Zibalmath, forma
LR
2013, Vers. 0.2
2
Zibalmath
Indice
1 Trigonometria e potenze
1.1 Principali identità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
2 Derivazione
9
3 Integrazione
3.1 Formule di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Integrali di funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Integrali di funzioni logaritmiche . . . . . . . . . . . .
3.4 Integrali di funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . .
3.5 Integrali di funzioni trigonometriche . . . . . . . . . .
3.5.1 Integrali contenenti solo sin . . . . . . . . . . .
3.5.2 Integrali contenenti solo cos . . . . . . . . . . .
3.5.3 Integrali contenenti solo tan . . . . . . . . . . .
3.5.4 Integrali contenenti solo sec . . . . . . . . . . .
3.5.5 Integrali contenenti solo csc . . . . . . . . . . .
3.5.6 Integrali contenenti solo cot . . . . . . . . . . .
3.5.7 Integrali contenenti sin e cos . . . . . . . . . .
3.5.8 Integrali contenenti sin e tan . . . . . . . . . .
3.5.9 Integrali contenenti cos e tan . . . . . . . . . .
3.5.10 Integrali contenenti sin e cot . . . . . . . . . .
3.5.11 Integrali contenenti cos e cot . . . . . . . . . .
3.5.12 Integrali contenenti tan e cot . . . . . . . . . .
3.6 Integrali di funzioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Integrali di funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . .
3.8 Integrali generalizzati più comuni . . . . . . . . . . . .
3.9 Integrale di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Funzioni speciali da integrali trigonometrici e iperbolici
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13
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17
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18
19
19
20
20
20
22
22
22
22
22
22
24
26
28
29
4 Serie di Fourier
4.0.1 Definizione . . . . .
4.0.2 Forma rettangolare .
4.0.3 Forma complessa . .
4.0.4 Forma polare . . . .
4.0.5 Teorema di Parseval
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31
31
32
32
33
33
5 Trasformate di Fourier
5.0.6 Proprietà della trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.0.7 Trasformate di Fourier notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
38
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3
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4
Indice
6 Teoremi analisi complessa
6.0.8 Sviluppi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
7 Trasformata di Laplace
43
8 Limiti
8.0.9 Algebra dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.0.10 Regola di De l’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.0.11 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
46
48
Capitolo 1
Trigonometria e potenze
Definizioni
tan(x) :=
sen(x)
cos(x)
cot(x) :=
cos(x)
1
=
sen(x)
tan(x)
sec(x) :=
1
cos(x)
csc(x) :=
1
sen(x)
cos x =
eix + e−ix
,
2
sen x =
eix − e−ix
,
2i
ez = ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y).
Proprietà delle potenze
- Il prodotto di due, o più potenze aventi la stessa base, è una potenza che ha per base la stessa
base e come esponente la somma degli esponenti:
an · am = an+m
- Il quoziente di potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base
e come esponente la differenza tra l’esponente del dividendo e l’esponente del divisore
an
= an−m
am
- La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l’esponente è dato
dal prodotto degli esponenti:
(an )m = an·m = (am )n
- Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso
esponente e per base il prodotto delle basi:
an · bn = (a · b)n
5
6
Capitolo 1. Trigonometria e potenze
- Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso
esponente e per base il quoziente delle basi:
an a n
=
bn
b
Notiamo che la definizione a0 = 1 risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le
proprietà appena viste, infatti:
an
= an−n = a0 = 1
an
E lo stesso vale per la definizione di a−k , infatti:
a−x = a0−x =
1.1
1
a0
= x
x
a
a
Principali identità
sen2 (x) + cos2 (x) = 1
tan2 (x) + 1 = sec2 (x)
cot2 (x) + 1 = csc2 (x)
sen(x) = sen(x + 2π)
cos(x) = cos(x + 2π)
tan(x) = tan(x + π)
sen(−x) = −sen(x)
sen(x) = − cos
cos(x) = sen
π
π
2
+x
+x
2
π
tan(x) = − cot
+x
2
cos(−x) = cos(x)
tan(−x) = − tan(x)
cot(−x) = − cot(x)
p
a sen x + b cos x = a2 + b2 · sen(x + ϕ)
ϕ=
dove
arctan(b/a),
π + arctan(b/a),
sen(x ± y) = sen(x) cos(y) ± cos(x)sen(y)
cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sen(x)sen(y)
tan(x ± y) =
tan(x) ± tan(y)
1 ∓ tan(x) tan(y)
cot(x + y) =
cot(x) · cot(y) − 1
cot(x) + cot(y)
cot(x − y) =
cot(x) · cot(y) + 1
cot(y) − cot(x)
se a ≥ 0;
se a < 0.
7
1.1. Principali identità
cis(x + y) = cis(x) cis(y)
cis(x − y) =
cis(x)
cis(y)
dove
ix
cis(x) := e
= cos(x) + i sen(x).
sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)
cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2sen2 (x)
tan(2x) =
2 tan(x)
1 − tan2 (x)
cot(2x) =
cot2 (x) − 1
2 cot(x)
cos(x) cos(y) =
cos(x + y) + cos(x − y)
2
sen(x)sen(y) =
cos(x − y) − cos(x + y)
2
sen(x + y) + sen(x − y)
2
x+y
x−y
Basta rimpiazzare x con 2 e y con 2 nelle espressioni dei prodotti mediante somme.
Sono anche dette formule di prostaferesi.
x+y
x−y
sen(x) + sen(y) = 2sen
cos
2
2
x+y
x−y
cos(x) + cos(y) = 2 cos
cos
2
2
π/2, se x > 0
arctan(x) + arctan(1/x) =
.
−π/2, se x < 0
x+y
arctan(x) + arctan(y) = arctan
(xy < 1)
1 − xy
sen(x) cos(y) =
sen2 (arccos(x)) = 1 − x2 , per − 1 ≤ x ≤ 1
cos2 (arcsen (x)) = 1 − x2 , per − 1 ≤ x ≤ 1
sen2 (arctan(x)) =
x2
1 + x2
cos2 (arctan(x)) =
1
1 + x2
cos2 (x) =
1 + cos(2x)
2
sen2 (x) =
1 − cos(2x)
2
8
Capitolo 1. Trigonometria e potenze
x
x
x
Sostituendo
al posto di x nelle formule di riduzione della potenza, e calcolando cos e sen si
2
2
2
ottiene.
s
x 1 + cos(x)
cos
=
2
2
s
x 1 − cos(x)
sen
=
2
2
sen x2
2 cos x2
x
x
al posto di tan . Il numeratore è senx, per
per
x e sostituire
2
2 cos 2
cos x2
2
x
la formula di duplicazione, e il denominatore è 2 cos2 − 1 + 1, che è 1 + cos x per le formule di
2
senx
duplicazione. La seconda formula deriva dalla prima moltiplicata per
e semplificata con il
senx
teorema di Pitagora.
s
x
sen(x)
1 − cos(x)
1 − cos(x)
=
=
=
.
tan
2
1 + cos(x)
1 + cos(x)
sen (x)
Posto t := tan x2 , seguono le cosiddette formule parametriche:
Moltiplicare tan
sen(x) =
2t
1 + t2
1 − t2
1 + t2
1 + it
=
.
1 − it
cos(x) =
eix
La sostituzione di t per tan x2 , con il conseguente cambiamento di senx con
2t
e di cos x con
1 + t2
1 − t2
è spesso in grado di convertire funzioni razionali in senx e cos x da integrare in funzioni di t
1 + t2
integrabili (si veda anche il successivo punto di vista astratto).
Capitolo 2
Derivazione
Principali derivate di funzioni comuni. Si ricorda la definizione di derivata come limite del rapporto
incrementale:
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
La derivata destra di f in x0 è il numero:
f 0 (x0 ) = lim
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
che si può indicare anche con la seguente formula:
f 0 (x0 ) = lim
f (x0 + h) − f (x0 )
h
h→0+
Analogamente, la derivata sinistra di f in x0 è il numero:
f+0 (x0 ) = lim
f (x0 − h) − f (x0 )
h→0
−h
che si può indicare anche con la seguente formula:
f 0 (x0 ) = lim
f (x0 + h) − f (x0 )
h
Una funzione è derivabile in x0 se e solo se esistono finiti e uguali i limiti destro e sinistro del
rapporto incrementale per l’incremento che tende a zero. Le derivate destra e sinistra permettono di
definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se f è definita ad esempio nell’intervallo chiuso
[a, b], si dice che f è derivabile in [a, b] se è derivabile in ogni punto interno x ∈ [a, b] e se esistono
le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi x = a e x = b. Siano f (x) e g(x) funzioni
reali di variabile reale x derivabili, e sia D l’operazione di derivazione rispetto a x:
f−0 (x0 ) = lim
h→0−
D[f (x)] = f 0 (x)
D[g(x)] = g 0 (x)
Regola della somma (linearità):
D[αf (x) + βg(x)] = αf 0 (x) + βg 0 (x)
α, β ∈ R
Regola del prodotto (o di Leibniz):
D[f (x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
Regola del quoziente:
9
10
Capitolo 2. Derivazione
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
f (x)
=
D
g(x)
g(x)2
Regola della funzione reciproca:
1
f 0 (x)
D
=−
f (x)
f (x)2
Regola della funzione inversa:
D[f −1 (y)] =
1
f 0 (x)
con:
y = f (x)
x = f −1 (y)
Regola della catena:
D [f (g(x))] = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
Derivate note:
D(xα ) = αxα−1
con α in R
√
1
D( 2 x) = √
22x
√
m√
n
xm−n se x > 0
D( n xm ) =
n
1
se x > 0
−1
se x < 0
D(|x|) = segno(x) =
non derivabile se x = 0
D(logb x) =
D(ln x) =
logb e
1
=
x
x lnb
1
x
D(ex ) = ex
D(ax ) = ax ln a
D(xx ) = xx (1 + ln x)
D(sin x) = cos x
D(cos x) = − sin x
D(tan x) = 1 + tan2 x =
1
cos2 x
D(cot x) = −(1 + cot2 x) = −
D(sec x) = tan x sec x
D(csc x) = − cot x csc x
1
sin2 x
11
D(arcsin x) = √
1
1 − x2
D(arccos x) = − √
D(arctan x) =
1
1 − x2
1
1 + x2
D(cot−1 x) =
−1
1 + x2
D(sec−1 x) =
1
|x| x2 − 1
D(csc−1 x) =
−1
√
|x| x2 − 1
√
D(sinh x) = cosh x
D(cosh x) = sinh x
D(tanh x) =
1
cosh2 x
D(coth x) = −csch2 x
D(sech x) = − tanh x sech x
D(csch x) = −coth x csch x
D(settsinh x) = √
1
x2 + 1
D(settcosh x) = √
D(settanh x) =
D(settcoth x) =
1
x2
−1
1
1 − x2
1
1 − x2
−1
D(settsech x) = √
x 1 − x2
D(settcsch x) =
−1
√
|x| 1 + x2
1
se f (x) > 0
−1
se f (x) < 0
D(|f (x)|) = segno(f (x)) · f (x) = f (x) ·
non derivabile se f (x) = 0
0
D([f (x)]n ) = n · f (x)n−1 · f 0 (x)
p
1/n · f 0 (x)
D( n f (x)) = p
n
f (x)n−1
D(ln f (x)) =
f 0 (x)
f (x)
0
12
Capitolo 2. Derivazione
D(ln |f (x)|) = segno(f (x)) ·
f 0 (x)
f 0 (x)
=
|f (x)|
f (x)
D(ef (x) ) = ef (x) · f 0 (x)
D(af (x) ) = af (x) · f 0 (x) · ln a
D(sin f (x)) = cos f (x) · f 0 (x)
D(cos f (x)) = − sin f (x) · f 0 (x)
f 0 (x)
1 + [f (x)]2
f 0 (x)
D(f (x)g(x) ) = f (x)g(x) · g 0 (x) · ln f (x) + g(x) ·
f (x)
D(arctan f (x)) =
Capitolo 3
Integrazione
3.1
Formule di integrazione
Prodotto per una costante:
Z
af (x) dx = a
Z
f (x) dx
Somma:
Z
[f (x) + g(x)] dx =
Z
Z
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x) −
f (x) dx +
Z
g(x) dx
Integrazione per parti:
Z
f 0 (x)g(x) dx
Integrazione per sostituzione: supponiamo che f (x) sia una funzione integrabile, e ϕ(t) una
funzione differenziabile con continuità definita sull’intervallo [a, b] e la cui immagine è contenuta nel
dominio di f . Allora:
Z
φ(b)
φ(a)
f (x)dx =
Z
b
f (φ(t))φ0 (t)dt
a
Questa formula si ricorda meglio usando il formalismo di Leibniz: la relazione x = ϕ(t) comporta
dx/dt = ϕ0 (t) e quindi la conseguenza formale dx = ϕ0 (t)dt, che è precisamente la sostituzione
richiesta per dx. In effetti la regola di sostituzione può considerarsi come un ottimo sostegno della
bontà del formalismo di Leibniz per gli integrali e le derivate. La formula è usata per trasformare
l’integrale di una funzione nell’integrale di un’altra nella prospettiva che questo nuovo sia più facile
da determinare. La formula può essere utilizzata al fine di semplificare un integrale dato, sia da
sinistra verso destra che da destra verso sinistra. La regola di sostituzione può essere usata anche
per determinare vari integrali indefiniti. Si sceglie una relazione tra x e t, che determina la relazione
corrispondente tra i differenziali dx e dt e consente la sostituzione. Se si riesce a determinare il nuovo
integrale indefinito, occorre successivamente effettuare la sostituzione opposta.
Regola di sostituzione per variabili multiple: si può anche usare la sostituzione quando si
integrano funzioni in diverse variabili. Qui la funzione sostituzione (v1 ..., vn ) = ϕ(u1 ..., un ) deve
essere iniettiva e differenziabile con continuità, e i differenziali si trasformano secondo la formula
13
14
Capitolo 3. Integrazione
dv1 · · · dvn = | det(D φ)(u1 , . . . , un )| du1 · · · dun
dove det(Dϕ) denota il determinante della matrice jacobiana che contiene le derivate parziali di
ϕ. Questa formula esprime il fatto che il valore assoluto del determinante dei vettori dati uguaglia
il volume del parallelepipedo formato. Più precisamente, la formula del cambiamento di variabili è
precisata nel seguente enunciato:
Siano U , V insiemi aperti in Rn e ϕ : U ← V una funzione differenziabile biiettiva con derivate
parziali continue. Allora per ogni funzione con valori reali f su V integrabile
Z
Z
f (φ(u)) |det(D φ)(u)| du
f (v) dv =
V
3.2
U
Integrali di funzioni razionali
Z
Z
Z
Z
Z
Z
dx = x + C
xa dx =
xa+1
+ C ⇐⇒ a 6= −1
a+1
1
dx = ln |x| + C
x
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x)
f 0 (x)
dx = arctan f (x) + C
1 + f 2 (x)
1
dx = arctan x + C
1 + x2
Z
1
1
x
dx = · arctan + C
a2 + x2
a
a
Z
arctan √bx
1
a
√
+C
dx =
2
a + bx
ab
√
2ax + b − √b2 − 4ac 1
1
√
dx = √
· ln + C ⇐⇒ b2 − 4ac > 0
2
2
2
2ax + b + b − 4ac ax + bx + c
b − 4ac
Z
1
2
2ax + b
dx = √
· arctan √
+ C ⇐⇒ b2 − 4ac < 0
2
2
ax2 + bx + c
4ac − b
4ac − b
Z
c−b
x+c
1
x+b
2
2
2
dx = ln x + 2bx + a − b +
· arctan
+C
2
a
a
(x + b)2 + a2
Z
(ax + b)n+1
(ax + b)n dx =
(per n 6= −1)
a(n + 1)
Z
(axn + b)c+1
xn−1 (axn + b)c dx =
na(c + 1)
Z
15
3.2. Integrali di funzioni razionali
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
dx
1
= ln |ax + b|
ax + b
a
x(ax + b)n dx =
a(n + 1)x − b
(ax + b)n+1
+ 1)(n + 2)
a2 (n
(per n 6∈ {−1, −2})
x dx
x
b
= − 2 log |ax + b|
ax + b
a a
x dx
b
1
= 2
+ 2 log |ax + b|
2
(ax + b)
a (ax + b) a
a(1 − n)x − b
x dx
= 2
(per n 6∈ {−1, −2})
n
(ax + b)
a (n − 1)(n − 2)(ax + b)n−1
x2 dx
1 (ax + b)2
= 3
− 2b(ax + b) + b2 log |ax + b|
ax + b
a
2
1
b2
x2 dx
= 3 ax + b − 2b log |ax + b| −
(ax + b)2
a
ax + b
x2 dx
1
2b
b2
= 3 log |ax + b| +
−
(ax + b)3
a
ax + b 2(ax + b)2
1
1
2b
b2
x2 dx
= 3 −
+
−
(ax + b)n
a
(n − 3)(ax + b)n−3 (n − 2)(a + b)n−2 (n − 1)(ax + b)n−1
(per n 6∈ {1, 2, 3})
ax + b dx
1
= − log x(ax + b)
b
x Z
ax + b 1
a
dx
= − + 2 log x2 (ax + b)
bx b
x Z
ax + b dx
1
1
2
= −a 2
+
− log x2 (ax + b)2
b (ax + b) ab2 x b3
x Z
dx
1
x
= arctan
2
2
x +a
a
a
Z
dx
1
x
1
a−x
= − settanh =
log
(per |x| < |a|)
2
2
x −a
a
a
2a
a+x
Z
dx
1
x
1
x−a
= − settcoth =
log
(per |x| > |a|)
2
2
x −a
a
a
2a
x+a
Z
Nelle formule che seguono si intende che sia a 6= 0
Z
Z
ax2
dx
2
2ax + b
=√
arctan √
+ bx + c
4ac − b2
4ac − b2
dx
2
=−
ax2 + bx + c
2ax + b
(per 4ac − b2 = 0)
(per 4ac − b2 > 0)
16
Capitolo 3. Integrazione
Z
Z
Z
dx
2
2ax + b
= −√
settanh √
=
2
ax2 + bx + c
b − 4ac
b2 − 4ac
2ax + b − √b2 − 4ac 1
√
=√
log 2ax + b + b2 − 4ac b2 − 4ac
b
x dx
1
=
ln ax2 + bx + c −
2
ax + bx + c
2a
2a
mx + n
dx =
ax2 + bx + c
Z
ax2
(per 4ac − b2 < 0)
dx
+ bx + c
2ax + b
m 2
2an − bm
arctan √
ln ax + bx + c + √
2a
a 4ac − b2
4ac − b2
(per 4ac − b2 > 0)
Z
mx + n
2an − bm
2ax + b
m 2
setttanh √
dx =
ln ax + bx + c + √
2
ax + bx + c
2a
a b2 − 4ac
b2 − 4ac
(per 4ac − b2 < 0)
Z
dx
=
(ax2 + bx + c)n
Z
x dx
=
(ax2 + bx + c)n
2ax + b
+
(n − 1)(4ac − b2 )(ax2 + bx + c)n−1
Z
dx
(2n − 3)2a
+
2
2
(n − 1)(4ac − b )
(ax + bx + c)n−1
bx + 2c
−
(n − 1)(4ac − b2 )(ax2 + bx + c)n−1
Z
b(2n − 3)
dx
−
(n − 1)(4ac − b2 )
(ax2 + bx + c)n−1
Z
Z
dx
1
dx
x2
b
=
log 2
−
2
2
x(ax + bx + c)
2c
ax + bx + c
2c
ax + bx + c
Z
i
√
√
1 h
dx
√
=
arctan(
2x
+
1)
+
arctan(
2x
−
1)
+
x4 + 1
2 2
i
√
√
1 h
+ √ log |x2 + 2x + 1| − log |x2 − 2x + 1|
4 2
Di ogni funzione razionale si riesce a trovare l’integrale definito decomponendola in una somma
di funzioni della forma
(ax2
ex + f
+ bx + c)n
e applicando ai diversi addendi qualcuna delle formule precedenti.
3.3
Integrali di funzioni logaritmiche
Z
Z
ln x dx = x ln x − x + C
logb x dx = x logb x − x logb e + C
3.4. Integrali di funzioni esponenziali
3.4
Integrali di funzioni esponenziali
Z
Z
Z
Z
3.5
ex dx = ex + C
eax dx =
eax
+C
a
f 0 (x)ef (x) dx = ef (x) + C
ax dx =
ax
+C
ln a
Integrali di funzioni trigonometriche
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
cos x dx = sin x + C
sin x dx = − cos x + C
f 0 (x)cosf (x) dx = sin f (x) + C
f 0 (x)sinf (x) dx = − cos f (x) + C
tan x dx = − ln |cos x| + C
csc x dx = ln |csc x − cot x| + C
sec x dx = ln |sec x + tan x| + C
cot x dx = ln |sin x| + C
sec2 x dx = tan x + C
csc2 x dx = − cot x + C
1
sin2 x dx = (x − sin x cos x) + C
2
1
cos2 x dx = (x + sin x cos x) + C
2
cos ax dx =
1
sin(ax) + C
a
1
sin ax dx = − cos(ax) + C
a
17
18
Capitolo 3. Integrazione
3.5.1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Integrali contenenti solo sin
1
sin cx dx = − cos cx
c
sinn−1 cx cos cx n − 1
sin cx dx = −
+
nc
n
n
x sin cx dx =
Z
sinn−2 cx dx
(per n > 0)
sin cx x cos cx
−
c2
c
xn
n
x sin cx dx = − cos cx +
c
c
n
Z
xn−1 cos cx dx
(per n > 0)
∞
X
sin cx
(cx)2i+1
dx =
(−1)i
x
(2i + 1) · (2i + 1)!
i=0
Z
sin cx
sin cx
c
cos cx
dx
=
−
+
dx
xn
(n − 1)xn−1 n − 1
xn−1
Z
dx
1 cx = ln tan sin cx
c
2
Z
Z
dx
n−2
cos cx
dx
+
(per n > 1)
=
n
n−1
n−2
sin cx
cx n − 1
cx
c(1 − n) sin
sin
Z
cx π dx
1
= tan
∓
1 ± sin cx
c
2
4
Z
cx π x dx
x
cx π 2 = tan
−
+ 2 ln cos
−
1 + sin cx
c
2
4
c
2
4
Z
π cx x dx
x
2 π cx = cot
−
+ 2 ln sin
−
1 − sin cx
c
4
2
c
4
2
Z
π cx 1
sin cx dx
= ±x + tan
∓
1 ± sin cx
c
4
2
Z
sin(c1 − c2 )x sin(c1 + c2 )x
sin c1 x sin c2 x dx =
−
(per |c1 | =
6 |c2 |)
2(c1 − c2 )
2(c1 + c2 )
3.5.2
Z
Z
Z
Integrali contenenti solo cos
cos cx dx =
1
sin cx
c
cosn−1 cx sin cx n − 1
cos cx dx =
+
nc
n
n
Z
cosn−2 cx dx
cos cx x sin cx
+
c2
c
Z
Z
xn sin cx n
n
x cos cx dx =
−
xn−1 sin cx dx
c
c
Z
∞
X
cos cx
(cx)2i
dx = ln |cx| +
(−1)i
x
2i · (2i)!
x cos cx dx =
i=1
(per n > 0)
19
3.5. Integrali di funzioni trigonometriche
Z
sin cx
cos cx
cos cx
c
dx
=
−
−
dx
(per n 6= 1)
xn
(n − 1)xn−1 n − 1
xn−1
Z
cx π 1 dx
= ln tan
+
cos cx
c
2
4
Z
Z
dx
sin cx
n−2
dx
=
+
(per n > 1)
n
n−1
n−2
cos cx
c(n − 1)cos
cx n − 1
cos
cx
Z
1
cx
dx
= tan
1 + cos cx
c
2
Z
dx
1
cx
= − cot
1 − cos cx
c
2
Z
x dx
cx x
2 = tan(cx/2) + 2 ln cos 1 + cos cx
c
c
2
Z
x dx
cx x
2 = − cot(cx/2) + 2 ln sin 1 − cos cx
x
c
2
Z
1
cx
cos cx dx
= x − tan
1 + cos cx
c
2
Z
cos cx dx
1
cx
= −x − cot
1 − cos cx
c
2
Z
sin(c1 − c2 )x sin(c1 + c2 )x
cos c1 x cos c2 x dx =
+
(per |c1 | =
6 |c2 |)
2(c1 − c2 )
2(c1 + c2 )
Z
3.5.3
Z
Z
Z
Z
Z
Z
3.5.4
Z
Z
Integrali contenenti solo tan
1
tan cx dx = − ln | cos cx|
c
1
tan cx dx =
tann−1 cx −
c(n − 1)
n
Z
tann−2 cx dx
(per n 6= 1)
dx
x
1
= +
ln | sin cx + cos cx|
tan cx + 1
2 2c
dx
x
1
=− +
ln | sin cx − cos cx|
tan cx − 1
2 2c
tan cx dx
x
1
= −
ln | sin cx + cos cx|
tan cx + 1
2 2c
tan cx dx
x
1
= +
ln | sin cx − cos cx|
tan cx − 1
2 2c
Integrali contenenti solo sec
sec cx dx =
1
ln |sec cx + tan cx|
c
secn−1 cx sin cx
n−2
sec cx dx =
+
c(n − 1)
n−1
n
Z
secn−2 cx dx
per n 6= 1, c 6= 0
20
Capitolo 3. Integrazione
3.5.5
Z
Z
3.5.6
Z
Z
Integrali contenenti solo csc
1
csc cx dx = − ln |csc cx + cot cx|
c
cscn−1 cx cos cx
n−2
csc cx dx = −
+
c(n − 1)
n−1
n
Z
cscn−2 cx dx
per n 6= 1, c 6= 0
Integrali contenenti solo cot
cot cx dx =
1
ln | sin cx|
c
1
cot cx dx = −
cotn−1 cx −
c(n − 1)
Z
Z
dx
tan cx dx
=
1 + cot cx
tan cx + 1
Z
Z
dx
tan cx dx
=
1 − cot cx
tan cx − 1
3.5.7
Z
n
Z
cotn−2 cx dx
(per n 6= 1)
Integrali contenenti sin e cos
cx π 1
dx
= √ ln tan
±
cos cx ± sin cx
2
8
c 2
Z
dx
1
π
=
tan
cx
∓
(cos cx ± sin cx)2
2c
4
Z
x
1
cos cx dx
= +
ln |sin cx + cos cx|
cos cx + sin cx
2 2c
Z
cos cx dx
x
1
= −
ln |sin cx − cos cx|
cos cx − sin cx
2 2c
Z
sin cx dx
x
1
= −
ln |sin cx + cos cx|
cos cx + sin cx
2 2c
Z
x
1
sin cx dx
=− −
ln |sin cx − cos cx|
cos cx − sin cx
2 2c
Z
cos cx dx
1
cx
1 cx = − tan2
+
ln tan sin cx(1 + cos cx)
4c
2
2c
2
Z
1
cx
1 cx cos cx dx
= − cot2
−
ln tan sin cx(1 − cos cx)
4c
2
2c
2
Z
cx π sin cx dx
1
cx π
1 =
cot2
+
+
ln tan
+
cos cx(1 + sin cx)
4c
2
4
2c
2
4
Z
cx π cx π sin cx dx
1
1 =
tan2
+
−
ln tan
+
cos cx(1 − sin cx)
4c
2
4
2c
2
4
Z
1
sin cx cos cx dx =
sin2 cx
2c
Z
cos(c1 + c2 )x cos(c1 − c2 )x
sin c1 x cos c2 x dx = −
−
(per |c1 | =
6 |c2 |)
2(c1 + c2 )
2(c1 − c2 )
21
3.5. Integrali di funzioni trigonometriche
Z
Z
Z
sinn cx cos cx dx =
1
sinn+1 cx
c(n + 1)
sin cx cosn cx dx = −
(per n 6= 1)
1
cosn+1 cx
c(n + 1)
(per n 6= 1)
n−1
sinn−1 cx cosm+1 cx
+
sin cx cos cx dx = −
c(n + m)
n+m
n
m
Z
sinn−2 cx cosm cx dx
(per m, n > 0)
Z
sinn+1 cx cosm−1 cx m − 1
sin cx cos cx dx =
+
c(n + m)
n+m
n
m
Z
sinn cx cosm−2 cx dx
(per m, n > 0)
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
dx
= ln |tan cx|
sin cx cos cx
c
dx
1
=
+
sin cx cosn cx
c(n − 1) cosn−1 cx
Z
1
dx
+
=−
sinn cx cos cx
c(n − 1) sinn−1 cx
sin cx dx
1
=
n
cos cx
c(n − 1) cosn−1 cx
dx
sin cx cosn−2 cx
Z
n−2
sin
(per n 6= 1)
dx
cx cos cx
(per n 6= 1)
(per n 6= 1)
π cx sin2 cx dx
1
1 = − sin cx + ln tan
+
cos cx
c
c
4
2
Z
sin2 cx dx
sin cx
1
dx
=
−
(per n 6= 1)
cosn cx
c(n − 1) cosn−1 cx n − 1
cosn−2 cx
Z
sinn cx dx
sinn−1 cx
sinn−2 cx dx
=−
+
(per n 6= 1)
cos cx
c(n − 1)
cos cx
Z
sinn cx dx
sinn+1 cx
n−m+2
sinn cx dx
=
−
(per m 6= 1)
m
m−1
cos cx
c(m − 1) cos
cx
m−1
cosm−2 cx
Z
sinn cx dx
sinn−1 cx
n−1
sinn−2 cx dx
=
−
+
(per m 6= n)
cosm cx
c(n − m) cosm−1 cx n − m
cosm cx
Z
sinn cx dx
sinn−1 cx
n−1
sinn−1 cx dx
=
−
(per m 6= 1)
cosm cx
c(m − 1) cosm−1 cx m − 1
cosm−2 cx
cos cx dx
1
=−
sinn cx
c(n − 1) sinn−1 cx
(per n 6= 1)
cos2 cx dx
1
cx =
cos cx + ln tan sin cx
c
2
Z
Z
cos2 cx dx
1
cos cx
dx
=−
+
sinn cx
n − 1 c sinn−1 cx)
sinn−2 cx
(per n 6= 1)
22
Capitolo 3. Integrazione
Z
Z
cosn cx dx
n−m−2
cosn+1 cx
cosn cx dx
−
(per m 6= 1)
=
−
sinm cx
m−1
c(m − 1) sinm−1 cx
sinm−2 cx
Z
Z
cosn−2 cx dx
cosn cx dx
cosn−1 cx
n−1
=
+
(per m 6= n)
sinm cx
sinm cx
c(n − m) sinm−1 cx n − m
Z
Z
cosn cx dx
n−1
cosn−2 cx dx
cosn−1 cx
−
(per m 6= 1)
=
−
sinm cx
c(m − 1) sinm−1 cx m − 1
sinm−2 cx
3.5.8
Z
Z
3.5.9
Z
3.5.10
Z
3.5.11
Z
3.5.12
Z
Integrali contenenti sin e tan
1
sin cx tan cx dx = (ln | sec cx + tan cx| − sin cx)
c
tann cx dx
1
tann−1 (cx)
=
2
c(n − 1)
sin cx
(per n 6= 1)
Integrali contenenti cos e tan
tann cx dx
1
=
tann+1 cx
2
cos cx
c(n + 1)
(per n 6= −1)
Integrali contenenti sin e cot
cotn cx dx
−1
=
cotn+1 cx
2
c(n + 1)
sin cx
(per n 6= −1)
Integrali contenenti cos e cot
cotn cx dx
1
=
tan1−n cx
2
cos cx
c(1 − n)
(per n 6= 1)
Integrali contenenti tan e cot
tanm (cx)
1
dx =
tanm+n−1 (cx) −
n
cot (cx)
c(m + n − 1)
Z
tanm−2 (cx)
dx
cotn (cx)
(per m + n 6= 1)
3.6
Integrali di funzioni irrazionali
Z
Z
Z
Z
Z
√
1
dx = arcsin x + C
1 − x2
√
−1
dx = arccos x + C
1 − x2
1
√
dx = arcsec x + C
|x| x2 − 1
√
√
1
dx = arcsinh x + C
1 + x2
1
x2 − 1
dx = arccosh x + C
23
3.6. Integrali di funzioni irrazionali
Zp
a2
x
x p 2
a − x2 + C
arcsin +
2
a
2
Z p
1 p 2
x
a2 − x2 dx =
x a − x2 + a2 arcsin
(|x| ≤ |a|)
2
a
Z p
1p 2
(a − x2 )3
(|x| ≤ |a|)
x a2 − x2 dx = −
3
Z √ 2
a + √a2 + x2 a − x2 dx p 2
= a − x2 − a log (|x| ≤ |a|)
x
x
Z
a2 − x2 dx =
√
x
dx
= arcsin
2
a
−x
a2
Z
(|x| ≤ |a|)
xp 2
a2
x
x2 dx
√
=−
a − x2 +
arcsin
(|x| ≤ |a|)
2
2
2
2
a
a −x
Z p
1 p 2
x
x2 + a2 dx =
x x + a2 + a2 settsinh
2
a
Z p
1p 2
x x2 + a2 dx =
(x + a2 )3
3
Z √ 2
a + √x2 + a2 x + a2 dx p 2
= x + a2 − a log x
x
Z
p
x
dx
= settsinh = log x + x2 + a2 2
2
a
x +a
Z
p
x dx
√
= x2 + a2
x2 + a2
Z
p
a2
a2
x2 dx
xp 2
x
xp 2
√
x + a2 −
x + a2 −
=
settsinh =
log x + x2 + a2 2
2
2
2
a
2
2
x +a
Z
a + √x2 + a2 dx
1
a
1
√
= − settsinh = − log 2
2
a
x
a
x
x x +a
√
Z p
Z
x2 − a2 dx =
x 1 p 2
x x − a2 ∓ a2 settcosh 2
a
(per |x| ≥ |a|; − per x > 0, + per x < 0)
p
1p 2
(x − a2 )3
(per |x| ≥ |a|)
x x2 − a2 dx =
3
Z √ 2
x − a2 dx p 2
a
= x − a2 − a arcsin
(per |x| ≥ |a|)
x
x
Z
p
dx
x
√
= settcosh = log |x| + x2 − a2
(per |x| > |a|)
a
x2 − a2
Z
p
x dx
√
= x2 − a2
(per |x| > |a|)
x2 − a2
24
Capitolo 3. Integrazione
Z
√
x2 dx
=
x2 − a2
x
xp 2
a2
x − a2 +
settcosh =
2
2
a
p
p
1
=
x x2 − a2 + a2 ln |x| + x2 − a2
2
(per |x| > |a|)
Z
Z
Z
Z
√
√
√
p
1
dx
= √ ln 2 a(ax2 + bx + c) + 2ax + b
a
ax2 + bx + c
ax2
ax2
2ax + b
dx
1
= √ settsinh √
a
+ bx + c
4ac − b2
1
dx
= √ log |2ax + b|
a
+ bx + c
(per a > 0)
(per a > 0, 4ac − b2 > 0)
(per a > 0, 4ac − b2 = 0)
1
2ax + b
dx
= −√
arcsin √
(per a < 0, 4ac − b2 < 0)
−a
+ bx + c
b2 − 4ac
√
Z
Z
x dx
ax2 + bx + c
b
dx
√
√
=
−
2
2
a
2a
ax + bx + c
ax + bx + c
3.7
√
ax2
Integrali di funzioni iperboliche
Z
Z
sinh x dx = cosh x + C
cosh x dx = sinh x + C
Z
tanh x dx = ln(cosh x) + C
Z
sech x dx = arctan(sinh x) + C
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
x csch x dx = ln tanh + C
2
coth x dx = ln | sinh x| + C
settcosh x dx = x settcosh x −
settsinh x dx = x settsinh x −
p
setttanh x dx = x setttanh x +
sinh cx dx =
1
cosh cx
c
cosh cx dx =
1
sinh cx
c
p
x2 − 1 + C
x2 + 1 + C
log (1 − x2 )
+C
2
25
3.7. Integrali di funzioni iperboliche
Z
Z
Z
sinh2 cx dx =
1
x
sinh 2cx −
4c
2
cosh2 cx dx =
1
x
sinh 2cx +
4c
2
Z
1
n−1
n−1
sinh cx dx =
sinh
cx cosh cx −
sinhn−2 cx dx
(per n > 0)
cn
n
Z
Z
n+2
1
sinhn+2 cx dx
sinhn+1 cx cosh cx −
anche:
sinhn cx dx =
c(n + 1)
n+1
Z
n
(per n < 0, n 6= −1)
Z
1
n−1
n−1
cosh cx dx =
sinh cx cosh
cx +
coshn−2 cx dx
(per n > 0)
cn
n
Z
Z
1
n+2
coshn+2 cx dx
anche: coshn cx dx = −
sinh cx coshn+1 cx −
c(n + 1)
n+1
Z
n
(per n < 0, n 6= −1)
dx
1
cx = log tanh sinhZcx
c
2
cosh cx − 1 dx
1
anche:
= log sinh cx
c
sinh cx Z
sinh cx dx
1
anche:
= log sinh cx
c
cosh cx + 1 Z
cosh cx − 1 1
dx
= log anche:
sinh cx
c
cosh cx + 1 Z
dx
2
= arctan ecx
cosh cx
c
Z
Z
cosh cx
n−2
dx
dx
=
−
(per n 6= 1)
n
n−1
sinh cx
c(n − 1) sinh
cx n − 1
sinhn−2 cx
Z
Z
dx
sinh cx
n−2
dx
=
+
(per n 6= 1)
n
n−1
cosh cx
c(n − 1) cosh
cx n − 1
coshn−2 cx
Z
Z
coshn cx
coshn−1 cx
n−1
coshn−2 cx
dx
=
+
dx
(per m 6= n)
sinhm cx
sinhm cx
c(n − m) sinhm−1 cx n − m
Z
Z
coshn cx
coshn+1 cx
n−m+2
coshn cx
anche:
dx = −
+
dx
(per m 6= 1)
m
sinh cx
m−1
c(m − 1) sinhm−1 cx
sinhm−2 cx
Z
Z
coshn cx
coshn−1 cx
n−1
coshn−2 cx
anche:
dx
=
−
+
dx
(per m 6= 1)
sinhm cx
c(m − 1) sinhm−1 cx m − 1
sinhm−2 cx
Z
Z
sinhm cx
sinhm−1 cx
m−1
sinhm−2 cx
dx
=
+
dx
(per m 6= n)
coshn cx
coshn cx
c(m − n) coshn−1 cx m − n
Z
Z
sinhm cx
sinhm+1 cx
m−n+2
sinhm cx
anche:
dx =
+
dx
(per n 6= 1)
n
cosh cx
n−1
c(n − 1) coshn−1 cx
coshn−2 cx
Z
Z
sinhm cx
sinhm−1 cx
m−1
sinhm−2 cx
anche:
dx
=
−
+
dx
(per n 6= 1)
coshn cx
n−1
c(n − 1) coshn−1 cx
coshn−2 cx
26
Capitolo 3. Integrazione
Z
1
1
x sinh cx dx = x cosh cx − 2 sinh cx
c
c
Z
1
1
x cosh cx dx = x sinh cx − 2 cosh cx
c
c
Z
Z
tanh cx dx =
1
log | cosh cx|
c
coth cx dx =
1
log | sinh cx|
c
Z
Z
1
n−1
tanh cx dx = −
tanh
cx + tanhn−2 cx dx
(per n 6= 1)
c(n − 1)
Z
Z
1
n
n−1
coth cx dx = −
coth
cx + cothn−2 cx dx
(per n 6= 1)
c(n − 1)
Z
1
sinh bx sinh cx dx = 2
(b sinh cx cosh bx − c cosh cx sinh bx)
(per b2 6= c2 )
b − c2
Z
1
(b sinh bx cosh cx − c sinh cx cosh bx)
(per b2 6= c2 )
cosh bx cosh cx dx = 2
b − c2
Z
1
cosh bx sinh cx dx = 2
(b sinh bx sinh cx − c cosh bx cosh cx)
(per b2 6= c2 )
b − c2
Z
sinh(ax + b) sin(cx + d) dx =
c
a
cosh(ax + b) sin(cx + d) − 2
sinh(ax + b) cos(cx + d)
= 2
2
a +c
a + c2
Z
sinh(ax + b) cos(cx + d) dx =
a
c
= 2
cosh(ax + b) cos(cx + d) + 2
sinh(ax + b) sin(cx + d)
2
a +c
a + c2
Z
cosh(ax + b) sin(cx + d) dx =
a
c
= 2
sinh(ax + b) sin(cx + d) − 2
cosh(ax + b) cos(cx + d)
2
a +c
a + c2
Z
cosh(ax + b) cos(cx + d) dx =
a
c
sinh(ax + b) cos(cx + d) + 2
cosh(ax + b) sin(cx + d)
= 2
2
a +c
a + c2
3.8
n
Integrali generalizzati più comuni
Z
+∞ √
0
Z
+∞
e−
x2
2
0
Z
0
+∞
1√
π
2
r
Z +∞
√
−x2
1 π
dx =
(Integrale di Gauss) o
e 2 dx = 2π (Integrale di Eulero)
2 2
−∞
x e−x dx =
2
e−x dx =
1√
π
2
27
3.8. Integrali generalizzati più comuni
Z
+∞
x
π2
dx
=
ex − 1
6
+∞
π4
x3
dx
=
ex − 1
15
+∞
sin(x)
π
dx =
x
2
+∞
sin(x)
dx = π
x
0
Z
0
Z
0
Z
−∞
Z
+∞
xz−1 e−x dx = Γ(z) (Γ denota la funzione Gamma)
0
Z
1
1
1
dt = β
3
3
1−t
0
Z +∞
Z
cos(x2 ) dx =
√
−∞
Z
0
1 1
,
3 2
(integrale ellittico), β(p, q) denota la funzione Beta
+∞
2
sin(x ) dx =
−∞
r
π
(integrali di Fresnel)
2
π
ln(1 − 2α cos x + α2 ) dx = 2π ln |α|
2
3
0
r
Z ∞
π
−bx2 +cx+f
ae
dx = a
exp c2 /4b + f ,
b
−∞
Z
+∞
1
3
xe−x dx = Γ
3
Integrale particolare
Risolviamo:
Z
π
2
ln(cos(x)) dx =
0
Z
π
2
0
π
ln(sin(x)) dx = − ln(2)
2
Per calcolare il valore di questo integrale conviene usare
una delle proprietà della trasformata di
Z +∞
Fourier, secondo cui se S(f ) = F{s(t)} allora S(0) =
s(t)dt. Questo discende direttamente
−∞
dalla definizione, infatti, indicando con j l’unità immaginaria, risulta
S(f ) =
Z
+∞
s(t)e−j2πf t dt
−∞
di conseguenza
S(0) =
Z
+∞
−∞
s(t)e−j2π·0·t dt =
Z
+∞
s(t)dt
−∞
Per risolvere l’integrale proposto, conviene fare la sostituzione x = πt, da cui dx = πdt e
l’integrale diventa
Z +∞
sin(πt)
π
dt
πt
−∞
28
Capitolo 3. Integrazione
Ciò che si deve fare è calcolare la trasformata di Fourier di
la funzione rect(t), definita come segue
rect(t) =
sin(πt)
, e per far questo introduciamo
πt
1 se |t| < 12
0 altrimenti
Calcoliamo la trasformata di Fourier di tale funzione, risulta
F{rect(t)} =
Z
+∞
rect(t)e
−∞
e−jπf
=
Z
ejπf
−
−j2πf
1
2
e−j2πf t
dt =
e
dt =
−j2πf
− 21
jπf
−jπf
e
−e
sin(πf )
=
=
j2πf
πf
−j2πf t
−j2πf t
t= 12
t=− 12
dove l’ultima relazione è stata desunta dalla formula di Eulero, secondo cui sin(θ) =
ejθ − e−jθ
2j
sin(πf )
.
πf
Secondo la proprietà della dualità della trasformata di Fourier, risulta che se S(f ) = F{s(t)}
sin(πt)
è rect(−f ), ma la funzione
allora s(−f ) = F{S(t)}. Pertanto la trasformata di Fourier di
πt
sin(πt)
rect è pari, di conseguenza rect(f ) = rect(−f ), pertanto la trasformata di Fourier di
è la
πt
funzione rect(f ). Ricordando la proprietà enunciata inizialmente, risulta
Si è quindi dimostrato che la trasformata di Fourier di rect(t) é
Z
+∞
−∞
3.9
sin(x)
dx = π
x
Z
+∞
−∞
sin(πt)
dt = π · rect(0) = π · 1 = π
πt
Integrale di Fresnel
Gli integrali di Fresnel S(x) e C(x) sono funzioni speciali introdotte in ottica dal fisico Augustin-Jean
Fresnel per studiare fenomeni di diffrazione. Definizione:
Z x
π S(x) :=
sin
t2 dt
2
0
Z x
π C(x) :=
cos
t2 dt
2
0
Proprietà:
lim S(x) = lim C(x) =
x→+∞
x→+∞
1
2
C(iz) = iC(z)
S(iz) = −iS(z)
Relazione con altre funzioni speciali
C(z) + iS(z) = zM
1 3 π 2
, ,i z ,
2 2 2
dove M denota una funzione ipergeometrica confluente.
29
3.10. Funzioni speciali da integrali trigonometrici e iperbolici
La relazione con funzione degli errori è:
1+i
C(z) + iS(z) =
erf
2
3.10
√
π
(1 − i)z
2
Funzioni speciali da integrali trigonometrici e iperbolici
Integral seno e variante:
Z x
sin t
Si(x) =
dt
t
0
Z ∞
1
sin t
dt = Si(x) − π
si(x) = −
t
2
x
Integral coseno e varianti:
Z x
cos t − 1
Ci(x) = γ + ln x +
dt
t
0
Z x
1 − cos t
dt
Cin(x) =
t
0
Z ∞
cos t
ci(x) = −
dt
t
x
Integral seno iperbolico:
Shi(x) =
Z
x
0
sinh t
dt = shi(x)
t
Integral coseno iperbolico:
Chi(x) = γ + ln x +
Z
0
x
cosh t − 1
dt = chi(x)
t
30
Capitolo 3. Integrazione
Capitolo 4
Serie di Fourier
4.0.1
Definizione
Un polinomio trigonometrico è una funzione periodica di periodo 2π definita sul campo reale del
tipo:
f (t) =
∞
∞
X
a0 X
+
[an cos(nt) + bn sin(nt)] =
cn eint
2
n=−∞
n=1
dove ai e bi sono numeri reali, ci complessi e n è intero. Sia:
un (t) = eint
e sia:
1
hf, gi =
2π
def
Z
π
f (t)g(t) dt.
−π
un prodotto interno in L2 (T ), dove T è la circonferenza unitaria. Allora {un = eint , n ∈ Z} è
una base ortonormale rispetto al prodotto interno così definito, infatti:
Z π
1
hun , um i =
ei(n−m)t dt = δn,m
2π −π
Un tale sistema ortonormale in L2 (T ) è detto sistema ortonormale trigonometrico, ed è un sistema
completo. Si definisce serie di Fourier di una funzione f ∈ L2 (T ) a quadrato sommabile la
rappresentazione della funzione per mezzo di una combinazione lineare dei vettori di base un del
sistema ortonormale trigonometrico:
∞
X
fn un =
n=−∞
∞
X
fn eint
n=−∞
I coefficienti della combinazione sono quindi la proiezione della funzione sui vettori di base stessi:
Z π
hf, un i
1
fn =
= hf, un i =
f (t) e−int dt
kun k2
2π −π
e sono detti coefficienti di Fourier. Le somme parziali della serie di Fourier sono inoltre:
SN (t) =
N
X
fn eint
n=−N
31
N = 0, 1, 2 . . .
32
Capitolo 4. Serie di Fourier
La serie di Fourier di una funzione può essere espressa in diverse forme matematicamente
equivalenti: rettangolare, complessa e polare.
4.0.2
Forma rettangolare
Si consideri una funzione di una variabile reale a valori complessi f (x) che sia periodica con periodo
2π e a quadrato integrabile sull’intervallo [0, 2π]. Si definiscono i coefficienti tramite la formula di
analisi:
Z π
1
Fn =
f (x) e−inx dx
2π −π
e la rappresentazione mediante serie di Fourier di f (x) è allora data dalla formula di sintesi:
f (x) =
∞
X
Fn einx
n=−∞
Ciascuno dei termini di questa somma è chiamato modo di Fourier. Nell’importante caso particolare nel quale la f (x) è una funzione a valori reali, spesso risulta utile servirsi dell’identità
einx = cos(nx) + i sin(nx) per rappresentare equivalentemente f (x) come combinazione lineare
infinita di funzioni della forma cos(nx)e sin(nx). Si ottiene la serie di Fourier:
∞
a0 X
f (x) =
+
[an cos(nx) + bn sin(nx)]
2
n=1
dove:
1
a0 =
π
Z
π
f (x)dx
−π
Z
1
an =
π
π
f (x) cos(nx)dx
−π
1
bn =
π
Z
π
f (x) sin(nx)dx
−π
a0
2
corrisponde al valor medio in un periodo della funzione f (x). Tale formulazione si riconduce alla
precedente rappresentazione se:
I coefficienti an e bn esprimono le ampiezze, ovvero i pesi delle sinusoidi e cosinusoidi, e
Fn =
4.0.3
an − ibn
2
∗
e Fn = F−n
Forma complessa
La serie di Fourier in forma complessa di una funzione f (x) è:
f (x) =
∞
X
γn e
i2πnx
T
n=−∞
in cui
γn ∈ C
i=
I coefficienti γn sono calcolati tramite la relazione:
√
−1
Z
−i2πnx
1 T
γn =
f (x)e T dx
T 0
Se la funzione f (x) è reale i coefficienti γn soddisfano la proprietà di simmetria hermitiana:
γn∗ = γ−n
33
4.0.4
Forma polare
Un’altra forma in cui è possibile esprimere la serie di Fourier di una funzione f (x) reale è la forma
polare:
f (x) = c0 + 2
∞
X
cn cos
n=1
2πnx
+ φn
T
I coefficienti c0 , cn e φn possono essere definiti partendo dai coefficienti γn della forma complessa:
c0 = γ0
4.0.5
;
cn = |γn | ;
φn = ∠γn
Teorema di Parseval
Siano A(x) e B(x) due funzioni Riemann integrabli, a valori complessi e definite su R. Siano esse
periodiche con periodo 2π e sia la rappresentazione per mezzo della serie di Fourier:
A(x) =
∞
X
an einx
B(x) =
n=−∞
∞
X
bn einx
n=−∞
Allora:
∞
X
1
an bn =
2π
n=−∞
Z
π
A(x)B(x)dx
−π
Nel caso particolare in cui A(x) = B(x) il teorema stabilisce che, data una funzione in C 2 su R
con derivata prima e seconda assolutamente convergenti, allora l’area sottesa dal modulo al quadrato
della funzione è uguale a quella sottesa dal modulo al quadrato della sua trasformata di Fourier:
∞
X
1
|an | =
2π
n=−∞
2
Z
π
|A(x)|2 dx
−π
Inoltre, spesso si considerano solo le serie di Fourier per funzioni a valori reali A e B, che
corrispondono al caso speciale in cui a0 è reale, a−n = an , b0 è reale e b−n = bn . In tal caso si ha:
a0 b0 + 2<
∞
X
n=1
dove < denota la parte reale.
1
an bn =
2π
Z
π
−π
A(x)B(x)dx
34
Capitolo 4. Serie di Fourier
Capitolo 5
Trasformate di Fourier
Sia g : R → C una funzione complessa di variabile reale, se
Z +∞
g(t)e−i2πf t dt
−∞
converge la g si dice trasformabile secondo Fourier.Z In tal caso il risultato dell’integrale si chiama
+∞
trasformata di Fourier di g, e si scrive F[g(t)](f ) =
g(t)e−i2πf t dt. Condizioni sufficienti per la
−∞
trasformabilità secondo Fourier:
1) Se g : R → C è una funzione a quadrato sommabile, cioè
trasformabile secondo Fourier.
Z
+∞
−∞
|g(t)|2 dt < ∞, allora g è
2) Criterio di Dirichlet: se g : R → R è una funzione a modulo sommabile, cioè
Z
+∞
−∞
|g(t)|dt < ∞
- se in qualunque intervallo chiuso e limitato [a, b] la funzione g ha un numero finito di
discontinuità di salto
- se in qualunque intervallo chiuso e limitato [a, b] la funzione g ha un numero finito di
massimi e minimi,
allora la funzione g è trasformabile secondo Fourier.
Antitrasformata di Fourier
Se G(f ) = F[g(t)](f ), allora g(t) è l’antitrasformata di G(f ), e vale
Z +∞
g(t) =
G(f )ei2πf t df
−∞
5.0.6
Proprietà della trasformata di Fourier
Per semplicità notazionale, si indicherà con G(f ) e H(f ) le trasformate di Fourier di, rispettivamente, g(t) e h(t).
Simmetrie: trasformata di una funzione reale
Se g(t) è una funzione reale, e G(f ) è la sua trasformata di Fourier, allora
Z +∞
Re(G(f )) =
g(t) cos(2πf t)dt
−∞
35
36
Capitolo 5. Trasformate di Fourier
Im(G(f )) = −
Z
+∞
g(t) sin(2πf t)dt
−∞
e inoltre
Re(G(f )) = Re(G(−f )) (la parte reale della trasformata è una funzione pari)
Im(G(f )) = −Im(G(f )) (la parte immaginaria della trasformata è una funzione dispari)
che equivalgono a
¯ ) (la trasformata è una funzione complessa a simmetria Hermitiana)
G(f ) = G(−f
Dette M (f ) e θ(f ) il modulo e la fase di G(f ), rispettivamente, risulta
M (−f ) = M (f ) (il modulo è una funzione pari)
θ(−f ) = −θ(f ) (la fase è una funzione dispari)
Simmetrie: trasformata di una funzione reale pari
Se g(t) è una funzione reale pari, e G(f ) è la sua trasformata di Fourier, allora
Z +∞
Re(G(f )) = 2
g(t) cos(2πf t)dt
0
Im(G(f )) = 0
Quindi la trasformata di una funzione reale pari è una funzione reale pari.
Simmetrie: trasformata di una funzione reale dispari
Se g(t) è una funzione reale dispari, e G(f ) è la sua trasformata di Fourier, allora
Re(G(f )) = 0
Im(G(f )) = −2
Z
+∞
g(t) sin(2πf t)dt
0
Quindi la trasformata di una funzione reale pari è una funzione immaginaria pura, e Im(G(f ))
è una funzione dispari.
Linearità
F[αg(t) + βh(t)](f ) = αG(f ) + βH(f ), per ogni α, β ∈ R
Inversione degli assi
Se la trasformata di Fourier di g(t) è G(f ), allora la trasformata di Fourier di g(−t) è G(−f )
Coniugazione complessa
¯ (complesso
Se la trasformata di Fourier di g(t) è G(f ), allora la trasformata di Fourier di g(t)
¯
coniugato di g(t)) è G(−f ).
37
Teorema del valore finale
Se g(t) è una funzione reale, e G(f ) è la sua trasformata di Fourier, allora
Z
+∞
g(t)dt = G(0)
−∞
Proprietà di dualità
Se G(f ) è la trasformata di Fourier di g(t), allora la trasformata di Fourier di G(t) è g(−f ).
Proprietà del ritardo
Se G(f ) è la trasformata di Fourier di g(t), allora F[g(t − t0 )](f ) = G(f )e−i2πf t0 , per ogni t0 ∈ R
Traslazione in f
Se la trasformata di Fourier di g(t) è G(f ), allora F[g(t)ei2πf0 t ](f ) = G(f − f0 )
Proprietà del cambiamento di scala
1
Se G(f ) è la trasformata di Fourier di g(t), allora F[g(αt)](f ) =
G
|α|
f
, per ogni α ∈ R \ {0}
α
Proprietà della modulazione
Se G(f ) è la trasformata di Fourier di g(t), allora
F[g(t) cos(2πf0 t)](f ) =
G(f − f0 ) + G(f + f0 )
, per ogni f0 ∈ R
2
F[g(t) sin(2πf0 t)](f ) =
G(f − f0 ) − G(f + f0 )
, per ogni f0 ∈ R
2i
Proprietà della derivata
d
Se G(f ) è la trasformata di Fourier di g(t), allora F
g(t) (f ) = i2πf · G(f )
dt
Proprietà dell’integrale
Se G(f ) è la trasformata di Fourier di g(t), allora F
Z
t
−∞
g(u)du (f ) =
1
δ(f )
G(f ) +
G(0)
i2πf
2
Trasformata del prodotto
La trasformata di Fourier del prodotto ordinario di due funzioni è uguale al prodotto di convoluzione delle trasformate. Se G(f ) e H(f ) Zsono le trasformate di Fourier di g(t) e h(t), rispettivamente,
+∞
allora F[g(t)h(t)](f ) = G(f ) ⊗ H(f ) =
−∞
G(ν)H(f − ν)dν
Traformata del prodotto di convoluzione
La trasformata di Fourier del prodotto di convoluzione di due funzioni equivale al prodotto ordinario delle trasformate. Se G(f ) e H(f ) sono le trasformate di Fourier di g(t) e h(t), rispettivamente,
38
Capitolo 5. Trasformate di Fourier
allora F[g(t) ⊗ h(t)](f ) = F
Z
+∞
−∞
g(τ )h(t − τ )dτ (f ) = G(f )H(f )
Teorema di Parseval
Se G(f ) è la trasformata di Fourier di g(t), allora
Z
+∞
2
−∞
|g(t)| dt =
Z
+∞
−∞
|G(f )|2 df
Trasformata di una funzione periodica
Se g(t) è una funzione periodica di periodo T , e Gt (f ) è la trasformata di Fourier della funzione
gt (t) troncata sul periodo (cioè gt (t) = g(t) se t ∈ [0, T ] e gt (t) = 0 se t ∈
/ [0, T ]), allora
+∞
2πkt
1 X
k
F[g(t)](f ) =
ei T
(F ormula di P oisson)
Gt
T
T
k=−∞
Come si può vedere la formula di Poisson rende evidente il legame fra serie e trasformata di Fourier.
5.0.7
Trasformate di Fourier notevoli
Funzione
Trasformata
1
δ(f ) (delta di Dirac)
c
c · δ(f )
u(t) =
t · u(t)
se t > 0
1
2
0
se t = 0
set < 0
δ(f )
1
+
i2πf
2
δ(f )
1
+
(i2πf )2 i4πf
tn · u(t)
n!
δ(f ) · n!
+
(i2πf )n+1 2(i2πf )n
t
i d
δ(f )
2π df
|t|
−
|tn | (n dispari)
2n!
(i2πf )n+1
sgn (funzione segno)
1
i2πf
δ(t)
1
1
2π 2 f 2
39
Funzione
1
1 se|t| < 2
1
rect(t) =
se|t| = 21
2
0 altrimenti
sinc(t)
(
1 − |t|
tr(t) = sinc(x) =
0
2
sinc (t)
Trasformata
sinc(x) =
(
sin(πx)
πx
1
se x 6= 0
se x = 0
rect(f )
se se|t| < 1
altrimenti
sinc2 (f )
tr(f )
1
t
−iπsgn(f )
1
(n)
tn
(−i)n π(2πf )n−1 sgn(f )
(n − 1)!
sin(2πf0 t)
δ(f − f0 ) − δ(f + f0 )
2i
cos(2πf0 t)
δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )
2
u(t) · sin(2πf0 t)
f0
δ(f − f0 ) − δ(f + f0 )
+
4i
2π(f02 − f 2 )
u(t) · cos(2πf0 t)
2π(f02
if
δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )
+
2
4
−f )
1
a + i2πf
e−αt u(t) (con α > 0)
t · e−αt u(t) (con α > 0)
e−α|t| (con α > 0)
1
(a + i2πf )2
α2
2α
+ 4π 2 f 2
u(t)e−αt sin(2πf0 t) (con α > 0)
2πf0
(a + i2πf )2 + 4π 2 f02
u(t)e−αt cos(2πf0 t) (con α > 0)
a + i2πf
(a + i2πf )2 + 4π 2 f02
√
2 2 2
T 2πe−2π T f
t2
e− 2T 2
2
erf (αt) = √
π
2πf0 t
e
(f0 ∈ C)
Z
0
αt
πf 2
2
e−y dy
e−( α )
iπf
δ(f + if0 )
sinh(2πf0 t)
1
[δ(f + if0 ) − δ(f − if0 )]
2
cosh(2πf0 t)
1
[δ(f + if0 ) + δ(f − if0 )]
2
40
Capitolo 5. Trasformate di Fourier
Capitolo 6
Teoremi analisi complessa
6.0.8
Sviluppi di McLaurin
Sviluppi notevoli
ex
=
2
3
4
n
1 + x + x + x + x + · · · + x + o(xn )
2!
3!
4!
n!
(x ! 0)
sinh x
=
3
5
2n+1
x + x + x + ··· + x
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
(x ! 0)
cosh x
=
2
4
2n
1 + x + x + ··· + x
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
(x ! 0)
tanh x
=
3
2 x5 + o(x6 )
x ° x3 + 15
(x ! 0)
sett tanh x
=
3
5
x2n+1 + o(x2n+2 )
x + x3 + x5 + · · · + 2n
+1
(x ! 0)
ln(1 + x)
=
2
3
n
x ° x2 + x3 + · · · + (°1)(n°1) xn + o(xn )
(x ! 0)
sin x
=
3
5
2n+1
x ° x + x + · · · + (°1)n x
+ o(x2n+2 )
3!
5!
(2n + 1)!
(x ! 0)
cos x
=
2
4
2n
1 ° x + x + · · · + (°1)n x
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
(x ! 0)
tan x
=
3
2 x5 + o(x6 )
x + x3 + 15
(x ! 0)
arcsin x
=
3
3 x5 + o(x6 )
x + x6 + 40
(x ! 0)
arctan x
=
3
2n+1
x ° x3 + 15 x5 + · · · + (°1)n x
+ o(x2n+2 )
(2n + 1)
(x ! 0)
(1 + x)Æ
=
1 + Æx +
1
(1 + x)
=
1 ° x + x2 ° x3 + · · · + (°1)n xn + o(xn )
(x ! 0)
1
(1 ° x)
=
1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + o(xn )
(x ! 0)
p
=
1 x3 + · · · +
1 + 12 x ° 18 x2 + 16
(1 + x)
p 1
(1 + x)
p
3
(1 + x)
µ
Æ
2
∂
x2 +
µ
Æ
3
=
x3 + · · · +
µ
5 x3 + · · · +
1 ° 12 x + 38 x2 ° 16
µ
1/2
n
∂
µ
Æ
n
∂
xn + o(xn )
xn + o(xn )
∂
°1/2
xn + o(xn )
n
µ
∂
1/3
1
1
5
2
3
1 + 3 x ° 9 x + 81 x + · · · +
xn + o(xn )
n
41
=
∂
(x ! 0)
(x ! 0)
(x ! 0)
(x ! 0)
cos x
=
1 ° x + x + · · · + (°1)n x
+ o(x2n+1 )
2!
4!
(2n)!
(x ! 0)
tan x
=
3
2 x5 + o(x6 )
x + x3 + 15
(x ! 0)
arcsin x
=
3
3 x5 + o(x6 )
x + x6 + 40
arctan x
=
3
2n+1
x ° x3 + 15 x5 + · · · + (°1)n x
+ o(x2n+2 )
(2n + 1)
(1 + x)Æ
=
1 + Æx +
1
(1 + x)
=
1 ° x + x2 ° x3 + · · · + (°1)n xn + o(xn )
(x ! 0)
1
(1 ° x)
=
1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + o(xn )
(x ! 0)
p
(1 + x)
=
1 x3 + · · · +
1 + 12 x ° 18 x2 + 16
p 1
(1 + x)
=
42
p
3
(1 + x)
=
1
p
3
(1 + x)
=
µ
Æ
2
∂
x2 +
µ
Capitolo 6. Teoremi analisi complessa
(x ! 0)
Æ
3
∂
x3 + · · · +
µ
∂
Æ
n
∂
xn + o(xn )
xn + o(xn )
∂
°1/2
xn + o(xn )
n
µ
∂
1/3
1
1
5
2
3
1 + 3 x ° 9 x + 81 x + · · · +
xn + o(xn )
n
µ
∂
7 x3 + · · · + °1/3 xn + o(xn )
1 ° 13 x + 29 x2 ° 81
n
5 x3 + · · · +
1 ° 12 x + 38 x2 ° 16
1
µ
1/2
n
µ
(x ! 0)
(x ! 0)
(x ! 0)
(x ! 0)
(x ! 0)
(x ! 0)
Capitolo 7
Trasformata di Laplace
Trasformata di Laplace
Linearità
( a, b 2 IR )
( a 2 IR )
Traslazione
L[ax(t) + by(t)](s) = aX(s) + bY (s)
L[x(t
a)u(t
as
a)](s) = e
Modulazione
( a 2 IR )
L[eat x(t)](s) = X(s
Riscalamento
( a>0 )
L [x(at)] (s) =
X(s)
a)
s > max{sx , sy }
s > sx
s > a + sx
1 ⇣s⌘
X
a
a
s > asx
Derivazione rispetto a s
L [tn x(t)] (s) = ( 1)n X (n) (s)
s > sx
Derivazione rispetto a t
L[x0 (t)](s) = sX(s)
s > max{sx , sx0 }
x(0+ )
L[x00 (t)](s) = s2 X(s)
Integrale della trasformata
Z
+1
X(r)dr = L
s
sx(0+ )
x0 (0+ )
x(t)
(s)
t
s > sx
L[(x ⇤ y)(t)] = X(s) Y (s)
Convoluzione
Trasformata dell’integrale
L
Z
t
x(r)dr (s) =
0
s > max{sx , sy }
X(s)
s
s > max{0, sx }
X(s) = L[x(t)](s)
x(t)
1
s
u(t)
eat
(a 2 IR)
tn
(n 2 IN )
43
s > max{sx , sx0 , sx00 }
sx
0
1
s
a
n!
sn+1
a
a
0
L[(x ⇤ y)(t)] = X(s) Y (s)
Convoluzione
44Trasformata dell’integrale
L
Z
0
t
x(r)dr (s) =
s > max{sx , sy }
X(s)
s
s > 7.
max{0,
sx } di Laplace
Capitolo
Trasformata
X(s) = L[x(t)](s)
x(t)
1
s
u(t)
eat
(a 2 IR)
tn
(n 2 IN )
sx
0
1
s
a
n!
a
0
sn+1
sin(at)
(a 2 IR)
a
s2 + a2
0
cos(at)
(a 2 IR)
s2
s
+ a2
0
a
sinh(at) (a 2 IR)
s2
cosh(at) (a 2 IR)
eat sin(bt) (a, b 2 IR)
eat cos(bt) (a, b 2 IR)
sin t
t
a2
|a|
s2
a2
|a|
(s
b
a)2 + b2
a
s
s a
(s a)2 + b2
✓ ◆
1
arctan
s
a
0
Capitolo 8
Limiti
8.0.9
Algebra dei limiti
Sia A ⊆ R, f, g : A → R, x0 un punto di accumulazione di A e x0 ∈ R.
Limite della somma
Se lim f (x) = λ e lim g(x) = µ, allora il limite della somma è uguale alla somma dei limiti,
x→x0
x→x0
cioè
lim f (x) + g(x) = λ + µ
x→x0
Limite del quoziente
lim f (x) = λ
x→x0
lim g(x) = µ con g(x) 6= 0∀x ∈ A \ {x0 }, µ 6= 0
x→x0
lim
x→x0
λ
f (x)
=
g(x)
µ
Limite di funzioni che tendono a infinito
lim f (x) = +∞(−∞) lim g(x) = +∞(−∞) =⇒ lim f (x) + g(x) = +∞(−∞)
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) = +∞(−∞) lim g(x) = +∞(−∞) =⇒ lim f (x)g(x) = +∞
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) = +∞(−∞) lim g(x) = −∞(+∞) =⇒ lim f (x)g(x) = −∞
x→x0
x→x0
x→x0
Limite di infinito per un reale
lim f (x) = +∞(−∞) lim g(x) = µ =⇒ lim f (x) + g(x) = +o − ∞
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) = +∞(−∞) lim g(x) = µ > 0 =⇒ lim f (x)g(x) = +∞
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x) = +∞(−∞) lim g(x) = µ < 0 =⇒ lim f (x) + g(x) = +∞
x→x0
x→x0
x→x0
Limite del reciproco di una funzione
lim f (x) = ±∞, f (x) 6= 0∀x ∈ A \ {x0 } =⇒ lim
x→x0
x→x0
45
1
=0
f (x)
46
Capitolo 8. Limiti
lim f (x) = 0, f (x) > 0(< 0)∀x ∈ A \ {x0 } =⇒ lim
x→x0
x→x0
1
= +∞(−∞)
f (x)
Confronto di Limiti
f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ A \ {x0 } =⇒ limx→x0 f (x) = +∞ ⇒ limx→x0 g(x) = +∞
f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ A \ {x0 } =⇒ limx→x0 g(x) = −∞ ⇒ limx→x0 f (x) = −∞
8.0.10
Regola di De l’Hopital
Nell’analisi matematica la regola di de l’Hôpital è un procedimento che permette di calcolare vari
limiti di quozienti di funzioni reali di variabile reale che convergono a forme indeterminate delle
0 ∞
forme e
con l’aiuto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore. La regola
0 ∞
si può estendere per cercare di calcolare limiti di funzioni appartenenti ad altre forme indeterminate.
Siano f, g : [a, b] → R due funzioni reali di variabile reale continue in [a, b] e derivabili in (a, b), con
−∞ ≤ a < b ≤ +∞; siano g(x) eg 0 (x) diverse da 0 in ogni punto di tale intervallo, tranne al più in
c ∈ (a, b). Sia inoltre
(f (x) ∧ g(x)) −→ 0
x→c
oppure
(f (x) ∧ g(x)) −→ ±∞
x→c
ed esista
f 0 (x)
.
x→c g 0 (x)
L ∈ R̄ = lim
Allora
f (x)
=L
g(x)
Perciò, se si cerca un limite di un quoziente il cui numeratore e denominatore convergono entrambi
a zero, oppure divergono entrambi ad infinito, può essere utile cercare di calcolare il quoziente delle
derivate del numeratore e del denominatore. Se esiste il limite L di questo nuovo quoziente, allora
esisterà anche il limite del quoziente originale e coinciderà con L. Se invece il nuovo quoziente a sua
volta appartiene ad una forma indeterminata, si può ripetere l’operazione, cioè cercare di calcolare
il limite del quoziente delle derivate seconde e così via. L’incapacità di determinare il limite del
quoziente delle derivate comunque non implica la non esistenza del limite del quoziente originale.
Applicazioni iterate
Avendo a che fare con funzioni derivabili più volte ed avendo cura di verificare che le ipotesi del
teorema siano valide ad ogni passaggio, sarà possibile applicare il teorema a ripetizione come nei
casi qui sotto riportati.
lim
x→c
ex − e−x − 2x l0 H ôpital
ex − (−e−x ) − 2
=−−−−−→ lim
=
x→0 x − sen(x)
x→0
1 − cos(x)
ex − e−x
l0 H ôpital
=−−−−−→ lim
=
x→0 sen(x)
ex − (−e−x )
l0 H ôpital
=−−−−−→ lim
=
x→0
cos(x)
e0 + e−0
1+1
=
=
=2
cos(0)
1
lim
47
Per ogni n > 0 si ha che:
xn l0 H ôpital
n · xn−1
=
−
−
−
−
−
→
lim
=
x→+∞ ex
x→+∞
ex
n · (n − 1)xn−2
l0 H ôpital
=−−−−−→ lim
=
x→+∞
ex
n!
l0 H ôpital
l0 H ôpital
=−−−−−→= . . . =−−−−−→ lim x = 0
x→+∞ e
lim
Altre forme di indeterminazione
La regola di de l’Hopital può essere utile anche per trattare forme indeterminate del tipo [0 · ∞],
in quanto queste si possono ricondurre facilmente alle due precedentemente considerate. Questo
accade ad esempio per il limite
lim x ln(x) = [0 · −∞]
x→0+
infatti basta riscrivere:
ln(x)
lim x ln(x) = lim
x→0+
x→0+
1
x
−∞
=
∞
l0 H ôpital
=−−−−−→ lim
x→0+
1
x
− x12
= lim −x = 0
x→0+
Espedienti simili possono essere talvolta usati anche per altre forme di indeterminazione, per
valutare un limite del tipo [∞ − ∞], si può provare a riscrivere la differenza sotto forma di quoziente:
lim
x→1
x
1
x ln x − x + 1
−
= lim
x − 1 ln x x→1 (x − 1) ln x
ln x
l0 H ôpital
=−−−−−→ lim x−1
x→1
x + ln x
x ln x
= lim
x→1 x − 1 + x ln x
1 + ln x
l0 H ôpital
=−−−−−→ lim
x→1 2 + ln x
1
= ,
2
La regola di de l’Hôpital si può utilizzare anche per valutare forme indeterminate che coinvolgono le potenze usando i logaritmi per spostare la forma indeterminata da un esponenziale ad un
prodotto.In questo esempio si considera una forma indeterminata del tipo 00 :
x
lim xx = lim eln x = lim ex ln x = elimx→0+ x ln x
x→0+
x→0+
x→0+
Poiché la funzione esponenziale è continua infatti è possibile passare il limite all’esponente e
quindi operare come nell’esempio riportato sopra per ottenere:
lim xx = e0 = 1
x→0+
48
Capitolo 8. Limiti
8.0.11
Limiti notevoli
1 n
=e
lim 1 +
n→∞
n
+∞
1
lim an =
n→∞
0
non esiste
se
se
se
se
a>1
a=1
−1<a<1
a ≤ −1
1
lim a n = 1 ∀a > 0
n→∞
lim
n→∞
√
n
n=1
(
−∞
lim loga (n) =
n→∞
+∞
se 0 < a < 1
se a > 1
nα
= 0+
∀α ∈ R
n→∞ en
(
0
se α > 0
ln(n)
lim
=
α
n→∞ n
+∞ se α ≤ 0
lim
nα
= 0 ∀α ∈ R
n→∞ n!
lim
nα
= 0 ∀α ∈ R
n→∞ nn
lim
lim
ln(n)
=0
en
lim
ln(n)
=0
n!
n→∞
n→∞
ln(n)
=0
n→∞ nn
lim
en
=0
n→∞ n!
lim
en
=0
n→∞ nn
lim
n!
=0
n→∞ nn
lim
Se (an )n∈N è una successione infinitesima, cioè se lim an = 0 allora valgono i seguenti limiti:
n→∞
sin(an )
=1
n→∞
an
lim
lim
n→∞
ln(1 + an )
=1
an
loga (1 + an )
1
=
n→∞
an
ln(a)
lim
∀a > 0, a 6= 1
49
ean − 1
=1
n→∞
an
lim
αan − 1
= ln(α) ∀α > 0
n→∞
an
lim
(1 + an )α − 1
= α ∀α ∈ R
n→∞
an
lim
1 − cos(an )
1
=
2
n→∞
(an )
2
lim
tan(an )
=1
n→∞
an
lim
lim
arcsin(an )
=1
an
lim
arctan(an )
=1
an
n→∞
n→∞
sinh(an )
=1
n→∞
an
lim
lim
1
cosh(an ) − 1
=
2
(an )
2
lim
tanh(an )
=1
an
n→∞
n→∞
