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Lezione 3:
IL PROCESSO DI MISURA
La misura in meccanica quantistica
- il principio di indeterminazione
- proprietà e osservabili quantistiche
Conseguenze estreme
- il concetto di entanglement
- il paradosso EPR
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Il principio di indeterminazione di Heisenberg
! Ricordiamo che secondo il dualismo onda/particella proposto da de Broglie, ad ogni
particella con momento p=mv è associata una lunghezza d’onda !:
λ=
h
p
Da questa relazione appare evidente che più cerchiamo di localizzare la “particelle”
in una regione dello spazio diminuendo la sua lunghezza d’onda, più deve essere
grande il momento, ovvero la velocità, della particella stessa (! e p sono inversamente
proporzionali).
! Immaginiamo ora di eseguire
il seguente esperimento, con il
quale vogliamo determinare la
posizione di un fotone:
E’ evidente che non abbiamo problemi a ridurre le ampiezze della fenditura, in modo
da determinare con la precisione desiderata sia la posizione lungo x che lungo y dei
fotoni che attraversano le due fenditure.
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! Misure simultanee di posizione e velocità
Ora vogliamo eseguire un esperimento per misurare sia la posizione x di un fotone che la
sua velocità vx nella medesima direzione.
Per misurare la posizione usiamo sempre una piccola fenditura:
L’intrinseca natura ondulatoria delle particelle quantistiche, fa sì che anche se la particella
ha una velocità vx=0 (la particella si sta muovendo orizzontalmente) prima
di raggiungere la fenditura, dopo la fenditura l’onda si sparpaglia (fenomeno della
diffrazione) a raggiera, raggiungendo lo schermo non necessariamente nel punto
esattamente di fronte alla fenditura. Questo vuol dire che la particella ha acquisito una
certa velocità nella direzione x, che varia da zero a un valore massimo che dipende da
quanto si è sparpagliata l’onda.
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A seguito di questo esperimento, quindi, noi conosciamo la posizione x della particella con
una incertezza "x=d (=dimensione della fenditura) e la velocità con una incertezza "vx.
Semplici calcoli di ottica mostrano che:
∆x ∆(mvx ) > h
Quindi: se vogliamo conoscere con estrema precisione la
posizione (velocità) della particella, diventa molto incerta la
misura della velocità (posizione).
Le due variabili posizione x e velocità vx non sono
simultaneamente misurabili con la precisione desiderata:
coppia di variabili incompatibili
La stessa cosa succede per altre coppie di variabili.
Ad esempio la misura di polarizzazione verticale e a 45o sono incompatibili:
se facciamo passare un fotone attraverso un filtro con asse verticale, il fotone si
polarizza verticalmente e ora non abbiamo più nessuna informazione riguardo il fatto
che possa attraversare un filtro a 45o (può passare o meno con probabilità 1/2).
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! Il principio di indeterminazione
La natura ondulatoria della materia ha come conseguenza anche il fatto che la coppia
�
di variabili
E (energia) sono incompatibili.
t
(tempo)
Questo può essere visto considerando il seguente
esperimento, in cui un treno di onde molto esteso
monocromatico (di frequenza #) viene inviato verso
una singola fenditura che rimane aperta solo per un
certo intervallo di tempo "t: l’onda che supera la
fenditura è quindi spazialmente limitata, occupando
uno spazio dato circa da "x= c "t. Un tale tipo di onda
si ottiene solo sovrapponendo onde più lunghezze
d’onda e più esattamente onde con frequenze comprese
in un intervallo ∆ν ≥ 1/∆t .
Tenendo conto che: E = h # si ricava la relazione:
Fig. 7.5 p. 142
∆E∆t ≥ h
Non posso quindi misurare simultaneamente con la
precisione desiderata l’istante in cui avviene un evento e
la sua energia.
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! Il principio di indeterminazione
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La formulazione concettuale della teoria quantistica porta
a concludere che esistono coppie di osservabili, A e B, per
cui vale la relazione
∆A∆B ≥ h
Ogni tentativo di misurare la quantità A (B) con maggiore precisione introduce
maggiore incertezza nella misura dell’altra quantità B (A).
Esse non posso quindi essere misurate simultaneamente con precisione arbitraria.
Come per l’aleatorietà, questo non è un limite derivante
dalla nostra incapacità di fare misure più precise, ma
imposto dalla struttura concettuale stessa della teoria.
N.B. notiamo che questo implica anche l’ordine con cui si eseguono due misure (prima
A poi B oppure prima B poi A) influenza il riultato della misura. Questo fatto è legato al
fatto che, contrariamente a quanto succede in fisica classica, due osservabili qualunque
non commutano tra loro.
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! Breve nota storica
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Gli aspetti sperimentali e concettuali che abbiamo discusso sino ad ora sono ben
conosciuti e discussi già dagli anni immediatamente seguenti la formulazione della
meccanica quantistica ondulatoria di Schroedinger (1926) e quella delle matrici di
Heisenberg (1925).
A quei tempi erano oramai completamente accettate le nozioni di:
- dualismo onda/particella
- discretizzazione dei processi naturali
e molto si discuteva sul significato di:
- aleatorità dei processi microscopici
- principio di indeterminazione
Un’ampia maggioranza dei fisici che si occupavano di teoria quantistica, era oramai
persuasa anche dell’intrinseca natura non deterministica del mondo microscopico,
con Einstein maggiore rappresentante invece di coloro che sostenevano che la teoria
era ancora incompleta:
<<La meccanica quantistica è degna di ogni rispetto, ma una voce interiore mi dice che non è
ancora la soluzione giusta. È una teoria che ci dice molte cose, ma non ci fa penetrare più a
fondo il segreto del Grande Vecchio. In ogni caso sono convinto che Egli non gioca a dadi con
il mondo.>>
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Il processo di misura
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Ci occupiamo ora di descrivere con più attenzione cosa succede in meccanica
quantistica durante il processo di misura di una qualunque osservabile fisica
(posizione, velocità, energia, ...).
N.B. Non distingueremo il concetto di “misurare” da quello di “osservare”: intendendo
che osservare implica un’interazione con l’oggetto che vogliamo studiare, così come si
ha durante un processo di misura con uno strumento.
☞ In fisica classica, ci sono due assunzioni fondamentali che sono alla base di
qualunque processo di misura:
- uno strumento di misura influenza e altera lo stato del sistema che stiamo studiando,
ma possiamo rendere questa perturbazione piccola a piacere;
- almeno in linea teorica, siamo in grado di calcolare, e quindi prevedere a priori sia
qualitativamente che quantitativamente, tale perturbazione e quindi di stabilire come
possiamo aumentare la precisione delle nostre misure.
Esempio: quando misuriamo la temperatura del nostro corpo con un termometro a
mercurio, il corpo cede parte del suo calore al mercurio sino a quando i due oggetti
sono alla stessa temperatura; in questo modo la temperatura misurata sarà
leggermente più bassa di quella effettiva che aveva il corpo prima della misura, ma
possiamo rendere questo errore piccolo a piacere.
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☞ In fisica quantistica, questo non accade:
- sia perchè il principio di indeterminazione di Heisenberg pone dei limiti intrinseci alla
precisione di coppie di misure;
- sia perchè quando determino con precisione lo stato di un sistema (e per una singola
variabile lo posso fare), lo perturbo così tanto da alterarne profondamente lo stato.
Riprendiamo in considerazione un sistema che ha, da un punto di vista classico, due
possibili stati . Denoteremo tali stati con:
|0� e |1�
Tali stati sono distinti dal fatto che esiste una osservabile fisica Ô che posso misurare e tale
che assume due valori diversi a seconda di quale stato si trova il sistema: ad esempio
possiamo assumere che tale misura valga:
-1 se il sistema è nello stato |0>
+1 se il sistema è nello stato |1>
Come esempio possiamo pensare a un fotone
con i due stati di polarizzazione:
|O>=|0> e |V>=||1>.
L’apparecchio di misura consiste di un filtro
polarizzatore verticale e da una una scala di
misura su cui la lancetta segna -1 se il fotone
non passa e +1 se il fotone passa.
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Lo stato fisico più generale è dato da una sovrapposizione
|S� = a|0� + b|1�
dove i coefficienti sono da interpretare in senso probabilistico: se il sistema si trova in tale
stato c’è una probabilità p = |a|2 che l’osservabile Ô misuri −1 .
−
p+ = |b|2
+1
Supponiamo di fare una misura ottenendo il valore +1 (il fotone passa dal filtro verticale):
dopo la misura abbiamo una probabilità 1 (certezza) che il sistema sarà nello stato
corrispondente, ovvero |1> (nell’esempio, il fotone ora è polarizzato verticale).
L’atto di misura modifica drasticamente lo stato del sistema:
prima della misura esso è in |S>, dopo in |1> o |0> a
seconda che l’esito della misura sia stato +1 o -1:
si parla di collasso dello stato (della funzione d’onda).
È evidente quindi che in meccanica quantistica un processo di misura/osservazione
non è “neutrale” ma influenza irrimediabilmente il sistema.
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! Si pongono piuttosto naturalmente alcune domande, seppur di carattere filosofico:
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- il processo di misura può darci informazioni oggettive, indipendenti dall’osservatore,
sul sistema?
- possiamo attribuire una valore di realtà alla descrizione quantistica o essa è solo
un’immagine che si può fare un osservatore?
Le posizioni dei vari scienziati che nella prima metà del XX secolo hanno lavorato in
meccanica quantistica sono molto articolate.
☞ “L’Ortodossia” (Scuola di Copenhagen)
Bohr: <<Non esiste un mondo quantistico. C’è solo una descrizione fisica astratta.
È sbagliato pensare che sia compito della fisica scoprire come è fatta la natura.
La fisica riguarda ciò che si può dire della natura.>>
Heisenberg: <<Negli esperimenti su processi atomici noi abbiamo a che fare con cose e fatti, con
fenomeni che sono altrettanto reali di qualsiasi fenomeno della vita quotidiana.
Ma gli atomi e le particelle elementari non sono altrettanto reali; essi formano un
mondo di potenzialità o possibilità piuttosto che uno di cose e fatti.>>
Pauli: <<Non si dovrebbe tormentare il proprio cervello con il problema se qualcosa di cui non si
può sapere nulla esita, più di quanto si debba fare circa l’antica questione di quanti
angeli stiano sulla punta di uno spillo. Ma a me pare che le domande di Einstein di fatto
siano tutte di questo tipo.>>
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☞ “La Critica”
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de Broglie: <<Le teorie statistiche nascondono una realtà completamente determinata e
accertabile dietro alcune variabili che eludono le nostre tecniche sperimentali.>>
Schroedinger: <<Se veramente dovremo avere a che fare con questi maledetti salti quantici,
devo rammaricarmi di essermi lasciato coinvolgere nell’elaborazione della
teoria quantistica.>>
<<Una volta che riusciremo a superare la nostra radicata predilezione per la
causalità assoluta, riusciremo a superare le difficoltà.>>
Einstein: <<La faccenda della causalità tormenta molto anche me. ... Devo confessare che mi
manca qui il coraggio di una convinzione, tuttavia mi dispiacerbbe moltissimo dover
rinunciare alla causalità assoluta.>>
<<Riconosco che nell’impostazione statistica vi è un notevole contenuto di verità. Ma
non posso credere seriamente in essa, perchè la teoria che ne deriva è incompatibile
con il principio che la fisica debba fornire la rappresentazione di una realtà nel
tempo e nello spazio, senza fantomatici effetti a distanza.>>
<<... io credo in una legge completa e nell’ordine, in un mondo che esiste
oggettivamente che io, in un modo selvaggiamente speculativo, sto tentando di
catturare. Lo credo fermamente e spero che qualcuno scoprirà un modo più
realistico o piuttosto una base più tangibile di ciò che è stato mia sorte fare.>>
☞ Cosa ne pensano gli scienziati oggi?
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L’entanglement
Questa proprietà del mondo quantistico è quella che forse in maniera più evidente e
sorprendente cattura la diversità (e inconciliabilità) con una descrizione classica.
La sua descrizione porta ad esaminare sino alle sue estreme conseguenze la “nuova
logica” e la conseguenti “strutture matematiche” che ne derivano: ammette una
descrizione matematica rigorosa e quindi non può essere messa in discussione, se non
rifiutando le premesse logiche. Porta tuttavia a diversi problemi di tipo interpretativo.
! Stati separabili
Vogliamo descrivere lo stato di un sistema composto da due sottosistemi indipendenti, per
esempio due fotoni, che indicheremo con A e B.
Supponiamo inoltre che ciascuno di essi sia descritto in termini di due possibili “stati
classici” che denotiamo con:
|0�A , |1�A e |0�B , |1�B
Il fatto che i due sottosistemi siano indipendenti l’uno dall’altro significa che possiamo
immaginare che esistano due sperimentatori:
Alice che può effettuare misure dell’osservabile Ô solo sul sottosistema A
e Bob che può effettuare misure dell’osservabile Ô solo sul sottosistema B
senza fare nulla sull’altro sottosistema.
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Sono esempi di stati del sistema totale:
|00� = |0�A |0�B
|01� = |0�A |1�B
|10� = |1�A |0�B
|11� = |1�A |1�B
dove il primo stato indica che entrambi i sottosistemi sono nello stato |0> (nell’esempio,
entrambi i fotoni sono polarizzati orizzontalmente).
Tali stati vengono detti separabili, in quanto ciascuno dei
due fotoni è in uno stato definito e si comporta in maniera
indipendente dall’altro.
Altro esempi di stati separabili sono:
�
�
1
1
√ |0�A + √ |1�A |1�B
2
2
�
��
�
1
1
1
1
√ |0�A + √ |1�A
√ |0�B + √ |1�B
2
2
2
2
che corrispondono, nell’esempio, al caso in cui il fotone A è polarizzato a 45o e il fotone B
è polarizzato verticalmente al caso in cui entrambi sono polarizzati a 45o .
.
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! Stati entangled (annodati, intrecciati)
I due sistemi A e B possono anche stare in una sovrapposizione di due stati (del
sistema completo), del tipo:
1
1
√ |0�A |1�B + √ |1�A |0�B
2
2
che è uno stato in cui la coppia dei fotoni ha probabilità diversa da zero (1/2) di essere
nello stato in cui A è polarizzato orizzontale e B verticale e viceversa.
Uno stato di questo tipo è detto entangled, ed ha la
proprietà che in esso i due fotoni non sono indipendenti.
Per vedere questo possiamo pensare al seguente esperimento:
supponiamo che Alice esegua una misura dell’osservabile Ô, che ricordiamo, vale
-1 se il fotone A è nello stato |0>
+1 se il fotone A è nello stato |1>
C’è una probabilità pari a 1/2 che l’esito della misura di Alice sia -1 (o +1) e, dopo la
misura lo stato del fotone A è collassato in |0>A (o |1>A).
D’altra parte, lo stato iniziale era una sovrapposizione di uno stato in cui, se il fotone A
è in |0>A (|1>A), il fotone B è necessariamente in |1>B (|0>B).
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Dopo la misura effettuata da Alice, il sistema totale si trova allora in uno degli stati:
|0�A |1�B
oppure
|1�A |0�B
se Alice ha misurato
−1
oppure
+1
Supponiamo che Alice sapesse sin dall’inizio solo che i due fotoni avevano polarizzazioni
opposte. Dopo la sua misura, che non interagisce con B, Alice sa ora con certezza lo stato del
sottosistema B.
Se lo stato del sistema totale è entangled, uno sperimentatore
può ottenere maggiori informazioni su uno dei due
sottosistemi anche solo facendo osservazioni sull’altro.
Osservazioni.
- Non ha importanza quanto vicini o lontani siano A e B: l’effetto è non-locale.
- La misura di A influenza istantaneamente anche lo stato di B, ovunque esso si trovi:
sembra ci sia un’azione a distanza tra i due sottosistemi.
- Ciò nonostante, questo esperimento non viola la legge di causalità relativistica, secondo la
quale nulla (neppure l’informazione) può viaggiare più veloce della luce, perchè Bob non
sa in che stato il fotone B in suo possesso si trova sino a quando Alice non glielo comunica
(per es. con una lettera, una telefonata, un e-mail, ... = canale di comunizione classico).
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! Spettacolo di magia
Una coppia di maghi, Alice e Bob, esegue il seguente spettacolo di magia:
- Alice e Bob vengono chiusi in due cabine separate, dalle quali non possono comunicare;
- due persone del pubblico scelgono a caso una busta ciascuno tra due set di 3 buste su
cui è scritto un numero (1,2,3) e le consegnano una ad Alice, una a Bob;
- Alice e Bob guardano il numero e scrivono sulla busta SÌ o NO a scelta, circa con uguale
probabilità (ovvero Sì o No nel 50% dei casi);
- infine, tutte le volte che ad Alice e Bob sono state consegnate buste con lo stesso
numero, un assistente esterno le ritira e mostra al pubblico le risposte.
La magia consiste nel fatto che si ha che Alice e Bob danno la stessa risposta (S/N) tutte le volte
che ricevono buste che portano lo stesso numero (per ogni numero c’è circa un 50% di S/N).
Possibili spiegazioni:
" Alice e Bob sono telepatici.
" Alice e Bob si sono accordati per dare una precisa risposta se la busta riporta un certo
numero: ad esempio 1=S, 2=N, 3=N. Per evitare che questo trucco sia facilmente
smascherato, questa regola cambia di volta in volta (ad esempio per la seconda busta si
usa 1=N, 2=N, 3=S, per la terza 1=S, 2=S, 3=N, ...) in modo che allo stesso numero non
corrisponda sempre la stessa risposta.
... c’è una terza possibilità ...
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" Alice e Bob usano un esperimento di meccanica quantistica per decidere se scrivere S/N:
essi eseguono una misura su una coppia di fotoni entangled A e B che si trovano nello
1
stato: 1
√ |0�A |1�B + √ |1�A |0�B
2
2
utilizzando uno strumento che misura l’osservabile Ô = -1 se il fotone è nello stato |0>
+1 se il fotone è nello stato |1>;
Alice scrive SÌ (NO) se misura -1 (+1) e viceversa Bob scrive SÌ (NO) se misura +1 (-1).
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# Quando questo spettacolo viene fatto in una sala della Residenza del Collegio Superiore,
uno studente nel pubblico si alza e chiede di poter vedere anche le risposte date da Alice e
Bob nel caso in cui le due buste recavano numeri diversi.
Dopo avere osservato le risposte dichiarano di sapere quale “trucco” è stato usato. ʐ
Ma come ha fatto?
" Se Alice e Bob si sono accordati sulla sequenza (variabile) di risposte da dare, la
probabilità che le risposte coincidano anche quando i due numeri sono uguali è
4/9 (provare a verificarlo) e quella che non coincidano è 5/9.
" Se Alice e Bob usano l’esperimento di meccanica quantistica descritto sopra, in tutti i
casi le due risposte saranno coincidenti, poichè con la misura lo stato dei fotoni
entangled collassa sempre in uno stato in cui i due fotoni hanno polarizzazione diversa.
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