Tesina - Antinomie

Le antinomie
DALLA FILOSOFIA ALLA MATEMATICA E ALLA LOGICA
PASSANDO PER L ’ARTE DI ESCHER
Tesina
Giovanni Azrak
2010/2011
Giovanni Azrak
VB
Tesina - Antinomie
INDICE
•
Schema
•
Introduzione
•
L’origine in filosofia
o Le 4 antinomie nella scienza
•
La grafica di Escher come ponte tra filosofia, logica e
matematica
o Le opere e i loro paradossi
 Belvedere
 Concavo e convesso
La scala di Schröder
Salita e discesa
o La logica dei paradossi nella produzione artistica
di Escher
o Il parallelismo con i paradossi della lingua.


•
La svolta: Classe di tutte le classi, Russel
o L’evoluzione nella storia recente

Conclusione
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Giovanni Azrak
VB
Tesina - Antinomie
S CHE MA
Origine in filosofia
• Le 4 antinomie
La grafica di Escher
come ponte tra filosofia,
logica e matematica
La logica dei paradossi
nella produzione
artistica di Escher
Le opere e i loro
paradossi
•
Belvedere
•
Concavo e
convesso
•
La scala di
Schröder
•
Salita e discesa
Il parallelismo
con i paradossi
della lingua.
La svolta: Classe di tutte le
classi, Russel
• L’evoluzione nella
storia recente
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Giovanni Azrak
VB
Tesina - Antinomie
I N TR O D U Z I ON E
Mediante questa tesina mi ripropongo di approfondire
cosa sia una antinomia: in sintesi, per antinomia si
intende la compresenza di due proposizioni fra loro
incompatibili,
designate
l'una
tesi
e
l'altra
antitesi, che sono tuttavia egualmente dimostrabili.
Mostrerò il caso più classico di antinomia. Quello studiato da
Kant nella Critica della ragion pura, e precisamente nella
sezione relativa alla dialettica che contraddistingue le idee
della ragione. Secondo Kant, infatti, nel tentativo di
unificare le conoscenze si va al di là di quanto l'esperienza
ci attesta. Questo porta la nostra ragione ad avvolgersi in
una serie di contraddizioni, come appunto le quattro antinomie
relative all'idea del mondo come totalità assoluta di tutti i
fenomeni.
Per mezzo della produzione grafica di Escher illustrerò,
quindi, come la sua arte faccia da ponte tra la filosofia e la
logica.
Affronterò, poi, l’implicazione delle antinomie nella logica
contemporanea in cui il termine antinomia designa quei
ragionamenti paradossali (già studiati nell'antichità, come il
paradosso del mentitore: “se tu dici che menti, o dici il vero
e allora menti, o dici il falso e allora dici la verità”), che
pur partendo da premesse accettabili conducono a conclusioni
contraddittorie.
In
particolare
analizzerò
la
celebre
antinomia Betrand Russell relativa alla classe di tutte le
classi che non sono membri di se stesse.
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VB
Tesina - Antinomie
L’ O R I G IN E IN F IL O S O F I A
Le antinomie vengono introdotte per la prima volta da Kant. Le
antinomie
kantiane
sono
quattro
coppie
di
affermazioni
contrarie in cui ciascuna coppia è formata da una tesi e una
antitesi. Queste vengono anche definite come paradossi logici,
anche se tale dicitura non è del tutto precisa essendo un
paradosso semplicemente un affermazione che appare impossibile
in quanto contraria all’opinione comune. In ogni antinomia o
coppia di affermazioni non è possibile stabilire se sia vera
la tesi o l' antitesi, e ciò distingue le antinomie dalle
normali coppie di contrari in cui è possibile individuare il
vero e il falso.
Se ad esempio consideriamo le affermazioni:
a. Il sole gira intorno alla terra.
b. La terra gira intorno al sole.
Questo esempio, prima di Copernico, era paradossale ma non
antinomico,
infatti,
Copernico
poté
provare
la
seconda
affermazione. Quindi non si tratterà di un’antinomia.
Le antinomie vengono trattate per la prima volta, con tale
nome, nella Critica della ragion pura di Immanuel Kant e più
precisamente nella critica alla Cosmologia Razionale contenuta
nella Dialettica Trascendentale. Antinomia deriva dal greco
αντινομια, composto di αντι "contro" e un derivato di νομος
"legge"
Secondo
Quintiliano,
"la
parola
antinomia
significa
propriamente
conflitto
di
leggi".
Nel
"Dizionario
di
Filosofia" Nicola Abbagnano scrive che Kant estese il concetto
ad indicare il conflitto della ragione con se stessa in virtù
dei suoi stessi procedimenti.
Alla maniera dei ragionamenti dei sofisti, le antinomie
kantiane sono affermazioni opposte, ciascuna dimostrabile
logicamente ed in modo ineccepibile senza contraddizione nelle
ragioni l'una dell'altra. In concreto, sono proposizioni
probabilmente vere o false (ossia se ne può dare prova), ed
inconfutabili di per sé. Ciò in quanto hanno le loro
fondamenta in un presupposto inconoscibile, ossia la realtà, o
nelle parole di Kant "la vera natura del mondo". Dato che la
cosa in sé, ossia la realtà, è per Kant inconoscibile, la
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ragione non può dimostrare, né provare certamente e in modo
perentorio, alcuna delle quattro antinomie.
Le
stesse
teorie
indimostrabilità:
PRI MA
scientifiche
attuali
confermano
tale
ANTI NOMI A
a) Il mondo ha un inizio nel tempo e, nello spazio, è chiuso
dentro limiti.
b) Il mondo è infinito sia nel tempo che nello spazio.
Anche secondo la cosmologia, la tesi è vera se accettiamo la
teoria del Big Bang, invece l'antitesi vale in alcune altre
ipotesi cosmologiche, ad esempio nel modello dello Stato
Stazionario o in alcuni modelli di universo inflazionario.
Anche nel caso del Big Bang, il volume dell'Universo può
essere finito, ma non ci sono né limiti né confini, come sulla
superficie di una sfera: come lì il confine è nella terza
dimensione
e
non
sulla
superficie,
il
confine
dello
spaziotempo è nella quarta dimensione e noi non lo percepiamo.
SECOND A
AN TI N O MI A.
a) Ciascuna
cosa
è
composta
da
parti
semplici
costituiscono altre cose composte da parti semplici.
b) Non esiste nulla di semplice, ogni cosa è complessa.
che
Anche qui notiamo come la fisica delle particelle sia ancora
alla ricerca dei costituenti ultimi della materia, e tuttavia
anche questi, per
via
delle
proprietà
della
meccanica
quantistica, possono essere interpretati come sovrapposizioni
di più stati o particelle.
Altri modelli, come la teoria delle stringhe ritornano alla
teoria del continuo, ritenendo le particelle "proiezioni" in 3
dimensioni delle stringhe, definite continue, che ne hanno
invece 10 o 11.
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Altre teorie ancora, come la gravitazione quantistica a loop,
ritengono invece che esistano granelli indivisibili (quanti)
persino dello spaziotempo.
TERZA
AN TINO MI A
a) La causalità secondo le leggi della natura non è la sola
da cui possono essere derivati tutti i fenomeni del
mondo. È necessario ammettere per la spiegazione di essi
anche una causalità per la libertà.
b) Nel mondo non c'è nessuna libertà, ma tutto accade
unicamente secondo leggi della natura.
Anche qui, sebbene la teoria delle variabili nascoste nella
meccanica
quantistica
sia
ormai
screditata,
esistono
dimostrazioni di come il comportamento quantistico possa
emergere da sistemi complessi e non lineari, anche se nessuno
sa come darne prova sperimentale.
Q U A R TA
A N TI N O M I A
a) Esiste un essere necessario che è causa del mondo.
b) Non esiste alcun essere necessario, né nel mondo né fuori
dal mondo che sia causa di esso.
Anche qui, oltre le cinque vie di Tommaso d'Aquino vi sono i
lavori di John Conway sui numeri surreali che mostrano come
sia possibile "inserire matematicamente" una causa prima e la
prova ontologica ripresa da Kurt Gödel.
Al contrario, Feuerbach e Marx negano l’esistenza di Dio
fornendo spiegazioni alternative alla genesi del concetto.
Netizsche, poi, dà forma e sostanza di tesi (Dio è morto) al
suo sospetto.
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VB
Tesina - Antinomie
LA
G R AF I CA D I E S C H E R C O M E P ON TE TR A F I L OS O F I A ,
L OG I C A E M ATE M A T I C A
L’opera grafica di Escher posteriore al 1935 è interessante
non solo dal punto di vista artistico, ma anche da quello
matematico e filosofico, giacchè spazia con felici intuizioni
dalla geometria alla logica e nei quali possiamo osservare un
espressione grafica di diverse antinomie, concetto filosofico
già spiegato in precedenza.
Le più famose opere di Escher si fondano su due principali
elementi:
• Il primo è esplicato nel motto che troviamo alla fine
della Poetica di Aristotele ove si ripete due volte
che una convincente impossibilità è preferibile a una
non convincente possibilità.
• Il secondo è
percettivi.
rappresentato
da
ben
noti
paradossi
Questi paradossi sono basati sul contrasto antinomico tra
percezione e interpretazione di dati sensoriali oltre che sul
condizionamento
fisiologico
e
culturale
che
spinge
a
considerare figure bidimensionali come rappresentazioni di
oggetti tridimensionali.
L E O P E R E E I L O R O P A R A D OSS I
BEL V ED E R E
B ELVEDERE
La litografia Belvedere è ispirata al 'cubo
di Necker', che si ottiene disegnando un cubo
in prospettiva con tutti i lati in evidenza:
così facendo si crea un'ambiguità su quale
delle facce stia davanti e quale dietro, e
due
possibili
cubi
si
alternano
nella
percezione. Il cubo di Necker è disegnato nel
progetto che sta ai piedi del personaggio
seduto
sulla
panca
(con
i
due
punti
problematici evidenziati), ed egli tiene in
mano un modello di 'cubo impossibile', in cui
l'ambiguità viene risolta fondendo le due
possibilità,
e
creando
così
un
cubo
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Tesina - Antinomie
localmente corretto (nella parte alta e in quella bassa), ma
globalmente impossibile.
L'edificio della figura realizza poi
il cubo impossibile, congiungendo paradossalmente le parti
alta e bassa, che sono separatamente consistenti.
C ON C A VO E C ON VE S S O
La litografia Concavo e convesso illustra due paradossi. Il
primo, detto dei cubi reversibili, era già noto ai Romani, che
l'hanno usato in vari mosaici, ed è
stato sfruttato in modo sistematico da
Victor Vasarely, la cui opera Escher
però disprezzava: tre rombi adiacenti
sono visti come le facce di un cubo, ma
possono essere interpretati sia come
facce esterne sia come facce interne;
inoltre, se ce ne sono più di tre,
quelli non estremi possono appartenere
CONCAVO E CONVESSO
a più di un cubo, facendo apparire
l'immagine
alternativamente
convessa
e
concava.
Cubi
reversibili sono disegnati sulla bandiera in alto a destra
della figura, e questa realizza il contrasto convesso/concavo
fra le parti sinistra e destra. In particolare, dei tre
tempietti cubici quello centrale è ambiguo, e rappresenta
quindi un cubo reversibile, mentre quelli ai lati mostrano le
due possibilità separatamente, dall'esterno e dall'interno.
LA CA SC ATA
Il secondo paradosso, detto scala di Schröder, mostra come il
disegno di una scala possa risultare ambiguo, ed essere
considerato allo stesso tempo come la rappresentazione di una
scala posta sia su un pavimento (a sinistra) sia su un
soffitto (a destra), o da percorrere stando sia sopra sia
sotto i gradini.
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Tesina - Antinomie
In questa opera il triangolo impossibile appare per tre volte
consecutive nella rappresentazione di un canale che sembra
localmente in piano, ma globalmente
in
salita.
Escher
crea
così
l'impressione
doppiamente
paradossale, da un punto di vista
fisico, di un moto perpetuo generato
dall'acqua che scorre all'insù. Si
noti come l'intera figura sia in
realtà la
sovrapposizione
di
due
figure separatamente consistenti: due
torri (l'una a tre piani e l'altra a
due), e un canale orizzontale (con i
lati a due a due perpendicolari).
Sulle colonne di La cascata sono
raffigurati
due
strani
poliedri:
quello a sinistra è l'intersezione di
CASCATA
tre
cubi,
quello
a
destra
l'intersezione
di
tre
ottaedri
irregolari
(o,
alternativamente,
un
dodecaedro
con
facce
romboidali
stellato).
S A L IT A E D IS C E S A
Nella litografia Salita e discesa è infine rappresentata la
“scala di Penrose”, in cui un moto perpetuo è generato in modo
opposto a quello di La cascata: non
mediante un percorso in salita che
dovrebbe essere in piano, ma da un
percorso
in
piano
che
dovrebbe
essere in salita. Il disegno è
un'anamorfosi,
cioè
la
rappresentazione
distorta
di
una
prospettiva che si vede in modo
naturale
soltanto
guardandola
da
un'angolazione
particolare.
Gli
scalini sono in realtà posti l'uno
sull'altro come tegole su un tetto
SALITA E DISCESA
piano, o libri su un tavolo, in modo
da
formare
un
quadrilatero:
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Tesina - Antinomie
l'illusione
deriva
dal
disegnare
come
verticali
i
prolungamenti delle altezze degli scalini, che sono in realtà
linee oblique. Poiché però tali prolungamenti vanno in
direzioni opposte su lati opposti del quadrilatero, l'edificio
si può disegnare solo a metà, e non potrebbe stare in piedi.
Paradosso a parte, Escher vide qui una metafora dell'assurdità
della vita, non solo del 'come è duro calle lo scendere e 'l
salir per l'altrui scale' (Paradiso, XVII, 59-60), ma anche di
quanto tale affanno sia inutile, e non porti in realtà da
alcuna parte.
L A LOG I C A D E I P A R A D OS SI
In conclusione, possiamo dividere i 6 paradossi percettivi
usati da Escher in due classi. Tre di essi (il cubo di Necker,
i cubi reversibili e la scala di Schröder) sono semplicemente
figure ambigue, che rappresentano più di un oggetto allo
stesso tempo, su cui la percezione oscilla. I rimanenti tre
(cubo impossibile, triangolo impossibile e scala di Penrose)
sono invece figure assurde, che rappresentano un solo oggetto
ben definito.
L'assurdità delle figure del secondo gruppo è però di un tipo
molto
particolare:
essa
risiede
soltanto
nella
loro
interpretazione,
e
non
nel
fatto
che
esse
siano
rappresentazioni di percezioni impossibili. Richard Gregory ha
infatti dimostrato come tre sbarre a due a due perpendicolari
(ovviamente formanti non un triangolo chiuso, ma una figura
aperta)
possano
sembrare
un
triangolo
impossibile,
se
osservate da un particolare punto di vista. Analogamente, un
modello di cubo con due lati discontinui può sembrare un cubo
impossibile, se osservato da un particolare punto di vista
(perché le discontinuità permettono di vedere lati che si
trovano in realtà sul retro).
I P A R A D OS SI I N D I V I D U A T I NE L L A G R AF I C A S O N O ANC H E
N E L L A L I N GU A
Come sarà ormai evidente i paradossi delle figure assurde sono
in realtà di natura logica, e non fisica. Pertanto ritroviamo
tali paradossi in ogni strumento espressivo dell’uomo.
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Giovanni Azrak
VB
Tesina - Antinomie
Come la lingua per la quale l'esempio più celebre di questo
genere è certamente il famoso “paradosso del mentitore”, una
versione del quale è la seguente: “Questa frase è falsa”.
Naturalmente, se la frase fosse vera dovrebbe essere falsa
(perché questo è ciò che essa dice); e se fosse falsa dovrebbe
essere vera (perché questo è il contrario di ciò che essa
dice).
Un
aspetto
fondamentale
della
frase
precedente
è
l'autoriferimento, il fatto cioè che essa parli di se stessa.
Tale aspetto è esemplificato, nei disegni di Escher, dalla
presenza di un richiamo della figura principale in Stelle, del
cubo impossibile in Belvedere, e dei cubi reversibili sulla
bandiera di Concavo e convesso. Un aspetto secondario della
frase precedente è invece il fatto che l'autoriferimento sia
ottenuto in un solo passo. Gli usi moderni dei paradossi hanno
anzi mostrato che è più efficace spezzare l'autoriferimento in
due passi, come nel caso della seguente versione del paradosso
del mentitore, proposta da Jourdain nel 1913: “La frase
successiva è vera. La frase precedente è falsa”.
Il
fatto
che
essa
sia
in
realtà
l'accostamento inconsistente di due frasi
separatamente
consistenti
ricorda
ovviamente le realizzazioni di Belvedere e
La cascata. Ma i due passi sono illustrati
nel
modo
più
efficace
in
Mani
che
disegnano: in quanto immagine del processo
di riflessione di Escher sull'attività del M ANI CHE DISEGNANO
disegnatore, essa è forse anche il simbolo più indovinato di
tutto il suo lavoro.
E SEMPIO
DI AUTORIFERIMENT O
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Giovanni Azrak
VB
Tesina - Antinomie
L A S V O L TA : C L A SSE DI T U T T E L E C L A S SI , R U SSE L
Una prima vera svolta nel mondo antinomico si ha con la
scoperta, a opera del giovane Bertrand Russell, dell'antinomia
che concerne la classe di tutte le classi. L'antinomia di
Russell infatti si presenta come un paradosso del tutto nuovo
che scardina una delle teorie in quel momento in più grande
espansione: il logicismo di cui lo stesso Russell sarà
convinto portavoce e che si propone di ridurre matematica e
logica a fondamenti comuni, attraverso la teoria delle Classi.
In sintesi il filosofo britannico scopre che, se ogni oggetto
può essere definito in termini di classi e il numero delle
classi è, di conseguenza, infinito, ed è quindi possibile
definire una classe (ove per classe si intende un insieme
ordinato a partire da una qualunque proprietà logica), si
possono individuare classi caratterizzate da un comportamento
“problematico”.
Ad esempio se si tenta di definire la "classe di tutte le
classi che non si appartengono" (che chiameremo "R") ci si
deve porre il problema se tale classe goda o meno della
proprietà riflessiva, se cioè, appartenga o meno a sé stessa.
Ora se R appartiene a R allora è una classe che si appartiene,
quindi non si appartiene e, di conseguenza, gode della
proprietà R e dovrebbe appartenere a R.
La scoperta di tale antinomia provocò una crisi anche
personale nel filosofo tedesco Frege che, in pratica, suggerì
semplicemente di considerarla un'eccezione.
Russell, invece, continuò a studiare il problema, arrivando in
seguito a proporre vari modi per tentare di risolvere quello
che nel frattempo era divenuto il "problema delle antinomie".
Infatti, a partire da quella prima scoperta, diverse altre
antinomie vennero identificate o riscoperte, conducendo la
logica d'inizio secolo a un vero e proprio momento di crisi.
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Giovanni Azrak
VB
Tesina - Antinomie
L ’ E V OL U Z I ON E N E LLA ST O R I A R E C E NT E
Solo a partire dagli anni venti, infatti, i logici d'Europa
iniziarono a elaborare teorie che consentivano il superamento
di molte antinomie soprattutto attraverso l'elaborazione di
linguaggi
multilivello
che
consentivano
di
superare
le
antinomie determinate da contraddizioni del linguaggio (come
le
due
riportate
sopra)
o,
addirittura,
attraverso
l'elaborazione di logiche cosiddette polivalenti cioè con più
di due valori di verità (vero e falso) anche dette "non
aristoteliche".
C O NC L US I O NE
Le antinomie sono, quindi, come si è visto, intrinseche in
tutti i prodotti del pensiero umano.
L’uomo non possiede intuizione intellettuale e pertanto non
può conoscere la verità assoluta. Questo, però, non implica
che essa non esista.
Sta all’uomo la capacità di comprendere, prescindendo da
pregiudizi, le diverse interpretazioni della realtà senza dare
il proprio punto di vista per scontato.
Ampliando il proprio orizzonte visivo sarà possibile creare
logiche e linguaggi in grado di proporre una verità il più
possibile verosimile a quella assoluta.
In altre parole sebbene non sia possibile avere una certezza
della verità basandosi sull’esperienza si può stabilire una
maggiore probabilità di veridicità del soggetto o del
predicato. Affinché questa valutazione sia attendibile è
necessario valutare tutti i suoi aspetti.
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Giovanni Azrak
VB
Tesina - Antinomie
B IBLIOGR A FIA
G. REALE – D.ANTISERI, Storia della filosofia, Vol. 2, Ed. LA
SCUOLA, 2009.
C. PIGNOCCHINO FEYLES – L. NEVIANI, Geografia Generale, 2009.
P. ODIFREDDI, Le Scienze CD Rom, 1996.
D. ALIGHIERI, La Divina Commedia, Paradiso, XVII, 59-60.
BOMPIANI, Enciclopedia filosofica, Vol. 12, 2006.
MICROSOFT, Encarta, V. 16.0.0.1117, 2009.
RIZZOLI-LAROUSSE, Enciclopedia Larousse, 2003.
S IT O GR A F IA
http://www.treccani.it/ (Versione online integrale della
celebre enciclopedia)
http://www.youtube.com/ (Celebre portale dedicato allo scambio
di materiale video)
http://www.megavideo.com/ (Celebre portale dedicato allo
scambio di materiale video)
http://www.flickr.com/ (Celebre motore di ricerca utilizzato
per la ricerca di immagini e ulteriori video)
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