Una differente prospettiva per il teorema dei numeri primi
Di Cristiano Armellini, [email protected]
Il teorema dei numeri primi afferma che il numero dei numeri primi minori o uguali a x è
approssimativamente pari a oppure a /ln essendo ~
Vediamo in che modo possiamo arrivare a questo tipo di formule.
Supponiamo che esista effettivamente una funzione che dia esattamente dato un numero x , il numero dei
numeri primi minori o uguali a x. Sia questa y(x) , allora è evidente che y(2x-1) = y(2x) in quanto nessun
numero pari, eccetto il 2, è un numero primo. Non sappiamo la natura di y(x) ma di qualunque funzioni si
tratti sappiamo che possiamo approssimarla tramite un polinomio (o come una serie con un numero non
finito di termini). Usiamo l’interpolazione:
y(2) = numero dei primi minori o uguali a 3 = 2 ovvero (2, 3)
y(3) = numero dei primi minori o uguali a 3 = 2 ovvero (2, 3)
y(5) = numero dei primi minori o uguali a 5 = 3 ovvero (2, 3, 5)
y(7) = numero dei primi minori o uguali a 7 = 4 ovvero (2, 3, 5, 7)
ecc..
quindi se pensiamo di adottare un polinomio di II grado tre punti sono necessari e
sufficienti per determinare i coefficienti a, b, c (tre equazioni per tre incognite a, b, c). Il problema è che
tale polinomio y(x) non approssima bene il numero di primi minori o uguali a x man mano che x si allontana
dall’ultimo valore ovvero x = 7. Si potrebbe allora considerare , ovvero un
polinomio di III grado e, usando sempre la tecnica dell’interpolazione, trovare a, b, c, d aggiungendo un
ulteriore termine y(9) = 4 ecc. perseguendo di questo passo dovremmo calcolare non senza difficoltà
polinomi di grado sempre più elevato. Per tentare di ovviare almeno in parte a tutto ciò una soluzione può
esse quella di usare il metodo dei minimi quadrati, ovvero cercare di calcolare la retta dei mini quadrati, la
parabola dei minimi quadrati, la cubica dei minimi quadrati ecc.. ovvero considerando come minima la
somma dei quadrati delle distanze dai punti (3, 2), (5, 3), (7, 4), (9,4), (11, 5) da una curva di grado
prefissato. Questa sembra la soluzione migliore. Tali metodi possono condurre ad una dimostrazione
alternativa del succitato teorema dei numeri primi. In ogni caso ottenere una funzione che approssimi
molto bene è molto importante perché ad esempio se x è dispari e , 2 con m >
k allora probabilmente x+2 è un numero primo. Il procedimento di interpolazione oppure la tecnica dei
minimi quadrati può essere impiegata per ricavare , o tentare di ricavare una formula che dato x dia Z(x) l’i-
esimo numero primo. Questi tentativi però non hanno mai dato buoni risultati e si preferisce piuttosto che
cercare la formula che dia numeri primi trovare una funzione che approssimi il numero dei numeri primi
compresi in un determinato intervallo.
