Programma di esame - e-Learning

Programma del corso di Analisi Matematica per
Informatica 2014/15
17 dicembre 2014
Per i teoremi elencati in grassetto è richiesta la conoscenza della dimostrazione.
1
Numeri reali
Numeri naturali, interi, razionali.
Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme ordinato.
Numeri reali.
Rappresentazione decimale (cenni).
Intervalli di R e intorni di un punto.
2
Successioni
Successioni, successioni limitate, successioni monotone.
Definizione di limite per una successione.
Teoremi di unicità del limite, della permanenza del segno, di esistenza del limite per successioni monotone, del confronto. Criterio
del rapporto per successioni.
Algebra dei limiti. Forme di indecisione.
Successioni definite per ricorrenza.
Limiti delle successioni elementari.
Simboli di asintotico e o piccolo.
Definizione del numero di Nepero e, e limiti che si deducono da e.
Infiniti ed infinitesimi e loro confronto.
3
Serie numeriche
Definizione di serie convergente, divergente e irregolare.
Condizione necessaria di Cauchy per la convergenza di una serie.
Serie geometrica, serie di Mengoli, serie armonica.
Regolarità delle serie a termini non negativi.
Criteri del confronto, del confronto asintotico, della radice, del
rapporto.
Definizione di serie assolutamente convergente.
La convergenza assoluta di una serie implica la convergenza.
Criterio di Leibniz per serie a termini di segno alterno.
1
4
Funzioni di una variabile reale
Definizione di funzione crescente, monotona, limitata, biunivoca; punti di massimo e minimo relativo; funzione inversa.
Definizione di limite. Limite da destra e da sinistra.
Limite di una funzione e limite lungo successioni.
Algebra dei limiti.
Teorema del confronto.
Esistenza del limite per funzioni monotone.
Definizione di funzione continua.
Operazioni sulle funzioni continue.
Teorema di Weierstrass.
Teorema dello zero.
Punti di discontinuità: definizioni ed esempi.
5
Derivate
Definizione di derivata.
La derivabilità implica la continuità.
Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari.
Punti di non derivabilità: definizioni ed esempi.
Teoremi di Rolle, Lagrange.
Teoremi di Cauchy e De L’Hôpital.
Relazione tra derivata e monotonia; teorema di Fermat.
Formula di Taylor, con resto in forma di Peano e di Lagrange.
Convessità e concavità; caratterizzazione per funzioni derivabili due volte.
Punti di flesso.
Studi di funzione.
6
Primitive
Definizione di primitiva.
Calcolo di primitive; linearità, integrazione per parti, per sostituzione.
Integrazione di funzioni razionali fratte.
Alcune sostituzioni notevoli.
7
Integrale di Riemann
Partizione di un intervallo.
Definizione di somma inferiore e superiore di una funzione rispetto a una
partizione.
Definizione di funzione integrabile e integrale definito. Proprietà dell’integrale.
Integrabilità delle funzioni monotone; integrabilità delle funzioni continue.
Teorema della media integrale per una funzione continua.
Definizione di funzione integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: Parte I, Parte II.
2