Problemi di Meccanica Quantistica I

Meccanica Quantistica I - a.a. 2003/2004
Verifica scritta - 18.11.2003
Problema 1. La hamiltoniana di una particella di massa m nello spazio a tre dimensioni è data,
nella rappresenzaione degli impulsi, da
p~ 2
h~
p|H|~
p 0i =
δ(~
p − p~ 0 ) + V (~
p, p~ 0 ) .
2m
a) Si dica quali caratteristiche deve avere la funzione V affinché la hamiltoniana sia un operatore
hermitiano (non si discuta il problema della autoaggiunzione).
Si consideri ora il caso in cui V (~
p, p~) = U (~
p − p~0 ) .
b) In questo caso che cosa si puo’ dire sull’operatore V nella rappresentazione delle configurazioni?
Problema 2. Un elettrone in una dimensione è vincolato a muoversi nel segmento −a ≤ x ≤ +a
ed è soggetto
(
0
V (x) = V0
0
al potenziale
−a < x < −b
−b ≤ x ≤ +b ,
+b ≤ x ≤ +a
0 < b < a.
Il segno di V0 non è noto, ma si sa che per −b ≤ x ≤ +b la funzione d’onda ψ0 (x) dello stato
fondamentale è costante e non nulla.
a) Si faccia il grafico di ψ0 , si determini il segno di V0 e il corrispondente autovalore E0 nel caso
a = 2b = 2Å.
Problema 3. Una particella di massa m in una dimensione è soggetta ad un potenziale V (q) non
noto. Siano | n i gli autovettori soddisfacenti l’equazione di Schrödinger
H | n i ≡ p2 /2m + V (q) | n i = En | n i ,
En < En+1 ,
n = 0, 1, · · ·
Si sa che lo stato fondamentale normalizzato | 0 i è descritto, in rappresentazione delle coordinate,
2
dalla funzione d’onda non normalizzata ψ0 (x) = e−a x ,
a > 0.
a) Caratterizzare lo spettro di H (dire cioè se è puramente discreto, misto, continuo, degenerazione
degli autovalori etc. giustificando la risposta).
b) Dire se H commuta con l’operatore di inversione spaziale.
Si considerino i vettori
|Ai = |0i + |1i,
|B i = |0i + 2|2i.
c) Nello schema di Schrödinger per l’evoluzione temporale si calcolino i periodi con cui i corrispondenti
stati evolvono nel tempo.
d) Si calcolino i valori medi di q e q 2 su | A i e | B i al variare del tempo, supposti noti i loro valori
iniziali al tempo t = 0 e l’elemento di matrice q 02 = h 0 | q 2 | 2 i reale.
Meccanica Quantistica I - a.a. 2003/2004
Verifica scritta - 19.12.2003
Problema 1. Si consideri un cubo di materiale solido di lato L; questo solido propaga onde
elastiche trasversali con velocità di fase ct = 3040 m/s ed onde longitudinali con velocità di fase
cl = 6420 m/s. Il comportamento della energia interna a basse temperature è U (T ) ≈ a T n .
a) Determinare a ed n.
R∞
Nota: si ricorda che 0 x3 /(ex − 1) dx = π 4 /15 .
Problema 2. Si consideri una molecola lineare costituita da tre atomi uguali A, B, C spaziati
di L ' 1.5 Å. In una prima approssimazione un elettrone può muoversi all’interno della molecola
come una particella libera.
a) Si stimi in eV l’ordine di grandezza della spaziatuta fra i livelli più bassi.
Una diversa descrizione consiste nell’assumere tre stati | A i, | B i, | C i possibili per l’elettrone di
questa molecola: | A i descrive l’elettrone “localizzato” sull’atomo A etc. Assumeremo (è un’approssimazione) che questi tre stati sono ortonormali e trascureremo tutti gli altri stati. Per l’hamiltoniana dell’elettrone, riferita a tale base, assumeremo la forma


E −a 0
H =  −a E −a  = E I − a S
0 −a E
in cui −a S è denominata “matrice di salto”: (−a S)12 = −a è l’ampiezza di probabilità che
l’elettrone salti dall’atomo A all’atomo B etc.
b) Quanto vale S 3 ? Determinare autovalori e autovettori di H.
c) Al tempo t = 0 l’elettrone è localizzato su A: | A it=0 = | A i. Esistono istanti successivi in cui
è localizzato su B? E su C?
Si consideri l’osservabile D definita dall’avere | A i, | B i, | C i come autostati appartenenti agli
autovalori −d, 0, +d.
d) Si misura D su | A it . Quali sono i possibili risultati di tale misura? Con quali probabilità? Si
calcoli t h A |D| A it .
Problema 3. Si consideri una particella di spin
1
2
in uno stato quantico puro. Si vuole determinare
lo stato misurando il valore medio di un certo numero di osservabili.
a) Si chiede se per determinare completamente lo stato è sufficiente (e in caso affermativo lo si
scriva esplicitamente) misurare
1) il valore medio di sz ;
2) i valori medi di sz e sx ;
Si consideri ora il caso in cui la particella di spin
1
2
3) i valori medi di sz , sx e sy .
sia descritta da un operatore statistico W .
b) Di nuovo si chiede se per determinare tale operatore è sufficiente (e in caso affermativo lo si
scriva esplicitamente) misurare
1) il valore medio di sz ;
2) i valori medi di sz e sx ;
3) i valori medi di sz , sx e sy .
Soluzione 031219MQ1/2
a) Per una particella libera confinata in un segmento di dimensioni 2L gli autovalori dell’energia
sono En = h̄2 π 2 n2 /(8 m L2 ). L’ordine di grandezza della spaziatura è E1 ' 10−2 eV.
√
b) S 3 = 2 S. Gli autvalori s di S devono soddisfare la stessa equazione e sono pertanto s = 0, ± 2.
Per H si ha
√
E+ = E + 2 a
E0 = E
√
E− = E − 2 a
c) Lo stato | A i0 =
1
2
| A it =
| + i = 12 (| A i + | C i) +
| 0 i = √12 ( | A i − | C i)
√1
2
|B i
(1)
| − i = 21 (| A i + | C i) − √12 | B i
1
√1
2 (| + i + | − i) + 2 | 0 i evolve in
√
e−iωt | + i + e+iωt | − i + √12 | 0 i ,
ω = 2 a/h̄ .
(2)
Confrontando questa espressione con
√1
2
|B i =
(| + i − | − i) ,
|C i =
1
2
(| + i + | − i) −
√1
2
|0i
si vede che per nessun valote di di t il vettore | A it diventa proporzionale a | B i, mentre per i
t soddisfacenti ω t = π n ,
n = ±1, ±3 · · · il | A it e il vettore | C i sono opposti. L’elettrone
“oscilla” periodicamente da A a C senza mai essere localizzato in B.
d) Sostituendo la (1) nella (2) si ha
1 − cos ω t
i
1 + cos ω t
|Ai −
| C i − √ sin ω t | B i
2
2
2
da cui i risultati possibili sono ±d con probabilità P± = (1 ± cos ω t)2 /4 e 0 con probabilità
| A it =
P0 = sin2 ω t/4. Il valor medio di D su | A it è
2
2
1 + cos ω t
1 − cos ω t
+ (−d)
= d cos ω t
t h A |D| A it = (+d)
2
2
Soluzione 031219MQ1/3
Si possono trattare i due casi in maniera unificata dato che il formalismo dell’operatore statistico
include come caso particolare gli stati puri.
La più generale matrice hermitiana 2 × 2 a traccia 1 è
W = 1/2(I + σ · m)
con m vettore reale.
Si ha
hσk i = T r(σk W ) = mk .
Quindi occorrono tre misure. Se per di più sappiamo che W rappresenta uno stato puro si ha
W 2 = W e quindi |m| = 1. Malgrado ciò due misure non bastano perchè la terza componente e.g.
my resterebbe altrimenti indeterminata in segno.
Commento: Se W rappresenta l’operatore statistico c’è l’ulteriore limitazione che deve essere
positivo; dato che gli autovalori di W sono
1
2 (1
± |m|) occorre che |m| ≤ 1. Viceversa se W è
hermitiano positivo a traccia 1 è scrivibile per diagonalizzazione come
X
W =
ρn ψn ◦ ψn
n
e quindi è un operatore statistico.
Meccanica Quantistica I - a.a. 2003/2004
Verifica scritta - 14.01.2004
Problema 1. Si consideri l’atomo di idrogeno (senza spin): il risultato
h n l m | r−2 | n l m i =
n3
1
,
(l + 12 ) aB2
aB =
h̄2
= raggio di Bohr
m e2
sarà considerato noto. L’atomo di idrogeno è sottoposto alla perturbazione
H 0 = γ δ3 (r) ,
γ = 4 × 10−5 eV Å3
(tale perturbazione descrive, per lo meno qualitativamente, l’accoppiamento dell’atomo al campo
elettromagnetico di vuoto responsabile del cosidetto Lamb shift).
a) Dire quale effetto ha la perturbazione sui livelli n = 1 (fondamentale) e n = 2 (primo livello
eccitato).
Si vuole estendere il risultato al livello n generico. A questo scopo si scrivano l’equazione di
Schrödinger per la funzione d’onda radiale ridotta u(r) e i valori u(0), u(∞) che essa deve assumere
come condizioni al bordo.
b) Si trovi una relazione che esprime ψn l m (0) in termini di u e, se necessario, delle sue derivate.
c) Si moltiplichi per u0 (r) l’equazione di Schrödinger per la funzione d’onda radiale ridotta u e si
integri da r = 0 a r = ∞. Si trovi, come conseguenza, il valore di ψn l m (0).
d) Si generalizzi il risultato di a) al livello n.
Problema 2. Si consideri una particella di carica e soggetta ad un potenziale V . Si dica,
in ciascuno dei casi elencati sotto, se un autostato legato dell’energia può mostrare effetto Stark
lineare, cioè uno spostamento dei livelli energetici lineare nel campo elettrico E per piccoli E,
dovuto all’hamiltoniana di interazione
HI = −e E x .
In caso affermativo si descrivano tali stati e si valuti l’ordine di grandezza dello spostamento dei
livelli energetici.
a) Potenziale simmetrico: V (x) = V (−x) con supporto in |x| < a (in una dimensione).
b) Oscillatore isotropo di massa m e pulsazione ω (in due dimensioni).
c) Atomo di idrogeno (in tre dimensioni).
Soluzione 040114MQ1/1
a) La perturbazione è invariante per rotazioni. Di conseguenza è diagonale nella base | n l m i. Gli
elementi di matrice diagonali sono
δEn l

2
(0) |Y0 0 |2 = γ (4/a3B ) (1/4π) = γ/(πa3B )
 γ R10
2
= h n l m | H 0 | n l m i = γ |ψn l m (0)|2 = γ R20
(0) |Y0 0 |2 = γ (1/2a3B ) (1/4π) = γ/(8πa3B )

2
γ R2l
(0) |Yl m |2 = 0
per
l>0
b) Avendo capito che gli stati con l > 1 restano tutti imperturbati, per quelli con l = 0 l’equazione
radiale ridotta è
−
h̄ 00 e2
u −
u = E u,
2m
r
u(0) = 0 , u(∞) = 0
e inoltre
ψn 0 0 (r) =
un 0 (r)
Y0 0
r
⇒
1
ψn 0 0 (0) = u0n 0 (0) √
4π
c) Si Zha
Z
Z
2m
u2 ∞
− dr u0 u00 + 2
dr u0 V u = E
dr u0 u = E = 0 .
2 0
h̄
Inoltre, integrando per parti si ha per il termine contenente V
Z
Z
Z
∞ Z
0
0
2 0
dr u V u = (u (V u)) − dr u(V u) = dr u V − dr u V u0
0
da cui
Z
Z
0
2 dr u V u = dr u2 V 0
Sostituendo nella (2)
Z
∞
1
1
m
1
− (u0n 0 )2 = (u0n 0 )2 (0) = − 2
dr u2 V 0 =
h n 0 0 | r−2 | n 0 0 i
2
2
aB
0
h̄
d) Utilizzando la (1), l’ultima relazione scritta e il risultato dato nel testo si ha infine
δEn l = h n l m | H 0 | n l m i = γ |ψn l m (0)|2 = δl 0 γ
in accordo con i risultati di a).
2
1
γ
2
=
aB n3 a2B 4π
π (n aB )3
(1)
(2)
Meccanica Quantistica I - a.a. 2003/2004
Verifica scritta - 04.02.2004
Problema 1. Lo stato | A i di un oscillatore armonico unidimensionale è descritto dalla funzione
d’onda (non normalizzata)
2
ψA (x) = e−α x ei k x ,
α>0
k reale.
a) Dire se esistono valori di α e k per i quali ψA (x) è la funzione d’onda di uno stato stazionario.
b) Escludendo i valori di α e k trovati al punto precedente, trovare i valori medi xA (t) e pA (t) di
posizione e impulso su | A i.
Si consideri lo stato | B i descritto da ψB (x) = ψA (−x).
c) Dire se esistono sovrapposizioni di | A i e | B i su cui i valori medi di posizione e impulso sono
indipendenti dal tempo.
d) Dire se gli stati trovati al punto precedente evolvono in maniera periodica nel tempo e, se si,
trovarne il periodo.
Problema 2. Una particella in tre dimensioni è nello stato | A i descritto dalla funzione d’onda
p
ΨA (x, y, z) = (y 2 − z 2 ) f (r) ,
r = x2 + y 2 + z 2 .
Vengono effettuate misure di Ly .
a) Quali sono i possibili risultati di tali misure?
Vengono effettuate misure di Lx .
b) Quali sono i possibili risultati di tali misure? Qual è il valor medio di Lx su | A i?
~ 2 . Quali
c) Dopo aver misurato Lx e aver ottenuto il massimo risultato possibile, si misura L
risultati si possono ottenere? Qual è la funzione d’onda della particella?
Soluzione 040204MQ1/1
a) Gli stati stazionari dell’oscillatore sono descritte da funzioni reali (a meno di una fase comp
2
= e−α x non ha nodi, quindi, se descrive uno stato
lessiva), quindi k = 0. La funzione ψA (x)
k=0
2
stazionario, questo può essere solo il fondamentale: ψ0 (x) = e−m ω/2h̄ · x da cui α = m ω/2h̄.
b) Per i valori medi si ha, utilizzando lo schema di Heisenber per l’evoluzione temporale di q(t) e
p(t)
pA (0)
h̄ k
sin ω t =
sin ω t
mω
mω
p(t) = h A | p(t) | A i = pA (0) cos ω t − m ω q A (0) sin ω t = h̄ k cos ω t .
x(t) = h A | q(t) | A i = q A (0) cos ω t +
c) Tra le combinazioni lineari di ψA (x) e ψA (−x) le seguenti
ψ± (x) = ψA (x) ± ψA (−x)
→
|±i
sono a parità definita sotto inversione spaziale I e tali restano all’evolvere nel tempo, essendo
[I, H] = 0. Su queste h ± | q(t) | ± i = 0 = h ± | p(t) | ± i perché q e p sono dispari sotto I.
d) Si noti che ψA (−x) = U (T /2) ψ(x) in cui U (t) = e−i H t/h̄ è l’operatore di evoluzione temporale
e T = 2π/ω è il periodo dell’oscillatore classico. Infatti per il generico stato, espresso in termini
di autovettori di H, si ha
∞
X
ψ(x) =
cn ϕn (x)
n=0
evolve al tempo T /2 in
∞
∞
X
X
X
cn e−inπ ϕn (x) ∝
cn ϕn (−x) = ψ(−x)
cn e−i(n+1/2) ω T /2 ϕn (x) = −i
n=0
n=0
che lascia invarianti gli stati | ± i dati sopra: questi evolvono pertanto in maniera periodica con
periodo T /2.
Soluzione 040204MQ1/2
a) Ricordando che gli operatori di salita/discesa per Ly sono y± = z ± i x, conviene scrivere
z = 21 (y+ + y− ) da cui
(y 2 − z 2 ) f (r) = [(y 2 −
1
2
y+ y− ) +
1
4
2
y+
+
1
4
2
y−
] f (r) .
Il primo termine rende possibile my = 0, mentre gli altri my = ±2.
b) Inquesto caso si opera con y ± i z:
1 | Ψ i = √ | mx = +2 i + | mx = −2 i
2
in cui | Ψ i è normalizzato se gli stati | mx i lo sono. I risultati possibili sono mx = ±2 occorrenti
y 2 − z 2 ∝ (y + i z)2 + (y − i z)2
⇒
entrambi con probabilità 21 , da cui Lx = 0.
c) La prima misura fornisce mx = +2 e lo stato della particella è descritto da
(y + i z)2 f (r) ∝ Y2 , 2 (θ, φ) × r2 f (r)
~ 2 può solo fornire 2 · 3 h̄2 . La seconda misura non altera ulteriormente
quindi una misura di L
~ 2 , Lx ] = 0.
lo stato della particella perchè [L
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2003/2004
Verifica scritta - 16.07.2004
Problema 1. Si immagini un elettrone vincolato su una retta e soggetto al potenziale “a buca”
V (x) = −V0 per |x| ≤ a, V (x) = 0 per |x| ≥ a, con V0 = 5 eV, a = 6 Å. Sapendo che ψE una
autofunzione (propria o impropria) della hamiltoniana che nell’intervallo −a ≤ x ≤ a ha due soli
nodi simmetricamente disposti:
a) dire entro quali valori è compresa la lunghezza d’onda di ψE dentro l’intervallo [−a, a].
b) Dire se ψE corrisponde a uno stato legato o no.
c) Valutare l’energia del livello fondamentale e specificare se la valutazione è per eccesso o per
difetto.
Problema 2. Un fascio di neutroni di impulso p~ = (0, 0, p) polarizzati lungo l’asse z, cioè con
~ = (H, 0, 0)χ(z) dove χ(z) vale 1 per 0 < z < a
sz = + 1 , viene diffuso da un campo magnetico H
2
e zero altrove.
a) Si dica in quali casi si può approssimare tale campo magnetico con vecH = (c δ(x), 0, 0) ed in
tale caso si dica quanto vale c.
b) Nel caso suddetto (in cui il campo magnetico sia approssimabile con una delta) si calcoli il
valore medio dello spin sz dei neutroni che emergono nella regione z > 0.
eh̄
~s
Si ricorda che il neutrone ha il momento magnetico µ
~ = −3.83
2mc
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2006/2007
Prova scritta - 09.09.2004
Problema 1. I livelli vibrazionali di una molecola biatomica sono rappresentati bene dalla formula
En = an − bn2 ,
a > 0,
b > 0.
(a) Si dica quale è l’orgine del termine an e del termine bn2 nell’ambito della meccanica quantistica,
discutendo qualitativamente l’equazione di Schroedinger radiale.
(b) Si dia una espressione in termini di a e b della energia di dissociazione.
(c) Si applichi il risultato trovato al caso della molecola di idrogeno in cui
a = 0.53 eV ,
b = 0.014 eV
a da questa si dia una stima del numero dei livelli vibrazionali.
Problema 2. Dato un oscillatore armonico unidimensionale, con hamitoniana
H = p2 /2m + mω 2 q 2 /2
perturbato da un termine V = bq 4 :
(a) si calcoli in teoria delle perturbazioni al primo ordine lo spostamento di tutti i livelli energetici.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2004/2005
I Verifica scritta - 15.11.2004
Problema 1. Si consideri un sistema quantistico descritto da uno spazio di Hilbert n-dimensionale.
Per tale sistema è definita una osservabile A avente come spettro {a1 , a2 , · · · , an } con gli aj tutti
diversi.
Lo stato piu’ generale è scrivibile come
|si =
n
X
cj |aj i
j=1
(1) Si dica se misurando i valori medi di A, A2 , A3 . . . si possano determinare moduli dei cj .
(2) Si dica se misurando i valori medi di A, A2 , A3 . . . si può determinare nello spazio di Hilbert
il raggio associato allo stato |si giustificando la risposta. In caso contrario si elenchino delle
osservabili misurando i valori medi delle quali sia possibile determinare tale raggio.
Problema 2. Data una particella in una dimensione si consideri l’operatore hermitiano (autoaggiunto) q n e lan trasformazione unitaria
U (λ) = ei λ q .
(1) Si calcoli quanto valgono gli operatori
q(λ) = U (λ) q U + (λ),
p(λ) = U (λ) p U + (λ) .
Si consideri ora la hamiltoniana
c
c2 6
1 2
p +
(p q 3 + q 3 p) +
q + c1
H=
2m
2m
2m
(2) Si dica qual è lo spettro di H ed i suoi autovettori, cioè si risolva
H ψE (q) = E ψE (q)
nella rappresentazione di Schrödinger, ovvero si determinino i possibili valori di E e le relative
ψE (q) dando per ogni E la sua degenerazione.
Problema 3. Si consideri un elettrone (massa m = 0.5 MeV/c2 ) in una dimensione in presenza di
una buca di potenziale rettangolare
−V0
|x| ≤ a
V (x) =
0
|x| > a .
Siano | 1 i, | 2 i, · · · , | n i, · · · gli stati legati (normalizzati a 1) e | k, s i, | k, d i gli stati di scattering
con sorgente rispettivamente a sinistra (x = −∞) e a destra (x = +∞) della buca, normalizzati
nel seguente modo
hk 0 , j|k 00 , li = δj l δ(k 0 − k 00 ) ,
j, l = s, d .
(a) Si dica in quali intervalli N e K variano rispettivamente gli indici n e k. Si precisi quali autostati
dell’energia sono degeneri e quali no.
(b) Si scriva la relazione di completezza per tali stati.
(c) Si dica se l’operatore di inversione spaziale I commuta con l’Hamiltoniana H. In caso affermativo si dia un’espressione per gli autostati simultanei di queste due osservabili.
Supposte note le funzioni d’onda corrispondenti a detti stati nella rappresentazione delle coordinate,
ψ0 (x), ψ1 (x), · · · , ψks (x), ψkd (x) :
c) si dia il valore dell’espressione
X Z
dk [ψkj (x)]∗ [ψkj (y)]
j=s,d
K
nel caso V0 = 2 eV, a = 2 Å.
c) Si dica come cambia la precedente espressione nel caso V0 = 2 eV, a = 3 Å.
Soluzione 041115MQ1/3
a) Di stati legati ce n’è almeno uno a l più un numero finito N non degeneri. Per il continuo,
k ∈ R+ e a k fissato si ha degnerazione 2 risolta da dall’indice s o d.
b)
N
X
XZ ∞
dk | k, j ih k, j | = 1 .
| n ih n | +
n=1
j=s,d
0
c) Hamiltoniana e inversione commutano. Gli stati legati | n i, non degeneri, sono automaticamente
autostati di I con autovalore (−)n , n = 0, 1, 2, · · · , N . Per gli stati del continuo
1
| k, ± i = √ | k, s i ± | k, d i .
2
c) I numeri dati in questo caso dànno
π 2
2m V0 a2
= 2.054 <
= 2.47
2
2
h̄
che significa un solo stato legato. Dunque
X Z ∞
dk [ψkj (x)]∗ [ψkj (y)] = δ(x − y) − ψ0∗ (x) ψ0 (y) .
j=s,d
0
d) I numeri dati in questo caso dànno
2m V0 a2
= 4.622 < π 2 = 9.870
h̄2
che significa due stati legati. Dunque
X Z ∞
dk [ψkj (x)]∗ [ψkj (y)] = δ(x − y) − ψ0∗ (x) ψ0 (y) − ψ1∗ (x) ψ1 (y) .
j=s,d
0
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2004/2005
II Verifica scritta - 21.12.2004
Problema 1. Si consideri un elettrone nel campo di due centri fissi ciascuno di carica +|e|
(schematizzazione della molecola H2 ionizzata una volta) posti convenzionalmente in (0, 0, −a/2),
(0, 0, a/2).
(1) Si scriva esplicitamente la hamiltoniana del sistema in rappresentazione di Schrödinger.
~ 2.
(2) Si dica quali di queste osservabili sono costanti del moto: Lx , Ly , Lz , L
(3) Si dica se l’energia di questo sistema è limitata inferiormente ed in caso affermativo si diano
un limite inferiore e uno superiore per il livello fondamentale E0 .
Problema 2. Si consideri il sistema idrogenoide costituito da un mesone µ− (carica −|e|, massa
mµ ' 207 me ) e da un nucleo di elio (carica Z |e| = 2 |e|, masse M3 ' 3mp , M4 ' 4mp per gli
isotopi 3 He ed 4 He).
(a) Si stimino la dimensione caratteristica del sistema nel suo stato fondamentale e l’energia di
ionizzazione.
Si consideri un esperimento (ideale) di spettroscopia in cui una miscela di tali ioni viene irraggiata con radiazione monocromatica di energia pari alla differenza fra il secondo livello eccitato e
lo stato fondamentale.
(b) Si dica quanto vale numericamente tale energia in eV.
Dopo che il gas ha assorbito tale radiazione, si osserva la radiazione riemesa dal sistema, consistente di due righe.
(c) Si dicano i valori numerici in Hz delle frequenze delle due righe osservate.
Un’analisi attenta della radiazione riemessa mostra uno spettro consistente di quattro righe, a due
a due molto vicine.
(d) Si dica a che cosa è dovuto questo fatto e quanto (percentualmente, cioè ∆ν/ν) le coppie
di righe sono vicine.
Considerando che le dimensioni dello ione He-µ sono sensibilmente più piccole di quelle dell’idrogeno, ci poniamo il problema di valutare l’effetto, sui livelli energetici del sistema, del fatto che il
nucleo ha dimensione finita (λ ' 10−5 Å) e la distribuzione di carica positiva ad esso associata,
assunta a simmetria sferica, sia descrivibile nel seguente modo:
Z e2 −λ/r
Z e2
V (r) = −
→ Veff (r) = −
e
r
r
in cui il fattore esponenziale introdotto fa sı̀ che a distanze abbastanza grandi (si dica quanto) il
µ “veda” tutta la carica nucleare, mentre a distanze più piccole tale carica è sempre più piccola,
fino ad annullarsi a r = 0. Limitandosi allo sviluppo al primo ordine in λ
Z e2
Z e2 λ
Veff (r) ' −
+
r
r2
si dica
(e) se Veff (r) ha un numero finito o infinito di stati legati.
Si dica inoltre se il termine perturbativo
(f) rimuove a degenerazione su m;
(g) rimuove a degenerazione su l e, in caso affermativo, se gli stati con lo stesso valore di n ma
l maggiore hanno energia maggiore, oppure viceversa.
(All’ultimo punto si può rispondere sia servendosi della teoria delle perturbazioni al I ordine oppure,
più brevemente, esaminando l’equazione di Schrödinger per la funzione d’onda radiale ridotta.)
Soluzione 041221 MQ1/1
2) Lz .
3) H = T − e2 /r1 − e2 /r2
Possiamo scrivere
p2
e2
p2
e2
H=
−
+
−
= H (1) + H (2)
4m |r − r1 | 4m |r − r2 |
H (1) è limtata inderiormente da −2 ∗ 13.5 eV (corrispondendo ad una massa 2m) e quindi E >
(1)
(2)
E0 + E0 = −4 ∗ 13.5 eV.
Un semplice limite superiore è dato dal livello fondamentale dell’atomo di idrogeno in quanto il
termine −e2 /|r − r2 | è un operatore negativo.
Soluzione 041221MQ1/2
a) Indicando con µ la massa (ridotta) del muone
me
1
h̄2
=
aB '
.5 Å ' 1.25 · 10−3 Å
aµ =
µ Z e2
µZ
200 · 2
µ Z 2 e4
µ 2
Eion =
=
Z 13.6 eV ' 10.9 keV
2
me
2h̄
1
b) E = E3 − E1 = − + 1 10.9 keV ' 9.7 keV
9
c) ν3 2 = (E3 − E2 )/h ' 2.16 1018 Hz
ν2 1 = (E2 − E1 )/h ' 1.17 1019 Hz
d) Il fatto è dovuto allo shift isotopico: la massa ridotta del µ in presenza di due nuclei di masse
diverse è levemente divera: quanto allo spostamento delle righe
∆ν
∆E
∆µ
µ4 − µ3
mµ mµ 1 mµ
=
=
=
' 1−
− 1−
'
' 9 · 10−3
ν
E
µ
µ
4mp
3mp
12 mp
e) Il potenziale è ancora centrale, non può rimuovere la degenerazione su m.
f) Il potenziale non è più puramente Coulombiano, deve eessere rimossa la degenerazione accidentale. L’equazione radiale per la funzione d’onda ridotta è
h̄2 h̄2 00 h Z e2
2µ Z e2 λ i
u + −
+
−
l(l
+
1)
+
u = E u.
2µ
r
2µ r2
h̄2
Ponendo
λ
2λ/aµ
≡ l + ∆l
l(l + 1) + 2
= leff (leff + 1) ,
ie.al I ordine in λ
leff ' l +
aµ
(2l + 1)
i livelli energetici dell’idrogenoide, normalmete dati da
µ Z 2 e4
1
,
n0 ≥ 0, n ≡ n0 + l + 1 ≥ 1
En = −
2h̄2 (n0 + l + 1)2
vengono sostituiti nel caso in esame da
En = −
µ Z 2 e4
1
µ Z 2 e4
1
µ Z 2 e4 1 4λ/aµ '
−
'
−
1
−
(2l + 1)
2h̄2 (n0 + leff + 1)2
2h̄2 (n + ∆l)2
2h̄2 n2
per cui, a parità di n, stati con l maggiore hanno energia minore. Il risultato è direttamente
derivabile dalla teoria delle perturbazioni al primo ordine:
Z
λ Z e2
λ Z e2
∆En l = h n l m | 2 | n l m i = dr r2 Rn l (r)2
r
r2
l
Ricordando che per r → 0 si ha Rn l ' r , cioè che per due stati con lo stesso n ma l diverso la
probabilità di trovare il muone all’origine è più grande quanto più l è basso, si vede che gli stati
con basso l “vedono” di più la perturbazione che è efficace a piccoli r, cioè vedono meno carica
nucleare, sono meno attratti, hanno energia più alta.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2004/2005
Prova scritta - 13.01.2005
Problema. Gli stati stazionari di un atomo di idrogeno sono descritti (trascurando tutte le
interazioni relativistiche) da | n l m s0 i, s0 essendo l’autovalore di una componente dello spin
dell’elettrone. La possibilità che un atomo effettui una transizione elettromagnetica di assorbimento
dallo stato iniziale | i i a uno stato finale | f i si verifica quando almeno uno degli elementi di
matrice
~
~
Mmag = h f | ~σ · ~ε ∧ ~k ei k·~r | i i
Mel = h f | p~ · ~ε ei k·~r | i i ,
è diverso da zero, essendo ~k la direzione di propagazione e ~ε la direzione di polarizzazione
dell’onda incidente.
~
(a) Dimostrare che h n 0 0 s00 | p~ · ~ε ei k·~r | 1 0 0 s0 i è identicamente nullo.
(b) Espandendo l’esponenziale in serie, si dica qual è il più basso ordine ` tale che
h n 0 0 s00 | ~σ · ~ε ∧ ~k (i ~k · ~r)` | 1 0 0 s0 i =
6 0
e per n = 2 lo si calcoli esplicitamente.
Soluzione 050113MQ1
(a) Anche quando s0 = s00 si ha (assumiamo senza perdita di generalità ~k k z , ~ε k y e m autovalore
di Lz )
h n 0 0 | py ei k z | 1 0 0 i = h n 0 0 | py | · · · m = 0 i = 0
in quanto py ha regole di selezione ∆m = ±1.
(b) Per ` = 0 gli stati orbitali sono ortogonali, il contributo ` = 1 è l’elemento di matrice di un
operatore dispari fra due stati pari. Per ` = 2 si ha, per s0z = − 12 = −s00z
h n 0 0 s00 | ~σ · ~ε ∧ ~k (i ~k · ~r)` | 1 0 0 s0 i = −k 3 h s00 | σx | s0 i h 2 0 0 | z 2 | 1 0 0 i =
√
Z ∞
k3
k
k
2 √1
2
2
2 −512 2
1
−ρ/2 2
−ρ
dρρ 2 (1 − 2 ρ)e
h 2 0 0 | r | 1 0 0 i = (k aB )
ρ 2e = (k aB )
·
3
3
3
243
0
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2004/2005
Prova scritta - 03.02.2005
Problema 1. Si consideri una particella di massa m MeV in tre dimensioni, soggetta al
potenziale centrale V (r) = α r ,
α > 0.
a) Si descrivano le caratteristiche generali dello spettro dell’hamiltoniana.
b) Servendosi delle leggi di scala r → λ r,
p → p/λ , si dica da quale monomio in m, α e h̄
possono dipendere gli autovalori discreti.
c) Si individuino in termini di h̄, m e α la lunghezza caratteristica a del sistema e l’unità caratteristica di energia ε (le quantità analoghe di aB ' h̄2 /m e2 e R h c ' m e4 /h̄2 nell’idrogeno).
d) Si stimino i comportamenti asintotici della funzione d’onda radiale ridotta per r a ed r a.
Problema 2. Gli stati di un sistema, il cui moto spaziale rettilineo uniforme con velocità c in una
dimensione viene trattato calssicamente, formano uno spazio 2-dimensionale generato dai vettori
| 1 i e | 2 i autovettori non degeneri dell’osservabile m:
m | i i = mi | i i ,
i = 1, 2 ,
m2 > m1 .
L’hamiltoniana è
p
c3 2
H = c p2 + µ2 c2 ' c p +
µ ,
p µc,
c =velocità della luce,
2p
in cui µ è una matrice reale simmetrica
coniugata
am
cos θ
sin θ
t
µ = OmO,
O=
.
− sin θ cos θ
All’istante t = 0 il sistema viene prodotto nello stato | 1 i.
a) Calcolare le probabilità P11 (t) che al tempo t il sistema sia ancora nello stato | 1 i e P12 (t) che
sia rivelato nello stato | 2 i, esprimendole in funzione della distanza percorsa r e di due lunghezze
caratteristiche λ1 e λ2 associate a m1 e m2 .
b) Trovare l’espressione semplificata che tali probabilità assumono nel caso in cui r sia noto con
un imprecisione ∆r λ1 , λ2 e dire in tal caso quanto vale il minimo di P11 al variare di θ.
c) Si estenda il calcolo al caso in cui lo spazio degli stati sia N -dimensionale e sempre assumendo
∆r λ1 , λ2 , · · · λN , si calcoli quanto vale il minimo di P11 .
Soluzione 050203MQ1/1
a) Spettro puramente discreto, assenza di degenerazione accidentale, quindi il valore dell’energia
fissa quello di l; degenerazione 2l + 1 tipica di campo centrale.
b) Dall’equazione di Schrödinger per la funzione d’onda radiale ridotta
h̄2 00 h̄2
−
l(l
+
1)
+
α
r
u=Eu
u +
2m
2mr2
2
si vede che sotto scala h̄ /m → h̄2 /m λ2 , α → λα. Poiché per un livello discreto deve essere
En (h̄2 /m, α) = En (h̄2 /(m λ2 ), α λ), si ha che En = En (h̄2 α2 /m).
c) Moltiplicando l’equazione per h̄2 /m si ha
l(l + 1) m α mE
1
+ 2 r u= 2 u
− u00 +
2
2 r2
h̄
h̄
da cui, come dimensioni,
mα
mE
−3
,
= a−2
2 =a
h̄
h̄2
e quindi
m α −1/3
h̄2 α2 1/3
h̄2
a=
'
,
ε
=
=
' .
m a2
m
h̄2
d) Per r a il comportamento asintotico è quello standard dei campi centrali, dominato dal
potenziale centrifugo: u ' r R ' rl+1 . Per r a si ha invece
r
u00 ' 2 3 u
a
n
e inserendo l’ansatz u ∝ e−γ r , cioè all’ordine leading u00 ' (n γ rn−1 )2 u , si ottiene n =
3
2
.
Soluzione 050203MQ1/2
a) L’evoluto temporale di | 1 i è, a parte una fase irrilevante,
e−(i c
3
t/2p h̄) µ2
| 1 i = t O e−(i c
3
t/2p h̄) m2
O|1i
3
2
cos θ | 1 i + e−(i c t/2p h̄) m2 sin θ | 2 i
= e−i r/λ1 cos θ cos θ | 1 i − sin θ | 2 i + e−i r/λ2 sin θ sin θ | 1 i + cos θ | 2 i
= cos2 θ e−i r/λ1 + sin2 θ e−i r/λ2 | 1 i + cos θ sin θ e−i r/λ1 − e−i r/λ2 | 2 i
= t O e−(i c
3
t/2p h̄) m21
avendo definito 1/λi = m2i c2 /h̄ p. Per cui
r
r P11 (r) = cos4 θ + sin4 θ + 2 sin2 θ cos2 θ cos
−
λ1
λ2
r
r P12 (r) = 2 sin2 θ cos2 θ 1 − cos
−
λ1
λ2
b) Nel mediare su vari r i termini da esso dipendenti mediano a 0:
P11 ' cos4 θ + sin4 θ ,
P12 ' 2 sin2 θ cos2 θ
e il minimo di P11 vale 21 .
c) Nel caso di N stati, detti O11 , O21 , · · · , ON 1 gli elementi di matrice della prima colonna di O,
soggetti al vincolo derivante dall’ortogonalità
N
X
2
Oi1
= 1,
1
si ha
h 1 | e−(i c
3
t/2p h̄) µ2
| 1 i = h 1 | t O e−(i c
3
t/2p h̄) m2
O|1i =
N
X
h j | Oj1 e−ir/λk Ok1 | k i
j,k=1
=
X
2
e−ir/λk Ok1
k
da cui
P11 =
X
k
4
Ok1
+
X
j6=k
2
2
Ok1
Oj1
cos
N
r
r X 4
'
−
Ok1
λj
λj
k=1
che si minimizza introducendo un moltiplicatore di Lagrange
N
N
X
X
∂F
2
4
2
F (Ok1 , ν) =
Ok1
+ν
Ok1
−1
⇒
2 = 2 Ok1 + ν = 0
∂Ok1
k=1
k=1
P 2
2
per ogni k; introducendo queste nel vincolo
Ok1 = 1 si ha Ok1
= 1/N e il minimo di P11 è
N × 1/N 2 = 1/N .
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2004/2005
Prova scritta - 16.06.2005
Problema 1. Siano due operatori η ed η1 connessi dalla trasformazione lineare
+ +
+
η1
a b
η
η
=
≡A
η1
c d
η
η
(a) È possibile esprimere c e d in termini di a e b? Si scriva la forma più generale della matrice A
tale che, se [η, η + ] = 1, ne segue che [η1 , η1+ ] = 1.
(b) Si considerino ora due oscillatori armonici della stessa massa m ma con diverse pulsazioni ω e
ω1 . Si scrivano gli operatori di salita e di discesa dell’oscillatore di pulsazione ω1 in funzione di
quelli dell’oscillatore di pulsazione ω.
(c) Si esprima lo stato fondamentale |0i1 dell’oscillatore di pulsazione ω1 in termini dello stato
fondamentale |0i dell’oscillatore di pulsazione ω e degli operatori η ed η + relativi all’oscillatore
di pulsazione ω.
Problema 2. Si considerino tre operatori H1 , H2 , A soddisfacenti H2 A = A H1 .
(1)
(a) Noti gli autovalori En
(1)
e i corrispondenti autovettori Φn di H1 , si dica che informazioni si
hanno sulle proprietà spettrali di H2 .
Si consideri ora una particella di massa m in una dimensione di Hamiltoniana
p2
+ α q6 − β q2 ,
α, β > 0
H− =
2m
(b) Fissato m, si trovi quale relazione deve sussistere fra α e β affinchè si possa scrivere
1
H− = Hf =
p + i f (q) p − i f (q)
2m
dando esplicitamente l’espressione per f (q).
D’ora in poi assumeremo che α e β soddisfano la relazione di cui al punto (b).
(c) Si decrivano le caratteristiche dello spettro di Hf .
(d) Si trovi la funzione d’onda dello stato fondamentale di Hf .
(e) Si sfrutti il risultato del punto (a) per dare informazioni sullo spettro dell’Hamiltoniana
p2
1
H+ = H−f =
+ α q6 + β q2 =
p − i f (q) p + i f (q)
2m
2m
Soluzione 050616MQ1/1
(2)
(1)
(a) I vettori Φn = A Φn 6= 0 soddisfano
(1)
(1)
(1)
H2 A Φ(1)
n = A H1 Φn = En A Φn .
(b) Si ha
1 2
p2
1
p2
f (q) − i h̄ [p, f (q)] =
+
+
(f 2 (q) − h̄ f 0 (q))
2m 2m
2m 2m
che confrontata con H suggerisce f (q) = g q 3 e quindi
3g h̄
9 h̄2
g2
,
β=
⇒
β2 =
α.
α=
2m
2m
2m
(c) Per valori arbitrari di α e β si può affermare che lo spettro di H è puramente discreto, non
Hf =
degenere e con autovettori normalizzabili. Quando è soddisfatta la relazione del punto (b), si
può aggiungere che lo spettro di Hf è definito positivo ed ammette l’autovalore nullo solo se e
solo se esiste uno stato | 0 i che soddisfa (p − i f (q)) | 0 i = 0 .
(d) La precedente equazione in rappresentazione delle coordinate assume la forma
g
ψ00 (x) = − x3 ψ0 (x)
h̄
4
che ammette la soluzione (normalizzabile) ψ0 (x) = e−g x /4 h̄ : Hf ha anche l’autovalore nullo.
(e) Da
[Hf , p − i f ] =
1
1
[p + i f, p − i f ] (p − i f ) =
(−2h̄ f 0 ) (p − i f )
2m
2m
segue
1
(2h̄ f 0 ) (p − i f ) = (p − i f ) Hf
2m
e quindi tutti gli autovalori di Hf , salvo il fondamentale, sono autovalori di H−f .
H−f (p − i f ) = Hf (p − i f ) +
Soluzione 050616MQ1/2
a b
(a) A =
con aa∗ − bb∗ = 1 i.e. A ∈ SU (1, 1).
b∗ a ∗
r r
ω1
1 ω
(b) a =
+
,
2
ω1
ω
1
b=
2
r
ω
−
ω1
q
−
q
ω1
ω
+
q
ω1
ω
r
ω1 .
ω
(c) |0i1 = f (η + )|0i
con
(η + t η + )f (η + ) = 0 ,
t= q
ω
ω1
ω
ω1
i.e.
2
f 0 (x) + txf (x) = 0 ,
|0i1 = cost(t) e−t(η
f (x) = e−tx
+ 2
) /2
/2
|0i = (1 − t2 )1/4 e−t(η
+ 2
) /2
|0i =
!1/2
2
q
ω
ω1
+
q
ω1
ω
e−t (η
+ 2
) /2
|0i .
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2004/2005
Prova scritta - 07.07.2005
Problema 1. Una particella di massa m in una dimensione è confinata in una buca di potenziale
infinita di larghezza L. All’istante t = 0 è descritta da una delle due seguenti funzioni d’onda
ψ1 (x) = c sin(2π x/L) ,
ψ2 (x) = c | sin(2π x/L)| ,
0 ≤ x ≤ L.
(a) Si disegnino le due funzioni d’onda.
(b) Si dica se è possibile distinguere i due stati eseguendo misure di posizione all’istante t = 0.
(c) Si dica se, misurando qualche altra osservabile a t = 0, è possibile distinguere i due stati. In
caso affermativo si indichi quale osservabile.
(d) Si dica se è possibile distinguere i due stati effettuando solo misure di posizione ad un tempo
t > 0 e, in caso affermativo, si dica se il valore di t può essere arbitrario.
Problema 2. Una particella neutra di spin
1
2
e momento magnetico µ
~ = −µ ~σ è sottoposta a un
~
campo magnetico B(t)
= (0, 0, B cos ω t), per cui la sua Hamiltoniana è H(t) = µ B cos ωt σ3 .
(a) Integrare l’equazione di Schrödinger
∂
| s it = H(t) | s it
i h̄
∂t
per il generico stato iniziale | s i0 .
(b) Assumendo che | s i0 = | x̂ i (cioè sia autostato di σx all’autovalore +1), calcolare ~n(t) ≡
σ | s it
th s | ~
e descriverne il moto.
(c) Trovare il valore critico B0 tale che, se B < B0 , | x̂ i non evolve mai in | ŷ i .
Soluzione 0050707MQ1/2
(a) Posto | s it = α(t) | + i + β(t) | − i si ha
i h̄ α̇ | + i + β̇ | − i = µ B cos ωt α | + i − β | − i
ovvero
| s it = α(0) e−i (µ B/h̄ ω) sin ωt | + i + β(0) e+i (µ B/h̄ ω) sin ωt | − i .
(b) Per | s i0 = | x̂ i = √12 | + i + | − i si ha
n1 (t) = α∗ (0) β(0) e+i (2µ B/h̄ ω) sin ωt h + | σ1 | − i + c.c. = cos[(2µ B/h̄ ω) sin ωt]
n2 (t) = α∗ (0) β(0) e+i (2µ B/h̄ ω) sin ωt h + | σ2 | − i + c.c. = sin[(2µ B/h̄ ω) sin ωt]
n3 (t) = |α(0)|2 − |β(0)|2 = 0
Il vettore ~n(t) è un vettore di lunghezza 1 nel piano x-y che compie oscillazioni attorno all’asse
x con ampiezza angolare ϕ = arctan(2µ B/h̄ ω).
(c) 2µ B0 /h̄ ω = π/2 .
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2004/2005
Prova scritta - 08.09.2005
Problema 1. Una particella di massa m in una dimensione è soggetta al potenziale
V (x) = µ ex/a ,
µ > 0,
a > 0.
(a) Si dica qual è lo spettro {E } di H.
(b) Si mostri che la forma asintotica della funzione d’onda per x → −∞ è ψ(x) ≈ A × sin(c x + δ), con
A, c, δ costanti.
(c) Si renda esplicita la dipendenza di c da E e di δ da µ.
(d) Si trovi la forma asintotica della funzione d’onda per x → +∞.
Problema 2. Si consideri un atomo d’idrogeno (correzioni relativistiche trascurate) nello stato descritto dalla funzione d’onda normalizzata √
h1 1
% −%/2
2
% −%/3 i
ψ(x, y, z) = 3/2 √
1−
e
−
(x − i y) 1 −
e
,
2
27
6
aB
π 4
p
x2 + y 2 + z 2
%=
·
aB
(a) Si dica se lo stato è stazionario.
~ 2 ed Lz su ψ e si dica se dipendono dal tempo.
(b) Si calcolino i valori medi di H, L
Soluzione 050908MQ1/1
(a) Lo spettro è E > 0.
(b) L’equazione di Schrödinger, scritta rispetto a y = x/a è
h̄2
−
ψ 00 + µ ey ψ = E ψ
2m a2
e può essere riscritta nella forma
2m a2 µ y
2m a2 E
−ψ 00 +
e
ψ
=
ψ
h̄2
h̄2
o ancora, posto y0 = log(h̄2 /2m a2 µ) e E = 2m E/h̄2
−ψ 00 + ey−y0 ψ = E ψ .
(1)
La soluzione è quindi funzione di y − y0 . Per y → −∞, dove il secondo addendo del I membro può
essere trascurato rispetto al II membro,
√
ψ(x) ≈ A × sin E(y − y0 ) + α
con α indipendente da µ.
(c) Esplicitando le definizioni
di E e yr
0 date sopra si ha
r 2m E
h̄2 2m a2 E
ψ(x) ≈ A × sin
x
+
α
−
log
·
2m a2 µ
h̄2
h̄2
(d) Sostituendo z = y − y0 e ψ = ef nella (1) si ha
−f 02 − f 00 = E − ez
⇒
f 02 ≈ ez
⇒
f 0 = ±2ez/2
⇒
ψ ≈ e−2e
z/2
avendo trascurato f 00 rispetto a f 02 per z → +∞. Consistentemente (±2ez/2 )0 = ±ez/2 4ez .
Soluzione050908MQ1/2
(a) Si capisce dagli esponenziali che lo stato è sovrapposizione di due stati con energie E2 ed E3 . Non
è quindi stazionario. Si vede inoltre per confronto con gli stati stazionari che
1
ψ = √ R2 0 Y0 0 + eiθ R3 1 Y1 −1
2
Per questa identificazione è sufficiente confrontare solo il primo addendo: il fatto che il primo
√
coefficiente sia 1/ 2 e il fatto che lo stato sia normalizzato fissano il secondo coefficiente a meno
della fase θ che dipende dalla convenzione con cui si scrivono le armoniche sferiche.
(b) hH i =
1
2
13
(E2 + E3 ) = − 144
m e4 /h̄2 ,
indipemdenti dal tempo.
~ 2i =
hL
1
2
2h̄2 ,
~ zi =
hL
1
2
(−h̄)
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2005/2006
Verifica scritta n. 1 - 07.11.2005
Problema 1. Si confrontino le capacità termiche ad alte temperature nell’ambito della fase solida di un
centimetro cubo di Al e di un centimetro cubo di Pb, servendosi dei seguenti dati:
Al: Z = 13
A = 27 u.m.a.
Pb: Z = 182
A = 207 u.m.a.
densità = 2.7 g/cm3
densità =11.3 g/cm3
Facoltativo: si dia una descrizione qualitativa di tali capacità termiche a tutte le temperature tenendo
conto che la velocità del suono è 5100 m/s nell’Al e 1322 m/s nel Pb.
Problema 2. Si consideri un sistema quantistico descritto da uno spazio di Hilbert bidimensionale. Si
1 1
2 −i
considerino le due osservabili A =
,
B=
.
1 1
i 2
(a) Si dica quali sono gli spettri di A e B esplicitando anche la degenerazione di tali spettri.
(b) Si dica se A e B sono compatibili e se, in caso affermativo, sono un insieme completo di osservabili
compatibili.
a
b
si scriva in forma esplicita la probabilità di trovare i singoli valori dello spettro di A e di B eseguendo
(c) Dato il vettore di stato s =
misure di tali osservabili sullo stato s.
(d) Si dica se esistono due stati diversi s e s0 indistinguibili con sole misure di A e B.
Problema 3. Si consideri una particella libera di massa m in una dimensione descritta dall’equazione
di Schrödinger. Lo stato della particella è individuato, in rappresentazione degli impulsi, dalla funzione
d’onda
A k 0 − δ ≤ k ≤ k0 + δ
,
δ k0
0 altrove
R
(a) Si determini A in maniera che |a1 (k)|2 dk/(2π) valga 1.
a1 (k) =
n
(b) Si calcolino p e ∆p sullo stato descritto da a1 e si dica come cambiano nel tempo.
(c) Si calcoli x(t). Si dica inoltre se lo stato è di minima indeterminazione.
Si consideri ora lo stato descritto da
n
B −k0 − δ ≤ k ≤ −k0 + δ
a2 (k) =
0 altrove
e si dica se e, in caso affermativo, come cambiano le risposte alle domande (a)-(c).
Si consideri ancora lo stato descritto da a3 (k) = a1 (k) − a1 (−k) .
(d) Si dica, al primo ordine non banale in δ/k0 , quanto vale ∆p su tale stato.
(e) Si calcoli x(t) su a3 e si dica se, facendo una misura di posizione al tempo t, è più probabile ottenere
per x un risultato positivo oppure negativo.
Soluzione 051107MQ1/1
nAl = 2.7/27NA ,
cAl = 3nAl R = 0.3 R ;
nPb = 11.3/207NA ,
cPb = 3nPb R = 0.15 R
1/3
La descrizione è fornito dal solido di Debye. La temperatura di Debye è TD = v N/V
(N è il
numero di atomi contenuti nel volume V ) e numericamente TDPb ' 14 TDAl ' 325 K.
Soluzione 051107MQ1/2
1
1
1
(a) Per A: 2, 0 con vettori
;
. Per B: 3, 1 con vettori
;
1
−1
i
(b) Non commutano. Essendo lo spettro non degenere ciascuno è completo.
(c) PA (2) = |a + b|2
1
−i
PA (0) = |a − b|2
PB (3) = |a + i b|2
PB (1) = |a − i b|2
(d) Controesempio: a e b reali, a 6= b, con a2 + b2 = 1 : a0 = b ,
b0 = a.
Soluzione 051107MQ1/3
(a) Si ha
Z
1=
k0 +δ
r
π
dk
2δ
iα
= |A|
⇒
A=e
,
α reale
|A|
2π
π
δ
k0 −δ
(b) Sono entrambi costanti del moto e valgono
Z k0 +δ
dk
p1 =
A∗ h̄k A
= h̄ k0
2π
k0 −δ
Z +δ
Z k0 +δ
h̄2
1
dk
2
∗ 2
2
=
dκκ2 = (h̄ δ)2
∆p1 =
A h̄ (k − k0 ) A
2π
2δ
3
−δ
k0 −δ
(c) In generale x1 (t) = (p1 /m) t + x1 (0). Essendo a1 (k) reale, il valor medio di q → i d/dk è nullo, quindi
2
x1 (t) = (h̄ k0 /m) t. Lo stato non è di minima indeterminazione in quanto non gaussiano.
Sullo stato rappresentato da a2 (ottenibile da a1 tramite traslazione di −2k0 ): B = A (a meno di una
fase); p2 = −p1 ; ∆p2 = ∆p1 ; x2 (t) = −(h̄ k0 /m) t.
(d) Si noti che a3 è a parità definita, quindi p3 = 0. Conviene poi normalizzare lo stato ad 1: avendo
√
normalizzato a1 , allora a3 → a3 / 2. Quindi
∆p23
1
=
2
Z +∞
dk
dk
h̄2 1 3 k0 +δ
1
2
|a3 (k)| (h̄ k)
= h̄
k 2 |a1 (k)|2
=
k = (h̄2 k0 )2 + (h̄2 δ)2 ' (h̄2 k0 )2
2π
2π
2δ
3
6
k
−δ
0
−∞
0
Z
+∞
2
2
(e) Anche x3 (0) = 0 per parità. Quindi x3 (t) = (p3 /m) t + x3 (0) = 0. La funzione d’onda in rappresentazione delle coordinate al tempo t è
Z
dk
a3 (k) ei (k x−ω(k) t) = −ψ(−x, t) .
ψ(x, t) =
2π
che si dimostra operando x → −x, k → −k e sfruttando che a3 è dispari mentre h̄ ω = (h̄ k)2 /2m è
pari. Quindi |ψ(x, t)|2 è pari in x per ogni t e dunque
Z ∞
Z 0
2
P> ≡
|ψ(x, t)| dx =
|ψ(x, t)|2 dx ≡ P<
0
−∞
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2005/2006
Verifica scritta n. 2 - 19.12.2005
Problema. Due particelle non identiche, di identica massa m, in una dimensione sono soggette al
potenziale attrattivo
V (x) = −Z λ δ(x) ,
Z > 0,
λ > 0.
Nell’ipotesi che le due particelle non interagiscano fra di loro
a) Si scriva l’hamiltoniana H0 del sistema; si dica quanti stati legati ammette e qual è l’energia E0 dello
stato fondamentale.
Si consideri ora l’interazione repulsiva fra le particelle
H 0 = λ δ(x1 − x2 )
come una perturbazione che è lecito trattare al primo ordine.
b) Si calcoli l’effetto di H 0 su E0 e si dica qual è il minimo valore di Z per il quale il sistema continua
ad avere, in questa approssimazione, uno stato legato.
Si consideri ora lo stato | κ i rappresentato dalla seguente funzione d’onda (non normalizzata) ‘di prova’
|κi
→
Ψκ (x, y) = e−κ |x| e−κ |y| .
c) Si calcoli il valor medio
E(κ) = h κ |H0 + H 0 | κ i
e se ne trovi il minimo rispetto a κ. Si dica se si ottiene una migliore stima per eccesso dell’energia
dello stato fondamentale del sistema e qual è il minimo valore di Z per cui tale stima è attendibile.
Si consideri invece il caso di particelle identiche che abbiano entrambe spin 12 .
d) Si individui qual è lo stato di spin ammesso dal principio di Pauli quando il sistema è nello stato
fondamentale determinato sopra. (Si tratta di inviduare quale combinazione lineare dei quattro stati
| + i1 | + i2 ,
| + i1 | − i2 ,
| − i1 | + i2 ,
| − i1 | − i2 , ha la corretta simmetria di scambio.)
Soluzione 051219MQ1/1
a) L’hamiltoniana H = H1 +H2 è separabile. Ciascuna Hi ammette un solo stato legato di autofunzione
normalizzata
√
ψ0 (x) = κ0 e−κ0 |x| ,
κ0 =
mZ λ
h̄2
e corrispondente energia
1 m (Zλ)2
h̄2 κ20
− Z λ κ0 = −
·
E0 (κ0 ) =
2m
2
h̄2
Il sistema di due particelle ammette un solo stato legato di energia E0 = 2E0 e corrispondente
autofunzione normalizzata Ψκ0 = κ0 e−κ0 (|x|+|y|) . Su tale funzione d’onda si ha
Z
Z
Z ∞
λ κ0
2
−2κ0 (|x|+|y|)
2
dx e−4κ0 x =
∆E0 = κ0 λ dx dy e
δ(x − y) = λ κ0 2
·
2
0
Complessivamente, al I ordine in PT
1 m λ2
E0 → E0 + ∆E0 = −
Z(Z − 21 ) < 0
⇒
Z > 12 .
2 h̄2
c) La funzione d’onda normalizzata è Ψκ = κ e−κ (|x|+|y|) su cui
h̄2 κ2
λκ
E(κ) = 2
− Z λκ +
·
2m
2
La stima per eccesso sullo stato fondamentale non può essere peggiore di quella data dal calcolo
perturbativo che è riprodotto per κ = κ0 . Ponendo κ = ξ κ0 e minimizzando si ottiene ξ = 1 −
1/(4Z) < 1 del calcolo perturbativo. Imponendo inoltre ξ > 0 si ottiene un limite meno restrittivo:
Z > 14 . Inoltre per tale valore
1 m λ2
(Z − 14 )2
2 h̄2
che è - come atteso - più basso del valore perturbativo.
E(ξ κ0 ) = E0 · (1 − 1/(4Z))2 = −
d) Essendo la funzione d’onda orbitale simmetrica per scambio delle due particelle, l’unico stato di spin
antisimmetrico è | + i1 | − i2 − | − i1 | + i2 .
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2005/2006
Prova scritta - 12.01.2006
Problema 1.nUna particella di massa m in due dimensioni è soggetta al potenziale
|x| oppure |y| > a
V (x, y) = +∞ ,
0
altrove
cioè è libera di muoversi all’interno di una zona a forma di croce (non limitata) di bracci larghi 2a.
(a) Si trovi la forma asintotica delle autofunzioni dell’energia per |x| a e si dia un esempio di stato
stazionario per cui, in questa regione, la densità di corrente
i h̄ ∗
∗
ψ (∇ψE ) − (∇ψE
) ψE
j(x, y) = −
2m E
abbia la componente x positiva.
(b) Determinare il valore soglia E0 tale che per E < E0 la particella non può propagare (come una
particella libera) nella regione |x| a.

2
) e−α ,

 (1 − |x y|/a −α
|y|/a
È assegnato lo stato | α i → ψ(x, y) = A (1 − |x|/a) e−α |x|/a ,

,
 (1 − |y|/a) e
0
(c) Si faccia un grafico di ψ(x, y), mettendone in rilievo proprietà
|x| e |y| ≤ a
|x| ≤ a, |y| ≥ a .
|y| ≤ a, |x| ≥ a
altrove
di simmetria, eventuali punti di di-
scontinuità, di discontinuità delle derivate etc. e si calcoli la Zcostante di normalizzazione A.
2
2 (d) Si verifichi che il valor medio dell’energia h α |H| i ∝
dx dy ∂x ψ + ∂y ψ
R2
è della forma
α2 + 2α + 3
11α + 6
precisando il valore della costante N .
h α |H| = iN
(e) Si minimizzi rispetto ad α il valore trovato e si confronti il minimo Eα ottenuto con E0 : cosa si
conclude circa lo spettro di H?
Problema 2. Una particella di massa m in tre dimensioni è soggetta al potenziale

per r > a
 −e2 /r
V (x) =

V (x) = V0 per 0 < r < a, V0 < −e2 /a .
(a) Nel caso in cui E > V0 si trovi la funzione d’onda radiale ridotta per l’onda l = 0 per r < a.
(b) Si determini come deve tendere a zero a al tendere di V0 a −∞ in modo tale che
ϕ(a)
lim
=C
V0 →−∞ ϕ0 (a)
essendo C una costante prefissata e ϕ(r) la funzione d’onda radiale ridotta.
q
Suggerimento: si ponga k a = π2 − A e si determini A, essendo come al solito k = 2m (E − V0 )/h̄2 .
(c) Tenendo conto del fatto che la funzione d’onda radiale ridotta normalizzata dell’atomo di idrogeno
−3/2
nello stato fondamentale è ϕ0 (r) = 2aB
r e−r/aB , si determini al primo ordine in C di quanto si
sposta il livello fondamentale (si ponga ϕ(r) = ϕ0 (r) + δϕ(r), si ritengano solo le prime correzioni, si
usi l’equazione soddisfattta da ϕ0 . . . ).
Soluzione 060112MQ1/1
(a) Per |x| a il problema è a variabili separabili. Le autofunzioni del laplaciano sono
n π x
+
ψk,n
n dispari ≥ 1
(x, y) = e±i k x cos
2a
n π x
−
ψk,n
n pari > 0
(x, y) = e±i k x sin
a
Gli stati col segno + nell’esponente soddisfano la richiesta di flusso positivo in direzione x.
(b) Lo stato di più bassa energia che dà luogo a propagazione ha la forma asintotica della funzione d’onda
della forma e±i k x cos(π x/2a) appartenenete all’energia
h̄2 2
π2 h̄2 π 2
h̄2
E=
k + 2
⇒
E0 =
·
'
1.23
2m
4a
m a2 8
m a2
(c) La funzione d’onda ha la forma di un tetto spiovente: è pari per x → −x, y → −y e x ↔ y; è continua
ovunque, ha discontinuità nelle derivate lungo le rette x = 0, y = 0, x = ±a, y = ±a.
(d) Data la simmetria della funzione d’onda si ha
Z a Z a Z x
Z ∞
11
h
x y 2
y 2 i
1 −2αx/a
2 −2α
dy 1 − 2
dy 1 −
dx
dx e
+
= 8A2 a2 e−2α
1 = 8A e
+
a
a
36 6α
0
0
0
a
(e) La forma suggerita permette di evitare le δ contenute nelle derivate seconde, ma non è obbligatoria.
Anche in questo caso è possibile sfruttare la simmetria della funzione d’onda:
Z
Z
Z ∞
Z ∞ h ∂ψ 2 ∂ψ 2 i
∂ψ 2
h̄2
h̄2
∂ψ 2
h̄2
dx dy
+
2
dx dy
=
2·4
dx
dy
=
=
2m R2
∂x
∂y
2m
∂x
2m
∂x
R2
0
0
Z a Z a
Z ∞ Z ∞
Z
Z a
h
i
h̄2
y2
α −αx/a 2 a y 2
1
2 −2α
8A e
dx
dy 4 +
dx
e
dy e−2αx/a =
dy 1 −
+
dx 2
2m
a
a
a
a a
0
0
a
0
0
2
h̄
1 α
1
8 A2 e−2α
+ +
2m
3
6
2α
e dividendo per il risultato trovato in (d) si ha N = 3 h̄2 /(m a2 ).
(f) La minimizzazione dà α ' 0.92 e il corrispondente minimo Eα ' 1.06 h̄2 /(m a2 ) < E0 . Se ne
conclude che in questo potenziale esiste almeno uno stato normalizzabile con energia minore di E0 in
cui la particella è ‘legata’ all’origine, a dispetto del fatto che esistono zone classicamente accessibili
arbitrariamente lontane da x = y = 0.
Soluzione 060112MQ1/2
2mV0
2mE
ϕ=
ϕ
⇒
ϕ = sin(k r) .
h̄2
h̄2
ϕ(a)
tan(k a)
1
(b) 0
=
=C
⇒
tan A =
→0
ϕ (a)
k
kC
cioè
(a) −ϕ00 +
a≈
1
1
π
π
−
+
= q
2
2k Ck
C 2mV0 /h̄2
2 2m (−V0 )/h̄2
(c) Posto ϕ = ϕ0 + δϕ, in cui ϕ0 soddisfa
00
2m e2
2mE
−ϕ0 −
ϕ0 = − 2 ϕ0 ≡ κ20 ϕ0 ,
r > a,
E<0
(•)
h̄ r
h̄
si ha
h 2m e2
i
2m e2
⇒
δ(κ2 )ϕ0 = −δϕ00 + − 2 − κ20 δϕ .
−δϕ00 − 2 δϕ = κ20 δϕ + δ(κ2 )ϕ0
h̄ r
h̄ r
Moltiplicando questa per ϕ0 , usando la (•),integrando da a a ∞ e prendendo il limite per a → 0 si
ha
δ(κ2 ) = −
Z
0
∞
dr (δϕ0 ϕ0 − δϕ ϕ00 )0 = (δϕ ϕ00 )|r=0 .
Essendo infine δϕ(0) = ϕ(0) = C ϕ0 (0) ' C ϕ00 (0), si ottiene infine
4
δ(κ2 ) = C 3 ·
aB
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2005/2006
Prova scritta - 9.02.2006
Problema 1. Si consideri l’operatore O = d2 /dx2 sullo spazio delle funzioni L2 (−L, +L). Si consideri
il dominio D0 delle funzioni ψ(x) ∈ L2 soddisfacenti soltanto la condizione di periodicità
ψ ∈ D0 :
ψ(−L) = ψ(L)
(a) Servendosi dell’integrazione per parti, si mostri che su D0 l’operatore O non è hermitiano ed ha spettro
continuo.
(b) Si mostri che sul sottoinsieme D0 ⊂ D0 su cui è soddisfatta anche la condizione
ψ ∈ D0 :
ψ 0 (−L) = ψ 0 (L)
O è hermitano; si trovino autovettori e autovalori di {O, D0 } precisandone le degenerazioni. Si dica
inoltre se le autofunzioni di O in D0 sono anche autofunzioni dell’inversione spaziale.
(c) Si risponda alle domanda (a) a partire dal dominio D00 delle funzioni antiperiodiche
ψ ∈ D00 :
ψ(−L) = −ψ(L)
e alla domanda (b) sostituendo la condizione
ψ ∈ D00 :
ψ 0 (−L) = −ψ 0 (L) .
(d) Si trovino le autofunzioni di O nel dominio
ψ ∈ D0 :
ψ(L) = ψ(−L) = 0
specificando, anche in questo caso, autovalori e degenerazioni relative e se tali autofunzioni sono
autofunzioni dell’inversione spaziale.
Si consideri ora una particella di massa m in una dimensione vincolata nel segmento (−L, L) soggetta al
potenziale V0 |x| ≤ a
V (x) =
0
a < |x| ≤ L .
(e) Si descriva l’effetto di V (x) trattato come perturbazione al I ordine su {O, D0 }.
Problema 2. Un elettrone interagisce con un protone tramite il potenziale

e2


r≥a
−
r
V (r) =
a ' 10−5 aB .
2


 −e
0 < r ≤ a.
a
(a) Si scriva l’hamiltoniana H del moto relativo nella forma H = H0 + H 0 (con H0 usuale hamiltoniana
dell’idrogeno in cui si trascurano gli spin) e si dia esplicitamente H 0 .
(b) Si calcoli l’effetto di H 0 sullo stato fondamentale.
(c) Si illustri con argomenti qualitativi qual è l’effetto che ci si aspetta sul livello n = 2.
(d) Si calcoli l’effetto di H 0 sul livello n = 2.
Saranno utili le seguenti funzioni radiali:
2
1
r −r/2aB
R10 (r) = 3/2 e−r/aB ;
R20 (r) = √ 3/2 1 −
e
,
2 aB
aB
2 aB
1
r −r/2aB
R21 (r) = √ 3/2
e
.
2 6 aB aB
Soluzione 060209MQ1/1
(a) Si ha (includendo nel doppio segno anche il caso delle funzioni antiperiodiche ψ(L) = −ψ(−L)):
Z L
Z L
(ψ, Oφ) =
dx ψ ∗ φ00 = ψ ∗ (L) φ0 (L)−ψ ∗ (−L) φ0 (−L)∓
dx ψ 0∗ φ0 = ψ ∗ (L) φ0 (L)∓φ0 (−L) −. . .
−L
Z
L
(Oψ, φ) =
−L
Z
dx ψ 00∗ φ = ψ 0∗ (L) φ(L)∓ψ 0∗ (−L) φ(−L)−
−L
L
dx ψ 0∗ φ0 = ψ 0∗ (L)∓ψ 0∗ (−L) φ(L)−. . .
−L
La sola richiesta di peridicità o antiperiodicità non è sufficiente a far sı̀ che siano uguali i termini di
bordo. Inoltre per ogni λ ∈ C
ψ 00 = λ ψ
√
⇒
ψ = Ae
λx
+ B e−
√
λx
.
che per A = (+/−)B soddisfa le condizioni al bordo di (periodicità/antiperiodicità) per ogni λ.
(b) Per le funzioni ψ ∈ D0 o ψ ∈ D00 i termini di bordo dànno contributo nullo, quindi O è hermitiano.
Per le funzioni
{cos n π x/L , n ≥ 0;
sin n π x/L , n ≥ 1} ∈ D0 :
En =
h̄2 π 2 n2
(2m L2 )
due volte degeneri, salvo n = 0.
Analogamente per le funzioni
{cos (n + 12 ) π x/L , n ≥ 0; sin (n + 21 ) π x/L , n ≥ 0} ∈ D00 :
En =
h̄2 π 2 (n + 12 )2
(2m L2 )
tutti due volte degeneri.
La doppia degenerazione non implica che le autofunzioni di O devano essere a parità definita, ma la
scelta fatta indica che possono esserlo.
(d) Appartengono a D0 gli stati pari di D00 e quelli dispari di D0 . Non c’è più degenerazione e pertanto
le autofunzioni di O devono essere autovettori dell’inversione spaziale.
(e) La perturbazione è pari, quindi non mescola gli stati con parità definita. Mettendosi quindi nella
base data in (b),
(1)
δE0
= V0
a
;
L
δEn(1)± = V0
a
L
±
sin(2π n a/L) , n ≥ 1,
2π n
± autovalore dell0 inversione spaziale.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2005/2006
Prova scritta - 12.06.2006
Problema 1. Una particella di massa m è libera di muoversi nel segmento [0, a]. All’istante t = 0 è
nello stato descritto dalla funzione d’onda
√
ψ(x, 0) = N sin(π x/a) i + 2 2 cos(π x/a) .
(a) Determinare il valore (reale) del coefficiente di normalizzazione N .
(b) Dire quali sono i possibili risultati di una misura di energia sulla particella e dare le relative probabilità.
(c) Calcolare la densità di corrente di probabilità j(x, t) .
Problema 2. Si considerino N particelle distinguibili di spin 1/2 (si ignorino tutti i gradi di libertà
eccetto lo spin).
(a) Si scriva in termini delle matrici di Pauli σ (k) , k = 1 . . . N l’operatore Pij che scambia la particella i
con la particella j.
(b) Nel caso in cui le particelle invece di distinguibili siano identiche, si dica quali sono gli stati possibili
e quali sono i possibili autovalori di tale operatore.
Soluzione 060612MQ1/1
(a) Avendo presnte
che gli stati stazionari sono
r
2
h̄2 π 2 2
ψn (x) =
n
sin(n π x/a) ,
En =
a
2m a2
si ha
r
r
√
a
2 1
√
ψ(x, 0) = N
⇒ N=
i ψ1 (x) + 2 ψ2 (x)
2
a 3
r
⇒
(b) I risultati possibili sono E1 ed E2 con probabilità p1 = 31 , p2 =
ψ(x, 0) =
2
3
1
i ψ1 +
3
r
.
(c) L’evoluto r
temporalerdi ψ(x, 0) può essere scritto, con una adeguata scelta di fase, come
1
2 iωt
ψ(x, t) =
ψ1 −
ie
ψ2 ,
ω = (E2 − E1 )/h̄
3
3
e con semplici calcoli algebrici
√
h̄ ∗ ∂
∂ ∗ 8 2 h̄
ψ
cos(ω t) sin3 (π x/a) .
j(x, t) = −i
ψ−ψ
ψ =
2m
∂x
∂x
3 m a2
2
ψ2 .
3
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2005/2006
Prova scritta - 04.07.2006
Problema 1. Per una particella di massa m in una dimensione è nota ad un certo istante la distribuzione
di probabilità per l’impulso:
2
%(p) = N 2 e−α (p−p0 ) ,
α > 0,
p0 ∈ R .
(a) Si dica se è noto lo stato della particella e si calcolino i valori medi dell’impulso e dell’energia cinetica.
(b) Si dica se, per qualche opportuno valore di p0 , lo stato della particella è stato stazionario di un’opportuna hamiltoniana H = p̂ 2 /(2m) + V (q̂).
In caso la risposta a (b) sia affermativa:
(c) Mostrare con un esempio esplicito che neanche questo basta a determinare la funzione d’onda dello
stato e il corrispondente V (q).
Soluzione 060704MQ1/1
(a) La funzione d’onda dello stato corrispondente alla %(p) assegnata è della forma
2
φ(p) = N e−α (p−p0 )
/2 i γ(p)
e
ma non v’é modo, in assenza di ulteriori informazioni, di determinare γ(p). Inoltre, dovendo essere
R
%(p) dp = 1, si ha
Z
hp̂i = %(p) [(p − p0 ) + p0 ] = p0
Z
1
hp̂ 2 i = %(p) [(p − p0 )2 + p20 ] =
+ p20
2α
(b) Su uno stato stazionario il valor medio di p̂ deve essere nullo.
(c) Per p0 = 0, essendo la funzione d’onda normalizzabile, lo stato stazionario è non degenere, quindi la
sua funzione d’onda ψ(x) in rappresentazione delle coordinate può essere presa reale: cioò implica
che φ(p) = φ∗ (−p) cioè γ(p) = −γ(−p) mod 2π. Nel caso γ(p) = −β p/h̄
φ0 (p) ∝ e−α p
2
/2−i β p
⇒
2
ψ0 (x) ∝ e−(x−β)
/(2h̄2 α)
che è la funzione d’onda dello stato fondamentale di un oscillatore armonico di pulsazione ω =
1/(h̄ m α), il cui potenziale è determinato solo a meno di una traslazione.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2005/2006
Prova scritta - 8.9.2006
Problema 1. Si consideri una particella di spin I = 1 e una di spin s = 12 .
(a) Servendosi dei 6 stati | 1, Iz i ⊗ | 12 , sz i si scriva lo stato | Fz =
3
2
i, dove F~ = I~ + ~s è lo spin totale.
(b) Calcolare h F, Fz | F+ F− | F, Fz i, posto che h F, Fz | F, Fz i = 1.
(c) Applicare l’operatore di discesa F− allo stato trovato in (a); dire quanti altri stati si trovano continuando ad applicare F− e scriverli esplicitamente; dedurre l’autovalore di F~ 2 degli cosı̀ stati trovati.
(d) Identificare una base di autovettori simultanei di F~ 2 ed Fz nel sottospazio ortogonale a quello generato
da tutti i vettori trovati in (c).
Si consideri ora lo ione costituito da un elettrone (spin = s =
e un nucleo di
14
1
2,
momento magnetico = µe = 2 µB )
N (spin = I = 1, momento magnetico = µI = 1.7 · 10−3 µB ) nel suo stato orbitale
fondamentale ` = 0. Si sa che, a causa dell’interazione fra i momenti magnetici, tale stato si divide
in due livelli energetici di degenerazioni rispettivamente 4 e 2, separati di E4 − E2 ' 3.6 · 10−4 eV
(separazione iperfine). Tale ione viene ora immerso in un campo magnetico uniforme e costante di
intensità B ' 100 gauss e l’Hamiltoniana di interazione dello ione col campo ha la forma
0
~ ·B
~
Hmag
= (µe ~s + µI I)
(e) Stimare il rapporto fra l’effetto prodotto dal campo magnetico e la separazione iperfine.
0
(f) Calcolare l’effetto di Hmag
sui livelli E4 e E2 .
Soluzione 060704MQ1/1
(a) | Fz =
3
2
i = | 1, 1 i ⊗ | 21 , 12 i ≡ | F = 32 , Fz =
3
2
i.
(b) h F, Fz | F+ F− | F, Fz i = h F, Fz | F12 + F22 + i[F2 , F1 ]| F, Fz i =
= h F, Fz | F~ 2 − F32 + F3 | F, Fz i = F (F + 1) − Fz (Fz − 1).
q
q
√
(c) (I− + s− ) | 1 i ⊗ | 12 i = 2 | 0 i ⊗ | 12 i + | 1 i ⊗ | − 21 i → 23 | 0 i ⊗ | 12 i + 13 | 1 i ⊗ | −
1
2
i ≡ | 23 , 12 i
la freccia indicando normalizzazione a 1;
q
q
(I− + s− ) | 23 , 21 i → 23 | 0 i ⊗ | − 12 i + 13 | − 1 i ⊗ | 12 i ≡ | 32 , − 12 i
(I− + s− ) | 32 , − 12 i → | − 1 i ⊗ | −
1
2
i ≡ | 32 , − 32 i
Esendo i vettori in numero di 4, F = 32 .
q
q
1
2
1
1
1 1
(d)
|
0
i
⊗
|
i
−
3
2
3 | 1 i ⊗ | − 2 i = | 2, 2 i
q
q
1
2
1
1
1
1
3 |0i ⊗ | − 2 i −
3 | − 1 i ⊗ | 2 i = | 2, −2 i
sono ottenuti come combinazioni lineari ortogonali a | 32 , 12 i e | 32 , − 12 i.
(e) ∆Emag ' B(µe ∆sz + µI ∆Iz ) ' 2BµB ' 1.2 · 10−6 eV E4 − E2 .
(f) Essendo lecito l’uso di PT al I ordine, il campo rimuove completamente la degenerazione su Fz :
0
~ ·B
~
scrivendo Hmag
= (µe F~ + (µI − µe ) I)
0
h 23 , ± 23 | Hmag
| 32 , ± 32 i = ±B
3
2 µe
0
h 12 , ± 21 | Hmag
| 12 , ± 12 i = ±B
1
2 µe
+ (µI − µe ) = ±B( 21 µe + µI )
0
| 32 , ± 12 i = ±B 12 µe + (µI − µe ) 31 = ±B( 16 µe + 13 µI )
h 32 , ± 21 | Hmag
+ (µI − µe ) 32 = ±B(− 16 µe + 23 µI )
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2006/2007
Prova scritta - 8.11.2006
Problema 1. Si consideri un corpo nero di un litro di volume.
(a) Si dica quale è l’energia interna media di tale corpo nero alla temperatura ambiente (300 K) e le
fluttuazioni di tale energia.
(b) Si dica se esso contiene un numero finito oppure infinito di fotoni e nel secondo caso se ne calcoli il
numero medio.
Integrali utili
Z ∞
xn
dx x
= n! ζ(n + 1) dove ζ(2) = 1.64493, ζ(3) = 1.20206, ζ(4) = 1.08232, ζ(5) = 1.03693
e −1
0
Problema 2. Si consideri un sistema descritto da uno spazio di Hilbert di due dimensioni, la cui
hamiltonana è data da
1 0
0
H = c(t)
+ b(t)
0 1
1
−1
0
(a) Si dica quali sono le condizioni su c(t) e b(t) affinché tale hamiltoniana sia un operatore hermitiano
e in quali casi si ha una evoluzione invariante per traslazioni temporali.
a1
Sia lo stato iniziale descritto da
.
a2
(b) Si determini lo stato all’istante t e il valore medio a tale istante della osservabile F =
1
0
0
−1
Problema 3. Si consideri il moto una particella di massa m lungo l’asse ẑ e soggetta a gravità:
H=
p2
+ mg q
2m
Sia inoltre | A i0 lo stato normalizzato della particella all’istante t = 0.
(a) Si calcolino h A | q | A i e h A | q 2 | A i all’istante t.
2
(t) del caso in esame con quello di una particella libera (g → 0).
(b) Si confronti il ∆qA
·
Soluzione 061108MQ1/1
(a)
Z ∞
k T 3
1
h̄ ω
3! ζ(4)
B
V
dω ω 2 h̄ ω/k T
=V ·
· kB T
' 0.021 erg
2
3
B
π c
h̄
c
π2
e
−
1
0
∂
(∆U)2 = −
U(β) = 4 U(T ) kB T
⇒
∆U ' 3.6 · 10−8 erg
∂β
U(T ) =
(b)
N (T ) =
1
V
π 2 c3
Z
∞
0
dω ω 2
1
eh̄ ω/kB T
−1
=V ·
k T 3 2! ζ(3)
B
' 4.95 · 1011
·
h̄ c
π2
Soluzione 061108MQ1/3
È conveniente lo schema di Heisenberg:
ṗ(t) = −m g
⇒
p(t) = p − m g t ;
q̇(t) = p(t)/m
⇒
q(t) = q + (p/m) t − 21 m g t2
con q, p usuali posizione e impulso a tempo t = 0.
(a)
qA (t) = h A | q(t) | A i = qA (0) + t
pA (0) 1
− m g t2
m
2
2
qA
(t) = . . . . . .
(b) In entrambi i casi si ottiene la stessa espressione, perchè i termini generati contenenti g sono c-numeri.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2006/2007
Prova scritta - 20.12.2006
Problema 1. Si consideri una particella di massa m in una dimensione, libera di muoversi nel segmento
[−a, a].
(a) Si esibisca un unsieme completo di autovettori ψn (x) dell’ Hamiltoniana definita sull’insieme delle
funzioni che si annullano ai bordi: ψn (±a) = 0, precisando autovalori corrispondenti e degenerazione.
Si supponga che all’istante t = 0 il sistema sia nello stato rappresentato dalla funzione d’onda Φ(x) =
ψ1 (x) + ψ2 (x), in cui ψ1 e ψ2 denotano le funzioni d’onda dello stato fondametale e del primo stato
eccitato, rispettivamente.
(b) Si dica se, e in caso affermativo dopo quanto tempo per la prima volta, il sistema si trova nello stato
Φ(−x).
(c) Si calcoli, limitandosi al I ordine, l’effetto della perturbazione
 x
 V0
|x| < b < a
b
H 0 (x) =

0
b < |x| < a
precisando quale condizione devono soddisfare b e V0 affiché il risultato del calcolo sia attendbile per
tutti i livelli energetici.
(d) Si dica, spingendosi fino al II ordine perturbativo, se la variazione di energia dello stato fondamentale
aumenta oppure diminuisce per effetto di H 0 (x) e se ne dia una stima per eccesso.
(e) Stessa domanda del punto (c) (calcolo al I ordine) per la perturbazione
V0 |x| < b < a
00
H (x) =
0
b < |x| < a
si stimi anche l’ordine di grandezza dell’errore commesso.
Problema 2. Si consideri il sistema di un elettrone ed un protone in stato di spin totale S = 0.
(a) Si dica perché ha senso eseguire contemporaneamente misura di una delle componenti dello spin
dell’elettrone e di una componente dello spin del protone.
(b) Si calcoli la probabilità che eseguendo contemporanemete misura di sez per l’elettrone e misura di spx
per il protone si trovino rispettivamente i valori
1
2
e − 21 .
(c) Si ruota ora il polarimetro che misura lo spin del protone attorno all’asse y di un angolo φ. Si calcoli
di nuovo la probabilità di trovare come risultati della misura
1
2
e − 12 .
Soluzione 061108MQ1/1
(a) Gli autovalori sono tutti non degeneri, quindi i corrispondenti autovettori sono tutti a parità definita:
includendo
di normalizzazione
rla costante
1
π h̄2 π 2 2
n ,
n = 1, 3, 5 . . .
cos n
x
En+ =
ψn+ (x) =
2a
8m a2
ra
π 1
h̄2 π 2 2
n ,
n = 2, 4, 6 . . .
ψn− (x) =
sin n
x
∈ En− =
a
a
8m a2
avendo esposto l’autoalore w = (−)n+1 dell’inversione spaziale.
(b) L’evoluzione temporale di Φ(x) è, omettendo un fattore irrilevante,
Φ(x, t) = ψ1 (x) + ψ2 (x) e−i t (E2 −E1 )/h̄ .
Con
3 h̄2 π 2
lo stato Φ(−x) = ψ1 (x) − ψ2 (x) viene raggiunto la prima volta per t = π/ω.
8 m a2
0
(c) Trascurando la dipendenza da m e n e stimando gli elementi di matrice con |Hm
n | ≤ V0 b/a la validità
h̄ ω ≡ E2 − E1 =
di PT I è certamente assicurata da
b
h̄2 π 2
.
V0 a
m a2
In questa approssimazione tutti i livelli (a parità definita) restano, al I ordine, imperturbati da una
perturbazione (dispari).
(d) Al II ordine
X h 1 |H 0 | n ih n |H 0 | 1 i
−1 X
−1
(2)
∆E1 = −
<
h 1 |H 0 | n ih n |H 0 | 1 i =
h 1 |(H 0 )2 | 1 i < 0 .
E
−
E
E
−
E
E
−
E
n
1
2
1 n
2
1
n
Esplicitamente
8 m a2
2b 2
(2)
∆E1 < −
×
V
3 h̄2 π
3a 0
(e) Si ha
b
sin(2π n b/a) ±
∆En(1)± = V0
a
2π n
Si noti che il primo addendo è irrilevante nello stabilire la validità di PTI: infatti, non dipendendo
da n, può essere riassorbito aggiungento la costante −V0 b/a all’hamiltoniana. La validità di PTI è
assicurata da
sin(2π n b/a) h̄2 π
V0 2π n
m a2
che di fatto seleziona i valori di n per cui PTI è applicabile.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2006/2007
Prova scritta - 07.01.2007
~ tutti nello stesso stato
Problema 1. Un fascio di neutroni (spin S = 21 , momento magnetico µ
~ = γ S),
di spin | Sz = + 12 i, si muove di assegnato moto orbitale, rettilineo e uniforme: x = y = 0, z = v t, e
attraversa una prima regione R1 di dimesione ∆z = a sede di un campo magnetico uniforme e costante
~ 1 = B x̂.
B
~ è H = −~
~
Sapendo che l’Hamiltoniana che accoppia un momento magnetico µ
~ a un campo magnetico B
µ·B
(a) Scrivere lo stato di spin dei neutroni dopo che hanno attraversato R1 .
All’uscita di R1 i neutroni attraversano una seconda regione R2 , di larghezza ∆z = b e sede di un
~ 2 = B ŷ.
secondo campo magnetico uniforme e costante B
(b) Qual è la frazione del fascio di neutroni che, dopo aver attraversato prima R1 e poi R2 , hanno ancora
spin | Sz = + 21 i?
(c) Nel caso di neutroni con lo stesso stato iniziale spin | Sz = + 21 i e la stessa velocità v che attraversano
prima R2 e poi R1 , dire se lo stato finale di spin è lo stesso e se la frazione del fascio che emerge con
| Sz = + 12 i è la stessa.
Problema 2. Si consideri una particella di massa m in tre dimensioni soggetta ad un potenziale di buca
sferica tridimensionale di larghezza a e profondita’ −V , V > 0.
1. Si dica in quali condizioni questo sistema puo’ avere stati legati e se questi possono essere in numero
infinito.
2. Nel caso in cui questo sistema ammetta stati legati si scriva la funzione d’onda tridimensionale relativo
allo stato fondamentale.
3. Si effettua su tale stato una misura atta a accertare se la particella si trova all’esterno della buca,
cioè r > a. In caso di risposta negativa, cioe’ la particella non e’ trovata all’esterno della buca, si
dica quale e’ la funzione d’onda immediatamente dopo la misura.
4. Si dica se questa funzione d’onda puo’ rappresentare uno stato stazionario.
5. Si dica se questa funzione d’onda puo’ essere la sovrapposizione di stati tutti di energia minore di
zero, cioè di stati legati.
Soluzione 070111MQ1/1
(a) L’operatore di evoluzione temporale relativo all’attraversamento di R1 è
γBa
U1 = e−i H t/h̄ = ei (γ B a/2v) σx = cos α + i σx sin α ,
α=
2v
essendo a/v il tempo di attraversamento della regione R1 ; lo stato di spin è pertanto
| s i1 = U1 | + i = cos α | + i + i sin α | − i .
(b) Analogamente
γBb
2v
| s i2 = U2 U1 | + i = (cos α cos β + i sin α sin β) | + i + (− sin β cos α + i cos β sin α) | − i .
U2 = ei (γ B b/2v) σy = cos β + i σy sin β ,
β=
La frazione di neutroni emergenti con lo stesso spin è
I ++
= |h + |s i2 |2 = (cos α cos β)2 + (sin α sin β)2
I
(c) Lo stato è
| s0 i2 = U1 U2 | + i = (cos α cos β − i sin α sin β) | + i + (− sin β cos α + i cos β sin α) | − i
diverso dal precedente, ma la frazione I ++ /I è la stessa.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2006/2007
Prova scritta - 01.02.2007
Problema 1. Una particella di massa M e carica q è vincolata a muoversi lungo una circonferenza di
raggio a.
(a) Scrivere l’Hamiltoniana H0 della particella e mostrare che è degenere.
(b) Esibire un insieme completo di autovettori di H0 , i relativi autovalori e la loro degenerazione.
Viene acceso un campo magnetico uniforme e costante ortogonale al piano del moto, descritto dal poten~ =
ziale vettore A
1
2
~ ∧ ~r. Tenendo presente che l’Hamiltoniana H in presenza di campo magnetico è
B
~,
ottenibile da H0 tramite la sostituzione minimale p~ → p~ − (q/c) A
(c) Calcolare autovalori e autovettori di H e dire, in particolare, se il campo magnetico rimuove completamente la degenerazione.
(d) Dire se il risultato precedente vale anche in presenza di campo magnetico costante nel tempo ma non
uniforme.
Problema 2. Si consideri la schematizzazione della molecola di idrogeno ionizzata una volta H2+ ,
costituita da un elettrone che si muove nel campo coulombiano generato due due cariche +e (i due
protoni) tenuti a distanza fissa di 1 Å.
a) Si scriva l’equazione di Schrödinger nella rappresentazione delle coordinate.
b) Si elenchino le simmetrie spaziali di questo sistema.
c) Usando il teorema di degenerazione si dica che ci si puo’ o meno aspettare una degenerazione dei
livelli energetici e in caso positivo se ne elenchino dei casi concreti.
d) Si dica se esiste un sistema di coordinate in cui la funzione d’onda si puo’ fattorizzare e se ne dia la
forma.
e) Si dica se ci si attende la presenza di stati legati e se ci si attende che essi siano in numero finito o
infinito.
Soluzione 070201MQ1/1
(a) Il sistema è un rotatore rigido piano: l’Hamiltoniana è
L2z
H0 =
,
2M a2
che commuta con Lz , inoltre l’inversione lungo una qualsiasi direzione x nel piano del moto è tale che
Lz Ix + Ix Lz = 0 ,
[Ix , H0 ] = 0
quanto basta a concludere che H0 è degenere.
(b) Gli autovettori di H0 sono gli autovettori | m i, m = 0, ±1, ±2 . . . di Lz , i relativi autovalori E|m| =
h̄2 m2 /(2M a2 ) doppiamente degeneri, salvo E0 = 0.
(c) Operando la sostituzione minimale si ha
qB 2
q Φ 2
q B a2
h̄2 Lz → Lz −
Lz −
(x + y 2 ) = Lz −
⇒ H=
2
2c
2c
2M a
2π h̄c
dove, nell’ultima formula Lz è adimensionale, Φ = π a2 B è il flusso di B attraverso il cerchio: in
generale la degenerazione è rimossa, salvo i casi in cui q Φ/2π h̄c è intero positivo o negativo.
(d) Il risultato dipendendo solo dal flusso, ci si aspetta che - a parità di questo - valga anche per un
campo non uniforme.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2006/2007
Prova scritta - 11.06.2007
Problema 1. Si consideri una particella di massa m in una buca di potenziale infinita di ampiezza
2a che al tempo t = 0 si trova nello stato
|s0 i = c1 |1i + c1 |2i
(1)
essendo |1i e |2i gli stati fondamentale e primo eccitato normalizzati.
(a) Si scriva in maniera esplicita la funzione d’onda normalizzata al tempo t = 0.
(b) Si scriva in maniera esplicita la funzione d’onda normalizzata al tempo t e la densità di probabilità ρ(x, t) al tempo t.
Si consideri ora la stessa particella nella stessa buca di potenziale infinita che al tempo t = 0 è
descritta dall’operatore statistico
W (0) = |c1 |2 |1ih1| + |c2 |2 |2ih2| .
(2)
(c) Si scriva l’evoluzione temporale di tale operatore statistico.
(d) Si calcoli la densità di probabilità al tempo t e si dica se essa permette di distinguere questo
caso (2) dal precedente (1).
(e) Si dica se è possibile distinguere le due descrizioni (1) e (2) dello stesso sistema dalla conoscenza
di
1
P (x) = lim
T →∞ T
Z
T
ρ(x, t) dt .
0
Problema 2. Si consideri l’atomo di idrogeno (in cui tutte le correzioni relativistiche e dovute allo
spin vengono trascurate). È noto che l’effetto di un campo elettrico E è descritto dall’hamiltoniana
H = H0 + V ≡ H0 + e E z
e che, al I ordine in teoria delle perturbazioni, il livello imperturbato n = 2 viene scisso nei seguenti
sottolivelli (notazione | n`m i):
E− = E2 − 3 e E aB
E2
E+ = E2 + 3e E aB
| 20, 0 i − | 21, 0 i = | E− i
| 21, 1 i , | 21, −1 i
| 20, 0 i + | 21, 0 i = | E+ i
Si vuole valutare l’effetto della perturbazione al II ordine in E su questi tre livelli. A questo scopo
le prescrizioni della teoria delle perturbazioni possono essere riassunte introducendo il proiettore
XX
Q=
| n`m ih n`m |
n6=2 `,m
sul complemento otrogonale all’autospazio appartenente al livello E2 imperturbato e il proiettore
P sul livello perturbato al I ordine che si intende perturbare al II: esse sono
• scrivere la matrice
1
H2 = P V Q
QV P
E2 − H0
• digonalizzarla.
(a) Si scrivano le regole di selezione di V rispetto a ` e m.
(b) Si dimostri che la correzione di II ordine su | E− i è uguale alla correzione di II ordine su | E+ i.
(c) Si dimostri che la degenerazione dell’autovalore E2 non viene rimossa al II ordine.
(d) Dire se ci si aspetta che la degenerazione del punto precedente venga o no rimossa ad un ordine
perturbativo sufficientemente alto.
Soluzione 070611MQ1/2
(a) ∆m = 0,
∆` = ±1 , avendo incluso la parità.
(b) Poichè gli stati | E± i sono non degeneri, i corrispondenti proiettori sono 1-dimensionali. Le
corrispondenti matrici sono quindi già le correzioni al II ordine. Si ha, sfruttando le regole di
selezione
X
± =
h E± |V | n` m ih n`m |
n6=2,` m
X
n6=2
1
| n`m ih n`m |V | E± i =
E2 − En
(e E)2 |h 200 |z| n10 i|2 + |h 210 |z| n00 i|2 + |h 210 |z| n20 i|2
2(E2 − En )
in quanto i termini di interferenza si annullano (∆m = 0) e stati con ` ≥ 3 non contribuiscono
agli elementi di matrice dell’operatore z che ha ` = 1. Gli spostamenti sono dunque uguali.
(c) Quanto al livello con degenerazione 2, la matrice è diagonale (ancora la regola di selezione su
m), inoltre i due elementi diagonali
X
(e E)2
ε± =
h 21, ±1 |z| n2, ±1 i
h n2, ±1 |z| 21, ±1 i
E2 − En
n6=2
sono uguali fra loro.
e
i ϕ(`,m)
Infatti da Ix Lz = −Lz Ix e Ix H = H Ix segue che
Ix | n`, m i =
| n`, −m i e quindi
0 0
0
0
h n ` , m |z| n `, m i = h n0 `0 , m |Ix2 z Ix2 | n `, m i = e−i ϕ(` ,m ) ei ϕ(`,m) h n0 `0 , −m |z| n `, −m i .
(d) La degenerazione non viene mai rimossa: Lz e Ix commutano con H0 + V ma anticommutano
fra loro. Gli autostati simultanei di H e Lz con valori opposti di m restano quindi degeneri a
tutti gli ordini.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2006/2007
Prova scritta - 03.07.2007
Problema 1. Si consideri una particella di massa m in due dimensioni confinata a muoversi nel
quadrato di lato 2L centrato nell’origine e sottoposta al potenziale
V (x) = A + B x + C y
|x| ≤ L ,
|y| ≤ L .
(a) Si discutano le proprietà spettrali dell’Hamiltoniana H di Schrödinger associata a tale potenziale: se lo spettro è discreto o continuo o misto, degnenerazione degli autovalori, normalizzabilità degli autovettori. Si distingua in particolare il caso B = C da quello in cui tali costanti
hanno valori generici.
(b) Si precisino le condizioni nelle quali si può affermare che i parametri B e C possono essere
considerati piccoli.
(c) Nelle condizioni del punto precedente si dica se, limitandosi all’uso della teoria perturbativa al
I ordine, lo spettro di H è non degenere oppure no.
Problema 2. Si consideri un sistema che al tempo t = 0 è nello stato
|0i = c1 |1i + c2 |2i + c3 |3i
con | 1 i, | 2 i e | 3 i autostati della energia.
(1) Si dimostri che per c3 = 0 il sistema è periodico, cioè che esso ritorna nello stesso stato dopo
un periodo t21 e si determini tale t21 in funzione di E2 e E1 .
(2) Si consideri ora il caso in cui anche c3 sia deiverso da zero. Si dimostri che questo sistema è
quasi periodico, cioè che dato T > 0 ed ε > 0 ad arbitrio esiste sempre un n t21 > T , con n
intero, tale che
| t i − | 0 i < ε
essendo | t i un vettore che rappresenta lo stato ket0 evoluto al tempo t.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2006/2007
Prova scritta - 07.09.2007
~ , E ' 104
Problema 1. L’Hamiltoniana di un atomo di idrogeno, immerso in un campo elettrico E
~ , B ' 104 eV/gauss, è
V/cm e in un campo magnetico B
~ · ~r + e h̄ B
~ · ~`
H = H0 + H 0 ≡ H0 + e E
2m c
in cui, avendo trascurato entrambi gli spin, H0 è l’Hamiltoniana imperturbata, e > 0 è la carica
del protone, ~r e ~` sono gli operatori posizione e momento angolare relativi delle due particelle.
Limitandosi alla teoria perturbativa al I ordine:
(a) Dimostrare che lo stato fondamentale | 100 i dell’atomo resta imperturbato.
~ eB
~ sono paralleli.
Si consideri ora il caso in cui E
(b) Si scriva la matrice della perturbazione ristretta al livello n = 2, avendo cura di indicare gli
elementi di matrice nulli, di denotare elementi di matrice uguali con lettere uguali etc. Si
controlli che per B = 0 si riottengono i risultati noti dell’effetto Stark.
(c) Dimostrare che il livello n = 2 viene separato in quattro sottolivelli diversi: si esplicitino
numericamente gli autovalori e i corrispondenti autovettori della perturbazione.
(d) Si dica per quali degli stati | n = 2, k i ,
k = 1, 2, 3, 4 trovati al punto precedente vale
h 100 | ri | n = 2, k i =
6 0
(0)
per qualche componente cartesiana i. (sono questi gli stati che danno luogo alle righe spettroscopiche di emissione).
~ eB
~ sono ortogonali.
Si consideri infine il caso in cui E
(e) Si proceda come nelle domanda (b) e si dica in particolare se anche in questo caso la degnerazione
del livello n = 2 viene completamente rimossa. Si dica anche in questo caso per quale degli
autovettori trovati vale la (0).
Soluzione 070907MQ1/1
(a) Per parità (il primo addendo) e esplicitamente (il secondo)
~ · h 100 | ~r | 100 i + e h̄ B
~ · h 100 | ~` | 100 i = 0 .
eE
2m c
~ e B,
~ e classificando gli stati dell’idrogeno con la compo(b) Chiamando ẑ la direzione comune di E
nente z di ~`, cioè | n ` mz i, la perturbazione ha la regola di selezione ∆mz = 0; inoltre la parte
elettrica connette stati con parità opposta, la parte magnetica quelli con parità uguale. Quindi
H0
| 200 i
h 200 |
0
h 210 |
A∗
h 21 + 1 |
0
h 21 − 1 |
0
| 210 i
A
0
0
0
| 21 + 1 i
0
0
B
0
|A| = 3e E aB ' 1.5 · 10−4 eV ,
| 21 − 1 i
0
0
0
−B
B=
e h̄ B
' 0.6 · 10−4 eV
2m c
(c) Gli autovettori normalizzati sono
1
√ | 200 i ± | 210 i ∈ ±|A|
| 21 ± 1 i ∈ ±B ,
2
(d) I primi due stati sono connessi a | 100 i sia da x che da y; gli altri due sono connessi da z (questo
significa che si vedono quattro righe).
~ e x̂ quella di E,
~ e classificando come prima gli stati con mz , la
(e) Chiamando ẑ la direzione di B
parte magnetica continua ad essere diagonale, mentre la parte elettrica (che connette solo stati
a parità opposta) connette il | 200 i con gli stati | 21 ± 1 i; è quindi conveniente riarrangiare
l’ordinamento degli stati come segue
H0
| 200 i
h 200 |
0
h 21 + 1 | −C
h 21 − 1 |
C
h 210 |
0
| 21 + 1 i
C
B
0
0
| 21 − 1 i
−C
0
−B
0
| 210 i
0
0
0
0
dove, con le convenzioni allegate
al testo,
Z
Z
e E h 200 | x | 21 + 1 i = e E
dr r2 . . . dΩ x̂ (−i)(x̂ + iŷ) = C
Z
Z
e E h 200 | x | 21 − 1 i = e E
dr r2 . . . dΩ x̂ (+i)(x̂ − iŷ) = −C .
Dalla matrice data si vede subito che lo stato | 210 i resta imperturbato (e connesso a | 100 i
dalla componente z di ~r). Tuttavia anche la matrice 3 × 3, avendo determinante
λ(λ2 − B 2 ) − C 2 (λ + B) − C 2 (λ − B) = λ λ2 − (B 2 − 2C 2 )
ha un autovalore 0 con autovettore corrispondente B | 200 i + C | 21 + 1 i + C | 21 − 1 i connesso
a | 100 i da tutte le componenti di ~r: ma, grazie alla degenerazione residua, si vedono solo tre
righe di emissione.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2007/2008
Prova scritta - 06.11.2007
Problema 1. Si consideri una particella nello spazio tridimensionale.
a) Gli operatori q1 , p2 commutano e come tali sono compatibili. Si scriva esplicitamente un insieme
completo di stati che sono simultaneamente autostati di q1 e di p2 . Si dica se tale insieme completo è
unico o no.
b) Si scrivano le espressioni del momento angolare orbitale classico M1 , M2 , M3 , in termini delle
coordinate q1 , q2 , q3 e degli impulsi p1 , p2 , p3 .
Se ne dia la loro traduzione a livello di operatori in meccanica quantistica.
Si calcolino i seguenti commutatori [M1 , M2 ] , [qk , Ml ] , [M12 + M22 , M3 ] , [M1 p1 + M2 p2 + M3 p3 , M3 ] .
Problema 2. Si consideri un sistema quantistico descritto da uno spazio di Hilbert bidimensionale e le
1 0
0 1
due osservabili
A=
,
B=
.
0 −1
1 0
Si dica se esistono operatori che commutano con A e B senza essere multipli della identità.
Si scriva per tale sistema un insieme completo di osservabili (cioè operatori hermitiani) compatibili e
il relativo sistema completo di autostati.
Problema 3. Si consideri l’Hamiltoniana H = p2 /2m di una particella libera di massa m vincolata nel
segmento [−a, +a].
(a) Si dimostri che H > 0 sul dominio di funzioni D = {ψ(x) | ψ(−a) = 0 = ψ(a)} .
(b) Si trovi un insieme completo di autovettori di H in D, specificando il relativo autovalore e la relativa
degenerazione.
Si considerino i domini di funzioni Ds,t = {ψ(x) | ψ(−a) = −tψ 0 (−a), ψ(a) = sψ 0 (a)}.
(c) Si mostri che, per s, t reali, Ds,t sono domini su cui H è hermitiana. Si mostri anche che sul dominio Dt
definito da s = t l’Hamiltoniana H commuta con l’inversione spaziale I : ψ(x) → (Iψ)(x) = ψ(−x).
(d) Si mostri che per t > 0 l’Hamiltoniana H ha almeno un autovettore in Dt corrispondente ad un
autovalore negativo.
(A questo scopo sarà utile mostrare che l’esistenza delle radici dell’equazione trascendente tanh x = α/x
può essere stabilita riportando i grafici del primo e del secondo membro sullo stesso piano cartesiano).
(e) Si giustifichi la differenza fra il risultato trovato in (a) e quello trovato in (d).
Facoltativo.
(f) Si mostri che per t < a esiste un secondo autovettore in Dt appartenente ad un autovalore negativo.
Si confronti la sua energia con l’energia dell’autovettore trovato in (d).
Soluzione 071106MQ1/3
(a) Per ogni ψ ∈ D0 e derivabile due volte si ha
Z +a
Z +a
h̄2
h̄2
(ψ, H ψ) = −
dxψ ∗ ψ 00 =
dx ψ 0∗ ψ 0 > 0
2m −a
2m −a
i termini di bordo dando contributo nullo per definizione di D0 .
(1)
(b) La base di Fourier
ψn (x) = cos(nπx/2a) n positivo dispari
ψn (x) = sin(nπx/2a) n positivo pari
appartenenti agli autovalori En = h̄2 π 2 n2 /8m a2 , tutti non degeneri, è notoriamente completa.
(c) Quanto all’hermiticità:
Z a
Z a
h̄2
1
1
h̄2
(ψ, H φ) = −
dx ψ ∗ φ00 = − ψ ∗ (a) φ(a) − ψ ∗ (−a) φ(−a) +
dx ψ 0∗ φ0
(2)
2m −a
s
t
2m −a
Z a
Z a
h̄2
1
1
h̄2
(H ψ, φ) = −
dx ψ 00∗ φ = − ∗ ψ ∗ (a) φ(a) − ∗ ψ ∗ (−a) φ(−a) +
dx ψ 0∗ φ0
2m −a
s
t
2m −a
Inoltre, omettendo il fattore h̄2 /2m
Z a
Z a
d
d
a
d2
d
dx
(ψ, H I φ) = −
dx ψ ∗ (x) 2 φ(−x) = − ψ ∗ (x) φ(−x) −a +
ψ ∗ (x)
φ(−x)
dx
dx
dx
−a
−a
Z a dx d ∗ d
1 ∗
1 ∗
dx
= ψ (a) φ(−a) − ψ (−a) φ(a) +
ψ (x)
φ(−x)
t
s
dx
dx
−a
Z
Z a
a
d
d
a
d
d2
dx
ψ ∗ (−x)
φ(x)
(ψ, I H φ) = −
dx ψ ∗ (−x) 2 φ(x) = − ψ ∗ (−x) φ(x) −a +
dx
dx
dx
−a
Z a dx
−a
d
1 ∗
1 ∗
d
dx
= ψ (a) φ(−a) − ψ (−a) φ(a) +
ψ ∗ (−x)
φ(x)
s
t
dx
dx
−a
(d) In Dt è conveniente diagonalizzare prima l’inversione spaziale e poi H. Per gli stati pari non normalizzati ψE = cosh k x, con E = −h̄2 k 2 /2m < 0, e l’equazione agli atovalori è ottenuta imponendo la
condizione al bordo
cosh k a = t k sinh k a
o anche
a 1
ξ>0
t ξ
che per ogni t > 0 ha sempre una sola soluzione ξ+ .
tanh ξ =
(e) Nella (1) non ci sono termini di bordo. Nella (2) questi ci sono e, per φ = ψ, danno contributo
negativo. Sull’autovettore - evidentemente - il loro contributo eccede quello dell’ultimo termine
positivo.
(f) Per gli stati dispari ψE (x) = sinh k x l’equazione agli autovalori è
t
tanh ξ = ξ
ξ>0
a
che ha una sola radice ξ− < ξ+ per t < a. Ne segue che E+ < E− .
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2007/2008
Prova scritta - 20.12.2007
~
Problema 1. Una particella di momento angolare 1 interagisce con un campo magnetico B(t)
con
hamiltoniana
~
H = −~
µ · B(t)
Si ha
~
B(t)
= (Bx (t), 0, Bz )
con Bz costante e |Bx (t)| |Bz |. Al tempo t = 0 il sistema si trova in uno stato di Jz definito cioè di
valore m.
Si calcoli all’ordine perturbativo più basso non nullo la probabilità di transizione al tempo t ad uno
stato con diverso m e la probabilità di permanenza nello stesso valore di m. Si considerino i seguenti
due casi particolari
a) Bx (t) = cost.
(|Bx | |Bz |)
b) Bx (t) = b sin ωt, |b| |Bz | in cui si richiede la probabilità di transizione per tempi T molto grandi.
Problema 2. Due particelle identiche in tre dimensioni di massa m, carica e, spin
1
2,
interagiscono
tramite il potenziale armonico
V (~r1 , ~r2 ) =
1
2
k |~r1 − ~r2 |2 .
(a) Descrivere lo spettro dell’Hamiltoniana totale H delle due particelle (se è, discreto, continuo o misto,
autovalori e relativa degenerazione, autovettori).
(b) Dire se l’Hamiltoniana Hrel del moto relativo delle due particelle commuta con l’inversione spaziale
I ~ra I = −~ra ,
I p~a I = −~
pa ,
a = 1,2.
(c) Dare autovalori e autovettori di Hrel , tenendo conto del principio di Pauli ed esplicitando lo stato di
spin delle particelle.
(d) Dire quali fra i seguenti operatori (a, b, c costanti reali)
e
~ r1 ) + p~2 · A(~
~ r2 )
H10 =
p~1 · A(~
H20 = a (~
p1 · ~s1 − p~2 · ~s2 )
m
H30 = b (~
p1 + p~2 ) · (~s1 + ~s2 )
H40 = c (~
p1 − p~2 ) · (~s1 − ~s2 )
è ammissibile come Hamiltoniana di perturbazione di Hrel .
(e) Quali, fra le perturbazioni ammissibili, perturbano i livelli di Hrel già al primo ordine della teoria
delle perturbazioni?
(f) A che ordine gli operatori rimasti perturbano il sistema?
Soluzione 071220MQ1/1
√
√
Si ha J− |1i = 2|0i , J− |0i = 2| − 1i da cui si possono ricavare tutti gli elementi di matrice di
Jx . Quindi
1 P (1 → 0) = 2 2h̄
con E1 = −µ Bz ,
Z
t
0
2
Bx (t) ei(E0 −E1 )t/h̄ dt
E0 = 0 ,
E−1 = µ Bz .
Nel caso in cui Bx sia costante si ha
2
P (1 → 0) = 2 Bx2 sin2 (ω10 t) = P (0 → 1) = P (0 → −1) = P (−1 → 0) .
h̄
Le probabilità di permanenza si calcolano per sottrazione P (1 → 1) = 1 − P (1 → 0)
P (0 → 0) =
1 − P (0 → 1) − P (0 → −1) . Nel caso di perturbazione periodica si ha
sin(ω − ω)t
sin(ω10 + ω)t 2
10
P (1 → 0) = 2b2 + e−iω t
(ω10 − ω)
(ω10 + ω)
Si noti che per ω = ω10 si ha una risonanza cioè
P (t) ≈ t2 per grandi t, risultato perturbativo che viola l’unitarietà.
Soluzione 071220MQ1/2
(a) L’Hamiltoniana totale
p~ 2
p~ 2
P~ 2
p~2
H = 1 + 2 + V (~r1 , ~r2 ) =
+
+ V (|~r |) ≡ Hcm + Hrel
2m 2m
4m m
è separabile e gli autovettori sono della forma | P~ 0 i | n1 , n2 , n3 i dove | P~ 0 i sono gli autovettori di Hcm
(particella libera di massa 2m) e | n1 , n2 , n3 i sono gli autovettori dell’oscillatore armonico di massa
p
m/2 e pulsazione ω = 2k/m. Lo spettro di H è pertanto continuo
P~ 0 2
+ h̄ ω( 32 + n1 + n2 + n3 )
4m
con degenerazione della particella libera in 3 dimensioni per la degenerazione ulteriore
E=
dE =
1
2
(N + 1)(N + 2) ,
N = n1 + n2 + n3
tipica dell’oscillatore tridimensionale isotropo.
(b) Si. Si noti che l’azione di I sugli autovettori di Hrel coincide con quella dell’operatore Π0 che scambia
le variabili orbitali delle due particelle.
(c) Gli stati con N pari sono pari sotto I e quindi sotto Π0 : ad essi va ssociato lo stato di spin totale di
singoletto | S = 0 i che è l’unico ad avere lo scambio di spin Πs = −1; agli stati con N dispari vanno
associati, viceversa, solo gli stati di tripletto | S = 1, Sz0 i: in definitiva
| 2N ; S = 0, Sz0 = 0 i ,
| 2N + 1; S = 1, Sz0 = 0, ±1 i ,
N = 0, 1, 2, . . .
(d) H20 non è un’osservabile perché non è simmetrica sotto Π0 Πs .
(e) Fra le perturbazioni non escluse bisogna cercare quelle che hanno elementi di matrice diagonali non
nulli: questo esclude subito H40
h N |~
p1 − p~2 | N i · h S |~s1 − ~s2 | S i = 0
in quanto entrambi gli elementi di matrice riguardano operatori dispari sotto scambio fra stati che
hanno la stessa parità. Anche H30 può essere escluso in quanto
(~
p1 + p~2 ) ψ (~r1 − ~r2 ) = 0
il che dice, incidentalmente, che H30 = 0 su tutto lo spazio L2 (~r1 − ~r2 ) . Resta quindi H10 per la
quale nessuna delle precedenti argomentazioni è valida.
(f) Di H30 = 0 si è già detto. Di H40 , osservando che connette stati con ∆N = ±1 e ∆S = ±1, si conclude
che è efficace dal II ordine in poi. (Qui ho tirato un po’ via)
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2007/2008
Prova scritta - 11.01.2008
Problema 1. Un elettrone (massa m, carica e, si trascuri lo spin) in tre dimensioni è vincolato a
muoversi nella regione di spazio compresa fra i piani paralleli z = 0,
z = a nella quale è presente un
campo elettrico E~ = E ẑ (si assuma V (z) = e E z).
(a) Descrivere il moto classico di un elettrone di energia E, mostrando che esistono due casi qualitativamente diversi.
(b) Scrivere l’equazione di Schrödinger per gli stati stazionari dell’elettrone, separando completamente le
variabili: H = Hx + Hy + Hz . Elencare le costanti del moto.
(c) Restringendosi ad Hz , si dia una descrizione completa delle sue proprietà spettrali (natura dello
spettro, degenerazione degli autovalori) e si faccia in particolare un disegno qualitativo, ma accurato,
di un’autofunzione ψI (z) relativa ad un autovalore EI < e E a e quello di una ψII (z) relativa ad un
autovalore EII > e E a.
(d) Si dica che cosa avviene di notevole nel caso in cui
e E a 3h̄2 π 2 /(2m a2 )
e si dia una stima
degli autovalori di Hz usando la teoria delle perturbazioni al I ordine. Il risultato che si ottiene è
particolarmente semplice: se ne dia una spiegazione.
Problema 2. Si consideri un sistema di due fermioni identici di spin 1/2 e di massa m vincolati a stare
ad una distanza r.
a) Trascurando i gradi di libertà traslazionali (del baricentro), si scrivano gli stati possibili del sistema
e la loro degenerazione.
b) Si dia una breve giustificazione del fatto che l’energia è data da
~2
L
H=
m r2
~ 2 il quadrato del momento angolare.
essendo L
c) Si scriva la funzione di partizione del sistema a temperatura T .
d) Nel caso m = 2000 masse elettroniche e r = 10−10 m = 1 Å si dica per quali valori T può essere
considerata una bassa temperatura.
f) Si calcoli la funzione di partizione per alte temperature.
Soluzione 080111MQ1/1
(a) Moto rettilineo uniforme lungo x e y, moto uniformemente accelerato lungo z con riflessioni al punto
z = 0 e al punto z = a, se avviene che l’energia residua ∆E = E − Ex − Ey > e E a; altrimenti la
riflessione avviene al punto z definito da ∆E = e E z.
(b) Ψp q ∆E (x, y, z) = ei p x/h̄ ei q y/h̄ ψ∆E (z)
con p, q ∈ R e
h̄2 00
ψ
+ e E z ψ∆E = ∆E ψ∆E ,
ψ∆E (0) = 0 = ψ∆E (a) .
2m ∆E
Le costanti del moto sono px , py ; Ix , Iy .
−
(1)
(c) Lo spettro di (1) è puramete discreto con degenerazione 1. - Grafici (d) Il limite h̄2 π 2 /(2m a2 ) dato a e E a > V (z) è la differenza fra il primo eccitato e il fondamentale dei
livelli energetici
h̄2 π 2 2
n
∆En =
2m a2
della buca di potenziale infinita in cui l’elettrone si muove in assenza di campo elettrico. Ciò autorizza
l’uso di PT al I ordine:
Z
2 a
z
a
dz sin2 n π
δ(∆En ) =
(e E z) = e E
a 0
a
2
in cui l’indipendenza del risultato da n si spiega facilmente se si sposta l’origine in z = a/2: in tal caso
le autofunzioni imperturbate hanno parità definita e solo la parte pari del potenziale - una costante
- ha effetto sullo spostamento degli autovalori.
Soluzione 080111MQ1/2
mr2
L2
L2
. Quindi l’energia cinetica è
=
.
2
2I
mr2
S = 1 è pari nello spin e quindi i valori possibili di l sono quelli dispari: 1, 3, 5, . . .. Degenerazione
Il momento di inerzia è I = 2m(r/2)2 =
3 × (2l + 1)
S = 0 è dispari nello spin e quindi i valori possibili di l sono quelli pari: 0, 2, 4, . . .. Degenerazione
1 × (2l + 1)
Funzione di partizione:
X
X
2
2
2
2
Z=3
e−h̄ l(l+1)β/mr (2l + 1) +
e−h̄ l(l+1)β/mr (2l + 1)
disp
pari
Il salto energetico più piccolo è tra l = 0 e l = 1 i.e
2h̄2
= 4 × 13.5 eV /(4 × 2000) = 0.00675 eV = 81K.
mr2
Per piccoli β si ha
Z
Z
1 ∞ −h̄2 xβ/mr2
3 ∞ −h̄2 xβ/mr2
Z≈
e
dx +
e
dx = 2mr2 βh̄2
2 0
2 0
Quindi il calore molare ad alte temperature è 22 N k = R in accordo con i due gradi di libertà del
manubrio rigido.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2007/2008
Prova scritta - 31.01.2008
Problema 1. Due particelle di uguale massa m, non identiche e - per ora - non interagenti, si muovono
libere all’interno del segmento [−L, +L]. Assumendo condizioni di annullamento ai bordi ψ(±L) = 0:
(a) Esibire un sistema completo di autovettori dell’Hamiltoniana H0 di tale sistema, relativi autovalori e
degenerazioni. Si precisino in particolare due insiemi di autofunzioni per il secondo e il quarto livello
energetico (il livello fondamentale è il primo).
Nel seguito le due particelle interagiscono tramite il potenziale
π x π x 2
1
H 0 = V0 cos
cos
2L
2L
in cui V0 è una costante e x2 , x2 sono le coordinate delle due particelle.
(b) Si dimostri che, se V risolve la degenerazione di un certo livello di H0 , allora gli autovettori di
H0 + V provenienti da tale livello imperturbato sono autovettori dell’operatore Π che scambia le due
particelle.
(c) Verificare che, al primo ordine perturbativo in V , la degenerazione del secondo livello di H0 non è
risolta, mentre lo è quella del quarto.
(d) Spiegare con un argomento di simmetria il perché di quanto trovato al punto precedente.
Problema 2. Si consideri un atomo idrogenoide, cioè un nucleo di carica Z cui è legato un singolo
elettrone. Il sistema si trova nello stato fondamentale.
a) Si scriva la funzione d’onda normalizzata dello stato fondamentale.
Al tempo t = 0 la carica del nucleo passa immediatamente dal valore Z al valore Z + 1 (a causa del
decadimento beta del nucleo). Dato il carattere istantaneo del decadimento si ha che la funzione d’onda
al tempo t = 0+ è uguale alla funzione d’onda a t < 0.
b) Si dica se per tempi t > 0 l’elettrone si trova in uno stato stazionario.
c) Si scriva formalmente quale è la probabilità di trovare ai tempi t > 0 l’elettrone in autostati della
nuova hamiltoniana, e si scrivano delle regole di selezione per tali probabilità, cioè casi in cui la
probabilità è zero.
d) Si calcoli esplicitamente per tutti i tempi t > 0 la probabilità di trovare l’elettrone nello stato fondamentale della nuova hamiltoniana e la probabilità di trovarlo in uno stato eccitato.
e) Si giustifichi la validità della approssimazione istantanea usata, tenendo conto che nel decadimento
beta l’elettrone viene emesso a velocità relativistica, cioè che differisce solo di qualche per mille dalla
velocità della luce.
Soluzione 080131MQ1/1
(a) Denotati con
cos(π n x/2L) n dispari
|ni =
sin(π n x/2L) n pari
En =
h̄2 π 2 n2
≡ E n2
8m L2
gli autovettori di singola particella, per le due particelle si hanno gli stati | m i1 | n i2 , con m, n ∈ R,
appartenenti all’energia Em n = Em + En ; quando m = n la degenerazione é 1, diversamente è 2. I
livelli fino al quarto sono
E1 1 = 2 E
E1 2 = 5 E
E2 2 = 8 E
E1 3 = 10 E
Ψ1 1 = cos(π x1 /2L) cos(π x2 /2L)
Ψ1 2 = cos(π x1 /2L) sin(π x2 /L) ,
Ψ2 1 = sin(π x1 /L) cos(π x2 /2L)
Ψ2 2 = sin(π x1 /L) sin(π x2 /L) ,
Ψ1 3 = cos(π x1 /2L) cos(3π x2 /2L) , Ψ3 1 = cos(3π x1 /2L) cos(π x2 /2L)
(b) Essendo la degenerazione di un livello alpiù 2, se questa viene rimossa si ottengono stati non degeneri;
poich’e H0 + V commuta con Π, i suoi autovettori non degeneri devono essere autovettori simultanei.
(c) Sul secondo livello gli elementi di matrice diagonali h 12 |V | 12 i e h 21 |V | 21 i sono uguali grazie a Π.
Quello fuori diagonale
Z +L
Z
h 12 |V | 21 i ∝
dx1
−L
+L
dx2 cos2 (π x1 /2L) sin(π x2 /L) sin(π x1 /L) cos2 (π x2 /2L) = 0
−L
quindi la degenerazione non è rimossa; mentre sul quarto livello
Z +L
Z +L
h 13 |V | 31 i ∝
dx1
dx2 cos2 (π x1 /2L) cos(3π x2 /2L) cos(3π x1 /2L) cos2 (π x2 /2L) 6= 0
−L
−L
assicura la rimozione della degenerazione.
(d) Basta l’uso di un’inversione delle coordinate di una sola particella: gli stati del livello due hanno
parità diverse, quelli del livello quattro hanno la stessa parità e possono quindi essere connessi da V
che è pari.
Soluzione 080131MQ1/2
Zr
Z 3/2
La funzione d’onda normalizzata dell’atomo idrogenoide è ψ(r) = √ 3/2 e− r0 .
π r0
Questo non è un autostato di p2 /2m − (Z + 1)e2 /r
X
−iEn t
Per t > 0 lo stato è
ψ(Z + 1, n, l, m)e h̄ (ψ(Z + 1, n, l, m), ψ(0+)) .
Quindi le probabilità sono costanti e date da |(ψ(Z + 1, n, l, m), ψ(0+))|2 . Il sistema può transire solo
a stati con l = m = 0. Si ha
(ψ(Z + 1, 1, 0, 0), ψ(0+) =
((Z + 1)Z)3/2
(Z + 1/2)3
e quindi la probabilità di transizione è
P =
((Z + 1)Z)3
<1
(Z + 1/2)6
La probabilità di finire in uno stato eccitato è 1 − P .
La transizione Z → Z + 1 si può considerare istantanea perchè il tempo che l’elettrone relativistico
impiega per attraversare l’atomo è r0 /Zc mentre i tempi caratteristici dell’atomo idrogenoide sono
T =
2πh̄
r0 1
2πh̄
2πh̄
r0
= 2π
≈
≈
≈ 1000
·
2
2
∆E
E1
mc Zα
Zc α
Zc
Per la domanda facoltativa:
1
(Z + 1)r −(Z+1)r/2r0
1
e−Zr/r0 ,
ψ2 = p
(1 −
ψ1 = p 3
)e
2r0
πr0 Z −3
8πr03 (Z + 1)−3
√
32 2(Z(Z + 1))3/2
2048Z 3 (Z + 1)3
(ψ1 , ψ2 ) = −
,
P
=
·
12
(1 + 3Z)4
(3Z + 1)8
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2007/2008
Prova scritta - 09.06.2008
Problema 1. Una particella libera di massa m, in una dimensione, è, all’istante t = 0 in uno stato | A i.
Dello stato si conosce la densità di probabilità dell’impulso:
%A (p) =
c
,
[(p − a)2 + b2 ]2
a, b ∈ R,
c ∈ C.
(a) Si dica se | A i è completamente determinato.
(b) Si dica se | A i può essere uno stato stazionario.
(c) Si calcolino i valori medi di p̂ su | A i agli istanti t = 0 e t generico.
La particella, dotata di carica elettrica e, viene sottoposta a un campo elettrico uniforme e costante nel
tempo E.
(d) Calcolare il valor medio di p̂ si | A i all’istante generico.
(e) Si dica se | A i può essere stazionario.
Problema 2. Dato lo sviluppo perturbativo dell’autostato |si della hamiltoniana H = H0 + λV
|si = |0i + λ|1i + λ2 |2i + . . .
h n | 0 i = 0 per n > 0 :
(a) si riporti l’espressione di |1i nel caso non degenere.
(b) Si mostri che nel caso in cui si riesca a trovare un operatore U tale che
[H0 , U ]|0i = (V + c)|0i ,
dove c è una costante, si può calcolare |1i esattamente.
(c) Si applichi questo procedimento al caso dello stato fondamentale dell’atomo idrogenoide in cui
h̄2 2 Ze2
H0 = −
∇ −
2m
r
dicendo quali perturbazioni V possono venire trattate prendendo per U
U = cost rk
con k intero e positivo.
Soluzione 080609MQ1/1
(a) No: negli stati rappresentati da ϕα (p) = ei α(p)
p
%(p) non è possibile detrminare α(p).
(b) No: tutti gli stati corrispondenti a %(p) sono normalizzabili, la particella libera ha solo autostati
impropri.
(c) h A | p̂(0) | A i = a = h A | p̂(t) | A i essendo p̂ una costante del moto.
(d) Integrando l’equazione di Heisenberg si ha p̂(t) = p̂ + e E t da cui h A | p̂(t) | A i = a + e E t.
(e) No, altrimenti il valor medio di ogni osservabile sarebbe costante in t.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2007/2008
Prova scritta - 30.06.2008
Problema 1. Una particella di massa m e spin
1
2
è vincolata a muoversi sull’asse x ed è assoggettata
ad una forza elastica −k q..
(a) Scrivere gli autovalori dell’energia e le rispettive degenerazioni.
(b) Calcolare i valori medi delle tre componenti dello spin ~s sullo stato
| A i0 = a | 0, + i + b | 1, − i ,
a, b ∈ C
all’istante generico t, essendo | 0, + i e | 1, − i gli stati corrispondenti alla minima energia e
sz =
1
2
e al primo livello eccitato e sz = − 12 .
La particella, priva di carica elettrica, è dotata di un momento magnetico µ
~ = µ0 ~s e viene sotto~ = B ẑ.
posta a un campo magnetico uniforme e costante B
~
(c) Determinare gli autovalori dell’energia in presenza di B.
(d) Dire se esiste un B per cui lo stato assegnato sopra risulti stazionario.
(e) Dire quali degli stati trovati in (c) è connesso allo stato fondamentale dall’operatore q.
Problema 2. Una particella si trova in un autostato del momento angolare orbitale agli autovalori
l = 2 e m = 0: | A i = | 2, 0 i
(1) Si calcoli il valor medio di nx Lx + ny Ly + nz Lz su tale stato.
(2) Si calcoli la corrente di probabilità e la distribuzione di probabilità su tale stato, assumendo
nota la funzione d’onda radiale R(r).
(3) Si risponda alle stesse domande dei punti precedenti nell’ipotesi che lo stato sia | 2, 1 i.
Soluzione 080630MQ1/1
(a) Detta ω =
p
k/m, si ha per l’energia En = h̄ ω(n + 21 ) e per la degenerazione dn = 2.
(b) Al tempo t lo stato assegnato è
| A it = a | 0, + i + b e−i ω t | 1, − i
e nello schema di Schrödinger
Re{a b∗ ei ω t h 0 | 1 i}
1 |a|2 − |b|2
=0
t h A |sx | A it =
t h A |sy | A it = 0
t h A |sz | A it =
2
2
2 |a| + |b|
|a|2 + |b|2
~ · ~s per cui gli autovettori e autovalori sono
(c) L’Hamiltoniana è H = HOA − µ0 B
|n,±i
1
µ0 B
En± = h̄ ω(n + ) ∓
2
2
(d) Lo stato | A i0 diventa stazionario quando E1− = E0+ , cioè B = −h̄ ω/µ0 .
(e) h 0 sz |q | n s0z i =
6 0
⇒
s0z = sz ,
n = 1.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2007/2008
Prova scritta - 10.09.2008
Problema 1. Una particella di massa m in tre dimensioni è soggetta al potenziale di buca infinita
sferica:
V (~r) =
n
0
+∞
r≤a
r>a.
(a) Si scriva l’equazione di Schrödinger per la funzione d’onda radiale ridotta ul (x) rispetto alla
q
variabile adimensionale x = k r ≡ 2m E/h̄2 r e nella forma u00l + (1 − · · ·)ul = 0 .
(b) Si dica se le seguenti funzioni d’onda radiali risolvono l’equazione di Schrödinger
sin(k r)
cos(k r)
,
Rb (r) =
kr
kr
e, in caso affermativo, per quale valore di l; e se soddisfano la opportuna condizione al bordo
Ra (r) =
in r = 0.
(c) Si determinino gli autovalori dell’energia per l = 0. Li si confrontino col caso della particella
nella buca infinita unidimensionale, |x| ≤ a.
È noto che, se ul (x) è una soluzione dell’equazione di Schrödinger con momento angolare l, allora
ul+1 = −u0l + (l + 1)
ul
x
è soluzione dell’equazione con momento angolare l + 1
(d) Si scriva l’equazione che determina le energie degli stati con l = 1 e si dia, fra queste, una stima
dell’autovalore più basso.
Problema 2. Si consideri una particella la cui hamiltoniana è data da
H = c p~ · ~σ + ε σz
dove p~ sono i tre operatori impulso e ~σ le tre matrici di Pauli.
1) Si dica se H è invariante sotto rotazioni.
2) Si dica se H è invariante sotto parità.
3) Si risolva il problema agli autovalori, cioè si trovi lo spettro e i relativiti autostati nel caso ε = 0
~
4) Si scriva per questo sistema la espressione del momento angolare totale J.
5) Si scrivano esplicitamente tutti gli stati che sono simultaneamente autostati di H, J~ 2 e Jz nella
rappresentazione degli impulsi.
6) Applicando la teoria delle perturbazioni al primo ordime si calcoli come varia lo spettro per
piccolo ε.
7) Si confronti il risultato trovato con lo spettro esatto della hamitoniana completa H.
Soluzione 080910MQ1/1
(a) u00l + (1 − l(l + 1)/x2 )ul = 0 .
(b) Sia ua = sin x che ub = cos x risolvono l’equazione per l = 0, ma ub , non annullandosi in x = 0,
non è una soluzione accettabile.
(c) Per l = 0 la soluzione u0 = sin x deve annullarsi anche in r = a, cioè
h̄2
k a = n π ⇒ En =
n2 .
2m a2
Questi sono soltanto gli autovalori corrispondenti agli stati dispari della particella in 1 dimensione - si annullano infatti in r = 0.
(d) Da u0 si può ricavare
sin x
u1 = − cos x +
x
e l’equazione per gli autovalori è
tan(k a) = k a
la cui radice positiva più bassa 4.49 ha un valore di poco inferiore a 3π/2 ≈ 4.71.
Meccanica Quantistica I B - a.a. 2007/2008
Verifica scritta - 12.11.2008
Problema 1. Una particella di massa m in una dimensione è, al tempo t = 0, nello stato | A i
descritto dalla funzione d’onda (non normalizzata)
ψA (x) = e−x
2
/2a2
.
(a) Si calcolino i valori medi di q, p.
(b) Si calcoli il valor medio di p q + q p.
(c) Si calcolino le larghezze ∆q e ∆p.
Si consideri la stessa particella al tempo t = 0 nello stato | B i descritto da
1
ψB (x) = 2
·
x + a2 /2
(d) Si dica quale relazione sussiste fra le larghezze al tempo t, ∆qA (t) e ∆qB (t).
Problema 2. Si consideri una particella in una dimensione nell’intervallo [0, L] con hamitoniana
p2
h̄2 d 2
H=
=−
2m
2m dx
con condizioni al contorno in q = 0: ψ(0) = 0; e in q = L: ψ 0 (L) = c ψ(L).
(a) Si dica per quali valori di c la hamitoniana risulta essere hermitiana.
(b) Si scriva un’equazione per gli autovalori di H e la si discuta.
(c) Si dica se H è un operatore definito positivo.
Problema 3. Si consideri l’oscillatore anarmonico in tre dimensioni
1
k
H=
(p2 + p22 + p23 ) + (q12 + q22 + q32 )2
2m 1
2
2
2
2
(a) Si calcoli il valor medio di H sullo stato di funzione d’onda ψα = e−(q1 +q2 +q3 )/2α .
(b) Si minimizzi il valore trovato rispetto ad α e si dica in che relazione tale valor minimo sta con
l’energia E0 non nota dello stato fondamentale di H.
Soluzione 081112MQ1/1
(a) pA = 0; q A = 0; entrambe per parità.
(b) (p q + q p)A = 0: in rappresentazione delle coordinate l’operatore è immaginario puro, il suo
valor medio reale.
2
2
(c) ∆qA
= a2 /2. Poichè lo stato è di minima indeterminazione, ∆p2A = h̄2 /4∆qA
. Per lo stato | B i
2
analogamente: pB = 0; q B = 0; p q + q pB = 0; ∆qA
= a2 /2. Soltanto, non essendo stato di
2
minima indeterminazione, ∆p2A > h̄2 /4∆qA
.
(c) Essendo su un generico stato | s i
∆qs2 (t) =
∆p2s 2 h s | (p q + q p − 2ps q s )| s i
t +
t + ∆qs2 (0)
m2
m
si ha nel nostro caso ∆qB (t) > ∆qA (t).
Soluzione 081112MQ1/2
(a) Si ha
Z L
h̄2
dx ψ ∗ φ00 =
2m 0
Z L
h̄2
(H ψ , φ) = −
dx ψ 00∗ φ =
2m 0
(ψ , H φ) = −
Z
h̄2 L
dx ψ 0∗ φ0 − c ψ ∗ (L) φ(L)
2m 0
Z
h̄2 L
dx ψ 0∗ φ0 − c∗ ψ ∗ (L) φ(L)
2m 0
e l’hermiticità di H si ha slo per c reale.
(b) Distinguiamo i due casi E < 0 ed E > 0. Nel primo caso
s
2m(−E)
κx
−κ x
ψE (x) = a e + b e
,
κ=
h̄2
0
ψE (0) = 0 ⇒ ψE (x) = a sinh(κ x) ,
ψE
(L) = a κ cosh(κ L) = c a sinh(κ L)
cioè, posto ξ = κ L, ξ = (c L) tanh ξ che ha un unica soluzione solo per c L > 1.
Nel caso E > 0 l’analoga equazione è ξ = (c L) tan ξ che ha una soluzione in più quando la si
perde nel caso precedente.
(c) Nel caso l’ultima disequazione trovata sia soddisfata, H non è definito positivo.
Soluzione 081112MQ1/3
(a) Per quanto riguarda l’energia cinetica, il contributo del primo termine può essere scritto
h̄2
h̄2 1
h̄2 1
h̄2 1 α
1
2
(ψα , p21 ψα ) =
(ψα0 , ψα0 ) =
(q
ψ
,
q
ψ
)
=
(ψ
,
q
ψ
)
=
1
α
1
α
α
α
1
2m
2m
2m 4α2
2m α2
2m α2 2
per cui
3 h̄2
Tα =
·
4 mα
Per l’energia potenziale invece
3
α 2
X
X
3
(ψα , (q12 + q22 + q32 )2 ψα ) =
(ψα , qi4 ψα ) + 2
(ψα , qi2 qj2 ψα ) = 3 · α2 + 2 · 3 ·
4
2
i=1
i6=j
15 2
=
α
4
Complessivamente
3 h̄2
5
h α |H| α i =
+ k α2
4 mα 2
(b) Il minimo si ha per
h̄2 1/3
3h̄2 3
α=
⇒
min h α |H| α i =
> E0 .
α
5k m
4m α 2