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3 Febbraio 2010 classe 5G
VERIFICA di MATEMATICA
Problema
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiano xOy siano assegnate le curve di equazione:
y=
ax + b
x2
2
a) Si determini quella che ha un flesso nel punto di coordinate 3; −
9
b) Si studi la funzione ottenuta al punto a) e se ne tracci il grafico.
c) Sull’arco di curva situato nel 1° quadrante si determini un punto T tale che la retta tangente in T alla
8
curva formi con gli assi cartesiani un triangolo di area
3
d) Si dimostri che se una funzione f(x) ha derivata negativa in un intervallo, allora la funzione è
decrescente nell’intervallo
Quesiti
1) Si enunci il teorema di Rolle. Si dica se tale teorema è applicabile alla funzione f ( x) =
x2 −1
x+4
nell’intervallo [− 1,1] e in caso affermativo si determini il punto c di cui si parla nella tesi.
x + sin x
calcolare, se esiste, il limite per x → +∞ e spiegare se il calcolo
x − cos x
può essere effettuato utilizzando il teorema di De l’Hospital.
2) Data la funzione f ( x) =
3) Calcolare la derivata della funzione f ( x) = arcsin x + arccos x . Quali conclusioni si possono trarre ?
Tracciare il grafico della funzione f (x) .
4) Si dimostri che la curva y = x sin x è tangente alla retta y = x quando sin x = 1 .
5) Data la funzione f ( x) = 1 + 2 ln x + e x −1 verificare che è invertibile in tutto il suo dominio e, detta
g(x) la sua inversa, trovare g’(2).
Verifica 3 febbraio 2010 5G
1
Soluzioni verifica del 3 febbraio 2010
Problema
In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiano xOy siano assegnate le curve di equazione:
y=
ax + b
x2
2
a) Si determini quella che ha un flesso nel punto di coordinate 3; −
9
Osserviamo che per determinare i due parametri a e b è necessario impostare due condizioni.
Ricordiamo che un flesso è un punto della funzione in cui si ha un cambio di concavità e in particolare, se
la funzione è derivabile due volte, nel punto di flesso la derivata seconda è nulla.
a b
a 2b
2a 6b
Derivando due volte si ottiene: y = + 2 y ' = − 2 − 3 e y ' ' = 3 + 4
x x
x
x
x
x
Le condizioni sono quindi:
2
3a + b
2
=−
f
(
3
)
=
−
a = −1
9
9
⇒
9 ⇒
b = 1
f ' ' (3) = 0
2a + 6b = 0
27 81
b) Si studi la funzione ottenuta al punto a) e se ne tracci il grafico.
1− x
y= 2
x
1+ x
f ( − x ) = 2 ≠ f ( x)
né pari né dispari
Dominio D = (− ∞;0) ∪ (0;+∞ )
x
≠ − f ( x)
Intersezioni e segno
0
1
x ≤1
1− x
≥0 ⇒
2
∀x ∈ D
x
+
Limiti
1− x
lim
x→±∞
2
x
1− x
∞
= F .I .
∞
lim
1− x
x→±∞
x
2
-
= lim
x→±∞
= +∞ x=0 asintoto verticale
x2
Derivata prima:
x−2
y' = 3
D' = D
x
x≥2
x−2
y' = 3 ≥ 0 ⇒
x>0
x
1
x=2 punto di minimo f (2) = − minimo
4
Derivata seconda
x≤3
6 − 2x
y' ' =
≥
0
⇒
∀x ∈ D
x4
lim
-
−x
x
2
= 0 m y=0 asintoto orizzontale
x →0
x=3 punto di flesso f (3) = −
Verifica 3 febbraio 2010 5G
2
9
0
2
0
∪
3
∪
∩
2
y
5
4
3
2
1
x
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
c) Sull’arco di curva situato nel 1° quadrante si determini un punto T tale che la retta tangente in T alla
8
A
curva formi con gli assi cartesiani un triangolo di area
8 y
3
1− k
7
Considero un generico punto T sulla curva T k ; 2 , dovendo essere nel primo
k
6
quadrante 0 < k ≤ 1 , il coefficiente angolare della retta tangente in tale è dato dalla
k −2
derivata, quindi m = 3 , quindi la retta tangente avrà equazione:
5
k
1− k k − 2
4
y = 2 + 3 ( x − k ) , tale retta incontra gli assi in A e B
k
k
3
x = 0
x = 0
⇒ A
2
1− k k − 2
3 − 2k
T
y = 2 + 3 (x − k)
y =
2
k
k
k
1
y = 0
y = 0
⇒ B
1− k k − 2
2k 2 − 3k
1
2
y
=
+
(
x
−
k
)
x
=
B
2
3
k
k
k −2
−1
8
L’area del triangolo posta uguale a permette di trovare le coordinate di T:
3
3 − 2k k/ (2k − 3)
⋅
8
(
3 − 2k )2 16
27
1
k −2
k 2/
= ⇒
=
risolvendo si ottiene: k =
non accettabile k = accettabile,
14
2
2
3
k (2 − k )
3
1
quindi T ;2
2
d) Si dimostri che se una funzione f(x) ha derivata negativa in un intervallo, allora la funzione è
decrescente nell’intervallo
(vedi teoria: corollario del teorema di Lagrange)
Verifica 3 febbraio 2010 5G
3
Quesito n. 1
Si enunci il teorema di Rolle. Si dica se tale teorema è applicabile alla funzione f ( x) =
x2 −1
x+4
nell’intervallo [− 1,1] e in caso affermativo si determini il punto c di cui si parla nella tesi.
(vedi teoria)
Verifica delle ipotesi del teorema di Rolle per f ( x) =
•
•
x2 −1
x+4
in [− 1,1]
f (−1) = f (1) = 0
Continuità: D = (− ∞;−4 ) ∪ (− 4;+∞ ) quindi in [− 1,1] f(x) è continua
x2 −1
x − 1 x + 4 se x ≤ −1 ∨ x ≥ 1
=
Derivabilità: per derivare il modulo è necessario discuterlo f ( x) =
x + 4 1 − x 2
x + 4 se − 1 < x < 1
x 2 + 8x + 1
se x < −1 ∨ x > 1
2
( x + 4)
in x = ±1 la funzione potrebbe non essere derivabile, ma per il
f ' ( x) =
2
− x − 8x − 1
se − 1 < x < 1
( x + 4) 2
teorema di Rolle è richiesta la derivabilità nell’intervallo aperto, quindi le ipotesi sono verificate
− x 2 − 8x − 1
Nell’intervallo (− 1;1) ci sarà quindi un punto stazionario, cioè f ' =
=0
( x + 4) 2
2
•
x = −4 − 15 ∉ (− 1;1)
x = −4 + 15 ∈ (− 1;1)
Quesito n. 2
x + sin x
calcolare, se esiste, il limite per x → +∞ e spiegare se il calcolo può
x − cos x
essere effettuato utilizzando il teorema di De l’Hospital.
x + sin x + ∞
=
F .I . , considerando gli infiniti di ordine maggiore si può scrivere
lim
+ ∞
x→+∞ x − cos x
x + sin x ∼ x
f ( x) =
=1
x − cos x x→+∞ x
Data la funzione f ( x) =
+ ∞
Il teorema di De L’Hospital permette di risolvere forme di indecisione del tipo
solo se esiste il limite
+ ∞
1 + cos x
del rapporto tra le derivate, poiché però lim
non esiste, il teorema non può essere utilizzato.
x→+∞ 1 + sin x
Quesito n. 3
Calcolare la derivata della funzione f ( x) = arcsin x + arccos x . Quali conclusioni si possono trarre ?
Tracciare il grafico della funzione f (x) .
1
1
Utilizzando le regole di derivazione: f ' ( x) =
−
=0
1− x2
1− x2
Verifica 3 febbraio 2010 5G
4
π
Poiché il dominio della funzione f(x) è [− 1,1] , cioè un intervallo, si
può concludere per il corollario del teorema di Lagrange che la
funzione f(x) è costante nel suo dominio. La costante può essere
determinata sostituendo un valore qualunque al posto della x, per
π
esempio f (0) = arcsin 0 + arccos 0 = ¸quindi si avrà in grafico
2
seguente:
y
3π/4
π/2
π/4
x
−1
1
2
Quesito n. 4
Si dimostri che la curva y = x sin x è tangente alla retta y = x quando sin x = 1 .
Si tratta di dimostrare che in tutti i punti in cui sin x = 1 , la retta tangente alla funzione y = x sin x è
y = x.
y
π
Osserviamo che sin x = 1 ⇒ x = + 2kπ e che
2
π
π
f ( + 2kπ) = + 2kπ
2
2
Ricordiamo che il coefficiente angolare della retta
tangente ad una funzione in un suo punto è dato
dalla derivata prima in quel punto, cioè
π
y ' = sin x + x cos x e f ' ( + 2kπ) = 1
−15π/2
−5π
−5π/2
5π/2
5π
2
L’equazione della retta tangente nel punto generico
π
π
P( + 2kπ; + 2kπ) è quindi:(da
2
2
y = y 0 + m( x − x0 ) )
π
π
y = + 2kπ + 1( x − − 2kπ) cioè y = x come si
2
2
voleva dimostrare.
x
15π/2
Quesito n. 5
Data la funzione f ( x) = 1 + 2 ln x + e x −1 verificare che è invertibile in tutto il suo dominio e, detta g(x) la
sua inversa, trovare g’(2).
D = (0;+∞ )
6
2
f ' ( x) = + e x −1 nel dominio, la derivata è sempre
5
x
4
positiva, quindi la funzione è monotona crescente, di
conseguenza iniettiva e dunque invertibile.
3
Detto P( x0 ; y 0 ) un punto appartenente alla funzione f e
y
di conseguenza P' ( y 0 ; x0 ) appartenente alla funzione g,
1
il teorema dell’inversa dice che g ' ( y 0 ) =
.
f ' ( x0 )
Osservando che P(1; 2) ∈ f si avrà che
1
1
g ' ( 2) =
=
f ' (1) 3
2
1
x
−1
1
2
3
4
5
6
7
−1
−2
−3
Verifica 3 febbraio 2010 5G
5
8
