Teoria dei numeri - Dipartimento di Matematica

Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni
moderne
Massimo Bertolini
10 maggio 2008, Cesenatico
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Cos’è la teoria dei numeri?
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Cos’è la teoria dei numeri?
(Non) definizione:
E’ una branca della matematica capace di produrre
innumerevoli problemi dall’aspetto semplice ed elementare, ma
tuttavia estremamente difficili a risolversi. (Molti di questi
problemi sono tuttora irrisolti.)
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Esempio
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Esempio
Esempio di un problema tipico della teoria dei numeri:
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Esempio
Esempio di un problema tipico della teoria dei numeri:
Descrivere le soluzioni intere dell’equazione
x 2 − 5y 2 = 1.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Esempio
Esempio di un problema tipico della teoria dei numeri:
Descrivere le soluzioni intere dell’equazione
x 2 − 5y 2 = 1.
In generale, descrivere le soluzioni intere dell’equazione, detta
di Fermat-Pell,
x 2 − Dy 2 = 1,
dove D è un intero positivo che non è un quadrato.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Esempio
Esempio di un problema tipico della teoria dei numeri:
Descrivere le soluzioni intere dell’equazione
x 2 − 5y 2 = 1.
In generale, descrivere le soluzioni intere dell’equazione, detta
di Fermat-Pell,
x 2 − Dy 2 = 1,
dove D è un intero positivo che non è un quadrato.
Nel 1657, Fermat congetturò che quest’equazione ha infinite
soluzioni intere. La congettura fu dimostrata (in modo
costruttivo) da Lagrange più di cento anni dopo.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Esempio
Esempio di un problema tipico della teoria dei numeri:
Descrivere le soluzioni intere dell’equazione
x 2 − 5y 2 = 1.
In generale, descrivere le soluzioni intere dell’equazione, detta
di Fermat-Pell,
x 2 − Dy 2 = 1,
dove D è un intero positivo che non è un quadrato.
Nel 1657, Fermat congetturò che quest’equazione ha infinite
soluzioni intere. La congettura fu dimostrata (in modo
costruttivo) da Lagrange più di cento anni dopo.
Vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Pell’s equation
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
L’Ultimo Teorema di Fermat
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
L’Ultimo Teorema di Fermat
Ultimo Teorema di Fermat:
L’equazione
x n + y n = zn
non ha soluzioni intere con xyz 6= 0 se l’esponente n è almeno
3.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
L’Ultimo Teorema di Fermat
Ultimo Teorema di Fermat:
L’equazione
x n + y n = zn
non ha soluzioni intere con xyz 6= 0 se l’esponente n è almeno
3.
Problema formulato da Fermat in una famosa nota a margine
intorno al 1630 e dimostrato da Wiles, con la collaborazione di
Taylor, nel 1995.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
L’Ultimo Teorema di Fermat
Dimostrazione per assurdo:
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
L’Ultimo Teorema di Fermat
Dimostrazione per assurdo:
suppongo che vi sia una soluzione intera (a, b, c) per
un’esponente n ≥ 3 primo:
an + bn = c n , abc 6= 0
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
L’Ultimo Teorema di Fermat
Dimostrazione per assurdo:
suppongo che vi sia una soluzione intera (a, b, c) per
un’esponente n ≥ 3 primo:
an + bn = c n , abc 6= 0
considero l’equazione cubica
y 2 = x(x − an )(x + bn )
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
L’Ultimo Teorema di Fermat
Dimostrazione per assurdo:
suppongo che vi sia una soluzione intera (a, b, c) per
un’esponente n ≥ 3 primo:
an + bn = c n , abc 6= 0
considero l’equazione cubica
y 2 = x(x − an )(x + bn )
dimostro che la curva piana definita dall’equazione, detta
curva ellittica, non può esistere.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
L’Ultimo Teorema di Fermat
Dimostrazione per assurdo:
suppongo che vi sia una soluzione intera (a, b, c) per
un’esponente n ≥ 3 primo:
an + bn = c n , abc 6= 0
considero l’equazione cubica
y 2 = x(x − an )(x + bn )
dimostro che la curva piana definita dall’equazione, detta
curva ellittica, non può esistere.
http://cgd.best.vwh.net/home/flt/fltmain.htm
http://www.mat.unimi.it/users/mbertoli/fermat.pdf
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Problema generale della teoria dei numeri:
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Problema generale della teoria dei numeri:
Problema generale: Dato un polinomio
f (x, y ) = a0,0 + a1,0 x + a0,1 y + a2,0 x 2 + a1,1 xy + a0,2 y 2 + · · ·
a coefficienti interi ai,j , descrivere le soluzioni intere o razionali
dell’equazione
f (x, y ) = 0.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Problema generale della teoria dei numeri:
Problema generale: Dato un polinomio
f (x, y ) = a0,0 + a1,0 x + a0,1 y + a2,0 x 2 + a1,1 xy + a0,2 y 2 + · · ·
a coefficienti interi ai,j , descrivere le soluzioni intere o razionali
dell’equazione
f (x, y ) = 0.
Si può ancora generalizzare il problema e studiare questioni
legate ad esso. Notare il contenuto geometrico.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Problema generale della teoria dei numeri:
Problema generale: Dato un polinomio
f (x, y ) = a0,0 + a1,0 x + a0,1 y + a2,0 x 2 + a1,1 xy + a0,2 y 2 + · · ·
a coefficienti interi ai,j , descrivere le soluzioni intere o razionali
dell’equazione
f (x, y ) = 0.
Si può ancora generalizzare il problema e studiare questioni
legate ad esso. Notare il contenuto geometrico.
Ci avviciniamo ad una definizione della teoria dei numeri.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Problema generale della teoria dei numeri:
Problema generale: Dato un polinomio
f (x, y ) = a0,0 + a1,0 x + a0,1 y + a2,0 x 2 + a1,1 xy + a0,2 y 2 + · · ·
a coefficienti interi ai,j , descrivere le soluzioni intere o razionali
dell’equazione
f (x, y ) = 0.
Si può ancora generalizzare il problema e studiare questioni
legate ad esso. Notare il contenuto geometrico.
Ci avviciniamo ad una definizione della teoria dei numeri.
Il “problema generale” è a tutt’oggi irrisolto.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti
Definizione: Un intero positivo n è un numero congruente se è
uguale all’area di un triangolo rettangolo avente lati di
lunghezza razionale. Cioè, esistono numeri razionali positivi A,
B e C tali che
1
A2 + B 2 = C 2 , AB = n.
2
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti
Definizione: Un intero positivo n è un numero congruente se è
uguale all’area di un triangolo rettangolo avente lati di
lunghezza razionale. Cioè, esistono numeri razionali positivi A,
B e C tali che
1
A2 + B 2 = C 2 , AB = n.
2
Problema: Determinare tutti i numeri congruenti. (Più
precisamente, fornire un algoritmo effettivo che descriva tutti i
numeri congruenti.)
Massimo Bertolini
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Numeri congruenti
Definizione: Un intero positivo n è un numero congruente se è
uguale all’area di un triangolo rettangolo avente lati di
lunghezza razionale. Cioè, esistono numeri razionali positivi A,
B e C tali che
1
A2 + B 2 = C 2 , AB = n.
2
Problema: Determinare tutti i numeri congruenti. (Più
precisamente, fornire un algoritmo effettivo che descriva tutti i
numeri congruenti.)
Suppongo d’ora in poi che n sia privo di fattori quadratici.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti
Esempi:
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti
Esempi:
n = 1 non è un numero congruente (e dunque nessun
quadrato è un numero congruente). La dimostrazione è
equivalente al caso di esponente 4 dell’Ultimo Teorema di
Fermat.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti
Esempi:
n = 1 non è un numero congruente (e dunque nessun
quadrato è un numero congruente). La dimostrazione è
equivalente al caso di esponente 4 dell’Ultimo Teorema di
Fermat.
n = 5 è congruente: A = 3/2, B = 20/3, C = 41/6
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti
Esempi:
n = 1 non è un numero congruente (e dunque nessun
quadrato è un numero congruente). La dimostrazione è
equivalente al caso di esponente 4 dell’Ultimo Teorema di
Fermat.
n = 5 è congruente: A = 3/2, B = 20/3, C = 41/6
n = 6 è congruente: A = 3, B = 4, C = 5
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti
Esempi:
n = 1 non è un numero congruente (e dunque nessun
quadrato è un numero congruente). La dimostrazione è
equivalente al caso di esponente 4 dell’Ultimo Teorema di
Fermat.
n = 5 è congruente: A = 3/2, B = 20/3, C = 41/6
n = 6 è congruente: A = 3, B = 4, C = 5
n = 157 è congruente: il più semplice triangolo rettangolo
corrispondente ha lati
6803298487826435051217540
411340519227716149383203
A=
411340519227716149383203
21666555693714761309610
224403517704336969924557513090674863160948472041
C=
8912332268928859588025535178967163570016480830
B=
Massimo Bertolini
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Numeri congruenti ed equazioni cubiche
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti ed equazioni cubiche
Se A, B e C sono numeri razionali che soddisfano l’equazione
dei numeri congruenti, pongo a = (C/2)2 e b = (A2 − B 2 )C/8.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti ed equazioni cubiche
Se A, B e C sono numeri razionali che soddisfano l’equazione
dei numeri congruenti, pongo a = (C/2)2 e b = (A2 − B 2 )C/8.
Ottengo che i numeri razionali a e b soddisfano la relazione
b2 = a3 − n2 a.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti ed equazioni cubiche
Se A, B e C sono numeri razionali che soddisfano l’equazione
dei numeri congruenti, pongo a = (C/2)2 e b = (A2 − B 2 )C/8.
Ottengo che i numeri razionali a e b soddisfano la relazione
b2 = a3 − n2 a.
Cioè la coppia (a, b) è una soluzione razionale dell’equazione
cubica (curva ellittica)
y 2 = x 3 − n2 x.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti ed equazioni cubiche
Se A, B e C sono numeri razionali che soddisfano l’equazione
dei numeri congruenti, pongo a = (C/2)2 e b = (A2 − B 2 )C/8.
Ottengo che i numeri razionali a e b soddisfano la relazione
b2 = a3 − n2 a.
Cioè la coppia (a, b) è una soluzione razionale dell’equazione
cubica (curva ellittica)
y 2 = x 3 − n2 x.
Notare che b è diverso da zero.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti ed equazioni cubiche
Se A, B e C sono numeri razionali che soddisfano l’equazione
dei numeri congruenti, pongo a = (C/2)2 e b = (A2 − B 2 )C/8.
Ottengo che i numeri razionali a e b soddisfano la relazione
b2 = a3 − n2 a.
Cioè la coppia (a, b) è una soluzione razionale dell’equazione
cubica (curva ellittica)
y 2 = x 3 − n2 x.
Notare che b è diverso da zero.
Viceversa, si dimostra che se (a, b) è una soluzione come
sopra, allora n è un numero congruente.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti ed equazioni cubiche
In conclusione:
“n è un numero congruente”
m
“l’equazione
y2
=
x3
−
n2 x
ha una soluzione razionale con y 6= 0”
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti ed equazioni cubiche
In conclusione:
“n è un numero congruente”
m
“l’equazione
y2
=
x3
−
n2 x
ha una soluzione razionale con y 6= 0”
Si noti che per y = 0, ho le soluzioni banali (±n, 0) e (0, 0).
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti ed equazioni cubiche
In conclusione:
“n è un numero congruente”
m
“l’equazione
y2
=
x3
−
n2 x
ha una soluzione razionale con y 6= 0”
Si noti che per y = 0, ho le soluzioni banali (±n, 0) e (0, 0).
Una soluzione razionale con y 6= 0 è anche detta punto di
ordine infinito sulla curva ellittica di equazione y 2 = x 3 − n2 x.
La sua esistenza equivale al fatto che y 2 = x 3 − n2 x ha infinite
soluzioni razionali.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti ed equazioni cubiche
In conclusione:
“n è un numero congruente”
m
“l’equazione
y2
=
x3
−
n2 x
ha una soluzione razionale con y 6= 0”
Si noti che per y = 0, ho le soluzioni banali (±n, 0) e (0, 0).
Una soluzione razionale con y 6= 0 è anche detta punto di
ordine infinito sulla curva ellittica di equazione y 2 = x 3 − n2 x.
La sua esistenza equivale al fatto che y 2 = x 3 − n2 x ha infinite
soluzioni razionali.
Difficoltà: Non si conosce un algoritmo effettivo che permetta
di stabilire se la curva ellittica y 2 = x 3 − n2 x abbia o no una
soluzione razionale con y 6= 0.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti e la congettura di Birch e
Swinnerton-Dyer
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Numeri congruenti e la congettura di Birch e
Swinnerton-Dyer
Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer: y 2 = x 3 − n2 x ha
una soluzione razionale con y 6= 0 se e solo se la sua funzione
L si annulla nel punto critico.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La funzione L di una curva ellittica
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La funzione L di una curva ellittica
Idea: Conto le soluzioni di En : y 2 = x 3 − n2 x modulo p, dove p
è un primo. Cioè, cerco le coordinate delle soluzioni
nell’insieme finito Rp = {0, 1, . . . , p − 1} delle classi dei resti
della divisione per p.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La funzione L di una curva ellittica
Idea: Conto le soluzioni di En : y 2 = x 3 − n2 x modulo p, dove p
è un primo. Cioè, cerco le coordinate delle soluzioni
nell’insieme finito Rp = {0, 1, . . . , p − 1} delle classi dei resti
della divisione per p.
In pratica, se x e y appartengono a Rp , dico che (x, y ) è una
soluzione modulo p se p divide la quantità x 3 − n2 x − y 2 .
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La funzione L di una curva ellittica
Idea: Conto le soluzioni di En : y 2 = x 3 − n2 x modulo p, dove p
è un primo. Cioè, cerco le coordinate delle soluzioni
nell’insieme finito Rp = {0, 1, . . . , p − 1} delle classi dei resti
della divisione per p.
In pratica, se x e y appartengono a Rp , dico che (x, y ) è una
soluzione modulo p se p divide la quantità x 3 − n2 x − y 2 .
np = numero delle soluzioni modulo p, ap = p − np .
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La funzione L di una curva ellittica
Definizione: La funzione L della curva ellittica En è la funzione
di una variabile s definita dal prodotto infinito
L(En , s) =
1
Y
p
1 − ap
p−s
+ p1−2s
,
dove p varia tra i primi che non dividono n.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La funzione L di una curva ellittica
Definizione: La funzione L della curva ellittica En è la funzione
di una variabile s definita dal prodotto infinito
L(En , s) =
1
Y
p
1 − ap
p−s
+ p1−2s
,
dove p varia tra i primi che non dividono n.
Il prodotto infinito è il limite, per k → +∞, dei prodotti finiti sui
primi p ≤ k. Pensiamo per semplicità ad s come ad una
variabile reale.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La funzione L di una curva ellittica
Definizione: La funzione L della curva ellittica En è la funzione
di una variabile s definita dal prodotto infinito
L(En , s) =
1
Y
p
1 − ap
p−s
+ p1−2s
,
dove p varia tra i primi che non dividono n.
Il prodotto infinito è il limite, per k → +∞, dei prodotti finiti sui
primi p ≤ k. Pensiamo per semplicità ad s come ad una
variabile reale.
Il prodotto infinito converge per s > 3/2; si estende
(analiticamente) in modo unico a tutta la retta reale.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La funzione L di una curva ellittica
Definizione: La funzione L della curva ellittica En è la funzione
di una variabile s definita dal prodotto infinito
L(En , s) =
1
Y
p
1 − ap
p−s
+ p1−2s
,
dove p varia tra i primi che non dividono n.
Il prodotto infinito è il limite, per k → +∞, dei prodotti finiti sui
primi p ≤ k. Pensiamo per semplicità ad s come ad una
variabile reale.
Il prodotto infinito converge per s > 3/2; si estende
(analiticamente) in modo unico a tutta la retta reale.
Osservazione: Per tener conto delle soluzioni modulo p per tutti
i primi p (salvo un numero finito), associamo ad En un oggetto
di natura analitica.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (precisata)
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (precisata)
Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (anni ’60):
y 2 = x 3 − n2 x ha una soluzione razionale con y 6= 0 se e solo
se L(En , 1) = 0.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (precisata)
Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (anni ’60):
y 2 = x 3 − n2 x ha una soluzione razionale con y 6= 0 se e solo
se L(En , 1) = 0.
Teorema di Coates-Wiles (anni ’70): Se y 2 = x 3 − n2 x ha
una soluzione razionale con y 6= 0, allora L(En , 1) = 0.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (precisata)
Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer (anni ’60):
y 2 = x 3 − n2 x ha una soluzione razionale con y 6= 0 se e solo
se L(En , 1) = 0.
Teorema di Coates-Wiles (anni ’70): Se y 2 = x 3 − n2 x ha
una soluzione razionale con y 6= 0, allora L(En , 1) = 0.
Il viceversa (che per noi è altrettanto essenziale!) è a tutt’oggi
una congettura.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Il problema dei numeri congruenti (rivisitato)
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Il problema dei numeri congruenti (rivisitato)
A questo punto sappiamo che se L(En , 1) 6= 0, allora n non è
un numero congruente.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Il problema dei numeri congruenti (rivisitato)
A questo punto sappiamo che se L(En , 1) 6= 0, allora n non è
un numero congruente.
D’altra parte, se L(En , 1) = 0 e vale la congettura di Birch e
Swinnerton-Dyer, allora n è un numero congruente.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Il problema dei numeri congruenti (rivisitato)
A questo punto sappiamo che se L(En , 1) 6= 0, allora n non è
un numero congruente.
D’altra parte, se L(En , 1) = 0 e vale la congettura di Birch e
Swinnerton-Dyer, allora n è un numero congruente.
Domanda: Esiste un algoritmo effettivo per determinare se
L(En , 1) è o non è uguale a zero?
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Il problema dei numeri congruenti (rivisitato)
Risposta: SI.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Il problema dei numeri congruenti (rivisitato)
Risposta: SI.
Teorema di Tunnell (anni ’80):
Suppongo n dispari. Allora L(En , 1) = 0 se e solo se il
numero delle soluzioni intere dell’equazione
2x 2 + y 2 + 8z 2 = n è uguale a due volte il numero delle
soluzioni intere di 2x 2 + y 2 + 32z 2 = n.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Il problema dei numeri congruenti (rivisitato)
Risposta: SI.
Teorema di Tunnell (anni ’80):
Suppongo n dispari. Allora L(En , 1) = 0 se e solo se il
numero delle soluzioni intere dell’equazione
2x 2 + y 2 + 8z 2 = n è uguale a due volte il numero delle
soluzioni intere di 2x 2 + y 2 + 32z 2 = n.
Suppongo n pari. Allora L(En , 1) = 0 se e solo se il numero
delle soluzioni intere dell’equazione 4x 2 + y 2 + 8z 2 = n/2
è uguale a due volte il numero delle soluzioni intere di
4x 2 + y 2 + 32z 2 = n/2.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Il problema dei numeri congruenti (rivisitato)
Risposta: SI.
Teorema di Tunnell (anni ’80):
Suppongo n dispari. Allora L(En , 1) = 0 se e solo se il
numero delle soluzioni intere dell’equazione
2x 2 + y 2 + 8z 2 = n è uguale a due volte il numero delle
soluzioni intere di 2x 2 + y 2 + 32z 2 = n.
Suppongo n pari. Allora L(En , 1) = 0 se e solo se il numero
delle soluzioni intere dell’equazione 4x 2 + y 2 + 8z 2 = n/2
è uguale a due volte il numero delle soluzioni intere di
4x 2 + y 2 + 32z 2 = n/2.
Il teorema di Tunnell mi permette di ottenere un algoritmo
effettivo per determinare se L(En , 1) = 0.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Il problema dei numeri congruenti (rivisitato)
Risposta: SI.
Teorema di Tunnell (anni ’80):
Suppongo n dispari. Allora L(En , 1) = 0 se e solo se il
numero delle soluzioni intere dell’equazione
2x 2 + y 2 + 8z 2 = n è uguale a due volte il numero delle
soluzioni intere di 2x 2 + y 2 + 32z 2 = n.
Suppongo n pari. Allora L(En , 1) = 0 se e solo se il numero
delle soluzioni intere dell’equazione 4x 2 + y 2 + 8z 2 = n/2
è uguale a due volte il numero delle soluzioni intere di
4x 2 + y 2 + 32z 2 = n/2.
Il teorema di Tunnell mi permette di ottenere un algoritmo
effettivo per determinare se L(En , 1) = 0.
Conclusione: Otteniamo un algoritmo effettivo congetturale
per determinare se n è congruente.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Un risultato sul problema dei numeri congruenti
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Un risultato sul problema dei numeri congruenti
Teorema di Monski (1990): Sia n un primo.
Se n è della forma 3 + 8k, allora n non è un numero
congruente e 2n è un numero congruente.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Un risultato sul problema dei numeri congruenti
Teorema di Monski (1990): Sia n un primo.
Se n è della forma 3 + 8k, allora n non è un numero
congruente e 2n è un numero congruente.
Se n è della forma 5 + 8k, allora n è un numero
congruente e 2n non è un numero congruente.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Un risultato sul problema dei numeri congruenti
Teorema di Monski (1990): Sia n un primo.
Se n è della forma 3 + 8k, allora n non è un numero
congruente e 2n è un numero congruente.
Se n è della forma 5 + 8k, allora n è un numero
congruente e 2n non è un numero congruente.
Se n è della forma 7 + 8k, allora n e 2n sono numeri
congruenti.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Un risultato sul problema dei numeri congruenti
Teorema di Monski (1990): Sia n un primo.
Se n è della forma 3 + 8k, allora n non è un numero
congruente e 2n è un numero congruente.
Se n è della forma 5 + 8k, allora n è un numero
congruente e 2n non è un numero congruente.
Se n è della forma 7 + 8k, allora n e 2n sono numeri
congruenti.
La dimostrazione costruisce esplicitamente soluzioni non banali
(cioè con y 6= 0) di y 2 = x 2 − n2 x e y 2 = x 3 − (2n)2 x, usuando
la teoria della moltiplicazione complessa per le curve
ellittiche, uno dei risultati culminanti dell’algebra del XIX secolo
(Weber).
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Un risultato sul problema dei numeri congruenti
Teorema di Monski (1990): Sia n un primo.
Se n è della forma 3 + 8k, allora n non è un numero
congruente e 2n è un numero congruente.
Se n è della forma 5 + 8k, allora n è un numero
congruente e 2n non è un numero congruente.
Se n è della forma 7 + 8k, allora n e 2n sono numeri
congruenti.
La dimostrazione costruisce esplicitamente soluzioni non banali
(cioè con y 6= 0) di y 2 = x 2 − n2 x e y 2 = x 3 − (2n)2 x, usuando
la teoria della moltiplicazione complessa per le curve
ellittiche, uno dei risultati culminanti dell’algebra del XIX secolo
(Weber).
E.g.: 157 = 5 + 8 · 19.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer si enuncia (in una
forma più precisa) per tutte le curve ellittiche
E : y 2 = x 3 + ax + b
con a e b razionali e 4a3 + 27b2 6= 0.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer si enuncia (in una
forma più precisa) per tutte le curve ellittiche
E : y 2 = x 3 + ax + b
con a e b razionali e 4a3 + 27b2 6= 0.
E’ considerata uno dei problemi fondamentali della matematica
pura.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer si enuncia (in una
forma più precisa) per tutte le curve ellittiche
E : y 2 = x 3 + ax + b
con a e b razionali e 4a3 + 27b2 6= 0.
E’ considerata uno dei problemi fondamentali della matematica
pura.
E’ una dei 7 “Millenium problems” (o “million dollar problems”)
del Clay Mathematical Institute:
http://www.claymath.org/millennium/
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Risultati noti su Birch e Swinnerton-Dyer:
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Risultati noti su Birch e Swinnerton-Dyer:
Teorema:
Se L(E, 1) 6= 0, allora E : y 2 = x 3 + ax + b ha solo un
numero finito di soluzioni razionali.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Risultati noti su Birch e Swinnerton-Dyer:
Teorema:
Se L(E, 1) 6= 0, allora E : y 2 = x 3 + ax + b ha solo un
numero finito di soluzioni razionali.
Se L(E, s) ha uno zero semplice in s = 1, cioè L(E, 1) = 0
e lims→1 L(E, s)/(s − 1) 6= 0, allora E : y 2 = x 3 + ax + b ha
infinite soluzioni razionali.
Massimo Bertolini
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Considerazioni conclusive
Risultati noti su Birch e Swinnerton-Dyer:
Teorema:
Se L(E, 1) 6= 0, allora E : y 2 = x 3 + ax + b ha solo un
numero finito di soluzioni razionali.
Se L(E, s) ha uno zero semplice in s = 1, cioè L(E, 1) = 0
e lims→1 L(E, s)/(s − 1) 6= 0, allora E : y 2 = x 3 + ax + b ha
infinite soluzioni razionali.
La dimostrazione di questo teorema combina i lavori di Wiles e
Taylor sull’Ultimo Teorema di Fermat (anni ’90) con i risultati di
Gross-Zagier e Kolyvagin (anni ’80). Questi ultimi (come il
teorema di Monsky) sono basati sulla teoria della
moltiplicazione complessa.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Notare i punti di contatto tra i molti punti di contatto tra il
problemi dei numeri congruenti e l’Ultimo Teorema di Fermat:
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Notare i punti di contatto tra i molti punti di contatto tra il
problemi dei numeri congruenti e l’Ultimo Teorema di Fermat:
entrambi si studiano usando la teoria delle curve ellittiche;
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Notare i punti di contatto tra i molti punti di contatto tra il
problemi dei numeri congruenti e l’Ultimo Teorema di Fermat:
entrambi si studiano usando la teoria delle curve ellittiche;
la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat ha
conseguenze sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer,
da cui dipende la soluzione congetturale del problema dei
numeri congruenti;
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Notare i punti di contatto tra i molti punti di contatto tra il
problemi dei numeri congruenti e l’Ultimo Teorema di Fermat:
entrambi si studiano usando la teoria delle curve ellittiche;
la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat ha
conseguenze sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer,
da cui dipende la soluzione congetturale del problema dei
numeri congruenti;
il caso n = 4 dell’Ultimo Teorema di Fermat è
essenzialmente equivalente a dimostrare che 1 non è
congruente ...
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Notare i punti di contatto tra i molti punti di contatto tra il
problemi dei numeri congruenti e l’Ultimo Teorema di Fermat:
entrambi si studiano usando la teoria delle curve ellittiche;
la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat ha
conseguenze sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer,
da cui dipende la soluzione congetturale del problema dei
numeri congruenti;
il caso n = 4 dell’Ultimo Teorema di Fermat è
essenzialmente equivalente a dimostrare che 1 non è
congruente ...
I problemi della teoria dei numeri che abbiamo presentato si
studiano combinando tecniche matematiche provenienti da
diverse discipline, quali l’Algebra (teoria delle equazioni), la
Geometria (teoria delle curve) e l’Analisi (teoria delle funzioni).
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
Considerazioni conclusive
Notare i punti di contatto tra i molti punti di contatto tra il
problemi dei numeri congruenti e l’Ultimo Teorema di Fermat:
entrambi si studiano usando la teoria delle curve ellittiche;
la dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat ha
conseguenze sulla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer,
da cui dipende la soluzione congetturale del problema dei
numeri congruenti;
il caso n = 4 dell’Ultimo Teorema di Fermat è
essenzialmente equivalente a dimostrare che 1 non è
congruente ...
I problemi della teoria dei numeri che abbiamo presentato si
studiano combinando tecniche matematiche provenienti da
diverse discipline, quali l’Algebra (teoria delle equazioni), la
Geometria (teoria delle curve) e l’Analisi (teoria delle funzioni).
Questa è un’altra peculiarità della teoria dei numeri.
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
The end
Massimo Bertolini
Teoria dei numeri: problemi antichi e soluzioni moderne
The end
Grazie per l’attenzione!
Massimo Bertolini
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Domande?
Massimo Bertolini
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