Decadimento g
L’emissione di raggi g (radiazione elettromagnetica) si verifica quando un nucleo si
forma in uno stato eccitato (ad es. dopo un decadimento a o b o dopo un urto).
La trattazione delle transizioni radiative nei nuclei è generalmente simile a quella per gli
atomi, eccetto che
Atomo
.
Eg eV l 108 fm G 109 s-1
Solo le transizioni di dipolo sono importanti
Nuclei
.
.
Eg MeV l 102 fm G 1016 s-1
Sono importanti anche transizioni di ordine superiore. Il moto collettivo di
molti p porta a rate di transizione maggiori
Due tipi di transizioni:
Transizioni elettriche (E): sono dovute da una carica oscillante che causa un’oscillazione
del campo elettrico esterno
Transizioni magnetiche (M): sono dovute a una corrente o un momento magnetico
variabile che causano un campo magnetico variabile
1
Nel caso più semplice, il fotone porta via il momento angolare L quando un protone di un
nucleo fa una transizione dallo stato iniziale di momento angolare Ji allo stato finale di
momento angolare Jf
Ji J f
Ji J f Ji J f
Il fotone ha JP=1- L 1
L’emissione di un singolo g è proibita fra due stati J = 0.
Transizioni 0 0 possono verificarsi solo attraverso conversione interna o con
l’emissione di più di un g
Le probabilità di transizione sono ottenute utilizzando la regola d’oro di Fermi
Gi f
2
2
M (E f )
2
Apriamo una parentesi ...
3
Il campo elettromagnetico
Le equazioni di Maxwell sono
1.
2.
3.
4.
E
1 1 E
B j
c
c t
B 0
1 B
E
c t
Introducendo il potenziale scalare f e il potenziale vettore A, il campo elettrico e
magnetico possono essere espressi come
1 A
E f
, B A
c t
Queste non determinano i potenziali univocamente, poichè la trasformazione
1 f
f f
,
c t
A A f
non cambiano E e B invarianza di gauge
trasformazione di gauge
4
Riscriviamo le eqq. 1 e 2 in termini dei potenziali.
2
1 A
1
f
1. E f
A
c t
c t
1 1
1 A
f
2. B A j
c
c t
c t
Concentriamoci sulla 2. Usando la relazione
2
A A A
possiamo riscrivere
2 1 A 1 f 1
A 2 2 A
j
c t
c t c
2
L’invarianza di gauge ci permette di fissare delle condizioni. Una conveniente è
A 0
gauge di Coulomb
5
Consideriamo adesso il caso del campo libero, cioè assenza di cariche e correnti: = 0,
j = 0. In assenza di cariche, eq. 1 diventa
2
f 0
che ha come soluzione che si annulla all’infinito f = 0.
Eq. 2 diventa invece
2 1 2 A
A 2 2 0
c t
che è un’equazione d’onda. Se assumiamo soluzioni del tipo
ikr t
A A0e
la condizione fissata dal gauge di Coulomb implica che
i ( kr t )
A ik A0e
k A0
Quindi A è perpendicolare alla direzione di propagazione del vettore d’onda k
onda trasversale
6
Modi normali del campo di radiazione
Supponiamo che il sistema sia racchiuso in una scatola di lato A. Abbiamo le condizioni
di frontiera
A(0, y, z, t ) A( L, y, z, t ),
Le funzioni
1 ikr
l e , l 1, 2
V
1 2 0, 1 k 0,
2n
k
V
formano un insieme completo di vettori ortonormali trasversi. Possiamo quindi
espandere A in serie di Fourier usando questi campi
c 2
A(r , t )
l , k 2V k
1/ 2
l al ( k , t ) e
ik r
al (k , t )e
*
ik r
Coefficiente inserito solo per convenienza futura
Questa forma assicura che A sia reale: A = A*
7
Se sostituiamo questa espansione nell’equazione d’onda di A troviamo che ciascun
coefficiente al(k,t) soddisfa
2 al (k , t )
2 2
2
k
c
a
(
k
,
t
)
l
k al ( k , t )
2
t
La soluzione di questa equazione può essere scritta come
al (k , t ) al (k )e i k t , al* (k , t ) al* (k )ei k t
Se definiamo i vettori
c
a (k , t )
l 2V k
2
1/ 2
c
l al (k )e i k t , a * (k , t )
l 2V k
2
1/ 2
*
l al (k )ei k t
l’espansione di Fourier assume la forma
*
ik r
ik r
A(r , t ) a (k , t )e a (k , t )e
k
Questa può essere ulteriormente semplificata introducendo
*
ik r
A(k , t ) a (k , t ) a (k , t ) A(r , t ) A(k , t )e
k
8
Energia del campo elettromagnetico. Vogliamo calcolare l’energia totale del campo in
termini di A(k),
1 2 2 3
H E B d r
2
Per i campi elettrico e magnetico abbiamo
1 A
1
ik r
E
A(k ) e ,
c t
c k
ik r
B A i k A(k ) e
k
Nei quadrati di queste somme, tutti i prodotti con k e k’ tali che k’ -k sono nulli
nell’integrale perchè contengono termini del tipo
L
e
i
2
nx x
L
dx 0
dalle condizioni di frontiera
0
Nei termini con k’ = - k gli esponenziali scompaiono per cui
*
*
V 1
H 2 A(k ) A (k ) k A(k ) k A (k )
2k c
9
k A 0 k A(k ) 0
Poichè
abbiamo
*
*
2
k A(k ) k A (k ) k A(k ) A (k )
V
H 2
2c
*
*
2 2
A(k ) A (k ) k c A(k ) A (k )
k
Torniamo ai vettori a (k )
*
*
A(k ) a (k ) a (k ) A(r, t ) ik a (k ) ik a (k )
Troviamo che
V
H 4 2
2c
V
4 2
2c
l
k,
a * (k ) a (k )
2
k
k
c 2 2 *
k al (k )al (k ) k al* (k )al (k )
2V k
k ,l
10
L’oscillatore armonico
L’hamiltoniana dell’oscillatore armonico classico
p2 1
H
m 2 x 2
2m 2
può essere fattorizzata nel modo seguente
1
p
H x
m i
2m
2
1
p
x
2 m i 2m
In meccanica quantistica dobbiamo fare attenzione all’ordine perchè x e p non
commutano
x, p i
Di conseguenza
2
1
i
i
p
1
2
H
mx px xp
2
2
2m
2
2
11
Introduciamo gli operatori
1 1
p
x m i
,
a
2
2m
1 1
p
a
x
m
i
2
2m
a, a 1
possiamo riscrivere l’hamiltoniana nella forma
1
H a a
2
Poichè l’energia del sistema è una grandezza definita positiva, segue che anche
l’operatore N = aa+ è definito positivo. Quindi N possiede un autovalore minimo non
negativo n0 0.
Dall’equazione agli autovalori N n n n segue che
Na n (n 1)a n , Na n (n 1)a n
Quindi a|n> e a+|n> sono autostati di n corrispondenti a autovalori n e n + 1
n C n 1 , a n C' n 1
12
Se n0 è l’autovalore minimo, allora
a n0 0, e a a n0 n0 n0
n0 0
Quindi gli autovalori di N sono gli interi n = 0, 1, 2, 3, ...
Se lo stato |n> è normalizzato a 1, allora anche |n1> sono normalizzati se
n n n 1 , a n n 1 n 1
Possiamo costruire lo stato |n> applicando ripetutamente a+ sullo stato del vuoto
n
a
n
n!
0
Queste sono dunque anche gli autostati dell’hamiltoniana dell’oscillatore armonico con
autovalori dell’energia
1
E n n
2
Gli operatori a+/ a sono detti di innalzamento/abbassamento o di creazione/distruzione
13
Evoluzione temporale. Abbiamo finora fissato il tempo (t = 0). L’evoluzione temporale
può essere seguita nella rappresentazione di Heisemberg (gli operatori sono funzione
del tempo)
i
da(t )
a(t ), H
dt
da cui
da(t )
i a(t ) a(t ) ae it
dt
Confronto con l’hamiltoniana del campo di radiazione:
- Stessa forma di H (a parte un fattore costante)
- Stessa equazione che governa l’evoluzione temporale dei termini a e a+
14
Quantizzazione del campo di radiazione
L’hamiltoniana del campo di radiazione è una sovrapposizione di oscillatori armonici.
Introduciamo quindi le relazioni di commutazione
a (k ), a
l
l'
(k ' ) ll ' kk '
al (k ), al ' (k ' ) a l (k ), a l ' (k ' ) 0
l’hamiltoniana del campo di radiazione diventa
H
k ,l
1
k al (k )al (k )
2
Gli operatori Nl(k) = a+l(k) al(k) hanno autovalori nl(k) = 0, 1, 2, ... e autostati
nl (k )
a
l
nl ( k )
(k )
nl (k )!
0
Gli autostati e gli autovalori di H sono
nl (k )
ki ,li
1
nli (ki ) , E k nl (k )
2
k ,l
15
nl(k) = numero di fotoni di polarizzazione l e momento k.
Poichè nl(k) = 0, 1, 2, ... i fotoni soddisfano la statistica di Bose-Einstein – sono
bosoni
L’energia dello stato del vuoto |0> (lo stato in cui non ci sono fotoni) è
1
k
2 k ,l
Questa è però una costante additiva senza significato fisico che può essere eliminata
traslando lo zero della scala dell’energia.
Il potenziale vettore diventa ora un operatore
A(r , t ) A (r , t ) A (r , t )
c 2
A (r , t )
l , k 2V k
c 2
A (r , t )
l , k 2V k
1/ 2
1/ 2
l al ( k , t ) e
l al ( k , t ) e
*
ik r
ik r
contiene operatori di distruzione
può diminuire il numero di fotoni
contiene operatori di creazione
può aumentare il numero di fotoni
16
Chiusa parentesi ...
17
Interazione radiazione-materia
L’hamiltoniana di una particella libera è descritta H = p2 / 2m.
L’interazione con la radiazione è descritta operando la sostituzione
e
p p A
c
Abbiamo
2
e
2 e e 2
p A p p A A p A
c
c
c
e 2
2
p 2 A p A
c
Gauge di Coulomb
p A i A 0
Possiamo quindi decomporre H nella parte libera e in quella di interazione
e
1 2
HI
A p
A
mc
2mc
Termine lineare in A: descrive
processi in cui è emesso o assorbito
un fotone
Termine quadratico in A: descrive
processi in cui sono emessi o assorbiti
18
due fotoni
Transizioni radiative
In una transizione fra due stati atomici o nucleari un viene emesso o assorbito un fotone.
Abbiamo gli stati iniziale e finale
Abbiamo
A, nl (k )
stato iniziale
B, nl (k ) 1
stato finale
stato fotonico
stato nucleare
Dobbiamo quindi calcolare l’elemento di matrice
B, nl (k ) 1 H I A, nl (k )
In HI contribuirà solo la parte di A contenente operatori di creazione, e solo il termine
dell’espansione k che conserva l’energia
c 2
A nl (k )
2Vk
1/ 2
i k r i k t
l (k )e
nl (k ) 11/ 2 nl (k ) 1
19
Abbiamo quindi
B, nl (k ) 1 H I A, nl (k )
e c
mc 2Vk
2
1/ 2
ikr
B l (k ) pe
A eik t
nl (k ) 1
1/ 2
Aspetto interessante: fattore nl(k) + 1 emissione stimolata – più fotoni ci sono nello
stato finale maggiore è l’emissione
Emissione spontanea: nl(k) = 0 nello stato iniziale
e c
B, nl (k ) 1 H I A, nl (k ) 0
mc 2Vk
2
1/ 2
ikr
B l (k ) pe
A e i k t
Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi
2
ikr
2 e 2
dwl
l (k ) B pe
A f
2
m 2V k
20
Interazione di dipolo
Nell’approssimazione di dipolo si ha
e
ik r
1
Giustificazione: valida se la lunghezza d’onda della radiazione l = 2 / k > dimensioni
lineari R del sistema, cosicchè
k r kR 1
Per raggi g emessi da nuclei abbiamo R fm. Inoltre,
l
c
200
(fm )
2
E (MeV) E (MeV)
Quindi l’approssimazione di dipolo è valida per energie tipiche delle transizioni nucleari.
Ora
B p A m Br A
Usiamo l’equazione del moto
ir r , H
21
Quindi
im
im
m Br A
B r , H A
B rH Hr A
im
E A E B B r A
La differenza di energia fra lo stato finale e iniziale è uguale all’energia del fotone
emesso
EA EB
Arriviamo quindi al risultato
B p A im B r A
Il rate di transizione è
2
2 e 2
2 2
dwl
m k l (k ) B r A f
2
m 2V k
2
e 2 k
l (k ) B r A f
V
22
Densità di stati finali. Il numero di stati fotonici nell’intervallo (k, k + dk) è
d k
k 2 dkd
dn V
V
3
(2 )
(2 )3
3
Poichè k = /c possiamo anche riscrivere
d k
2 dd
dn V
V
3
(2 )
(2 )3 c 3
3
La densità di stati è
dn
dn
2 d
f
V
dEg d
(2 ) 3 c 3
Il rate di transizione è quindi
e 2k3
dwl 2 3
8 c
e 2k3
2 3
8 c
2
l (k ) B r A d
2
l (k ) rBA d,
B r A rBA
23
Somma sugli stati di polarizzazione l del fotone. Abbiamo
2
e 2 k3
dw dwl 2 3 l (k ) rBA d
8 c l 1, 2
l
I vettori 1(k), 2(k), e k formano un sistema ortonormale. Quindi
2 *
ˆ *
ˆ
l (k ) rBA rBA rBA k rBA k rBA
l
Quindi
*
rBA rBA 1 cos 2
*
rBA rBA sin 2
= angolo fra rBA e k
e 2 3 2 2
dw 2 3 rBA sin d
8 c
Otteniamo la probabilità di transizione totale integrando su tutte le direzioni
8
sin d 3
3
24
Rate di transizione totale
e 2 3 2
w
r
3 BA
3c
Per stimare questo rate poniamo
2
rBA R 2
Essendo Eg = h,
R = raggio nucleare
4 3 2
e2
w aEg R , a
3
4c
Per Eg = 1 MeV, R = 5 fm,
w( E1) 0.24 MeV 3 fm 2
0.24
1
s
(197) 2 6.6 1022
c 197 MeVfm
6.6 1022 MeVs
1016 s 1
(per una transizione atomica abbiamo w 109 s-1)
25
Il rate può essere convertito nell’intensità della radiazione (potenza) moltiplicando per
l’energia di un fotone
2 4
e 2
P w
r
3 BA
3c
Questa è la formula classica dell’intensità emessa da un dipolo oscillante avente
momento di dipolo
d e B r A e it
illustrazione del principio di corrispondenza
26
Regole di selezione
Poichè le funzioni d’onda nucleari hanno parità definita, l’elemento di matrice può essere
non nullo solo se gli stati iniziale e finale hanno parità opposta
: er er
Transizione E1 la parità del nucleo cambia
Supponiamo di avere uno stato iniziale e finale caratterizzati da numeri quantici ni, li, mi,
e nf, lf, mf (trascuriamo lo spin dei nucleoni). L’elemento di matrice ha la forma
B l (k ) r A r 2 Rn* f f m f (r )rRni i mi (r )dr
Y*f m f ( , ) l (k ) rˆY i mi ( , )d
Concentriamoci sulla parte angolare. Abbiamo
l (k ) rˆ x sin cos y sin sin z cos
27
Facendo uso di
3
Y1,0 ( , ) cos ,
4
3
Y1, 1 ( , ) sin e i
8
possiamo riscrivere
3
l (k ) rˆ
4
x i y
x i y
zY1,0
Y1,1
Y1, 1
2 2
2 2
Quindi l’integrale contiene termini del tipo
*
Y
f m f ( , )Y1,m ( , )Y i mi ( , )d
Consideriamo prima l’integrazione azimutale,
2
e
im f im imi
e
e
d 2m,m f mi
0
Questo porta quindi alla regola di selezione
m f mi m 1, 0, 1
28
Assumiamo che l’asse z coincida con la direzione del vettore d’onda k. Allora z = 0 e m
= ±1 cosicchè
m f mi 1
Se lf = mf = 0 allora m = -mi. Assumiamo ad esempio che polarizzazione del lungo z sia
mi = 1. Allora m = -1 e il vettore di polarizzazione della radiazione è
x i y
2
La conservazione del momento angolare richiede che esso sia portato via dal fotone.
Quindi il suo spin deve essere allineato lungo la direzione z positiva deve avere elicità
positiva
x i y
2
x i y
2
Stato di polarizzazione circolare a sinistra=stato di
elicità positiva
Stato di polarizzazione circolare a destra=stato di
elicità negativa
29
L’integrazione in dà luogo a un’altra regola. Assumiamo il caso lf = 0.
Poichè Y 0,0=1 / (4)1/2 , abbiamo
1
1
Y1,m ( , )Y i mi ( , )d
i ,1 mi , m
4
4
Quindi lo stato iniziale deve avere li = 1. Transizioni 0 0 sono proibite.
In generale vale la relazione (C sono detti coefficienti di Wigner)
Y1m1 ( , )Y 2 m2 ( , )
1 2
C ( L, m m ;
1
L 1 2
2
1
2 , m1 , m2 )YL ,m1 m2 ( , )
Sostituendo nella parte angolare dell’ampiezza otteniamo
*
Y
f m f ( , )
i 1
C ( L, m m ;1, , m, m )Y
L i 1
i
i
i
L , m m2
( , ) d 0
a meno che
1, 0, 1
regola di selezione della radiazione di dipolo elettrico
(non ci sono transizioni 00)
30
Transizioni di ordine superiore
Se le regole di selezione proibiscono la transizione di dipolo A B, il processo di
emissione può procedere attraverso termini di ordine superiore dell’espansione
e
ik r
1 ik r
Col secondo termine abbiamo
3
3
l (k ) B ik r p A i la (k ) k b B rb pa A
a 1 b 1
a, b (=1, 2, 3) sono le componenti cartesiane dei vettori , k, r
L’elemento di matrice può essere scritto come somma di una parte simmetrica e una
antisimmetrica
B rb pa A
1
B rb pa ra pb A B rb pa ra pb A
2
operatore momento angolare
antisimmetrico
interazione di dipolo magnetico
operatore di quadrupolo elettrico
interazione di quadrupolo elettrico 31
Interazione di dipolo magnetico
Interazione di dipolo magnetico: Lz = r1p2 – r2p1 proporzionale al momento magnetico
e
z
Lz
2m p
generata dalle correnti elettriche dovute ai protoni
Dobbiamo inoltre aggiungere il contributo dei momenti magnetici intrinseci.
La componente z dell’elemento di matrice contiene quindi l’operatore
e
Lz z
2m p
B z ,tot A B Lz z A
z ,tot
r1 p2 r2 p1 z Ad r
*
B
3
Sotto parità il momento magnetico si trasforma come il momento angolare
: er v e(r ) (v ) er v
Transizione M1 non cambia la parità del nucleo
32
Tipicamente
e
z
N
2m p
Magnetone nucleare
Possiamo quindi scrivere
2
Γ(M 1 ) e 1
Γ(E1 ) 2m p e 2 R 2
Nel caso di un protone la sua lunghezza d’onda Compton è
c
200 MeV fm
0.2 fm
2
mpc
1 GeV
Assumendo R 5 fm, troviamo
Γ(M 1 ) l
4 10 2
10 3
Γ(E1 ) R
25
2
33
Radiazione di multipolo
Se gli stati nucleari iniziale e finale differiscono per più di una unità di momento angolare
radiazione di multipolo di ordine superiore
Classificazione
e
ik r
1 2
1
1 ik r k r ik r
2
n!
n
Dipolo E1
Dipolo M1
Quadrupolo E2
Quadrupolo M2
ottupolo E3
Ciascun termine successivo in A è ridotto rispetto al precedente di un fattore kR.
Per k 1 MeV, R 5 fm kR 5 MeV fm 0.025 (5 MeV fm / hc).
Quindi
kR 103
2
Γ(E 2 )
Γ(M 1 )
3
10
Γ(E1 )
Γ(E1 )
34
L’elemento di matrice di una transizione E2 va come r2 pari sotto trasformazione di
parità
Abbiamo le regole di selezione della parità
transizioni EL parità = (-1)L
transizioni ML parità = (-1)L+1
e del momento angolare
Ji J f L Ji J f
In generale, un decadimento procederà in modo dominante dal processo di ordine più
basso permesso dalla conservazione del momento angolare e della parità.
Ad esempio, se un processo ha J = 2, la parità non varia, esso procederà via E2,
35
anche se M3 e E4 sono pure permessi.
Esempio:
Informazioni sulla natura delle transizioni è molto utile per dedurre i valori JP degli stati.
Anche gli effetti collettivi possono essere importanti:
- molti nucleoni partecipano alle transizioni
- Se un nucleo un grande valore di Q stati rotazionali eccitati favoriscono le transizioni
E2
36
2 1!! 2 1 2 13 1
Generalizzazione dei risultati. I calcoli dettagliati danno
8 1
l ( , m )
2 1!! c
2 1
Qm Q'm
E
2
dovute al momento
magnetico intrinseco
dovute alle coordinate
spaziali
8 1
M
l ( , m )
2 1!! c
2 1
M m M ' m
2
Gli elementi di matrice elettrico e magnetico dovuti alle coordinate spaziali possono
essere scritti in coordinate polari
Qm e Y ( , ) r i d r
Z
k 1
M m
*
m
*
f k
3
1 e Z
*
*
3
rk Ym ( , ) f Lk i d r
1 mc k 1
Ciascuna ampiezza è una somma di Z integrali !
I termini Q’Lm, M’Lm sono la somma di A integrali e contengono le matrici di Pauli.
37
Per fare una stima proviamo qualcosa di semplice. Consideriamo la transizione di un
singolo protone
i Rn ' j 'n ' ' ( , ), f Rn '' j ''n '' '' ( , )
Assumiamo che RnL sia costante da r = 0 a r = R. Poniamo
1/ 2
3
Rn ' (0 r R) 3
R
normalizzazione della
funzione d’onda
L’integrale radiale è quindi
3
R
r
R
r
dr
R
i
3
*
f
2
L’integrazione della parte contenente le funzioni sferiche porta a un fattore S(Ji,Jf,L) che
è dell’ordine dell’unità
modulo quadro
2 1
2
dell’ampiezza
E
8 1 g
l ( , m )
a
2 1!! c
E
3
2
cR
3
38
In modo analogo, per transizioni magnetiche si ha
8 1 Eg
M
l ( , m )
a
2 1!! c
2 1
1 2 2
cR
1
mc
Procedendo in modo sistematico si ottengono le stime di Weisskopf
lE 1 1.0 1014 A2 / 3 E 3
lE 2 7.3 107 A4 / 3 E 5
lE 3 34 A2 E 7
lE 4 1.110 5 A8 / 3 E 9
lM 1 5.6 1013 E 3
lM 2 3.5 107 A2 / 3 E 5
lM 3 16 A4 / 3 E 7
lM 4 4.5 10 6 A2 E 9
Esse forniscono non tanto stime assolute dei rate. Sono utili per confronti relativi dei rate
di transizione
l ( 1)
105
l ( )
lE ()
2
10
lM ()
39
