh ( βμ H ) =
V ⎜⎝ ∂H ⎟⎠T
(
1
N
N sinh ( βμ H ) 1
2sinh ( βμ H ) βμ = k BT
μ
V 2 cosh ( βμ H )
V cosh ( βμ H ) k B T
dove si è applicata la regola di derivazione della funzione composta
(
(
)
)
f ′ g ( x)
D ⎡⎢ln ⎡ f g ( x ) ⎤ ⎤⎥ =
g′( x)
⎦⎦ f g ( x)
⎣ ⎣
(
)
M =μ
da cui, tenendo presente che
(
)
ln ⎡ f g ( x ) ⎤ ,
⎣
⎦
cioè
sinh x
= tanh x , si ha che
cosh x
N
tanh ( βμ H )
V
Per definizione la magnetizzazione del sistema può essere anche scritta come M = μ
(4.4)
N
⟨ s ⟩ dove
V
⟨ s⟩ indica una media statistica sull’insieme delle variabili si. La media statistica è una media
d’insieme e per il teorema ergodico corrisponde ad una media temporale. Dal confronto con
Eq.(4.4)
⟨ s⟩ = tanh ( βμ H )
(4.5)
In Eq.(4.4) non compare per la magnetizzazione la dipendenza dalla dimensionalità del sistema e
dalla forma del reticolo. Inoltre, il sistema non presenta transizioni critiche a causa della mancanza
4
di un comportamento collettivo. Per verificare ciò basta rappresentare la media d’insieme sugli spin
espressa in Eq.(4.5) in funzione della temperatura T che compare in β = 1/ k BT a fissata intensità
del campo magnetico esterno H notando che non si hanno punti critici come è rappresentato in
figura. In particolare, si hanno i due comportamenti asintotici: ⟨ s ⟩ = 1 per T → 0 e ⟨ s ⟩ → 0 per
T → ∞ come si nota dal grafico. Infatti, T → 0 implica che β→ ∞ in modo tale che, per un
fissato valore di campo esterno H,
rapidità così che
sinh ( βμ H ) → ∞ e cosh ( βμ H ) → ∞ con la stessa
tanh ( βμ H ) → 1 . D’altra parte, T → ∞ implica β→ 0, cioè, per un fissato
valore di campo esterno H,
sinh ( βμ H ) → 0 e cosh ( βμ H ) → 1 in modo tale che
tanh ( βμ H ) → 0 .
⟨ s⟩
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
5
10
15
20
T
È quindi poco interessante dal punto di vista delle transizioni di fase. I risultati di Eq.(4.3) e di
Eq.(4.5) verranno però utilizzati quando verrà risolto il modello di Ising a spin-½ mediante la teoria
di campo medio.
5
4.2 Modello di Ising a spin-1/2
Consideriamo un primo esempio di modello basato su un sistema che esibisce un comportamento
collettivo. Tale modello è detto modello di Ising ed è stato ideato nel 1925 da Lenz ed Ising. È nato
come modello classico. Pur essendo stato formulato in termini di variabili proprie di un sistema
magnetico ha avuto un notevole successo, poichè a causa della sua semplicità e della sua generalità
è stato applicato soprattutto per studiare sistemi non-magnetici. Il modello di Ising più conosciuto e
più usato nelle applicazioni è quello a spin-½ . Supponiamo di avere una variabile classica di spin si
che assume i valori ±1 e di disporre questi spin su un reticolo di atomi. Come per il paramagnete
semplice, il parametro d’ordine è uno scalare a due componenti. Gli spin del reticolo interagiscono
secondo l’Hamiltoniana
H = − J ∑ si s j − H ∑ si
⟨ ij ⟩
(4.6)
i
Nell’Hamiltoniana di Eq.(4.6) non compare la dimensionalità del sistema per cui essa può
descrivere genericamente un sistema d-dimensionale con d = 1,2,3,... In figura sono mostrate
disposizioni di spin in un sistema unidimensionale (catena) ed in un sistema bidimensionale
(superficie) assumendo tutto gli spin allineati ( si = +1 ). Questa configurazione si può verificare
anche se J <0 per effetto del campo magnetico esterno applicato.
6
s1 = 1
sN= 1
CATENA: SISTEMA
UNIDIMENSIONALE
s1 = 1
sN= 1
SUPERFICIE:
SISTEMA
BIDIMENSIONALE
Il primo termine esprime l’interazione di scambio fra le coppie ij di spin primi vicini mediante la
costante di scambio (integrale di scambio) J. Ciò significa che, a fissato atomo i-esimo, viene
effettuata una somma sui primi vicini. In una dimensione, fissato l’atomo i-esimo i primi vicini
sono due, cioè l’atomo j = i-1 e l’atomo j = i+1, mentre in due o più dimensioni il numero di primi
vicini è maggiore e dipende dal tipo di reticolo considerato. Il secondo termine descrive
l’interazione di ciascuno spin (atomo) con il campo esterno H di intensità H. Il campo esterno è
assunto costante e ciascuno spin interagisce con H allo stesso modo. Per ragioni di comodità si
assume che il campo esterno abbia le dimensioni di un’energia come la costante di scambio J. Il
valore di J positivo, cioè J > 0 dà un’interazione di scambio a spin paralleli, mentre il valore di J <
0 esprime un’interazione di scambio a spin antiparalleli. Il secondo termine è equivalente al
termine dell’Hamiltoniana del paramagnete semplice a spin 1/2 .
7
Osservando l’Hamiltoniana di Eq.(4.6) si nota che il modello di Ising a spin-½ può rappresentare
realisticamente solamente un sistema magnetico con forte anisotropia nello spazio degli spin diretta
lungo l’asse z individuato dalla direzione di
H (asse facile lungo z). Diviene quindi
paradossalmente poco utile per descrivere sistemi magnetici reali. Infatti, tali sistemi in genere non
presentano la forte anisotropia lungo la sola direzione richiesta dal modello ed invece manifestano
effetti di reticolo che potrebbero portare all’orientazione degli spin lungo una direzione
preferenziale diversa da quella del modello.
4.2.1 Transizione ordine-disordine nelle leghe binarie
Risulta quasi sorprendente la possibilità di applicare il modello di Ising a spin-½ ad altri sistemi
non-magnetici. Vediamo l’applicazione di tale modello ad alcuni sistemi. Lo scopo è di mostrare
come questi sistemi possano essere rappresentati mediante l’Hamiltoniana di Ising. In primo luogo
consideriamo il reticolo tridimensionale costituito dalla lega binaria rame-zinco, cioè il reticolo
CuZn (ottone). Si dovrà quindi utilizzare il modello di Ising a spin-½ tridimensionale, cioè con d =
3.
L’ottone è costituito da un numero uguale di atomi di rame e di zinco che giacciono sui siti
reticolari di un reticolo bcc (reticolo a corpo centrato). Associamo arbitrariamente i cerchi pieni agli
atomi di Cu e quelli vuoti agli atomi di Zn. Ad alta temperatura (pannello (a) in figura) ogni sito
reticolare è occupato in modo casuale dalle due specie atomiche dando origine ad una struttura
disordinata. Il disordine deve essere inteso come disordine sostituzionale a causa della disposizione
casuale degli atomi e non topologico, poiché il reticolo continua ad esistere pur se in una
configurazione disordinata. Se si abbassa la temperatura del sistema, a T = 733 K ha luogo una
8
transizione di fase critica verso uno stato ordinato mostrato nel pannello (b) di figura per T
TC
(T = 0 ) . Ciascuna specie atomica occupa un sottoreticolo cubico semplice per cui si realizza
complessivamente un reticolo bcc formato da due sottoreticoli cubici incastonati fra di loro. Questa
fase ordinata è caratterizzata da un parametro d’ordine dato dalla differenza degli atomi delle due
specie in un dato sottoreticolo, cioè Ψ = N Cu − N Zn . Vale anche per questa transizione di fase critica
ordine
↔ disordine la regola generale secondo la quale la fase più ordinata è quella meno
simmetrica, mentre la meno ordinata è quella più simmetrica. Lo scopo è quello di scrivere
un’Hamiltoniana che descriva le interazioni fra ogni coppia di atomi nell’ottone e che predica una
transizione di fase critica. È conveniente assegnare le seguenti variabili
si = 1
se gli atomi sono di Cu
si = −1 se gli atomi sono di Zn
Lo spin può quindi assumere in ogni sito reticolare due valori. Per questa ragione
si può essere
considerata a tutti gli effetti una variabile del modello di Ising di spin-½. Definendo con J CuCu la
costante d’interazione fra una coppia di atomi di Cu, con J ZnZn quella fra una coppia di atomi di Zn
e con J CuZn quella fra un atomo di Cu ed un atomo di Zn si può scrivere la seguente Hamiltoniana
H=
+
1
1
J CuCu (1 + si )(1 + s j ) + ∑ J ZnZn (1 − si )(1 − s j ) +
∑
4 ⟨ ij ⟩
4 ⟨ ij ⟩
1
∑ J CuZn {(1 + si )(1 − s j ) + (1 − si )(1 + s j )}
4 ⟨ ij ⟩
Le costanti di interazione J CuCu , J ZnZn e
(4.7)
J CuZn sono supposte positive. Il primo termine a
secondo membro viene scritto supponendo che due siti reticolari primi vicini siano occupati dal
rame. Tale termine esprime l’interazione di scambio fra coppie di atomi di Cu. Invece, per quanto
riguarda il secondo termine a secondo membro, si fa l’ipotesi che due siti primi vicini siano
occupati dallo zinco. Esso esprime quindi l’interazione di scambio fra coppie di atomi di Zn. Infine,
nello scrivere il terzo termine, si suppone che due siti primi vicini siano occupati rispettivamente
uno da rame e l’altro da zinco. Tale termine è quindi l’espressione dell’interazione di scambio fra
coppie di primi vicini ciascuna delle quali è costituita da un atomo di Cu ed uno di Zn.
9
Si verifica facilmente che, se i siti i e j primi vicini sono occupati entrambi da atomi di Cu,
H = J CuCu . Infatti, ponendo si = s j = 1 e sommando su una sola coppia di atomi, si ottiene
H =
=
1
1
1
J CuCu (1 + 1)(1 + 1) + J ZnZn (1 − 1)(1 − 1) + J CuZn {(1 + 1)(1 − 1) + (1 − 1)(1 + 1)} =
4
4
4
1
J CuCu ( 2 )( 2 ) + 0 + 0 = J CuCu
4
Analogamente se i siti i e j primi vicini sono occupati entrambi da atomi di Zn si ricava
H = J ZnZn .
Infatti
in
questo
caso
si = s j = −1
vale
per
cui
1
1
1
J CuCu (1 − 1)(1 − 1) + J ZnZn (1 + 1)(1 + 1) + J CuZn {(1 − 1)(1 + 1) + (1 + 1)(1 − 1)} =
4
4
4
1
= 0 + J ZnZn ( 2 )( 2 ) + 0 = J ZnZn
4
H =
Se i siti i e j primi vicini sono occupati rispettivamente da un atomo di Cu ed uno di Zn si ha che
si = 1 ed s j = −1 per cui si ottiene
1
1
1
J CuCu (1 + 1)(1 − 1) + J ZnZn (1 − 1)(1 + 1) + J CuZn {(1 + 1)(1 + 1) + (1 − 1)(1 − 1)} =
4
4
4
1
= 0 + 0 + J CuZn ( 2 )( 2 ) = J CuZn
4
cioè H = J CuZn .
H =
Analogamente si dimostra che
H = J CuZn se si sceglie si = −1 ed s j = 1 , cioè se si associa al sito
i-esimo un atomo di Zn ed al sito j-esimo un atomo di Cu.
Mostriamo che l’Hamiltoniana di Eq.(4.7) è un’Hamiltoniana di Ising. In particolare, si deve tenere
presente che in alcuni termini (quelli che dipendono separatamente da i e da j) la somma sugli indici
i e j fatta sui primi vicini si spezza in due sommatorie, cioè si ha
∑ s s =∑ s ∑ s
⟨ ij ⟩
i j
i
i
j
. Inoltre alcuni
j
termini non dipendono dagli indici di somma i e j. Sviluppando i termini di Eq. (4.7) si ottiene
10
H=
⎤
1⎡
⎢ J CuCuc + J CuCu ∑ si + J CuCu ∑ s j + J CuCu ∑ si s j ⎥ +
4⎣
⟨ ij ⟩
i
j
⎦
⎤
1⎡
+ ⎢ J ZnZnc − J ZnZn ∑ si − J ZnZn ∑ s j + J ZnZn ∑ si s j ⎥ +
4 ⎢⎣
i
j
ij
⎥⎦
⎤
1⎡
+ ⎢ J CuZnc + J CuZn ∑ si − J CuZn ∑ s j − J CuZn ∑ si s j + J CuZnc − J CuZn ∑ si + J CuZn ∑ s j − J CuZn ∑ si s j ⎥ =
4⎣
⟨ ij ⟩
⟨ ij ⟩
i
j
i
j
⎦
1
1
⎛ 1
⎞
= − − J CuCu − J ZnZn + 2 J CuZn ∑ si s j − ⎜ − J CuCu + J ZnZn ⎟ ∑ si +
4
2
⎝ 2
⎠ i
⟨ ij ⟩
(
)
(
)
1
+ c J CuCu + J ZnZn + 2 J CuZn = − J ∑ si s j − H ∑ si + C
4
⟨ ij ⟩
i
dove, nelle parentesi quadre a secondo membro, sono state rinominate le somme sull’indice j degli
spin come somme sull’indice i, cioè si è posto
∑s = ∑s
j
j
i
ed N è il numero totale di spin. Si sono
i
poi effettuate le conseguenti addizioni e sottrazioni delle sommatorie tutte con lo stesso indice i
nell’ultimo passaggio. Si noti la presenza di alcuni termini che non dipendono esplicitamente dagli
indici di somma i e j che danno un contributo costante indicato genericamente con c.
Si ottiene quindi che
H = - J ∑ si s j − H ∑ si + C
⟨ ij ⟩
dove J =
(4.8)
i
1
1
1
1
− J Cu Cu − J ZnZn + 2 J Cu Zn , H = − J CuCu + J ZnZn e C = c J CuCu + J ZnZn + 2 J CuZn è
4
2
2
4
(
)
(
)
un termine che non dipende dagli spin e quindi è costante rispetto alla variabile di spin. Inoltre si ha
che
∑
i
⎛
⎞
si = 1 + 1 + ... + 1 + ( −1 − 1 − ... − 1) = 1 + 1 + ... + 1 − ⎜1 + 1 + ... + 1⎟ = 0 , poichè il numero totale di
⎜
⎟
tot
tot
NCu
N Zn
⎝
⎠
atomi di rame è uguale al numero totale di atomi di zinco, cioè N Cutot = N Zntot per cui il secondo
termine a secondo membro proporzionale ad H si annulla. L’Hamiltoniana di Eq.(4.8) è a tutti gli
effetti un’Hamiltoniana di Ising a spin-½ in assenza di interazione con il campo esterno. Il valore di
J è negativo, cioè J < 0 , poiché J Cu Cu + J ZnZn > 2 J Cu Zn e questo corrisponde nella fase ordinata ad
una disposizione degli atomi analoga a quella degli spin antiparalleli. Tuttavia, la disposizione degli
atomi di Cu e di Zn non ha nulla a che fare con l’antiferromagnetismo. Un’Hamiltoniana come
quella di Eq.(4.8) descrive un comportamento collettivo associato al termine di scambio a secondo
membro. Possiede quindi la proprietà fondamentale per descrivere una transizione di fase critica
11
come illustrato in figura. Il parametro d’ordine indicato nella figura con M in analogia con la
magnetizzazione è, in realtà, Ψ = N Cu − N Zn ed è normalizzato al valore che ha a temperatura T = 0.
I cerchi vuoti sono risultati di misure di scattering di neutroni, la linea tratteggiata è il risultato di
misure di scattering con raggi X, mentre la linea continua è il risultato del calcolo teorico basato sul
modello descritto.
A causa dell’universalità discussa nel capitolo TRANSIZIONI DI FASE gli esponenti critici che
caratterizzano la transizione di fase dell’ottone disposto su un reticolo bcc tridimensionale devono
essere gli esponenti critici del modello di Ising a spin-½ tridimensionale, poichè nei due casi il
parametro d’ordine è lo stesso, cioè uno scalare a due componenti e le Hamiltoniane hanno la stessa
simmetria rispetto al parametro d’ordine. I dati sperimentali disponibili per la lega Cu-Zn sono
relativi alla misura mediante scattering di neutroni degli esponenti critici β e γ. I valori misurati
sono β = 0.305 ± 0.005 e γ = 1.240 ± 0.015 e si confrontano bene con i valori calcolati mediante il
modello di Ising tridimensionale, cioè β ≅ 0.33 e γ ≅ 1.24. Tuttavia, i dettagli dell’interazione
interatomica non compaiono completamente nell’Hamiltoniana del reticolo bcc di Eq.(4.7). Per
migliorare ulteriormente l’accordo con i dati sperimentali basta ad esempio introdurre la dipendenza
dalla temperatura nella costante di scambio J, cioè supporre J = J (T). Tale dipendenza è una
conseguenza della espansione termica del reticolo.
12
4.2.2 Modello di gas reticolare
Un’applicazione del modello di Ising bidimensionale a spin-½ è il modello di gas reticolare. È un
modello in cui un generico sito reticolare su una superficie può essere occupato oppure vuoto. Per
stabilire lo stato di occupazione si definisce una variabile ti per ogni sito i-esimo che può assumere
due valori, cioè ti = 0,1. Il numero di occupazione ti = 0,1 si riferisce alla specie atomica adsorbita
nel sito reticolare e non all’atomo della superficie adsorbente (vedi dopo per la descrizione del
fenomeno di adsorbimento). La variabile assume valore 0 se il sito reticolare i-esimo è libero,
mentre vale 1 se è occupato. L’Hamiltoniana corrispondente si può scrivere come
H = − J L ∑ ti t j − μ L ∑ ti
⟨ ij ⟩
(4.9)
i
dove J L è la costante di interazione fra atomi primi vicini nel reticolo (L sta per “lattice”). Essa può
essere positiva o negativa. Si ha che il segno positivo di J L favorisce l’occupazione di siti reticolari
vicini e quindi risulta vantaggioso per il fenomeno dell’adsorbimento. La quantità μ L è un
potenziale chimico che controlla il numero di siti occupati da parti di atomi che vengono adsorbiti
dal reticolo e può essere definita come un’energia di estrazione delle particelle. In particolare se
μL
0 si ha un numero maggiore di siti occupati, mentre se μ L
0 sono presenti più siti vacanti.
Facilmente si dimostra come l’Eq.(4.9) che modella un gas reticolare possa assumere la forma del
modello di Ising a spin-½ di Eq.(4.6). Infatti, la variabile ti è a due stati come la variabile si di
Eq.(4.6). Basta quindi effettuare la seguente trasformazione ponendo ti = (1 − si ) / 2 . Infatti, se ti = 0
si ha che si = 1 , mentre se ti = 1 si trova si = −1 . Sostituendo in Eq.(4.9) si ottiene
H = −JL ∑
(1 − si ) (1 − s j ) − μ
⟨ ij ⟩
=
2
2
L
∑
i
(1 − si ) =
2
⎤ 1
1⎡
1
J
c
J
s
J
s
J
s
s
μ L c′ + μ L ∑ si =
−
+
+
−
⎢ L
L∑ i
L∑ j
L∑ i j ⎥ −
4⎣
2
⟨ ij ⟩
i
j
i
⎦ 2
1
= − J L ∑ si s j
4 ⟨ ij ⟩
1 ⎞
1
1
⎛ 1
− ⎜ − J L − μ L ⎟ ∑ si − J L c − μ L c′ =
2 ⎠ i
4
2
⎝ 2
= − J ∑ si s j − H ∑ si + C
⟨ ij ⟩
i
13
dove in alcuni termini (quelli che dipendono separatamente da i e da j) si è spezzata la somma sugli
indici i e j in due sommatorie, cioè
∑ s s =∑ s ∑ s
⟨ ij ⟩
i j
i
i
j
. Anche in questo caso alcuni termini sono
j
costanti, poiché non dipendono esplicitamente dagli indici i e j e sono indicati con c e c′ ,
rispettivamente con c = N z / 2 e c′ = N , se si considera un insieme di N spin e z primi vicini per
ogni spin (il fattore ½ nasce dal fatto che, grazie ad esso, non si conta due volte l’interazione). Nel
penultimo passaggio si è rinominata la somma degli atomi sull’indice j come somma sull’indice i,
cioè si è posto
∑ s = ∑ s e si è poi effettuata l’addizione dei due termini. Nell’ultimo passaggio si
j
j
è posto
i
i
1
1
1
1
1
J L = J , − J L − μ L = H e − J L c − μ L c′ = C con C costante indipendente dalle
4
2
2
4
2
variabili di spin. Si ritrova quindi, a parte la costante C che può essere omessa, l’Hamiltoniana del
modello di Ising a spin-½ di Eq.(4.6).
Un fenomeno fisico descritto dal modello di gas reticolare è l’adsorbimento di atomi di idrogeno (
H) da parte della superficie (110) di atomi di ferro (Fe). Si parla per questa ragione di modello di
gas reticolare dove il gas è l’idrogeno ed il reticolo è rappresentato dal ferro. Il numero di siti
occupati da parte di atomi di idrogeno adsorbiti sulla superficie del ferro dipende dalla pressione del
gas idrogeno a contatto con la superficie. Poichè ogni sito reticolare della superficie può essere
occupato da un atomo di H oppure è vuoto tale sito è a due stati. Quindi, le fasi dell’idrogeno sulla
superficie del ferro possono essere descritte mediante il modello di gas reticolare. Nel pannello (a)
di figura è mostrato il modo con cui si dispongono gli atomi di H fra gli atomi di Fe evidenziando
con delle linee le interazioni fra questi atomi di H adsorbiti. Gli atomi di idrogeno adsorbiti sono
rappresentati con cerchi pieni (neri) più piccoli, mentre gli atomi di ferro della superficie (110) sono
i cerchi vuoti più grandi. Si possono poi formare diverse fasi in relazione alle regioni del reticolo in
cui avviene l’adsorbimento come è illustrato nei 4 pannelli (b) ognuno dei quali contenente una
diversa disposizione. Le transizioni fra le diverse fasi non possono essere descritte in dettaglio con
un modello di Ising a primi vicini, ma è necessario aggiungere anche un termine di anisotropia a
secondi vicini ed un’interazione a tre spin espressa dal prodotto di tre spin dati dagli atomi di
idrogeno ai vertici di ogni triangolo mostrato nel pannello (a) di figura.
14
4.2.3 Sistema ferromagnetico
Infine, vediamo un’applicazione del modello di Ising bidimensionale a spin-½ con J > 0
rappresentato dall’Hamiltoniana di Eq.(4.6) in assenza di campo esterno (H = 0) ad un
ferromagnete. Il sistema ferromagnetico è costituito da una superficie che può ospitare un
determinato numero di spin. Si può rappresentare con un quadrato pieno ciascun sito occupato da
uno spin si = +1 , mentre il quadrato vuoto indica uno spin con si = −1 . Ad alta temperatura T si ha
grande disordine ed il numero di quadrati pieni è bilanciato dal numero di quadrati vuoti in modo
tale che la magnetizzazione media M risulta nulla. Man mano si diminuisce T si formano isole
grazie all’interazione di scambio che tende ad allineare gli spin (J >0), ma ancora la
magnetizzazione media è zero. La lunghezza di correlazione dà approssimativamente le dimensioni
di queste isole. Si dice che il sistema inizia ad esibire ordine a lungo raggio come effetto della
interazione di scambio. Al di sotto di una certa temperatura, detta temperatura critica Tc, il sistema
ha una transizione di fase critica ed M diventa diversa da zero fino a raggiungere un valore massimo
15
a T = 0. Il segno di M dipende da come vuole disporsi la magnetizzazione media quando si abbassa
T e tale scelta avviene spontaneamente. Se M è positiva si avranno a T = 0 tutti i quadrati pieni,
mentre se M è negativa tutti quadrati vuoti.
4.2.3 Comportamento critico del modello di Ising a spin-½
È utile discutere le transizioni di fase previste dal modello di Ising a spin-½ in relazione alla
dimensionalità d = 1,2,3 … del sistema ed alle temperature in corrispondenza delle quali si
verificano. In particolare, il sistema descritto dal modello di Ising a spin ½ nel limite per H → 0 ed
al variare della temperatura
a) Ha una transizione di fase critica a Tc ≠ 0 per d > 1, cioè per d = 2,3,...
b) Non ha una transizione di fase critica a Tc ≠ 0 per d = 1, ma ha una transizione di fase
critica “particolare” a Tc = 0.
Il diagramma di fase è quello del ferromagnete semplice per cui in base al segno dell’intensità H
del campo esterno si ha una linea di transizioni di fase del primo ordine che termine nel punto
critico individuato dalla temperatura critica (si veda ad esempio il capitolo TRANSIZIONI DI
FASE).
Il passaggio alla fase ordinata comporta la nascita nel sistema dell’ordine completo a lungo raggio o
“long-range order”. Ciò significa che se, ad esempio, in un sistema fisico si conosce il valore del
parametro d’ordine per r = 0 esso si conosce anche per r → ∞ . In altre parole, la funzione di
correlazione a coppie rimane diversa da zero anche per r → ∞ , cioè prendendo una coppia di spin a
distanza molto grande tale coppia è ancora correlata. Lontano dal punto critico la funzione di
correlazione a coppie è proporzionale ad un esponenziale decrescente in funzione della distanza r .
(si veda per una sua definizione il capitolo GRUPPO DI RINORMALIZZAZIONE). Questo
comportamento è tipico di tutte le transizioni di fase critiche previste dal modello di Ising a spin ½
inclusa quella a T = 0. Per ricavare il comportamento delle transizioni critiche elencate occorre
risolvere l’Hamiltoniana di Ising a spin-½ al variare della dimensionalità d e ricavare l’andamento
della magnetizzazione M corrispondente in funzione di T a partire dall’energia libera F del sistema.
Mediante il metodo della matrice di trasferimento si risolve in modo esatto il modello di Ising a
spin-½ unidimensionale (d = 1) che dà la transizione di fase critica “particolare” a T = 0 , mentre il
metodo di Onsager risolve esattamente il modello di Ising a spin-½ bidimensionale (d = 2) in
assenza di campo esterno. E’ da notare che la transizione di fase nel sistema unidimensionale è da
16
intendere a rigore per T → 0+ e non esattamente a T = 0. E’ quindi ancora classificabile come
transizione di fase classica. Entrambi gli approcci descritti sono metodi analitici che danno
informazioni esatte sul comportamento delle grandezze termodinamiche del sistema in
corrispondenza del punto critico e dei valori dei corrispondenti esponenti critici.
La teoria approssimata di campo medio (si veda il capitolo TEORIE DI CAMPO MEDIO) risolve il
modello di Ising a spin-½ non tenendo conto della dimensionalità del sistema e fornendo
informazioni solo qualitativamente, ma non quantitativamente esatte riguardo al comportamento
critico delle principali grandezze termodinamiche ed ai relativi esponenti critici.
4.3 Modello di Ising a spin-1
Per sistemi caratterizzati da più di due stati il modello di Ising a spin-½ non è più appropriato.
Occorre usare modelli di spin che consentano un più alto numero di stati. Se ad esempio si devono
studiare sistemi a tre stati è appropriato l’uso del modello di Ising a spin 1 caratterizzato da tre
valori della generica variabile di spin , cioè si = 1,0, −1 . Il parametro d’ordine è quindi uno scalare a
tre componenti. Esso è ancora un modello classico. La corrispondente Hamiltoniana prende la
forma
(
)
H = − J ∑ si s j − K ∑ si2 s 2j − D ∑ si2 − L∑ si2 s j + si s 2j − H ∑ si
⟨ ij ⟩
⟨ ij ⟩
i
⟨ ij ⟩
(4.10)
i
Sono presenti tre termini in più rispetto all’Hamiltoniana del modello di Ising a spin-½: in
particolare un termine al secondo ordine negli spin ed al quarto ordine a coppie di spin
proporzionale a K detto termine biquadratico, un termine al secondo ordine proporzionale a D che
ha il ruolo di una anisotropia uni assiale ed un termine al terzo ordine a coppie proporzionale ad L.
Le costanti K, D ed L hanno, come J ed H, le dimensioni di un’energia e possono essere positive o
negative. Come per il modello di Ising a spin-½ J può positivo o negativo. Questi tre termini sono
invece costanti nel modello di Ising a spin-½ . Come si nota anche in questo modello non compare
esplicitamente la dimensionalità del sistema. I termini di ordine superiore che compaiono derivano
dal fatto che sono permessi tutti i possibili termini siα s βj dove α , β = 0,1, 2 sono gli esponenti che
danno il grado delle potenze delle variabili di spin in Eq.(4.10). Non compaiono potenze di ordine
superiore al secondo. Ad esempio non compaiono le potenze si3 = si , si4 = si2 e così via, poichè
17
si = 1,0, −1 realizza tali uguaglianze; quindi si pone nell’Hamiltoniana al posto di si3 la quantità
si ed al posto di si4 la quantità si2 . Il modello di Ising a spin-1 si applica principalmente ai sistemi
magnetici. Tuttavia, può essere utilizzato, seppur solo per una descrizione qualitativa rispetto al
corrispondente modello a spin ½, per studiare il comportamento critico di sistemi non-magnetici,
come ad esempio la transizione lambda da He3 fluido ad He3 superfluido oppure da He4 fluido ad
He4 superfluido al di sotto di una certa temperatura critica.
4.3.1 Comportamento critico del modello di Ising a spin-1
A causa della presenza di un maggior numero di parametri, il modello di Ising a spin-1 ha
nell’intorno del punto critico un comportamento più variegato rispetto a quello del corrispondente
modello di Ising a spin-½ . In questo caso, come illustrato in figura, anziché avere linee di
transizioni di fase del primo ordine sono presenti superfici di transizione di fase del primo ordine. In
particolare, il diagramma di fase mostrato in figura si riferisce al caso tuttora conosciuto e risolto in
modo esatto in cui in Eq.(4.10) K = L = 0, J > 0 (accoppiamento ferromagnetico) e D ≠ 0. Si
ottengono tre superfici di transizione di fase del primo ordine (una che occupa la porzione inferiore
del piano ad H = 0 e due superfici a forma di “ali” che corrispondono una ad H > 0 e l’altra ad H
<0 ) e ciascuna di esse termina in una linea di punti critici. Quindi, a differenza del diagramma di
fase del modello di Ising a spin-½ dove la linea di transizioni di fase del primo ordine è presente
solo per H = 0, sono presenti superfici di transizioni di fase del primo ordine anche in presenza di
un campo magnetico esterno di intensità diversa da zero. Una linea di punti critici sta sul piano H =
0, mentre le altre due linee sono rispettivamente ad H > 0 ed ad H < 0. Le tre superfici si
intersecano non più in un punto triplo, come avviene ad esempio nel diagramma di fase di un fluido,
ma in una linea tripla dove le tre fasi coesistono. La linea tripla termina a sua volta in un punto
cosiddetto “tricritico” dove convergono anche le tre linee di punti critici.
18
4.4 Modello di Potts
È la generalizzazione del modello di Ising a spin-½ in assenza di campo esterno. Infatti, la variabile
di spin σ i associata all’atomo i-esimo può assumere non più solo due stati distinti, ma q-stati
distinti, cioè σ i = 1,2,3,...q . Il parametro d’ordine è in questo caso uno scalare a q-componenti. È
quindi ancora un modello classico di spin. L’Hamiltoniana del modello di Potts viene scritta come
H = − J ∑ δ σ iσ j
⟨ ij ⟩
(4.11)
Come si nota manca il termine proporzionale al campo esterno H e, come nel modello di Ising, non
compare esplicitamente la dimensionalità del sistema. Il simbolo δ indica una delta di Kronecker e
stabilisce l’interazione fra coppie di spin primi vicini. Per come è scritta l’Hamiltoniana, l’energia
minima si ottiene quando le due variabili σ i e σ j associate rispettivamente ai siti primi vicini iesimo e j-esimo sono uguali. In particolare, se si considera una coppia di spin primi vicini, l’energia
d’interazione è –J se i due spin sono nello stesso stato, cioè se σ i = σ j (J può essere in generale in
questo caso positivo o negativo anche se l’energia minima si ottiene solo assumendo J >0) ed è zero
se i due spin sono in due stati diversi, cioè se σ i ≠ σ j . Il modello di Potts ammette q stati
fondamentali equivalenti e degeneri in energia in ciascuno dei quali gli spin primi vicini che
interagiscono sono identici. Ciò significa, ad esempio, che se uno spin nel sito i-esimo è nello stato
19
caratterizzato da σ i = 3 anche i suoi primi vicini devono essere caratterizzati da σ j = 3 , perché
l’energia d’interazione sia diversa da zero. Se si aumenta la temperatura il modello di Potts
bidimensionale prevede una transizione di fase verso una fase paramagnetica che è continua
(critica) per q ≤ 4 , mentre è del primo ordine per q > 4.
Si nota facilmente che l’Hamiltoniana del modello di Potts di Eq.(4.11) si riduce a quella del
modello di Ising a spin-½ di Eq.(4.6) in assenza di campo magnetico esterno per q = 2. Ciò avviene
in particolare quando nel modello di Ising a spin-½ si considerano i due stati si = +1 ed s j = +1 ed
si = −1 ed s j = −1 . I due stati descritti sono infatti equivalenti a quelli del modello di Potts σ i = 1, 2
( σ j = 1,2 ) con σ i = σ j . L’energia corrispondente è la stessa, poiché dipende dai prodotti si s j che
risultano uguali a + 1 sia quando si , s j = +1 che quando si , s j = −1 . Invece, non è vero che per q = 3
il modello di Potts si riduce al primo termine dell’Hamiltoniana del modello di Ising a spin-1 di
Eq.(4.10) come potrebbe sembrare a prima vista. Infatti, i tre stati del modello di Ising a spin-1, cioè
si = 1,0, −1
( s j = 1,0, −1)
nel caso in cui si scelga si = s j non sono tra di loro equivalenti, cioè
l’energia di scambio associata non è la stessa per i tre stati. Ad esempio, se si considera la coppia di
stati si = 0 ed s j = 0 l’energia corrispondente al primo termine dell’Hamiltoniana del modello di
Ising a spin-1 è uguale a 0 a differenza degli altri due casi dove invece è diversa da zero. Invece
l’energia corrispondente riferita agli stati equivalenti associati all’Hamiltoniana di Potts per
σ i = σ j con σ i = σ j = 1, 2, 3 è sempre diversa da zero ed è uguale indistintamente per i tre stati.
Un fenomeno fisico che risulta ben descritto dal modello di Potts è rappresentato dall’adsorbimento
di atomi di kripton (Kr) su una superficie di grafite a sua volta formata da un insieme di atomi di
carbonio (C) che formano la struttura denominata grafite. Per riprodurre il fenomeno fisico descritto
deve essere usato un modello di Potts bidimensionale, poiché il sistema è rappresentato da una
superficie. Si deve poi usare un modello a tre stati, cioè si deve prendere q = 3 in modo tale che
σ i = 1,2,3 , poiché sono presenti tre diversi tipi di riempimento. Come illustrato in figura la
superficie della grafite è formata da reticoli esagonali di atomi di carbonio. La struttura è tale da
favorire l’adsorbimento di atomi di kripton all’interno degli esagoni. Gli atomi di kripton sono
individuati rispettivamente da cerchi pieni, cerchi vuoti e cerchi contenenti una x al centro che
indicano i tre diversi tipi di riempimento che occupano ognuno una diversa regione (sottoreticolo)
del reticolo bidimensionale. Come si nota, vicino ad ogni sito occupato c’è almeno un sito vuoto a
causa delle dimensioni degli atomi di kripton anche se in generale la cella seconda vicina tende ad
essere occupata allo stesso modo, poiché per avere un’energia diversa da zero deve essere σ i = σ j .
20
Gli atomi di kripton si dispongono in strutture triangolari dando origine rispettivamente a tre
riempimenti della superficie in tre diversi sottoreticoli. Al sottoreticolo a si associa σ i = 1 ( σ j = 1 ),
al sottoreticolo b σ i = 2 ( σ j = 2 ) ed al sottoreticolo c σ i = 3 ( σ j = 3 ). La descrizione del fenomeno
dell’adsorbimento di atomi di Kr su grafite non ha nulla a che vedere con il comportamento critico
del modello di Potts bidimensionale. A questo scopo occorrerebbe studiare il comportamento critico
variando la temperatura del sistema per ciascuno di questi sottoreticoli individuando per ognuno di
essi un parametro d’ordine e provando che, essendo il numero di stati q < 4 (si arriva infatti al
massimo a σ i = 3 ed a σ j = 3 ) , le transizioni previste sono transizioni critiche. Questo fenomeno è
quindi diverso dal fenomeno dell’adsorbimento di atomi di H sulla superficie (110) del Fe descritto
dal modello di Ising a spin-½ dove si possono avere transizioni fra un tipo di adsorbimento di atomi
di H coinvolgente l’intero reticolo bidimensionale (superficie (110) del Fe) ed un altro tipo.
4.5 Modelli X-Y e di Heisenberg
Come già anticipato nel paragrafo 4.2, il modello di Ising a spin-½ può essere applicato a sistemi
magnetici quando sono soddisfatte condizioni molto particolari. Ciò è dovuto al fatto che il vettore
di spin può solo essere allineato od antiallineato con il campo esterno posto lungo l’asse z, poichè la
variabile si può assumere i valori +1 (stato up) e -1 (stato down). Il modello di Ising a spin-½ può
21
quindi descrivere sistemi con una forte anisotropia lungo la direzione individuata dal campo
magnetico. Un esempio reale è rappresentato dal composto ferromagnetico di di-fluoruro di
manganese MnF2 che rappresenta un sistema anisotropo di asse facile con l’asse disposto lungo la
direzione del campo. Per asse facile si intende una determinata direzione spaziale lungo cui gli spin
si dispongono facilmente. Tuttavia, i sistemi magnetici reali spesso presentano fluttuazioni degli
spin rispetto all’asse z lungo cui è disposto il campo magnetico (di intensità H) che è a tutti gli
effetti un asse di quantizzazione. Sono quindi necessari dei modelli formulati nell’ambito della
meccanica quantistica che tengano conto di questo comportamento. Un primo modello quantistico
che permette una descrizione realistica di molti magneti con momenti localizzati è descritto dalla
seguente Hamiltoniana
(
)
H = − J z ∑ siz s zj − J ⊥ ∑ six s xj + siy s jy − H ∑ siz
⟨ ij ⟩
⟨ ij ⟩
(4.12)
i
Eq.(4.12) esprime l’Hamiltoniana in cui la variabile di spin è un vettore a tre componenti nello
spazio degli spin elevato a rango di operatore. Il parametro d’ordine è quindi un vettore a tre
componenti e non più uno scalare come nei modelli classici discussi precedentemente. Come per il
modello di Ising non compare la dimensionalità del sistema che l’Hamiltoniana rappresenta. Il
sistema è quindi, anche in questo caso, d-dimensionale con d = 1,2,3,... L’interazione di scambio
non è più isotropa nello spazio, poiché J z ≠ J ⊥ dove J z è la costante di scambio lungo z, mentre J ⊥
è la costante di scambio nel piano xy. Sia J z che J ⊥ sono costanti che possono essere
contemporaneamente entrambe positive o negative. Si individua un asse disposto lungo la direzione
z, cioè lungo la direzione del campo ed un piano xy. Gli si ed s j sono operatori. Se
nell’Hamiltoniana di Eq.(4.12) si pone J z = 0 si descrive un primo modello quantistico molto usato
in letteratura, detto MODELLO X-Y, cioè
(
)
H = − J ⊥ ∑ six s xj + siy s yj − H ∑ siz
⟨ ij ⟩
(4.13)
i
Gli operatori di spin hanno due componenti e quindi ruotano nel piano x-y, detto piano facile.
L’asse z è invece un asse difficile. Il modello X-Y tridimensionale (d = 3) non è usato solo per
descrivere il comportamento critico dei sistemi magnetici con un piano facile, come per esempio i
vortici magnetici, ma serve anche per la descrizione quantitativa dei fenomeni critici presenti in
sistemi non-magnetici che esibiscono uno stato a vortice come per esempio superfluidi e
superconduttori.
22
Ponendo
J z = J⊥
nell’Hamiltoniana di Eq.(4.12), cioè assumendo l’isotropia spaziale
dell’interazione di scambio si ricava
(
)
H = − J ∑ six s xj + siy s yj + siz s zj − H ∑ siz
⟨ ij ⟩
i
Nell’Hamiltoniana ricavata non compare quindi un’anisotropia associata allo scambio, poichè non
esiste una direzione preferenziale degli spin se non quella lungo z individuata dal campo esterno H.
Ponendo le componenti cartesiane degli operatori di spin nella forma vettoriale compatta
si = ( six , siy , siz ) ed s j = ( s xj , s jy , s zj ) si ha
H = − J ∑ si ⋅ s j − H ∑ siz
⟨ ij ⟩
(4.14)
i
Eq.(4.14) rappresenta l’Hamiltoniana del secondo modello ricavabile da Eq.(4.12), detto
MODELLO DI HEISENBERG. Esso è un modello isotropo e quindi molto difficilmente può
descrivere le interazioni in un sistema magnetico reale che invece ha sempre almeno una debole
anisotropia spaziale. Anche in questo caso la costante J può essere positiva o negativa. Tuttavia,
esso esprime l’Hamiltoniana microscopica descrivente l’interazione di scambio che è alla base del
ferromagnetismo. Inoltre, esso dà una ragionevole descrizione di alcune proprietà di isolanti
magnetici come ad esempio il solfuro di europio, EuS.
In alcuni casi anche il modello di
Heisenberg tridimensionale viene usato per descrivere il comportamento critico di sistemi non
magnetici: fra essi ad esempio può essere usato per studiare quantitativamente la criticità in un
superconduttore ad alta temperatura critica.
La differenza fondamentale con il modello di Ising è data dal fatto che il modello di Heisenberg è
un modello quantistico, mentre il modello di Ising è un modello classico. Tuttavia, in alcuni settori
della meccanica statistica esiste anche un’estensione del modello di Ising al caso quantistico. Le
componenti degli operatori vettoriali si del modello di Heisenberg soddisfano le seguenti regole di
commutazione che risultano diverse da zero se le componenti degli spin sono riferite allo stesso
sito, cioè ⎡⎣ six , siy ⎤⎦ =i siz e permutazioni cicliche. D’altra parte è da notare che si può ottenere anche
il limite classico del modello di Heisenberg assumendo che il numero di componenti di spin sia
infinito e normalizzando l’autovalore dell’operatore di spin da
S ( S + 1) a 1. In questo caso gli
spin diventano vettori classici tridimensionali. A conferma dell’universalità gli esponenti critici
ottenuti con il modello classico di Heisenberg sono gli stessi di quelli ricavati con il modello
quantistico a fissata dimensionalità. Tuttavia, un modello quantistico viene mappato nel
corrispondente modello classico con una dimensione in più. Quindi, ad esempio, un modello
quantistico bidimensionale viene mappato in modello classico tridimensionale.
23
Se si pone nell’Hamiltoniana di Eq.(4.12) J ⊥ = 0 e si tratta il sistema classicamente si ottiene il
modello di Ising classico a spin ½ di Eq.(4.3).
Discutiamo ora l’andamento previsto nel punto critico in sistemi descritti dai tre modelli, cioè dal
modello di Ising a spin-½ , dal modello X-Y e dal modello di Heisenberg. Nel limite in cui
l’anisotropia va a zero, gli esponenti critici nel punto critico ( T → Tc ) sono quelli del modello di
Heisenberg. Invece, se l’anisotropia è diversa da zero gli esponenti critici nel punto critico ( T → Tc )
possono essere quelli del modello di Ising a spin-½ oppure quelli del modello X-Y. Sono quelli del
modello di Ising a spin-½ quando nell’Hamiltoniana di Eq.(4.12) domina l’interazione
proporzionale a Jz, mentre sono quelli del modello X-Y quando in Eq.(4.12) il termine
proporzionale a J ⊥ è prevalente.
4.5.1 Comportamento critico del modello X-Y e del modello di Heisenberg
Nel caso del modello classico di Ising a spin-½ le transizioni critiche sono già state discusse
precedentemente. Discutiamo invece le transizioni critiche che hanno luogo nei sistemi reali
rappresentati mediante le Hamiltoniane dei modelli X-Y e di Heisenberg. Tali transizioni sono
studiate in funzione della temperatura ed assumendo anche in questo caso che l’intensità del campo
magnetico esterno tenda a zero.
Il sistema descritto dal modello X-Y
a) Ha una transizione di fase critica a Tc ≠ 0 per d > 2, cioè per d = 3,4...
b) Ha una transizione di fase critica a Tc ≠ 0 per d = 2. Questa transizione è però particolare,
perché porta il sistema in una fase ordinata caratterizzata da “quasi-long-range order”, cioè
da un non completo ordine a lungo raggio evidenziato dalla forma della funzione di
correlazione che decade con legge di potenza anche lontano dal punto critico e non solo alla
temperatura critica come per le altre transizioni caratterizzate invece da “long-range order”.
c) Per d = 1 non ha una transizione di fase critica a Tc ≠ 0 , ma a Tc = 0. Anche in questo caso
si deve intendere nel limite per T → 0+ .
Il sistema descritto dal modello di Heisenberg
a) Ha una transizione di fase critica a Tc ≠ 0 per d > 2, cioè per d = 3,4...
b) Per d = 1, 2 non ha una transizione di fase critica a Tc ≠ 0 , ma a Tc = 0. Come nel caso
precedente si deve intendere nel limite per T → 0+ .
24
Infine per d ≥ 4 , cioè per sistemi quadridimensionali e di dimensione superiore, gli ESPONENTI
CRITICI calcolati a partire dalle Hamiltoniane dei tre modelli (Ising a spin ½ , X-Y ed Heisenberg)
sono GLI STESSI. Inoltre, per d ≥ 4 gli esponenti calcolati in modo esatto mediante metodi
numerici sono uguali a quelli determinati con la teoria di campo medio. È da notare che gli
esponenti critici calcolati usando la teoria di campo medio NON dipendono dalla dimensionalità del
sistema, cioè risultano gli stessi per tutte le dimensioni, cioè per d = 1,2,3,…
In tabella sono mostrati gli esponenti critici discussi nel Capitolo TRANSIZIONI DI FASE per
diverse classi di universalità. Viene anche indicata la simmetria del parametro d’ordine
corrispondente (cioè se il parametro d’ordine è uno scalare oppure un vettore) e gli esponenti critici
ottenuti usando i modelli descritti precedentemente, cioè il modello di Ising a spin-½ , il modello XY ed il modello di Heisenberg. In particolare sono elencati gli esponenti critici ottenuti per sistemi
bidimensionali e tridimensionali (i più interessanti da un punto di vista fisico) ed i loro valori sono
confrontati con quelli calcolati usando la teoria di campo medio. Come si può notare la maggior
parte degli esponenti critici è espressa da numeri frazionari. Si nota anche che gli esponenti critici
ricavati mediante la teoria approssimata di campo medio, oltre a non dipendere dalla dimensionalità
del sistema, si discostano dai corrispondenti esponenti critici calcolati in modo esatto mediante
modelli analitici o numerici nei sistemi bidimensionali e tridimensionali. Nell’ultima colonna
vengono elencati i sistemi fisici a cui è possibile applicare i modelli descritti nella prima colonna. Il
simbolo “log” nella terza colonna individuata dall’esponente critico α
indica la divergenza
logaritmica del calore specifico nel punto critico prevista dal modello di Onsager, mentre il simbolo
“dis.” indica la discontinuità a salto (finita) del calore specifico nel punto critico prevista dalla
teoria di campo medio.
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26