60 Capitolo 6 L`emissione gamma

Capitolo 6
L’emissione gamma
6.1 Emissione gamma
La radiazione γ è l’emissione spontanea di quanti da parte del nucleo. Emettendo
fotoni il nucleo passa da uno stato eccitato ed uno stato meno eccitato. Vi possono
essere transizioni radiative singole, quando il nucleo emette un solo quanto γ e
transisce allo stato fondamentale, oppure transizioni in cascata quando l’energia di
eccitazione è rimossa tramite l’emissione in cascata di due o più fotoni. La
radiazione elettromagnetica nucleare ha un lunghezza d’onda dell’ordine delle
dimensioni del nucleo, e pertanto:
=
=
=
=
≈R
p γ = Eγ ≈ =
pγ
R r0 A1 / 3
Si vede che per nuclei leggeri l’energia Eγ dei fotoni vale qualche MeV, e diminuisce
al crescere di A. Il fotone porta via praticamente tutta l’energia di eccitazione,
essendo trascurabile l’energia cinetica di rinculo del nucleo.
Eγ2
P'2
0 = P’ + pγ → P’ = pγ = Eγ
=
T'=
2M 2Mc 2
si vede che per Eγ ≈ MeV, per 10 < A < 100 si ha: 5 eV < T’ < 50 eV. Vi sono diverse
ragioni per le quali un nucleo può trovarsi in uno stato eccitato. Per esempio, spesso
a seguito di un decadimento α o β il nucleo figlio non viene creato nello stato
fondamentale, ma in uno stato eccitato: esso transisce allo stato fondamentale
tramite l’emissione di uno o più quanti γ. Per questo motivo non esistono puri
emettitori α ed esistono solo pochissimi emettitori β puri. Un nucleo eccitato
emette fotoni quando l’energia di eccitazione non è sufficiente a separare un
nucleone dal nucleo (circa 7÷8 MeV), e l’unico modo che esso ha per “liberarsi”
dell’eccesso di energia è appunto l’emissione di quanti gamma. Se invece l’energia di
eccitazione è superiore alla energia di separazione di un nucleone, solo in rari casi il
nucleo si diseccita per via elettromagnetica, e questo avviene quando l’emissione di
un nucleone è vietata da regole di conservazione della parità o del momento
angolare. I quanti gamma emessi dal nucleo possono portare via diversi valori del
momento angolare A: la radiazione che possiede A=1 viene chiamata radiazione di
dipolo, quella con A=2 di quadrupolo, quella con A=3 di ottupolo, e così via. Non esiste
radiazione elettromagnetica con A=0 (monopolo) a causa della sua natura traversa.
Ciascuna di queste radiazioni è caratterizzata da un diversa distribuzione angolare.
I quanti gamma di diversa multipolarità sono il risultato di diversi tipi di
“oscillazioni” del fluido nucleare, sia elettriche che magnetiche. Il primo tipo di
processo è causato da una ridistribuzione della carica elettrica nel nucleo, mentre il
secondo da una ridistribuzione degli spin e dei momenti angolari orbitali dei
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nucleoni. Una idea più chiara del meccanismo di emissione gamma può essere fornita
sulla base di un modello specifico del nucleo: così, vedremo che nel modello a
particelle indipendenti (modello a shell) l’emissione di un quanto gamma è associata
alla transizione di un nucleone tra due livelli a particella singola, avendo il fotone
emesso il proprio valore di energia e momento angolare.
A causa del piccolo valore della costante di interazione elettromagnetica
e2
1
α=
=
<< 1
=c 137
la probabilità P di una transizione radiativa può essere calcolata con la teoria delle
perturbazioni dipendenti dal tempo con la solita regola d’oro:
2 dn
2π
P=
Mif
=
dE
dove Mif = ∫ ψ f*H'ψ i dτ è l’elemento di matrice dell’Hamiltoniana H’ di interazione tra
il campo elettromagnetico da una parte, e le cariche ed i momenti magnetici dei
nucleoni dall’altra. La teoria elettromagnetica può essere usata per scrivere le
espressioni di H’ e della densità degli stati finali dn/dE per cui, note ancora dalla
teoria (per esempio dal modello a shell) le funzioni d’onda del nucleo, si può
calcolare la probabilità di transizione P. Qui noi accenniamo solo brevemente ed in
maniera approssimata alle conclusioni che se ne possono trarre. Il campo di
radiazione delle cariche in movimento può essere rappresentato come una serie di
funzioni (armoniche) sferiche. La parte angolare descrive la multipolarità della
transizione, mentre la parte radiale viene rappresentata come uno sviluppo in serie
della variabile kr, essendo k = h/p il numero d’onda. Ora, poiché:
Eγ
R pγ
r
R =
R ≈ 10-3÷10-4 (per Eγ ≈ MeV e R ≈ 10 fm)
≈ =
kr =
λ
λ h
2π=c
la serie converge rapidamente.
Il fattore R/λ nel primo termine della serie, corrispondente alla radiazione di dipolo
con momento angolare A=1; qui R è il raggio del nucleo e λ la lunghezza d’onda della
radiazione emessa. Il secondo termine con A=2 corrisponde a (R/λ)2, e lo A-esimo
termine a (R / λ )A .
2
Poiché la probabilità P di emissione di un quanto gamma è proporzionale a Mif , la
probabilità PA di emissione di un quanto
PA ∝ (R / λ )
2A
gamma di multipolarità A sarà:
∝ A2 A / 3 E 2 A
Così, come A cresce di un’unità, l’intensità di radiazione decresce di un fattore
2
PA +1  R 
∝   ≈ 10 −5
PA
λ
questo significa che il primo termine non nullo della serie (che può anche non
corrispondere a A=1 a causa delle regole di selezione) è quello decisivo.
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Le stesse conclusioni possono essere tratte a proposito dei multipoli magnetici. Per
lo stesso valore di A comunque l’intensità della radiazione magnetica è (d/µ)2 volte
più bassa di quella elettrica: qui d e µ rappresentano rispettivamente il momento
elettrico e magnetico dei nuclei. Come ordine di grandezza si può dire che:
2
2
2
 m c2 ⋅ R 
 eR 
d
2
3

 = N
  ≈ 

 =c  ≈ 10 ÷ 10
e
/
m
c
µ
=
 
N 



do ve R al solito è il raggio del nucleo e mN la massa di un nucleone. Le transizioni
elettriche e magnetiche vengono indicate con i simboli EA ed MA, dove A sta a
indicare il momento angolare del gamma uscente: così si parla di transizioni di dipolo
elettrico E1 e di dipolo magnetico M1, di quadrupolo elettrico E2 e quadrupolo
magnetico M2, di ottupolo elettrico E3 e ottupolo magnetico M3, di esadecupolo, e
così via.
L’insieme di possibili valori di AE e AM è determinato dalle regole di selezione del
momento angolare e della parità. Secondo la prima regola, il momento angolare
portato via dalla radiazione elettromagnetica ed i momenti angolari iniziale e finale
dello stato nucleare devono essere legati dalla seguente relazione:
Ji − Jf ≤ A ≤ Ji + Jf
La parità di una transizione elettromagnetica è pari a (− 1) E se la transizione è
A
elettrica, e (− 1)
A M +1
se la transizione è magnetica.
In base al principio di conservazione della parità, i momenti angolari AE e AM della
radiazione elettrica o magnetica devono essere legati alle parità iniziale (Πi) e
finale (Πf) dello stato nucleare dalle seguenti relazioni:
A
Π i = Π f ⋅ (− 1) E
Π i = Π f ⋅ (− 1)A M +1
Da queste regole segue che, per esempio, che transizioni E1 sono possibili solo tra
stati nucleari a parità opposta, mentre la parità degli stati deve essere la stessa nel
caso di transizioni M1; in entrambi i casi i momenti angolari del nucleo devono
soddisfare la relazione ∆J = 0,±1 (con l’eccezione 0 → 0).
Le regole di selezione della parità possono ovviamente essere
considerando la struttura dell’elemento di matrice
Mif = ∫ ψ f*H'ψ i dτ
ottenute
Nel caso di transizione E1, H’ contiene il momento di dipolo elettrico, che si
trasforma come un vettore polare per inversione delle coordinate; per una
transizione M1, H’ contiene il momento di dipolo magnetico che ha invece le
proprietà di un vettore assiale.
Riassumendo quanto detto finora, le caratteristiche principali delle transizioni
elettromagnetiche sono:
1) una decrescita nella probabilità di transizione al crescere di A;
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2) una relativamente piccola probabilità delle transizioni magnetiche rispetto a
quelle elettriche per lo stesso valore di A;
3) esistenza di regole di selezione del momento angolare e della parità.
Tenendo conto dei punti precedenti, arriviamo alle seguenti conclusioni:
il ruolo dominante nelle transizioni radiative tra due stati nucleari di dati valori di
Πi, Πf e ∆J è giocato dai multipoli elettrici e/o magnetici con il più basso valore di
AE e AM che soddisfino le regole di selezione di parità e momento angolare:
A=|∆J|
e
A=|∆J|+1
Uno di questi multipoli deve essere elettrico, l’altro magnetico.
La tabella seguente riassume la situazione.
Πi⋅ Πf
-1
+1
∆J
0
E1, M2
M1, E2
1
E1, M2
M1, E2
2
M2, E3
E2, M3
3
E3, M4
M3, E4
In genere una delle due transizioni (quella con A più basso) domina largamente
sull’altra, data la forte dipendenza della probabilità di transizione dalla
multipolarità.
6.2 Conversione interna
Oltre alla emissione di quanti gamma vi è un altro meccanismo di diseccitazione:
l’emissione di elettroni di conversione interna. La teoria mostra come l’energia di
eccitazione in questo processo è direttamente, senza cioè alcuna emissione
intermedia di quanti gamma, trasferita ad un elettrone orbitale (a causa della
sovrapposizione spaziale delle funzioni d’onda nucleare ed elettronica). In questo
meccanismo vengono emessi elettroni monoenergetici, la cui energia cinetica Te è
determinata, oltre che dalla energia di eccitazione E, anche dall’energia di legame B
dell’elettrone nella shell atomica. Il processo di conversione interna ha la più alta
probabilità per elettroni della shell K, nel qual caso:
Te = E - BK
Comunque, se E < BK, si può osservare conversione elettronica dalla shell L. In ogni
caso il fenomeno di conversione è sempre accompagnato da emissione di raggi X
caratteristici della shell atomica interessata ed elettroni Auger.
Gli elettroni di conversione possono essere osservati assieme alla radiazione gamma,
oppure senza di essa (p.es. nel caso di transizioni 0→0), Il rapporto del numero di
elettroni di conversione emessi rispetto al numero di fotoni è detto coefficiente di
conversione interna, ed è definito come:
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Ne
= α K + α L + α M + ...
Nγ
(N )
qui α K = e K è il coefficiente di conversione parziale per gli elettroni della shell
Nγ
α=
K, e così via. Le teoria mostra che il coefficiente di conversione:
a) decresce all’aumentare della energia della transizione;
b) cresce con il numero atomico Z del nucleo;
c) decresce con il raggio della shell atomica dalla quale l’elettrone è emesso;
d) cresce con la multipolarità della corrispondente transizione gamma.
6.3 Isomerismo nucleare
Le regole di selezione precedentemente descritte possono rallentare le transizioni
elettromagnetiche ad un punto tale che lo stato eccitato viene ad avere una vita
media molto lunga (dove “molto lunga” significa da una frazione di secondo a molti
anni). In questo caso lo stato eccitato è detto metastabile o stato isomerico, in
analogia con gli isomeri chimici. Si hanno in natura transizioni gamma con vite medie
che vanno da 10-16 a 108 secondi, ed il punto da cui si comincia a chiamare uno stato
metastabile è piuttosto arbitrario. Spesso l’isomeria nucleare si accompagna alle
transizioni beta. Nella figura 6.1a) la transizione isomerica tra i livelli A e B è molto
probabile in confronto alla transizione beta tra A e C. Se λiA<<λiB e λiA>>λβA, la
sostanza mostra lo spettro beta tipico del livello B con la costante di decadimento
λiA. Il 80Br presenta questo caso, e il suo diagramma di livelli è illustrato in figura
6.2. In altri casi (figura 6.1b) i livelli A e B decadono come sostanze indipendenti. Le
transizioni isomeriche, essendo altamente proibite, devono corrispondere a grandi
∆J e piccole energie: entrambe le condizioni favoriscono una elevata conversione
interna. Per essere metastabile, un livello eccitato deve differire dai livelli di
energia più bassa per almeno tre unità nel valore di J: la radiazione emessa è quindi
E3, M3 o di multipolarità più elevata. La condizione citata è soddisfatta solo per
A≥39, e non si hanno isomeri di elementi leggeri. Anche ad A più elevati, gli stati
isomerici nucleari non sono distribuiti uniformemente tra tutti i nuclei, ma sono di
preferenza concentrati in “isole” con Z o N dispari proprio al di sotto dei numeri
magici 50, 82, 126 ed A pari. Isomeri con N e Z entrambi pari sono molto rari.
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figura 6.1
Un altro esempio di isomerismo nucleare è fornito dal nucleo 60Co, come illustrato in
figura 6.3 dove è indicato il livello isomero eccitato a 58.6 keV
figura 6.2 il diagramma a livelli del 80Br
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figura 6.3 il diagramma a livelli del 60Co
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