Ottica Lineare

Capitolo 1
Richiami di ottica lineare
Per trattare le applicazioni di materiali organici in optoelettronica e fotonica
è necessario richiamare delle conoscenze di base nel campo dell’elettromagnetismo classico ed in quello di più recente sviluppo dell’ottica nonlineare. Nel
corso del presente capitolo richiameremo i concetti fondamentali dell’ottica
classica per definire il formalismo all’interno del quale tratteremo gli argomenti.
Il formalismo quello poi utilizzato nel capitolo 3 riguardante l’ottica nonlineare
del secondo e del terzo ordine
1.1 Equazioni di Maxwell e propagazione per onde
Nel ricavare le leggi di propagazione della radiazione luminosa nei mezzi
materiali possiamo partire dalle equazioni di Maxwell:
G
G G ∂D
rot H = J +
∂t
G
G
∂B
rot E = −
∂t
G
div D = ρ
G
div B = 0
(1.1.1)
(1.1.2)
(1.1.3)
(1.1.4)
G G
G G
G
in cui J ( r ,t ) è la densità corrente, ρ (r , t ) è la densità di carica libera, E (r , t )
F.Michelotti - Applicazione di materiali organici in fotonica
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G G
ed H (r , t ) sono i vettori rispettivamente del campo elettrico e del campo
G G
G G
magnetico, D(r , t ) e B (r , t ) sono i vettori dei campi induzione elettrica e
magnetica. Ad esse si aggiungono le relazioni costitutive, che descrivono la
risposta del mezzo alle perturbazioni elettromagnetiche:
G
G G
D = ε0 ⋅ E + P
G
G G
B = µ0 ⋅ ( H + M ) ,
(1.1.5)
(1.1.6)
G G
G G
dove P (r , t ) e M ( r ,t ) descrivono rispettivamente la polarizzazione elettrica e
la magnetizzazione del mezzo (momento di dipolo elettrico o magnetico indotto
per unità di volume), ε 0 e µ 0 sono le permeabilità elettrica e magnetica del
vuoto. Nel seguito si considereranno mezzi amagnetici, per i quali il vettore di
→
G
G
polarizzazione magnetica M è nullo e B = µ 0 H .
E’ ben noto che dalle equazioni (1.1.1)-(1.1.4) è possibile ricavare
l’equazione di D’Alembert, che regola la propagazione delle onde
elettromagnetiche nei mezzi materiali. Nel caso di un mezzo omogeneo ed
G G
G
isotropo ed in assenza di cariche libere ( ρ (r , t ) = 0 ) e correnti ( J ( r , t ) = 0 )
possiamo applicare l’operatore rotore alla (1.1.2) ed ottenere:
G
G
∂B
rot rot E = − rot
∂t
ovvero:
G
G
G
∂
rot H
− ∇ 2 E + grad div E = − µ 0
∂t
(1.1.7)
(1.1.8)
dove ∇ 2 è l’operatore di Laplace. Sostituendo nella (1.1.8), a destra la (1.1.1) ed
a sinistra l’espressione:
G
G
1
div ( E ) = −
div P
ε0
(1.1.9)
G
ottenuta dalla (1.1.3) imponendo ρ (r , t ) = 0 , si ha:
G 1
G
G K
∂2
−∇ E −
grad div P = − µ 0 2 (ε 0 E + P ) .
ε0
∂t
2
(1.1.10)
G
Applicando la condizione di omogeneità del mezzo, per cui div P = 0 , e
riordinando i termini si giunge alla equazione d’onda non omogenea in forma
Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare
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classica:
G
K
2
G
∂
E
∂2P
2
∇ E − µ 0ε 0
= µ0 2 .
∂t 2
∂t
(1.1.11)
Nel caso in cui il mezzo sia il vuoto la polarizzazione è ovviamente nulla e
l’equazione diventa omogenea:
G
2
G
∂
E
=0
∇ 2 E − µ 0ε 0
∂t 2
,
(1.1.12)
e prevede che le onde si propaghino con velocità pari a c = 1
ε 0 µ0 .
Nel caso di un mezzo dielettrico omogeneo qualsiasi, l’equazione non
omogenea (1.1.11) mostra come la polarizzazione indotta nel mezzo agisca come
termine di sorgente. Essa dà luogo ad irraggiamento di campo elettromagnetico,
che si sovrappone a quello di eccitazione, modificandolo, e la cui ampiezza e
sfasamento dipendono dalle proprietà del mezzo. Sfruttando la condizione di
isotropia generalmente in elettromagnetismo classico si approssima la
dipendenza della polarizzazione dal campo elettrico con una relazione lineare:
G
G
P = ε0 ⋅ χ ⋅ E
(1.1.13)
dove per il momento che la suscettività dielettrica lineare χ sia reale. Si ha
quindi:
G
G
G
∂2E
∂2E
∇ E − µ 0ε 0 2 = µ 0ε 0 χ 2
∂t
∂t
2
(1.1.14)
ovvero:
G
2
G
∂
E
∇ 2 E − µ 0 ε 0 (1 + χ ) 2 = 0
∂t
,
(1.1.15)
che mostra che la propagazione avviene analogamente al caso del vuoto qualora
si consideri che la costante dielettrica del mezzo vale:
ε = ε 0 (1 + χ ) = ε 0 ε r
.
(1.1.16)
Si definiscono allora le costanti secondarie v ed n che, nel caso di mezzi
omogenei isotropi e non dispersivi. sono date da:
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v=
ω
k
=
1
µε
1
=
µ 0ε 0
n = ε r ⋅ µr ≅ ε r =
⋅
1
µrε r
ε
,
εo
=
c
n
(1.1.17)
(1.1.18)
dove k è la costante di propagazione, v è la velocità di fase dell’onda,
indipendente dalla direzione di k , ω è la pulsazione dell’onda, ε r e µ r sono la
costante dielettrica e la permeabilità magnetica relative ed n è l’indice di
rifrazione del mezzo.
Nel caso in cui un materiale dielettrico sia assorbente, da un punto di vista
formale risulta conveniente descrivere l'assorbimento aggiungendo all'indice di
rifrazione una componente immaginaria, detta coefficiente di estinzione, che sarà
in generale funzione di punto. L’indice di rifrazione sarà quindi rappresentato
dalla grandezza complessa:
G
G
G
n~( r ) = n r ( r ) + jni ( r )
(1.1.19)
dove i pedici r e i denotano la parte reale e immaginaria dell'indice di rifrazione.
G
Spesso il coefficiente di estinzione viene indicato con la lettera greca κ ( r ) .
Si fa spesso uso del coefficiente di attenuazione di potenza [1.1], definito
come la frazione della potenza assorbita per unità di lunghezza:
G
G
α (r ) = 2k 0 ni (r )
(1.1.20)
Il coefficiente di attenuazione di potenza viene introdotto considerando un sottile
fascio di raggi che si propagano lungo la direzione z e di potenza P(z);
introduciamo il coefficiente α(z) di un raggio tramite la relazione:
α (z )
dP(z )
=−
dz
P(z )
(1.1.21)
Tale relazione stabilisce che la potenza dP persa in un tratto di lunghezza dz é
proporzionale alla potenza stessa tramite il coefficiente α; poiché P decresce con
la propagazione, dP/dz é negativo, perciò α sarà positivo. Quindi α(z) é il tasso
di perdita di energia per unità di lunghezza. Integrando, la potenza in ogni
posizione é data in funzione della potenza iniziale P0:
z
P(z ) = P0 e
∫0
− α ( z' )dz'
(1.1.22)
Nel caso particolare in cui il coefficiente di attenuazione di potenza sia costante
Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare
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lungo la struttura guidante, la formula si semplifica nella
P(z ) = P0 e −αz
(1.1.23)
1.2 Anisotropia ottica
In alcuni mezzi non è più possibile fare l’ipotesi ordinaria che essi,
attraversati dalla radiazione luminosa, si comportino in modo isotropo. In molti
casi è la struttura stessa del materiale a determinare un comportamento
otticamente anisotropo, altre volte, la presenza di campi elettrici o magnetici,
oppure la presenza di sforzi meccanici, può indurre anisotropia in un materiale
isotropo o alterare le caratteristiche di un materiale già intrinsecamente
anisotropo. Ciò influisce radicalmente sulla propagazione della radiazione
luminosa, dando luogo a fenomeni di carattere tensoriale. In generale con
anisotropia si intende, la dipendenza della risposta dalla direzione della
sollecitazione.
Per dare una prima schematica descrizione dell’anisotropia, possiamo
utilizzare il modello elementare di sistema anisotropo dell’oscillatore armonico
bidimensionale di figura 1.1. Una massa m è vincolata da due coppie di molle
disposte su assi ortogonali, le cui costanti elastiche siano diverse. Ne segue che
se applichiamo una forza di fissata intensità lungo la direzione orizzontale e poi
la stessa forza, in intensità, lungo quella verticale, osserveremo degli spostamenti
diversi della massa perché le molle sull’orizzontale hanno una costante elastica
diversa di quelle sulla verticale.
G
Supponiamo, ora, di applicare una forza F come in figura 1.1; essa causa
G
uno spostamento S che non avviene lungo la stessa direzione, poiché il rapporto
G
tra le componenti orizzontale e verticale di S non è uguale all’analogo rapporto
G
per la F . La risposta del sistema può quindi non avere la stessa direzione della
sollecitazione.
Si vedrà, ora, quali siano le conseguenze dell’anisotropia sulle proprietà
F
S
m
Figura 1.1
F.Michelotti - Applicazione di materiali organici in fotonica
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ottiche di un materiale. La risposta di un materiale sottoposto all’azione di campi
elettro-magnetici può essere descritta, con un semplice modello introdotto da
Lorentz, schematizzando il materiale come un insieme di elettroni legati
elasticamente a certe posizioni di riposo. Se si studia il comportamento di tali
elettroni sotto l’effetto del campo elettro-magnetico si trova che l’effetto
fondamentale è quello legato al campo elettrico; ne segue che si trascureranno le
azioni magnetiche (forza di Lorentz) e ci si riferirà al solo aspetto elettrico.
Nel caso in cui la struttura del materiale presenti anisotropia, ogni elettrone
viene schematizzato come un oscillatore armonico anisotropo simile a quello in
figura 1.1 ma in tre dimensioni. Esistono anisotropie intrinseche del materiale,
dovute ad esempio alla struttura microscopica del materiale (es. polimeri
organici polati o stirati), e anisotropie indotte che si possono ottenere ad esempio
sottoponendo il materiale ad un forte campo elettrostatico o ad una forte
compressione. Qualunque sia l’origine della anisotropia, la sua presenza ci
costringe a trattare il legame tra il campo elettrico e il vettore intensità di
G
polarizzazione P con relazioni tensoriali.
Come abbiamo ricordato nel paragrafo 1.1, nel caso isotropo la polarizzazione
indotta è parallela al campo elettrico ed è legata ad esso per mezzo di un fattore
scalare che è indipendente dalla direzione di applicazione del campo. Essendo
G
G G
G
G
poi D = ε 0 ⋅ E + P si può scrivere D = ε ⋅ E . Nel caso anisotropo bisogna
riscrivere la relazione (1.1.13) in forma tensoriale:
Pi = ε 0 ⋅ χ ij ⋅ E j
con
i , j = x, y , z .
(1.2.1)
Le grandezze χ ij sono le componenti del tensore simmetrico della
suscettività dielettrica, rispetto ad una terna di assi cartesiani x, y, z ; il pedice i
indica la componente relativa al campo indotto, j la componente di quello
dell’onda che si propaga. Per l’induzione elettrica, in modo più compatto si può
scrivere:
G
G
D = ε ⋅E
(1.2.2)
dove ε è il tensore dielettrico, avendo supposto trascurabili gli effetti nonlineari
che verranno trattati in seguito.
Per materiali privi di assorbimento e di attività ottica, si trova che esistono
tre direzioni privilegiate tali che scegliendo gli assi coordinati x,y,z
parallelamente ad esse il tensore dielettrico si diagonalizza ottenendo:
 Dx  ε x

 
 Dy  =  0
D   0
 z 
0
εy
0
0   Ex 
 
0  Ey  .
ε z   E z 
(1.2.3)
Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare
13
dove x,y,z definiscono il sistema degli assi principali ed ε x , ε y e ε z sono dette
costanti dielettriche principali. L’anisotropia si manifesta quando le grandezze
ε x , ε y e ε z non sono tutte uguali fra loro. D’ora in poi si farà l’ipotesi che gli
assi coordinati coincidano con gli assi dielettrici principali. Va notato che, come
per i materiali isotropi, anche per quelli anisotropi esistono dei fenomeni di
dispersione per cui l’equazione (1.2.3) si riferisce al regime monocromatico. Le
costanti dielettriche dipendono dalla frequenza del campo ed in generale dipende
da essa anche la direzione degli assi dielettrici principali. Quest’ultimo fenomeno
è detto dispersione degli assi [1.1].
Esistono anche materiali anisotropi dal punto di vista magnetico, che però
non sono di nostro interesse. Si considereranno quindi mezzi per i quali
G
G
l’intensità del campo magnetico H e l’induzione B sono collineari.
Accanto alle costanti dielettriche principali introduciamo le velocità
principali di fase v x , v y e v z e gli indici di rifrazione principali nx, ny ed nz,
definiti in analogia al caso isotropo dalle relazioni:
vα =
1
εα µ0
nα = ε rα ,
(1.2.4)
(1.2.5)
dove α = x , y , z , avendo indicato con ε rα le costanti dielettriche. Tutte le
grandezze che abbiamo definito sono caratteristiche del mezzo e responsabili
dell’anisotropia. Avere, quindi, delle costanti dielettriche diverse a seconda delle
componenti del campo elettrico significa osservare velocità di fase distinte a
seconda della polarizzazione del campo elettrico.
I materiali anisotropi si dividono in due categorie. La prima è quella dei
mezzi uniassici. In essi due delle costanti dielettriche principali, ad esempio ε x
e ε y , sono uguali; l’asse z in questo caso coincide con l’asse ottico, essendo essa
la direzione di propagazione lungo la quale un onda elettromagnetica vede
sempre gli stessi indici di rifrazione qualunque sia la sua polarizzazione. La
seconda è quello dei cristalli biassici. In essi le tre costanti dielettriche principali
sono tutte diverse fra di loro, in questo caso si può verificare che si hanno due
assi ottici. Naturalmente nel caso in cui ε x = ε y = ε z si torna al caso di un
materiale isotropo.
Esempio – Doppia rifrazione
Descriviamo ora uno degli effetti che l’anisotropia può produrre nella
propagazione di un’onda. Ci si riferisce alla rifrazione di un onda piana
F.Michelotti - Applicazione di materiali organici in fotonica
14
monocromatica attraverso una superficie di separazione piana fra un mezzo
isotropo ed uno anisotropo.
Si consideri il caso in cui un’onda provenga da un mezzo isotropo e incida
ortogonalmente sulla superficie di un mezzo anisotropo. Si suppone che il piano
di figura 1.2 (ortogonale alla superficie di separazione) coincida con quello degli
assi dielettrici principali x e z e che il vettore spostamento associato all’onda
incidente Di oscilli in tale piano.
Figura 1.2
G
D
all’interno del mezzo anisotropo è
Si vede facilmente che il vettore
K
parallelo a Di. Le componenti di E lungo gli assi coordinati si ottengono da
G
quelle di D tramite la (1.2.3):
Ex =
Dx
εx
;
Ey = 0 ;
Ez =
Dz
εz
;
(1.2.6)
G
K
essendo ε x ≠ ε z il vettore E non è collineare a D . Si può calcolare facilmente
G
K
l’angolo β fra D ed E [1.1], ottenendo:
tg (β ) =
(ε z − ε x ) ⋅ tg (γ )
ε z + ε x ⋅ tg 2 (γ )
.
(1.2.7)
Sappiamo che in un mezzo anisotropo l’energia elettromagnetica si propaga
G G G
nella direzione del vettore di Poynting S = E × H . Data l’isotropia magnetica
G
del materiale, il campo H nel secondo mezzo è diretto ortogonalmente al piano
della figura (così come nel primo mezzo). Perciò il vettore di Poynting forma un
angolo con la normale. Non vale, dunque, la legge di Snell-Cartesio. Il raggio
rifratto viene detto straordinario. Supponiamo invece che Di sia diretto
Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare
15
G
ortogonalmente al piano di figura 1.2 il vettore D entro il materiale anisotropo è
G
K
diretto lungo uno degli a.d.p.(l’asse y) e quindi E è parallelo a D . Il vettore di
Poynting è diretto lungo la normale alla superficie di separazione. Il raggio
rifratto procede come previsto nella legge di Snell-Cartesio è viene detto raggio
ordinario. In generale se il vettore Di non è diretto né parallelamente né
ortogonalmente al piano di figura, lo si può scomporre in due componenti
(parallela e ortogonale al piano di figura) che come già visto nei due casi
precedenti produrranno due onde piane con vettori di Poynting differenti. Quello
che si osserva, dunque, è che pur incidendo un solo raggio luminoso, nel mezzo
se ne propagano due, uno ordinario ed uno straordinario, come mostrato in figura
1.3.
Figura 1.3
Per il raggio ordinario si ottiene semplicemente:
1
v=
µ ⋅ε y
(1.2.8)
kx = ω ⋅ µ ⋅ε y .
(1.2.9)
Per il raggio straordinario la velocità di fase dipende da una combinazione
di ε x e ε z dipendendo dall’angolo formato tra il vettore di propagazione e
l’asse z. Per tale raggio si ha un indice di rifrazione [1.1]:
n(γ ) =
nz ⋅ nx
nx2 ⋅ cos 2 (γ ) + nz2 ⋅ sin 2 (γ )
(1.2.10)
dalla quale si possono ricavare le altre costanti.
Il caso appena visto è quello della doppia rifrazione di un’onda piana da un
mezzo isotropo verso un mezzo anisotropo, la quale procedendo con una certa
polarizzazione può scindersi in due onde piane con stato di polarizzazione
differente. Questo è un fenomeno importante che si verifica nei mezzi anisotropi
F.Michelotti - Applicazione di materiali organici in fotonica
16
e mostra che in essi non possono propagarsi onde piane arbitrariamente scelte ma
solo alcune di esse.
1.3 Ellissoide degli indici
Nello studio della propagazione di un’onda elettromagnetica in un
materiale anisotropo conveniente utilizzare la rappresentazione del mezzo
mediante l’ellissoide degli indici. Questo approccio di tipo geometrico nasce
dalla definizione di una funzione che contiene tutte le informazioni necessarie
allo studio dei materiali anisotropi. Sfruttando l’ellissoide degli indici [1.1] è
K
possibile trovare per ogni direzione di k , direzione di propagazione dell’onda, le
G
direzioni consentite per D ed i corrispondenti indici di rifrazione.
L’equazione dell’ellissoide degli indici può essere scritta nel seguente
modo [1.1]:
x2 y 2 z 2
+
+
=1
n x2 n 2y n z2
.
(1.3.1)
L’ellissoide ha gli assi coincidenti con gli assi dielettrici principali ed nx, ny, e nz
sono gli indici di rifrazione relativi essi. Riportiamo in figura 1.4 la sua
rappresentazione grafica.
z
nz
G
k
nx
n2
ny
n1
x
Figura 1.4
y
Capitolo 1 - Richiami di ottica lineare
17
Per ricavare il valore degli indici di rifrazione che un’onda piana
esperimenta nel propagarsi nel mezzo, dato l’ellissoide degli indici, è sufficiente
G
che si applichi nell’origine degli assi il vettore di propagazione k e si calcoli la
direzione e la lunghezza dei semiassi dell’ellisse ottenuta come intersezione tra
G
l’ellissoide ed il piano passante per l’origine ed ortogonale a k . Le direzioni dei
G
due semiassi forniscono le due possibili direzioni di oscillazione del vettore D ,
mentre le lunghezze di tali semiassi rappresentano i corrispondenti indici di
rifrazione n1 ed n2.
Nel caso dei mezzi uniassici, in cui nx = ny ≠ nz, l’ellissoide e’ una
superficie di rivoluzione, con asse di simmetria lungo z, a sezione circolare. Se in
G
tale mezzo si fa propagare un’onda con il vettore k diretto lungo z, i due
semiassi del cerchio divengono uguali, quindi e’ consentito qualunque stato di
G
polarizzazione ortogonale a k . La direzione z e’ dunque una direzione
particolare a cui si da’ il nome di asse ottico. Nei mezzi uniassici esiste cosi’ un
solo asse ottico (da cui il nome uniassici) ed il valore comune nx = ny = no e’
detto indice ordinario, mentre nz = ne si dice indice straordinario.
Estendendo tale trattazione al caso dei materiali biassici, nei quali nx≠ny≠nz,
mediante considerazioni geometriche si trova che per essi esistono due assi ottici.
Questi sono caratterizzati dal fatto che quando un’onda piana ha il vettore d’onda
G
k diretto lungo uno di tali assi, l’ellisse di intersezione degenera in un cerchio.
G
Come conseguenza, il vettore D per tale onda può essere orientato
G
arbitrariamente nel piano ortogonale a k .
Esempio - Lamine di ritardo
Una conseguenza della anisotropia dielettrica è il fenomeno della
birifrangenza ottica, nel quale la velocità di fase di un onda che si propaga in un
materiale anisotropo dipende dalla direzione di polarizzazione del suo campo
elettrico. Un esempio di applicazione della birifrangenza si ha con le lamine di
ritardo. Con riferimento alla figura 1.5, si consideri una lamina parallelepipeda di
un materiale birifrangente avente gli assi dielettrici principali orientati
parallelamente agli spigoli. In generale basta supporre che gli indici nx ny siano
diversi tra loro; nel caso in cui sia n x > n y l’asse x viene detto “lento” mentre
l’asse y “veloce”. Supponiamo che un’onda piana monocromatica polarizzata
G
linearmente ed individuata dal vettore D incida ortogonalmente alla lamina.
Scomponendo tale vettore nelle componenti lungo gli assi x e y si ha che ogni
componente vede un indice di rifrazione diverso; ciò provoca uno sfasamento tra
le due componenti pari a:
∆ϕ =
2π ⋅ d
λ
(n x
− n
y
).
(1.3.2)
18
F.Michelotti - Applicazione di materiali organici in fotonica
Figura 1.5
dove d è lo spessore della lamina e λ è la lunghezza d’onda. A seconda dello
sfasamento introdotto abbiamo diversi tipi di lamine. Ad esempio una lamina che
introduca uno sfasamento tra le due componenti di π / 2 viene detta a λ / 4 e
trasforma la polarizzazione lineare di un fascio ottico in circolare. Una lamina a
λ / 2 ruota la polarizzazione dell’onda di 90°.
Riferimenti bibliografici
1.1. E.Hecht, Optics, Addison Wesley Publishing Company, 3rd edition, 1997
M.Born, E.Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, 1975
J.D.Jackson, Elettrodinamica classica, Zanichelli, 1984