Teorema di Dirichlet

Teorema di Dirichlet: una nostra nuova possibile
dimostrazione con le forme 6k + 1 dei numeri primi
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show a n our possible proof of Dirichlet ‘s Theorem
with arithmetical forms 6k + l of prime numbers
Riassunto
In questo lavoro tentiamo una nostra dimostrazione del Teorema di
Dirichlet con le forme aritmetiche 6k + 1 dei numeri primi, con
qualche nuova osservazione e riferimenti finali a nostri lavori
precedenti sull’argomento (formule per trovare numeri primi)
Il Teorema di Dirichlet riguarda, com’è noto, serie infinite di numeri
primi di forma aritmetica particolare. Dopo la sua parziale definizione
da parte di Wikipedia, tentiamo una nostra dimostrazione tramite
le due forme numeriche dei numeri primi, 6k + 1 (tranne il 2 e il 3
iniziali, che fanno eccezione essendo di forma diversa, rispettivamente
6k + 2 e 6k + 3 per k = 0).
Parzialmente da Wikipedia:
1
Teorema di Dirichlet
Nella teoria dei numeri, il teorema di Dirichlet afferma che dati due numeri interi coprimi a e b,
esistono infiniti primi della forma a + nb, dove b > 0 (n ∈ N), o, in altre parole, ogni progressione
aritmetica siffatta contiene infiniti numeri primi.
Questo teorema rappresenta una naturale generalizzazione di quanto affermato da Euclide, e cioè
che esistono infiniti numeri primi (ciò infatti rappresenta il caso particolare in cui a = b = 1). In
effetti, è in genere piuttosto facile dimostrare casi particolari di questo teorema (ad esempio che
esistono infiniti primi della forma 4n + 1, o 4n + 3, o 6n + 5, etc), ma il caso generale presenta
invece parecchie difficoltà. È importante osservare che il teorema non dice affatto che esistono
infiniti numeri primi consecutivi in progressione aritmetica. Eulero affermò che ogni progressione
aritmetica che cominci con 1 contiene un infinito numero di primi. Il teorema in questa forma fu
prima congetturato da Gauss e dimostrato da Dirichlet nel 1835 con le L-serie di Dirichlet. La
dimostrazione è modellata sul precedente lavoro di Eulero che collegava la funzione zeta di
Riemann alla distribuzione dei numeri primi. Il teorema rappresenta l'inizio della moderna teoria dei
numeri analitica.
Nella teoria dei numeri algebrica il teorema di Dirichlet viene generalizzato al teorema di densità di
Chebotarev.
...
Casi particolari
Esistono delle dimostrazioni elementari per numerosi casi particolari del teorema, che si ottengono
sulla falsariga della dimostrazione dell'infinità dei numeri primi data da Euclide.
Primi della forma
Supponiamo per assurdo che esistano solo un numero finito di primi della forma
più grande di essi. Consideriamo il seguente intero:
, e sia il
dove il prodotto contiene tutti i numeri primi dispari minori o uguali a p. è un numero della
forma
, ed essendo
, deve essere composto. Tutti i suoi fattori sono inoltre
[1]
maggiori di e, quindi, devono essere della forma
. Ma il prodotto di due o più numeri di
questa forma è ancora della forma
. Ciò conduce ad un assurdo, pertanto esistono infiniti
numeri primi della forma
.
2
Primi della forma
Sia
un intero. Poniamo
il più piccolo divisore primo di
allora
, e inoltre
. Poiché
; è quindi dispari e maggiore di 1. Chiamiamo
non è divisibile per nessuno dei numeri 2, 3, ..., ,
Eleviamo entrambi i membri all'esponente
:
Per il teorema di Fermat,
, quindi
Questa congruenza è evidentemente soddisfatta solo se
. In definitiva, per ogni
numeri di questa forma sono dunque infiniti.
esiste un primo
.
è pari, e quindi
della forma
.I
Altri casi particolari
Si possono fornire delle dimostrazioni semplici per molti altri casi, come le forme
,
,
,
,
,
,
,
,
; con tecniche
elementari, uno dei risultati più generali noti è che esistono infiniti numeri primi nelle progressioni
aritmetiche delle forme
e
, ossia i casi particolari del teorema di Dirichlet in cui
e
.”
...
Per il resto si rimanda a Wikipedia.
L’evidenza in rosso è nostra per indicare l’argomento di questa
nostra dimostrazione, basata sulle forme 6n -1 e 6n +1 dei numeri
primi, poiché ci sembrano le più adatte al nostro scopo rispetto scopo
rispetto alle altre forme. Premettiamo che in tutti i casi si ottengono
serie infinite di numeri primi non consecutivi, come sottoinsieme della
serie infinita di tutti i numeri primi consecutivi, poiché sappiamo che
un sottoinsieme di un insieme infinito è anch’esso infinito. Per esempio
tutti i numeri sono infiniti, i numeri pari e i numeri dispari ne sono
3
due sottoinsiemi, ma sono anch’essi infiniti...
Nel caso dei numeri primi e del teorema di Dirichlet, premettiamo che
è comprensibile come, al crescere del numero primo di base, del suo
multiplo e del numero aggiunto, e cioè p*a + b, crescono anche gli
intervalli consecutivi tra un primo trovato e quello successivo, per cui
la maggiore frequenza di numeri primi nella serie considerata si ha
con p = 3 , con a piccoli ma dispari (affinché il prodotto a*b sia
anch’esso dispari, e (a = 2, 3, 4, 5, ecc.) e b = 2, 4, 6 pari affinché la
somma p*a + b sia anch’essa dispari e quindi potenzialmente numero
primo.
Breve tabella come esempio pratico per p = 3 :
Tabella 1
p
b =2
p*a + 2
3
a = numeri
naturali dispari
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
...
3
5
7
9
11
13
15
17
19
...
2
2
2
2
2
2
2
2
2
...
3*1+2 = 5
primo
11 primo
17 primo
23 primo
29 primo
35 composto
41 primo
47 primo
51 primo
59 composto
...
Come possiamo notare, con p = 3, a = numeri dispari e b = 2,
4
otteniamo una serie infinita di numeri non consecutivi di forma 6k -1
e composti , per es. 35 e 59, anch’essi di forma 6k -1 . Se invece
proviamo con b = 4, otteniamo numeri primi di forma 6k +1 e
numeri composti della stessa forma. Ecco quindi una certa importanza
delle forme 6k -1 e 6 k +1 nel teorema di Dirichlet, ma anche le altre
forme potrebbero avere risultati simili.
Tabella 2
p
b =4
p*a + 4
3
a = numeri
naturali dispari
1
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
...
3
5
7
9
11
13
15
17
19
...
4
4
4
4
4
4
4
4
4
...
3*1+4 = 7
primo
13 primo
19 primo
25 composto
31 primo
37 composto
43 primo
49 composto
53 primo
61 composto
...
Se invece poniamo b = 6, che è un multiplo di p = 3, otteniamo tutti
multipli di 3:
5
Tabella 3
p
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
...
a = numeri
naturali dispari
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
...
b=6
p*a + 6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
...
9
15
21
27
33
39
45
51
57
63
...
b, quindi, non deve essere multiplo di p . Vedremo se con altri numeri
primi maggiori si verifica lo stesso fenomeno. Per esempio, con 5, che
ora è di forma 6k – 1, per k = 1, e 6*1 - 1 = 5
Tabella 4
p
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
...
a = numeri
naturali dispari
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
...
b=2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
...
6
p*a +2 =
5*a +2
7 primo 6k+1
17 primo 6k -1
27 composto
37 primo 6k +1
47 primo 6k -1
57 composto
67 primo
77compos. 6k -1
87 composto
97 primo 6k +1
...
Ora invece abbiamo numeri primi di entrambe le forme 6k -1 e 6k +1,
e numeri composti, alcuni multipli di 3, come 27, 57, 87. o multipli di
7 come 77, o di numeri primi più grandi, , ecc.
Se b è multiplo pari 5, es. 20, avremmo per esempio, per b = 7
5 *7 + 20 = 35 + 20 = 55 anch’esso multiplo di 5, e come tutti gli alti
numeri della relativa tabella, proprio come avveniva per p =3 e b
multiplo di 3.
Tabella 5 limitata ai primi cinque valori.
p
a = numeri
naturali dispari
b = 20
5
5
5
5
5
...
1
3
5
7
9
...
20
20
20
20
20
...
p*a + 20 =
5*a +20
Tutti composti e
multipli di 5
25
35
45
55
65
Ma, circa la parità di b, può valere anche per il contrario, e cioè
a numeri naturali pari, e b numeri dispari. Un solo esempio con la
Tabella 6 per p = 3, a pari e b dispari
7
Tabella 6
p
3
3
3
3
3
3
a = numeri
naturali pari
2
4
6
8
10
12
b=5
5
5
5
5
5
5
p*a + 5
3*a +5
11 primo
17 primo
23 primo
29 primo
35 composto
41 primo
3
14
5
47 primo
3
16
5
53 primo
3
18
5
59 primo
3
...
20
...
5
...
65 composto
...
Ora invece otteniamo numeri primi di forma 6k -1, e numeri
composti pure di forma 6k -1
Quindi lo stesso si verifica, come si potrebbe facilmente controllare,
con tutti gli altri numeri primi p di entrambe le forme e a pari o
dispari e b dispari o pari, ma mai ovviamente insieme b pari e dispari
In ogni caso si ottengono serie infinite di numeri primi non consecutivi,
e sempre meno numerosi al crescere di p, a e b , poiché gli intervalli
tra i numeri finali successivi p*a + b sono sempre più grandi e i
8
numeri primi “saltati” sono sempre di più, e quindi quelli che
appaiono nell’ultima colonna (serie numeriche di Dirichlet, che
comprendono anche i numeri composti oltre ai numeri primi) delle
relative tabelle sono proporzionalmente sempre di meno.
Noi aggiungiamo anche la variante aritmetica “opposta “ alla
formula di Dirichlet, e cioè
p *a – b
purché b sia minore di p*a, altrimenti si ricade nei numeri negativi,
che complicano le cose.
Una sola tabella come esempio sottrattivo, la Tabella 2 con p*a – b,
anziché p*a + b .
Tabella 2
p
b=4
p*a - 4
3
a = numeri
naturali dispari
1
4
3
3
3
3
3
3
3
3
3
...
3
5
7
9
11
13
15
17
19
...
4
4
4
4
4
4
4
4
4
...
-1 eccezione
iniziale:
p > p*a - 4
5 primo
11 primo
17 primo
23 primo
29 primo
35 composto
41 primo
47 primo
53 primo
9
Otteniamo una serie di primi e composti di forma 6 k – 1 , così per le
tutte le tabelle aritmeticamente opposte (sottrattive anziché additive),
quindi la nostra estensione del teorema di Dirichlet alla sottrazione
funziona egualmente bene come la versione additiva nell’ottenere li
serie numeriche con infiniti numeri primi anche se non consecutivi.
Per ottenere numeri primi consecutivi, invece, si rimanda ai nostri
riferimenti finali 3 e 4 (versione in italiano e in inglese. In Rif. 2 ,
prima parte, ci sono nostri risultati sulla formula di Eulero, e sulle
quadruple di numeri primi.
Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che il Teorema di Dirichlet, pur con la
nostra nuova e semplice dimostrazione e l’estensione alla versione
sottrattivi, dà serie infinite di numeri primi, sebbene non consecutivi, e
quindi di poca utilità pratica. Sono meglio le forme 6k -1 e 6k +1,
senza prodotti, aggiunte ne sottrazioni , e che danno numeri primi
consecutivi di entrambe le forme, sebbene separatamente. Basterebbe
intercalarli, per avere la lista completa dei numeri primi (tranne
soltanto il 2 e il 3 iniziali) e i loro prodotti e potenze.
Una nostra idea in merito è in Rif. 3 e 4, che qui riassumiamo in
10
breve, tramite una serie di somme successive:
1+4+2+4+2+4+2+4 ....all’infinito
Infatti :
1+4=5=6-1
1+4+2=7=6+ 1
1 + 4 + 2 + 4 = 11 = 6*2 - 1
1 + 4 + 2 + 4 + 2 =13 = 6*2 + 1
1 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 =17 =6*3 - 1
1 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4 + 2 = 19 = 6*3 + 1
...
In Rif. 3, al quale rimandiamo c’è anche il modo per eliminare i
numeri composti e lasciare i soli numeri primi. Un nuovo metodo,
quindi, migliore del teorema di Dirichlet e affini (formula di Eulero,
ecc.).
Infine, qualcuno pensa , forse frettolosamente, che una eventuale
dimostrazione dell’ipotesi di Riemann potrebbe dare una lista dei
numeri primi, e questo potrebbe aiutare una fattorizzazione più veloce
in grado perfino di violare la crittografia RSA. Secondo noi una tale
dimostrazione non darebbe nessuna delle due cose, come indicato nella
11
Nota 1 finale del Rif. 5, ma ancora in via di pubblicazione,
probabilmente entro questo anno
Riferimenti
(sul nostro sito, salvo diversa indicazione)
1) Wikipedia, “Teorema di Dirichlet”
2) “QUADRUPLE DI NUMERI PRIMI TRAMITE
LE FORME 6K + 1 E LORO INFINITA’ ”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
(parte prima, dedicata alla formula di Eulero)
Dal quale riportiamo il brano riguardante la formula di Eulero per
ottenere numeri primi:
“...Comunque, si tratta della famosa formula di Eulero
X^2 + x + 41, dove x^2 + x è la somma dei primi x numeri pari
consecutivi, con x = √x^2 +x parte intera.
Per esempio per 30 abbiamo √30 = 5,47, parte intera 5, e 30 è
proprio la somma dei primi 5 numeri pari: 2+4+6+8+10 =30 =
doppio del numero triangolare 15.
Infatti tutti i numeri uguali a x^2+x sono di forma 2T, con T =
numeri triangolari (seconda diagonale del Triangolo di Tartaglia)
ma anche di forma n(n-1), ed essendo T = n(n-1) /2
(combinazione di due elementi in matematica combinatoria)
12
Nel caso di p=17, 17^2 = 289, e 289 – (2p -2) = 289 - 32 = 257 =
ultima somma precedente a 289. Come volevasi dimostrare: la seri
e di numeri primi finisce sempre col numero 2n = 2p – 4, ma con
2p - 2 abbiamo sempre un numero composto. Ma p deve essere
sempre di forma 6k - 1, per poter partire da n = 2, poichè per 6k +1
abbiamo già 6k +1 +2 = 6k + 3 multiplo di 3 e quindi composto.
Esempio per p = 11:
...
La sequenza si arresta a 121, poichè il numero pari 22 =11*2 - 2 =
20 = 2p -2
Con tale formula, applicata a p = 11, si ottengono i nove (= 11-2 =p
-2) numeri primi: 13 17 23 31 41 53 67 83 101 (diff.: 4, 6, 8, 10, 12,
14, 16 e 18) mentre i sedici numeri primi (maggiori di 11) saltati
sono:
19 29 37 43 47 59 61 71 73 79 89 97 103 107 109 113
In totale abbiamo 30 numeri primi fino a 113 e 30 – 9 - 16 = 5
numeri primi minori di 13 e cioè 2, 3, 5, 7, 11, che non sono
compresi in quelli prodotti dalla formula. “
( I numeri primi gemelli sono divisi singolarmente tra le due serie,
tranne le coppie intere 59 e 61, 71 e 73, 107 e 109 nel
la seconda serie).
Anche nell’esempio precedente, per p = 17, abbiamo 15 = 17 - 2 = p
- 2 primi, e i numeri saltati maggiori di 17 sono 33 .
Conclusione: per avere la serie completa dei numeri
primi maggiori di p bisogna intercalare i numeri primi
ottenuti dalla formula con quelli saltati, che sono in numero
maggiore di quelli ottenuti 16 contro 9 per p = 11, 33 contro
17 per p = 17, con rapporto sempre a favore dei
secondi (16/9 = 1,77; 33/15= 2,2)
In particolare, i numeri ottenuti sono sempre p- 2, mentre i
numeri saltati maggiori di p sono all’incirca
π(p + 2n) - ( p - 2) , con n = p + 1....”
13
Come vediamo, anche con la formula di Eulero, oltre che col teorema
di Dirichlet, molti numeri primi vengono saltati.
Questo però non avviene nel Rif. 3 seguente, al quale rimandiamo.
3)”REGOLA UNIVERSALE PER TROVARE TUTTI I NUMERI
PRIMI “
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli,, Francesco Di Noto
4) “UNIVERSAL RULE TO FIND ALL THE PRIME NUMBERS”
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto
Sul sito empslocal.ex.ac.uk/people/.../nardelli2013d.pdf
5) “CALCOLO DEL NUMERO DI NUMERI PRIMI π(x)
APPLICANDO LA SERIE ARMONICA”
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Con, parzialmente, il brano finale della Nota 1 finale:
NOTA 1
Sull’accenno al conteggio dei numeri primi, a B. Riemann e alle possibili
conseguenze dell’ipotesi di Riemann.
Nella 4° di copertina del libro di John Derbishire, leggiamo che:
“ Nell’agosto 1859 Bernhard Riemann, matematico giovane e ancora poco
noto, presentò all’accademia di Berlino un articolo intitolato Sul numero dei
14
primi minori di una certa grandezza . In quella circostanza discusse pr la
prima volta l’ipotesi che prende il suo nome è passata alla storia come uno
di più famosi problemi irrisolti della matematica. Dimostrare questa ipotesi
permetterebbe di trovare una formula per generare l’elenco dei numeri primi,
cosa che avrebbe conseguenze fondamentali non solo per la scienza
matematica, ma anche per la fisica quantistica e per la sicurezza
informatica...”
Nostro commento
Siamo d’accordo per le conseguenze in matematica e fisica quantistica,
ma non per la sicurezza informatica. Abbiamo già elenchi lunghissimi di
numeri primi, che però non aiutano affatto eventuali violazioni della
crittografia RSA basata sui numeri primi e numeri RSA come prodotti
di due numeri primi lunghi qualche centinaio di cifre. Occorrerebbero
elenchi di coppie di numeri primi, come per esempio le coppie di numeri
primi gemelli, le coppie di Goldbach o dei numeri di Sophie - Germain,
ecc. con rispettivi rapporti r = q/p di circa 1, variabile tra 1 e 2,25, e di
circa 2. Escludiamo i prodotti tra di due numeri gemelli, facilmente
fattorizzabili con l’algoritmo di Fermat a ritroso, e i prodotti di due
numeri di Sophie - Germain, poiché ad un rapporto r di circa 2
corrisponde una percentuale di p rispetto ad n = √N pari a circa il 70%
di n, e quindi anch’esso facilmente fattorizzabili. ....”
15