1) Scrivere il Significato Dei Seguenti Termini:
- Interpolazione Matematica: si parla di interpolazione matematica quando si ricerca una funzione
interpolante che passa per i punti di coordinate x e y
-
Interpolazione Statistica : si parla di interpolazione statistica quando si ricerca una funzione interpolante
che passa fra i punti di coordinate x e y
-
Perequazione: La perequazione è un metodo con la quale si sostituiscono i dati osservati con altri che
determinano un andamento più regolare del fenomeno osservati
-
Regressione Lineare: regressione lineare è un metodo di stima del valore della media condizionato da una
variabile dipendente, dati i valori di altre variabili indipendenti
-
Correlazione Lineare: correlazione lineare è il metodo con il quale si cerca di trovare una misura di quanto
una variabile dipende linearmente dall'altra
2) Descrivere Il Procedimento per Ottenere:
- Un Interpolazione matematica: si fa un sistema in cui si sostituiscono i punti dati alla funzione
- Un Interpolazione Statistica: Con il metodo dei minimi quadrati
- Una Perequazione:
- Le Rette Di regressione: si può usare il metodo del baricentro, di coordinate (x medio ,y medio),
calcolando a1 = ∑ x’y’ / ∑ x’^2 e a2 = ∑ x’y’ / ∑ y’^2. Successivamente trovo:
o 1° retta di regressione: y - y medio = a1 ( x – x medio )
o 2° retta di regressione: x - x medio = a2 ( y – y medio )
3) Dopo Avere calcolato una funzione interpolante come si esegue la stima di un valore non inserito
nella tabella chiarendo quando si tratta di interpolazione o estrapolazione e chiarendo
l’attendibilità del valore ottenuto.
- Sostituendo il dato di coordinate (x,y) nella funzione trovata. Si tratta di interpolazione quando il valore da
stimare è intermedio tra i valori già analizzati nella tabello, invece per l’extrapolazione è quando il valore da
stimare sta al di fuori dell’intervallo già analizzato.
4) Scrivere la funzione generica dei minimi quadrati chiarendo il ruolo del termine “minimi” e
“quadrati”.
- la funzione generica dei minimi quadrati è Z = ∑ [f(x)-y)]^2, è detta minima perché è minima la distanza
tra i punti dati e la funzione interpolante, è detta quadratica per evitare ke gli errori di segno opposto si
azzerino.
5) Indicare la procedura per il calcolo delle seguenti funzioni:
- Retta:
- Parabola:
- Y = ab^x :
- Y = ax^b :
- Y= a + (b/x):
- Y = ae^bx:
6) Come si confronta la bontà dell’accostamento di due funzioni allo stesso diagramma a dispersione.
- la bontà dell'accostamento di 2 funzioni nello stesso diagramma a dispersione viene indicata
degli indici di scostamento quadratici; la funzione che avrà l'indice di scostamento minore verrà
considerata come funzione migliore, se l'indice e uguale a 0 la funzione passera perfettamente
per i punti dati se l'indice e superiore a 0,1 non sara un buon accostamento
7) Commentare il significato geometrico dei due coefficienti di regressione lineare
- a1 è il coefficiente angolare della prima retta mentre a2 non è il coefficiente della seconda retta ma è l
inverso ovvero 1/a2
8) Commentare il significato degli stessi
- significato statistico: a1 indica quante volte va incrementato x per aumentare o diminuire y, mentre a2
indica quante volte va incrementato y per aumentare o diminuire x.
-
9) Perché a1 e a2 sono concordi
- Sono concordi in quanto dalla loro formula di calcolo si vede che hanno lo stesso numeratore
ed il denominatore, essendo una somma di quadrati, è sempre positivo. Se sono entrambi
positivi, al crescere di una variabile cresce l’altra, se sono negativi, al crescere di una variabile
l’altra decresce.
10) Perché le rette dei minimi quadrati passano sempre per il baricentro
- Le rette dei minimi quadrati passano sempre per il baricentro perché il baricentro ha come
coordinate le medie dei valori delle e dei valori delle y
11) Cosa si intende e come si calcola la covarianza delle 2 variabili
- La covarianza di due variabili aleatorie è un numero Cov(X,Y) che fornisce una misura di quanto
le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza. Cov(X,Y) = ∑ x’y’ / n
12) Come si calcola il coefficiente di correlazione lineare
- Il coefficiente di correlazione lineare si calcola facendo risolvendo questa formula
r = ∑ x’y’ / x' ^2 * y' ^2 dalla quale si può ricavare
a2 * a1
13) Commentare i possibili valori di r
- Le variabili x e y saranno perfettamente correlate se p = 1 o -1, correlate positivamente se 0 < p
< 1, correlate negativamente se – 1 < p < 0 e se p = 0 non saranno correlate.
14) Perché r può essere calcolato in funzione dei coefficienti di regressione
- Perché dalla formula di base
si può ricavare che
e spezzandola si ricava
che
i quali fattori sono a1 e a2 e quindi si può scrivere semplicemente che
r= a2 * a1
15) Descrivere il metodo delle medie mobili a 5 termini
- Consiste nel prendere i primi 5 valori e dividerli per 5 e il valore ottenuto verrà messo in una
posizione intermedia, cioè nel nostro caso nella posizione 3, effettuata la media verranno presi
altri 5 valori dalla seconda posizione e così via, più è alta la media migliore sarà lo scostamento
ma si perderanno più risultati all’inizio e alla fine.
16) Descrivere il metodo delle linee mobili a 12 termini
- Consiste nel prendere i primi 12 valori e dividerli per 12, il valore ottenuto verrà messo in una
posizione intermedia, ma essendo il 12 un numero pari il valore ottenuto verrà posizionato tra
2 valori di x, quindi si dovrà passare alla centratura, ossia una media tra 2 valori ottenuti prima
e il risultato verrà poi centrato a livello di x e così si fa per il valori successivi. Più è alta la media
migliore sarà lo scostamento ma si perderanno più risultati all’inizio e alla fine.
