Caso, probabilità e variabili casuali

Capitolo 15
Suggerimenti agli esercizi a cura di Elena Siletti
Esercizio 15.1: Suggerimento
Si ricordi che:
• esperimento casuale: è un esperimento condotto sotto l’effetto del caso;
• evento elementare: ciascuno dei possibili esiti di un esperimento casuale;
• spazio campionario: Ω, è l’insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento
casuale, ovvero l’insieme di tutti gli eventi elementari;
• evento casuale: E, è un sottoinsieme dello spazio campionario Ω.
Esercizio 15.2: Suggerimento
Si ricordi che per una variabile casuale discreta X:
• la probabilità è sempre positiva;
• la somma delle probabilità associate a tutti i valori x della v.c. corrisponde
alla probabilità dell’intero Ω e dunque è sempre 1, in perfetta analogia con la
somma delle frequenze relative per una v.s.
Esercizio 15.3: Suggerimento
Il valore atteso E(X), la varianza V (X) e la deviazione standard SD(X) di una
v.c. discreta si ottengono in analogia alla media aritmetica ed alla varianza di una
v.s. facendo assumere alla probabilità p(x) il ruolo di frequenza relativa.
Esercizio 15.4: Suggerimento
La funzione di ripartizione è la probabilità che la v.c. X assuma valori minori o
uguali ad un generico valore x: P (X ≤ x): la probabilità di non più di un biglietto
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vincente è pari a P (X ≤ 1).
Esercizio 15.5: Suggerimento
Si ricordi che la variabile casuale è una funzione che assegna un numero x (reale)
a ciascuno degli eventi elementari che compongono lo spazio campionario mantenendone la probabilità. Costruire una v.c. X significa individuare sia i valori x sia i
valori dell’associata funzione di probabilità P (X = x).
Esercizio 15.6: Suggerimento
Si osservi che lanciare 6 volte un dado regolare equivale ad effettuare 6 prove indipendenti poiché il risultato di un lancio non influenza i risultati dei lanci
successivi.
• Fissare l’attenzione sul numero 6 significa identificare per ciascuna prova due
esiti: 6 = successo e 1 o 2 o 3 o 4 o 5 = insuccesso. Le cui probabilità sono
note: P (6) = 1/6 e P (diverso da 6) = 5/6;
• Fissare l’attenzione sul numero 4 significa identificare per ciascuna prova due
esiti: 4 = successo e 1 o 2 o 3 o 5 o 6 = insuccesso. Le cui probabilità sono
note: P (4) = 1/6 e P (diverso da 4) = 5/6;
• Fissare l’attenzione su un numero pari significa identificare per ciascuna prova
due esiti: pari = successo e dispari = insuccesso. Le cui probabilità sono
note: P (pari) = 0.5 e P (dispari) = 0.5;
• Fissare l’attenzione su un numero minore di 3 significa avere per ciascuna prova
due esiti: (minore di 3) = successo e (maggiore o uguale a 3) = insuccesso. Le
cui probabilità sono:
P (minore di 3) = P (1) + P (2) = 1/3
P (maggiore o uguale a 3) = 11/3 = 2/3
In tutti i casi si può fare ricorso alla v.c. Binomiale.
Esercizio 15.7: Suggerimento
L’esperimento prevede due soli risultati complementari:
• A: successo (estrarre fiori), con probabilità p;
• Ā: insuccesso(non estrarre fiori), con probabilità 1 − p.
Le n prove sono indipendenti e la probabilità p rimane costante da prova a prova
perchè c’è reinserimento;
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La v.c. che descrive il numero di volte, nelle n prove, che si verifica l’evento A
prende il nome di v.c. Binomiale e si indica con X ∼ Bi(n, p). I suoi valori sono:
x = 0, 1, 2, ..., n.
X = numero di carte di fiori ottenute nelle estrazioni è una v.c. Binomiale.
Si ricorda che normalmente in un mazzo di 52 carte da gioco ci sono 13 carte di fiori,
13 carte di picche, 13 carte di quadri e 13 carte di cuori. L’estrazione di una carta di
fiori dal mazzo di 52 carte è il successo della v.c. Binomiale ed ha: p = 13/52 = 0.25,
n = 5 prove e X ∼ Bi(5, 0.25).
Il valore atteso e la varianza della v.c. X ∼ Bi(n, p) risultano pari a:
E(X) = np e V ar(X) = npq
-P (di
-P (di
-P (di
-P (di
-P (di
estrarre tre carte di fiori) = P (X = 3);
estrarre almeno tre carte di fiori) = P (X ≥ 3);
estrarre al più tre carte di fiori) = P (X ≤ 3);
non estrarre carte di fiori) = P (X = 0);
estrarre almeno una carta di fiori) = P (X ≥ 1);
Esercizio 15.8: Suggerimento
Nell’esperimento considerato la probabilità di ottenere il successo p, ovvero
un
1
con
biglietto vincente di fascia alta, è pari a 5/55 = 1/11 e la v.c. X ∼ Bi 5, 11
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Per cui E (X) = np e V (X) = np (1 − p).
Coincide con la probabilità che X valga almeno 1, ovvero con P (X ≥ 1) = 1 −
P (X = 0).
Esercizio 15.9: Suggerimento
X : numero di bambini che consumano il pranzo a scuola ed n = 10 mamme.
La probabilità di successo, ovvero la probabilità di consumare il pranzo a scuola è
p = 0.6, X ∼ Bi (10; 0.6) e x = 0, 1, 2, ..., 10.
La probabilità che almeno il 90% delle mamme intervistate
abbia bambini che con
90
.
sumano il pranzo a scuola coincide con P X ≥ 10 · 100
La probabilità che nessuna delle mamme intervistate abbia bambini che consumano
il pranzo a scuola coincide con P (X = 0).
Esercizio 15.10: Suggerimento
Si ricordi che la funzione di densità della v.c X Normale ha forma campanulare
simmetrica rispetto al valore atteso e che le probabilità associate ad intervalli di valori
di X sono rappresentate dall’area sottesa alla campana in tali intervalli. Il grafico
della funzione di densità di X ∼ N (2, 1) è:
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Capitolo 15 - Suggerimenti agli esercizi
Esercizio 15.11: Suggerimento
Le probabilità richieste corrispondono a:
1. P (il tempo sia inferiore a 45 ore) = P (X < 45)
2. P (il tempo sia superiore a 50 ore) = P (X > 45)
3. P (il tempo sia uguale a 45 ore) = P (X = 45)
4. P (il tempo sia compreso tra 45 e 50 ore) = P (45 ≤ X ≤ 50)
Esercizio 15.12: Suggerimento
Ricordare che:
1. P (l’altezza sia superiore a 32 cm) = P (X > 32)
2. La media aumenta a parità di varianza: P (X > 32)?
3. La media diminuisce a parità di varianza: P (X > 32)?
4. La varianza aumenta a parità di media: P (X > 32)?
5. La varianza diminuisce a parità di media: P (X > 32)?
Esercizio 15.13: Suggerimento
Le probabilità richieste corrispondono a:
1. P (tempo inferiore a 4 minuti) = P (X < 4)
2. P (tempo superiore a 6 minuti) = P (X > 6)
Esercizio 15.14: Suggerimento
Ricordare che:
1. P (X ≤ x) = P Z ≤
x−µ
σ
= 0.2
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2. P (−x ≤ X ≤ x) = P − x−µ
σ ≤Z ≤
5
x−µ
σ
= 0.6
Esercizio 15.15: Suggerimento
E’ necessario calcolare:
1. P (voto maggiore di 21 ed inferiore a 25) = P (21 ≤ X ≤ 25)
2. P (voto maggiore di 28) = P (X > 28)
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