SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
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SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Definizione di Sistema
Sistema:
Da un punto di vista fisico e’ un dispositivo che modifica un segnale x(t), detto
ingresso, generando il segnale y(t), detto uscita.
Da un punto di vista formale il segnale d’ingresso x(t) viene “manipolato” tramite
un generico operatore matematico indicato con O[.]. Il risultato delle operazioni
matematiche eseguite sull’ingresso e’ il segnale d’uscita y(t).
Schema a blocchi
x(t)
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Sistema
O[ x(t) ]
y(t)
SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI)
Lineare: l’uscita generata dalla combinazione lineare di due o piu’ ingressi e’
uguale alla combinazione lineare delle uscite generate dai singoli ingressi
y1(t)=O[x1(t)]
y2(t)=O[x2(t)]
Sistema Lineare
ax1(t)+bx2(t)
ay1(t)+by2(t)
O[ax1(t)+bx2(t)]=a O[x1(t)]+b O[x2(t)]
Tempo Invariante: l’uscita generata da un segnale ritardato e’ uguale all’uscita
generata dal segnale originale ritardata.
y(t)=O[x(t)]
Sistema Tempo Invariante
x(t−τ)
O[x(t− τ)]
y(t−τ)
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SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Risposta all’impulso
Risposta all’impulso: e’ l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ l’impulso.
Viene solitamente indicata con il simbolo h(t)
h(t ) = O[δ (t )]
δ(t)
Sistema
O[δ(t) ]
h(t)
Se il sistema e’ tempo-invariante, la forma della risposta all’impulso non dipende
dall’istante in cui si applica l’impulso. Quando l’ingresso e’ un impulso anticipato o
ritardato l’uscita e’ uguale ad h(t) anticipata o ritardata:
h(t − τ ) = O[δ (t − τ )]
Se il sistema e’ anche lineare, nota la risposta all’impulso, e’ possibile calcolare
l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ una qualsiasi combinazione lineare d’impulsi:
O[aδ (t ) + bδ (t − τ 1 ) + cδ (t − τ 2 )] = a h (t ) + b h (t − τ 1 ) + c h (t − τ 2 )
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SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Rappresentazione dei segnali come combinazione
lineare di impulsi
Un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere rappresentato come somma integrale di
impulsi riratdati e pesati
∞
∞
−∞
−∞
x (t ) =
∫ x (τ ) δ (τ − t ) d τ = ∫ x (τ ) δ (t − τ ) d τ
2
1
δ (t − τ )
x (t )
0
-2
t
x(τ )δ (t − τ )
-1
-200
-100
0
100
200
τ=50
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SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
La convoluzione
x(t) come somma
integrale di impulsi
pesati e ritardati
Sistema Lineare: uscita a una
combinaz. lineare di ingressi e’ la
comb. lineare delle singole uscite
⎡∞
⎤ ∞
y (t ) = O[x(t )] = O ⎢ ∫ x(τ ) δ (t − τ ) dτ ⎥ = ∫ x(τ ) O[δ (t − τ )]dτ =
⎣ −∞
⎦ −∞
=
∞
∞
−∞
−∞
∫ x(τ ) h(t − τ )dτ = ∫ h(τ ) x(t − τ )dτ = x(t ) ∗ h(t )
Sistema TI:
O[δ(t-τ)]=h(t-τ)
Cambio variabili
Integrale di convoluzione
(o semplicemente
convoluzione)
uscita = convoluzione tra ingresso e risposta all’impulso del sistema LTI
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Calcolo dell’integrale di convoluzione
∞
y(t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ
−∞
L’integrando x(τ ) h(t − τ ) e’ il prodotto tra il segnale x(τ) e la risposta all’impulso h(τ)
ribaltata in τ traslata di t (verso destra se t >0, verso sinistra se t <0)
x(τ )
x(τ )
τ
h(τ )
h(− τ )
τ
h(t1 − τ )
τ
τ
h(t2 − τ )
τ
t1
h(t3 − τ )
τ
τ
t2
t3
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SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Esempi di calcolo della convoluzione (1)
∞
x(t ) = rect(2t )
−∞
h(t ) = rect(t − 1/ 2)
y(t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ
x(t )
1
1
t
h(t )
t
-0.25
8
0.25
1
SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Integrando
Esempi di calcolo della convoluzione (2)
x(t ) = rect(2t )
x(τ )
Integrale
x(τ ) h(t − τ )
h(t ) = rect(t − 1/ 2)
∞
τ
−∞
t = -1/4
-0.25
h(− τ )
y(t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ
t=0
y(t)
1/2
h(t − τ )
0.25
t = +1/4
t = +1/2
9
1.25
t = +5/4
-0.25
t
t = +1
0.75
t = +3/4
0.25 0.5 0.75 1 1.25
SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Esempi di calcolo della convoluzione (3)
∞
x(t ) = h(t ) = rect(t )
y(t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ
−∞
x(t )
1
1
h(t )
t
t
-0.5
10
0.5
SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Integrando
Esempi di calcolo della convoluzione (4)
x(τ ) x(t ) = h(t ) = rect(t )
Integrale
x(τ ) h(t − τ )
τ
∞
y(t ) = ∫ x(τ ) h(t − τ ) dτ
−∞
-1
t = -1
t = -2/3
h(t − τ )
y(t)
h(− τ )
t = -1/3
t=0
1
t
t = +1/3
t = +1/3
+1
t = +1
-1
-0.5
0.5
1
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SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Causalità dei Sistemi L.T.I. (1)
Definizione:
Un Sistema L.T.I. è detto causale se l’uscita y(t) per un t=t0, dipende dai valori
dell’ingresso x(t) solo per valori della variabile t≤t0.
La condizione di causalità è molto importante se la variabile indipendente è il
tempo: in questo caso un sistema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse
infatti il sistema sarebbe in grado di predire il futuro.
x(t)
Sistema
O[ x(t) ]
y(t)
Condizione da rispettare per garantire la causalità:
h(t ) = 0 per t < 0
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Causalità dei Sistemi L.T.I. (2)
Spesso utilizzeremo risposte all’impulso del tipo:
h(t)
t
Questa risposta all’impulso non è causale: puo’ essere resa causale attraverso
opportuni troncamenti (nel tempo, se h(t) si estende da -∞ a ∞) e ritardi.
h1(t)
t
Utilizzare h(t) invece che h1(t) significa trascurare i ritardi necessari a rendere
causale la risposta all’impulso.
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SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Effetti della convoluzione (filtro passa-basso)
x(t )
Le componenti del segnale rapidamente
varianti nel tempo (ad alta frequenza)
vengono eliminate dalla convoluzione
con una risposta all’impulso lentamente
variante nel tempo (filtro passa-basso)
t
Simbolo della convoluzione
y (t ) = x(t ) ∗ h(t )
h(t )
t
t
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SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Effetti della convoluzione (filtro passa-alto)
x(t )
Le componenti del segnale lentamente
varianti nel tempo (a bassa frequenza)
vengono eliminate dalla convoluzione
con una risposta all’impulso
rapidamente variante nel tempo (filtro
passa-alto)
t
Simbolo della convoluzione
y (t ) = x(t ) ∗ h(t )
h(t )
t
t
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SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI
Esercizi
1 - Dato il sistema LTI con risposta all’impulso h(t)=exp(-t/To)u(t), trovare l’uscita
y(t) quando l’ingresso x(t)= δ(t)+3δ(t- To)-2δ(t-2 To). Quanto vale y(To)?
2 - Dato il sistema LTI con risposta all’impulso h(t)= 3δ(t- To), trovare l’uscita y(t)
quando l’ingresso x(t)= 1+cos(2pt/ To). Quanto vale y(0)?
3 - Dato il sistema LTI con risposta all’impulso h(t) e ingresso x(t) di figura,
disegnare l’uscita y(t). Quanto vale y(1)?
x(t )
1
t
-1
h(t )
1
t
0.5
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