Elettronica dello Stato Solido Lezione 13: Trasporto elettrico nei

Elettronica dello Stato Solido
Lezione 13: Trasporto elettrico nei
semiconduttori
Daniele Ielmini
DEI – Politecnico di Milano
[email protected]
Outline
•
•
•
•
•
Introduzione
Diagramma a bande
Corrente di drift
Corrente di diffusione
Conclusioni
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
2
Introduzione
• Siamo ora in grado di calcolare la densità
di corrente
• La densità di corrente contiene
normalmente due contributi, di drift
(trasporto guidato dal campo elettrico) e di
diffusione (trasporto guidato da
sbilanciamento di concentrazioni)
• Per ottenere informazioni riguardo la
distribuzione dei campi elettrici e dei
portatori, è utile far ricorso al diagramma a
bande
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
3
Diagramma a bande
E
E
EC
EV
E
EF
g(E)
f(E)
• Il diagramma a bande viene usato estensivamente
per la discussione del funzionamento di dispositivi
elettronici (e.g. diodi, MOSFET)
• Si riporta il minimo della banda di conduzione EC
ed il massimo della banda di valenza EV
• In genere si riporta anche EF ed Ei
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
x
4
Portatori e loro deriva
• Cerchi pieni indicano elettroni, vuoti le
lacune
• Elettroni e lacune si muovono in senso
opposto in risposta ad un campo elettrico,
e.g. se il campo F è diretto verso gli x
positivi il moto delle lacune è in +x, degli
elettroni in -x
F
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5
Portatori e loro energia cinetica
• L’energia cinetica degli elettroni in banda di
conduzione è data da E-EC, infatti:
mev e2
k2
E  EC 
 EC 

2me
2
2
• L’energia cinetica delle lacune in banda di valenza
è data da EV-E infatti:
mhv h2
k2
E  EV 
 EV 

2mh
2
2
• Quindi l’energia cinetica degli elettroni si misura
verso l’alto, delle lacune verso il basso
Energia
cinetica
elettroni
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Energia
cinetica
lacune
6
Portatori e loro energia potenziale
• Elettroni in banda di conduzione: l’energia
potenziale è data da –qV = en. totale – en.
cinetica = E-(E-EC) = EC (a parte una
costante arbitraria)
• Lacune in banda di valenza: l’opposto
dell’elettrone = qV
• Potenziale elettrostatico:
EC
V 
q
• Campo elettrico:
dV 1 dEC
F 

dx q dx
• Densità di carica:
dF
 
dx
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
7
Esempio: potenziale lineare
V
F
x
x

x
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8
Esempio: potenziale quadratico
V
F
x
x

x
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
9
Esempio: cariche contrapposte
V
F
x
x

x
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
10
Outline
•
•
•
•
•
Introduzione
Diagramma a bande
Corrente di drift
Corrente di diffusione
Conclusioni
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11
Deriva (drift)
• Deriva = moto dei portatori in risposta
all’applicazione di un campo elettrico
• In assenza di campo elettrico, l’elettrone è
agitato da solo moto browniano (spostamento
netto = 0
• Il campo elettrico comporta una componente
di deriva (c’è spostamento netto ≠ 0)
F
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12
Corrente di deriva
F
L
qNh qNhv h

 qpv h
• Densità di corrente di lacune: j 
Atf
AL
•
•
•
•
•
q = carica della lacuna
Nh = numero di lacune nel volume
tf = tempo per percorrere una distanza L
vh = velocità di deriva della lacuna
Considerando anche gli elettroni: j  q( pv h  nv e )
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13
Mobilità
• Introducendo il concetto di mobilità:
j  q( p p  nn )F
q m

m*
• La mobilità è data da:
• Valori tipici per semiconduttori intrinseci:
Si
GaAs
n [cm2V-1s-1]
1360
8000
p [cm2V-1s-1]
460
320
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14
Scattering
• I principali effetti di scattering sono:
– fononi  fn, fp
– impurezze ionizzate  in, ip
– difetti (e.g. stati interfacciali e rugosità nel
canale del MOSFET)
• Generalmente i vari contributi si sommano
come se fossero resistenze in serie 
regola di Matthiessen: 1  1  1  ...
n fn in
1
1
1


 ...
 p fp ip
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
15
Dipendenza dalla temperatura
• La teoria 3prevede che:

– f  T 2 la mobilità limitata da fononi
diminuisce all’aumentare della T, a causa
della maggiore densità di fononi (agitazione
termica3 del reticolo)
– i  T 2 / Ni la mobilità limitata da impurezze
ionizzate aumenta all’aumentare di T, perché
il portatore spende meno tempo vicino
all’impurezza e il moto ne risente di meno
– Nota Ni = ND+ + NAD. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
16
n in Si
Si
Intrinseco
ND = 1016 cm-3
ND = 1017 cm-3
www.ioffe.ru
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17
Mobilità di elettroni e lacune
1014
1016
1018
1020
cm-3
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18
Resistività




100
Resistivity [Wcm]
•
•
F
j  q( pv h  nv e )  q( p p  nn )F  s F 

s  q p  p  n n
Con s = conducibilità
1

e  = resistività
q p  p  n n
Si 300K
10
p-Si
1
N = cost.
0,1
0,01
n-Si
0,001
1E+14
1E+15
1E+16
1E+17
1E+18
1E+19
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1E+20
NA,D [cm-3]
19
Effetto Hall
• Metodo di misura della mobilità:
VL
L
vh
j  qp pF
W
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20
Effetto Hall
VL
B
++
-+
+
+
vh - +
+
-
F  qv h  B
VH
VH>0
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
21
Effetto Hall
VL
B
--
-
--
++
+
+
ve ++
+
F  qv e  B
VH
VH<0: il segno di VH indica il tipo di
semiconduttore
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
22
Effetto Hall
VL
B
++
-+
+
+
vh - +
+
-
F  qv h  B
qv hB  qFH
VL
VH
p B 
L
W
VH
VH>0
VH L 1
p 
VLW B
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
23
Effetto Hall
VL
B
++
-+
+
+
vh - +
+
-
VH
VH>0
VH L 1
p 
VLW B
j  qp pF
È possibile ricavare
la concentrazione di
drogante NA  p
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
24
Saturazione della velocità
• Ad alti campi elettrici la legge v = F non viene
più rispettata: la velocità satura
• Il motivo sta nel fatto che l’energia del portatore
diventa confrontabile con quella del fonone
ottico ħw = 37 meV (Ge) e 63 meV (Si)  il
portatore perde energia appena supera la soglia
di generazione del f.o. e non ad un tempo
medio fissato (m) come a bassi campi
• Affligge il transistore MOS ad alti campi/canali
corti: la velocità non è più proporzionale al
campo trasversale e quindi il guadagno dipende
solo linearmente (e non quadraticamente) dalla
tensione di gate
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
25
Risultati a T = 300K
Si: 107 cm/s
Ge: 6x106 cm/s
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
26
Comportamento in Si, Ge
• Modello empirico:
F
v (F ) 

 v sat
F 
F
1
v sat
• Interpretazione: appena si raggiunge
l’energia per generare un fonone ottico ħwLO,
lo si genera azzerando l’energia cinetica:
v max
1  2
m v max  wLO  v sat 

2
2
wLO
2m 
v
vsat
t
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
27
Comportamento nel GaAs
• Si spiega considerando la sua
struttura a bande: la valle in L è
a solo 0.31 eV dalla valle G
(m*G = 0.063m0)  scattering
intervalle, i portatori energetici
sono trasportati in L e qui
sperimentano una maggiore
massa efficace (m*L,l =1.9m0,
(m*L,t =0.075m0)
v
G
L
L
G
X
F
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
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Trasporto balistico
• Finora abbiamo assunto che la lunghezza
tipica del dispositivo (e.g. lunghezza del
canale del MOS L) sia molto maggiore del
libero cammino medio l
• Tuttavia se L<l o circa uguale, dobbiamo
trarre diverse conclusioni: trasporto balistico
(senza scattering) e overshoot di velocità
v
L<l
L>>l
t
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
29
Outline
•
•
•
•
•
Introduzione
Diagramma a bande
Corrente di drift
Corrente di diffusione
Conclusioni
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
30
Moto browniano
• A T≠0 le particelle (e.g. atomi/molecole in un
gas, portatori in un metallo/semiconduttore)
sono agitati da moto termico
• Esisterà una distribuzione di velocità, tempi di
scattering, cammini liberi medi: noi facciamo
ricorso ai seguenti valori medi:
• vth = velocità media alla temperatura T
•  = tempo medio di scattering
• l = libero cammino medio (l = vth)
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
31
Concentrazione disuniforme
n
-l
0
l
x
• In presenza di una variazione spaziale di
concentrazione (e.g. di elettroni), i flussi
non sono uniformi  corrente di diffusione
• Facciamo il bilancio dei flussi di diffusione
attraverso la superficie a x = 0
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
32
Flusso di diffusione verso destra
n
-l
0
l
x
• Flusso f (particelle che transitano in un
tempo  dal segmento l di sinistra a quello
di destra):
1  l
2 1
f  n    v th [cm s ]
2  2
• Solo metà delle particelle vanno a destra,
le altre vanno a sinistra (in media)
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
33
Flusso di diffusione verso sinistra
n
-l
0
l
x
• Flusso f (particelle che transitano in un
tempo  dal segmento l di destra a quello
di sinistra):
1  l
f  n    v th [cm 2 s 1 ]
2  2
• Il flusso netto si ottiene dalla somma
algebrica dei contributi
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
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Prima legge di Fick
n
-l
0
l
x
1   l
 l 
f  f  f   v th  n     n    
2   2
 2 
1 
dn l
dn l 
1
dn
dn
f   v th  n(0) 
 n(0) 
  v th l
 Dn

2 
dx 2
dx 2 
2
dx
dx
• Con Dn [cm2s-1] = diffusività, coefficiente di
diffusione
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
35
Diffusività
1

Dn  2 v th l

l  v th

1
kT  m * v th2
2

1 2
kT
kT q kT
Dn  v th 


n
2
m*
q m* q
• Oppure in termini della tensione termica:
Dn  Vth n
Dp  Vth  p
• Questa va sotto il nome di legge di Einstein –
la ricaveremo sulla base di altri argomenti più
avanti
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
36
Seconda legge di Fick
n
-l
0
l
x
• Bilancio sul segmento l centrato in 0:
dn
Dn
dx  l
2
 l   l  dn
f   f   
l [cm 2 s 1 ]
 2   2  dt
 dn
dn
d 2n l dn
d 2n l 
 Dn
 Dn 
 2

 2
 

dx  l
 dx 0 dx 0 2 dx 0 dx 0 2 
2
2
d n
dn
dn
d 2n
Dn 2 l 
l
 Dn 2
dx 0
dt
dt
dx
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Corrente di diffusione
fn
n
fp
p
dn
jn  qDn
dx
x
dp
j p  qDp
dx
x
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Legge di Einstein
EC
EV
EF
n  NCe

EC  EF
kT
ND-NA
x
• Si consideri un semiconduttore con drogaggio non
omogeneo all’equilibrio
• Drogaggio non omogeneo  EC-EF non uniforme
• All’equilibrio  EF = costante
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Legge di Einstein
EC
fdiff fdrift
EF
EV
dn
jn  qnnF  qDn
0
dx
dEC
dV 1 dEC
dn
F 

 j n  n n
 qDn
0
dx q dx
dx
dx
n  NCe

EC  EF
kT
d log n
dn
dn
dn
 j n  nn kT
 qDn
  n kT
 qDn
0
dx
dx
dx
dx
Dn  n
kT
q
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
40
Corrente totale
• Corrente di elettroni:
dn
jn  qnnF  qDn
dx
• Corrente di lacune:
dp
j p  qp pF  qDp
dx
• Corrente totale:
dn
dp
j  jn  j p  qnnF  qDn
 qp pF  qDp
dx
dx
• 3D:
j  j n  j p  qnn F  qDn n  qp p F  qDp p
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
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Conclusioni
• Il diagramma a bande ci aiuta nella
comprensione e descrizione del trasporto
nei semiconduttori
• Corrente di drift descritta dal concetto di
mobilità, a parte effetti ad alti campi:
saturazione e overshoot di velocità
• L’effetto Hall offre la possibilità di misurare
la mobilità e la concentrazione di drogante
• Corrente di diffusione, link con il drift
mediante la legge di Einstein
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 13
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