programma di matematica

PROGRAMMA DI MATEMATICA
LICEO DELLA COMUNICAZIONE
INDICE
UNITA’ 1
•
Equazioni di primo grado in un incognita………………………………......p.2
UNITA’ 2
•
Il piano cartesiano……………………………………………….……...…..p.4
UNITA’ 3
•
Equazioni di primo grado in due incognite………………………………...p.9
UNITA’ 4
•
Disequazioni di primo grado e sistemi di disequazioni lineari…………….p.10
UNITA’ 5
•
La retta……………………………………………………………………..p.11
UNITA’ 6
•
Le coniche e la circonferenza……………………………………………...p.13
UNITA’ 7
•
La parabola…………………………………………………………….…..p.15
UNITA’ 1
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO IN UN INCOGNITA
Le equazioni
Definizione di identità
Es. (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
proviamo a sostituire al valore il numero 3, ma va bene qualsiasi valore di
otteniamo:
,
(3 + 2) 2 = 32 + 4·3 + 4
52 = 9 + 12 + 4
25 = 25
Identità: è un'espressione letterale verificata per qualsiasi valore che io do
all'incognita.
Definizione di equazione
5x = 25 equazione di 1° grado ad una incognita
Quando un'uguaglianza non è verificata per qualsiasi valore che do alla x ma solo per
un valore allora avrò una equazione. Il grado dell'equazione è dato dal valore più alto
fra gli esponenti della stessa incognita.
5x + y = 1 equazione di 1° grado a due incognite
Esempio:
Per risolvere un'equazione di 1° grado ad una incognita devo trovare quell'unico
valore numerico dell'incognita che soddisfa l'equazione.
Calcolo il m.c.m. tra 7 e 5 = 35
Elimino il denominatore grazie al 2° principio di equivalenza: moltiplicando o
dividendo entrambi i membri di un'equazione per una stessa quantità (diversa da 0) si
ottiene un'equazione equivalente alla data. Ottengo:
5(3x – 1) – 7(2x – 4) = 35
15x – 5 – 14x + 28 = 35
Grazie al 1° principio di equivalenza posso trasportare i singoli componenti
dell'equazione da una parte all'altra dell'uguale cambiandoli di segno. 1° principio di
equivalenza: addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di un'equazione la
stessa quantità si ottiene un'equazione equivalente alla data.
(15x – 5 – 14x + 28) + 5 – 28 = (35) + 5 – 28
15x – 14x = 35 + 5 – 28
x = 12 Radice o soluzione dell'equazione
Nota: Termini uguali con lo stesso segno da parti diverse si annullando direttamente
es.:
Equazioni letterali di 1° grado
Esempio: ax + 4c = b – 2x
Importante: la prima cosa da fare è distinguere tra incognita e parametri. L'equazione
va risolta rispetto all'incognita in funzione dei parametri, trattando questi come
numeri noti. In questo caso l'incognita è x. Si portano i monomi contenenti l'incognita
al primo membro, e gli altri al secondo
ax + 2x = b – 4c
Utilizziamo ora la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione
(a + 2)x = b – 4c
e dividendo per (a + 2)
In questo caso dobbiamo sempre supporre a ≠ 2. La dizione correttà è:
è la radice della nostra equazione per a ≠ 2
UNITA’ 2
IL PIANO CARTESIANO
Le coordinate cartesiane
Il piano cartesiano è un sistema di riferimento utilizzato per lo studio della geometria
analitica.
Come prerequisito per i ragazzi necessaria la conoscenza dei numeri relativi.
Il suo principio è molto semplice e per meglio spiegarlo ai ragazzi si consiglia di
ricorrere al gioco della battaglia navale, in cui i ragazzi inconsapevolmente utilizzano
lo stesso principio per individuare dei punti.
Siano date due rette perpendicolari fra loro. Il punto in cui si incrociano si chiama
origine e viene indicato con la lettera O. All’estremo superiore e all’estremo di destra
si disegna una freccia per indicare il verso (vedremo poi cosa significa), la lettera Y
per quello verticale e la lettera X per quello orizzontale (vedi Fig. 1) .
Fig. 1
Y
Asse delle ordinate
2° quadrante
1° quadrante
O
X
asse delle ascisse
3° quadrante
4° quadrante
L’asse orizzontale è chiamato asse delle ascisse, quello verticale asse delle ordinate.
Le due rette dividono il piano in quattro quadranti denominati da 1 a 4 come
illustrato nella fig. 1.
I due assi hanno la particolarità di essere divisi in trattini uguali numerati a partire da
O. Il consiglio è di usare un foglio con i quadretti per facilitare l’operazione.
Sull’asse delle ascisse, a partire dalla destra di O, si scrivono i numeri positivi (fin
dove lo permette il disegno degli assi). A sinistra di O si scrivono i numeri negativi.
Ogni quadratino vale 1.
Per l’asse delle ordinate si procede allo stesso modo, con in numeri positivi verso
l’alto e quelli negativi verso il basso.
Anche in questo caso la Fig. 2 aiuta a capire in maniera semplice, anche se
disegnandola a mano sarà più comprensibile.
Y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
-1
O
1
2
3
4
5
X
-2
-3
-4
-5
Fig. 2
Prendiamo ora un punto A sul 1° quadrante. Tracciando le proiezioni
perpendicolarmente ai due assi andremo a fissare quelle che vengono chiamate
coordinate cartesiane di un punto. Supponiamo che le proiezioni incontrino l’asse X
sul numero 5 e lasse Y sul numero 3. Diremo che il punto A ha coordinate 5; 3 che si
scrive A(5;3). Si può anche dire che il punto A ha ascissa 5 ed ordinata 3. (Fig. 3). Un
particolare punto del piano è l’origine O(0;0) che ha sempre queste coordinate.
Y
A
3
5
O
X
Fig. 3
Almeno inizialmente sarà bene scrivere sopra i numeri che rappresentano le
coordinate le lettere X e Y per aiutare i ragazzi ad associare il primo numero
all’ascissa e il secondo all’ordinata.
Distanza fra due punti
Siano dati due punti A e B su un piano cartesiano (Fig.4). Le loro coordinate sono
A(3;2) e
B(6;6).
Y
BA
6
A
2
O
3
6
Fig. 4
X
Vogliamo calcolare quanto è distante il punto A dal punto B (oppure la lunghezza del
segmento AB ). La formula usata deriva dal Teorema di Pitagora, ma non sembra il
caso di usarla per spiegarlo a ragazzi con difficoltà di apprendimento. Sarà bene
limitarsi a mostrare la formula e spiegare come usarla. La formula è la seguente
Distanza fra due punti
( x2 ! x1 ) 2 + ( y2 ! y1 ) 2
Con x2 ed x1 si intendono rispettivamente le ascisse di B ed A e con y2 ed y1 si
intendo le ordinate di B ed A (l’ordine con cui vengono scritti i numeri tra parentesi
non ha importanza, ma è importante non mischiare un’ascissa con un’ordinata).
Applichiamo la formula alle coordinate dell’esempio svolgendo tutti i passaggi per
evitare confusioni nei ragazzi.
(6 ! 3) 2 + (6 ! 2) 2 = (3) 2 + (4) 2 = 9 + 16 = 25 = 5
uuur
Si dirà quindi che il segmento AB ha lunghezza 5.
Punto medio di un segmento
Siano dati i soliti due punti A e B di coordinate A(3;2) e B(6;6).
uuur
Vogliamo trovare le coordinate del punto M che divide a metà il segmento AB .
Y
BA
6
.
MBA
A
2
O
3
6
X
Fig. 5
La formula è la seguente
xm =
x1 + x2
2
ym =
y1 + y2
,
2
Coordinate del punto medio
che indicano rispettivamente l’ascissa e l’ordinata del punto medio M.
Es.
A(3;2) B(6;6).
9
Quindi M ( ; 4 ).
2
xm =
3+ 6 9
=
2
2
ym =
2+6 8
= =4
2
2
UNITA’ 3
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO IN DUE INCOGNITE
UNITA’ 4
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO E SISTEMI DI
DISEQUAZIONI LINEARI
1.Sistema di disequazioni in due incognite di primo grado
Una disequazione
di
primo
grado
in
due incognite:
ax + by + c ≥ 0
nel
piano cartesiano, rappresenta uno dei due semipiani nei quali la retta
ax + by + c = 0
divide il piano stesso. Il metodo più semplice per individuare di quale dei due
semipiani si tratta consiste nello scegliere, a piacere, un punto non appartenente alla
retta detto “punto spia” e verificare se le sue coordinate soddisfano o meno la
disequazione data: nel primo caso il semipiano sarà quello che contiene il “punto
spia”, nel secondo caso sarà il semipiano opposto.
Pertanto nel piano cartesiano un sistema di disequazioni di primo grado in due
incognite rappresenta l’insieme intersezione dei corrispondenti semipiani. Questa
intersezione può essere un poligono convesso, un semipiano, una regione angolare,
una striscia, ......, non è escluso che risulti vuota, o un unico punto, o un segmento, o
una semiretta, o una retta.
Esempio: Il sistema rappresenta l’insieme dei punti del piano intersezione dei
semipiani:
x ≥1  3 x + 2 y ≤ 6  3 x ≤ 6 + y
x ≥ 1 3x + 2 y ≤ 6
3x ≤ 6 + y
Ognuno di tali semipiani viene individuato prendendo come “punto spia” l’origine
delle coordinate.
UNITA’ 5
LA RETTA
La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria
euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un
filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può
aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con
una sola dimensione. La retta è inoltre illimitata in entrambe le direzioni, cioè è
infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto
latino.
Definizioni
Esempio di rette complanari, di cui 2 parallele ed una incidente e perpendicolare ad
entrambe
Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio
tridimensionale.
Due rette nel piano possono essere:
•
•
incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto) - vedi incidenza;
parallele se non si intersecano.
Due rette parallele nel piano mantengono sempre la stessa distanza tra di loro (questa
caratteristica, tipica della geometria euclidea, non è verificata nella geometria
iperbolica, dove due rette parallele possono divergere).
Due rette nello spazio possono essere:
•
•
complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono
incidenti se si intersecano e parallele altrimenti;
sghembe se non sono contenute in un piano comune;
•
perpendicolari quando le due rette, incontrandosi in un unico punto, formano
quattro angoli retti (di 90°).
Proprietà
La retta è in relazione con gli altri enti geometrici fondamentali, quali il punto, il
piano e gli angoli, nel modo seguente:
•
•
•
•
Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette.
Per due punti passa una e una sola retta.
Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali.
Nello spazio, per una retta passano infiniti piani.
Le prime 3 proprietà sono valide sia nel piano che nello spazio.
Retta nel piano cartesiano
Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare
ax + by + c = 0
dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non
contemporaneamente nulli.
Se
oppure
, è possibile descrivere la stessa retta in forma esplicita
rispettivamente in una delle due forme seguenti:
y = mx + q oppure x = my + q
dove m si chiama coefficiente angolare e quantifica la pendenza della retta. Nella
prima delle equazioni di cui sopra il termine noto q rappresenta l'ordinata del punto di
intersezione della retta con l'asse delle y, nella seconda l'ascissa del punto di
intersezione della retta con l'asse delle x.
UNITA’ 6
LE CONICHE E LA CIRCONFERENZA
Un cono è una superficie di rotazione ottenuta fecendo ruotare nello spazio una retta r
intorno ad un asse incidente con r.
Il punto d'intersezione è detto vertice del cono e ogni retta ottenuta dalla rotazione è
detta generatrice del cono.
Una sezione conica, o più semplicemente una conica, è una curva piana ottenuta
dall'intersezione di un piano con un cono.
Da qui appunto il nome "conica"; dalla diversa inclinazione del piano si ottengono
curve diverse.
Se l'intersezione tra il cono e il piano è degenere (ossia banale) si possono ottenere:
- un punto (piano passante solo per il vertice del cono)
- una retta (piano contenente una sola generatrice del cono, quindi tangente al cono)
- due rette incidenti (piano contenente due generatrici distine del cono)
In tutti gli altri casi l'intersezione tra il cono e il piano è una curva vera e propria;
supponiamo che il cono abbia asse verticale (una posizione piuttosto comune), allora
le curve che si ottengono possono esser classificate in 4 casi, a seconda
dell'inclinazione del piano:
•
•
•
•
la circonferenza (se il piano è orizzontale)
l'ellisse (se il piano è leggermente inclinato);
la parabola (se il piano è parallelo ad un lato del cono);
l'iperbole (se il piano è molto inclinato);
Una conica può essere introdotta anche in un altro modo, ossia come luogo
geometrico del piano:
Una conica è il luogo geometrico dei punti P per i quali, dati una retta d e un punto F
esterno ad essa, è costante il rapporto tra le distanze di P da F e di P da d.
F è detto fuoco, d direttrice, e il rapporto costante e viene chiamato eccentricità.
Classificazione analitica
Nel piano cartesiano una conica è rappresentata da un'equazione di secondo grado in x
e y:
C : Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Dove al variare dei coefficienti A, B, C, D, E, F in R si ottengono le diverse coniche.
Ovviamente conviene supporre che A, B e C non siano contemporaneamente nulli,
altrimenti la conica degenera in una retta.
L'insieme dei punti che appartengono alla conica è costituito da tutti e soli i punti le
cui coodinate verificano questa equazione.
Riprendendo la classificazione precedente, le diverse coniche (non degeneri) si
distinguono a seconda del valore della loro eccentricità, in questo modo:
•
•
•
•
la circonferenza (avente e = 0)
l'ellisse (avente 0 < e < 1);
la parabola (avente e = 1);
l'iperbole (avente e > 1);
Possiamo considerare un'equazione in cui non compaiano coefficienti generici, ma
quelli della direttrice, del fuoco e dell'eccentricità: tale equazione si ottiene
imponendo la definizione, ossia il luogo dei punti per cui il rapporto tra le distante
punto-fuoco e punto-direttrice sia uguale all'eccentricità.
Una conica avente direttrice d: ax + by + c = 0, fuoco F: (α, β) ed eccentricità e = k ≥
0, è rappresentata dalla seguente equazione di secondo grado in x e y:
C : (a² + b²) · [ (x – α)² + (y – β)² ] = k² · (ax + by + c)²
Osservazione: La circonferenza è un caso limite di ellisse, e si ottiene nel caso in cui
l'eccentricità vale 0; questo si verifica se la distanza dal fuoco è nulla (si ottiene un
punto) o se la distanza dalla direttrice è infinita (una normale circonferenza); di
conseguenza per descrivere una circonferenza non si può utilizzare tale equazione, ma
si dovrà tornare all'equazione generale.
UNITA’ 7
LA PARABOLA
In matematica, la parabola è una particolare figura contenuta nel piano. Si tratta di
una particolare sezione conica, come l'ellisse e l'iperbole. Può essere definita come il
luogo dei punti equidistanti da una retta (detta direttrice) e da un punto (detto fuoco)
non appartenente alla retta.
La parabola è un concetto importante in matematica ed ha numerose applicazioni in
fisica ed in ingegneria.
Definizione
Una parabola è una figura geometrica che può essere caratterizzata in vari modi
equivalenti.
Sezione conica
La parabola è una sezione conica: si ottiene come intersezione di un cono infinito con
un piano parallelo ad una retta generatrice.
Una parabola è una sezione conica, ovvero una figura che si ottiene come intersezione
fra un cono circolare ed un piano. Il tipo di sezione conica dipende dalla inclinazione
del piano rispetto al cono. Una retta generatrice del cono è una retta contenuta nella
superficie del cono.
Una parabola è una figura geometrica ottenuta come intersezione di un cono
circolare e un piano parallelo ad una retta generatrice del cono.
Se il piano non è parallelo ad una retta generatrice, si ottengono altre sezioni coniche,
quali ad esempio l'ellisse o l'iperbole.
Luogo geometrico
Una parabola può anche essere definita come luogo geometrico nel modo seguente.
Una parabola è l'insieme dei punti del piano equidistanti una retta r (detta
direttrice) e da un punto F (detto fuoco) non contenuto in r.
Una parabola è il luogo dei punti equidistanti tra il punto F e la retta L. Nel disegno, i
segmenti FPi e PiQ hanno la stessa lunghezza (per i = 1,2,3).
In altre parole, una parabola è l'insieme dei punti P tali che, indicata con Q la
proiezione ortogonale di P sulla retta r, sono uguali tra loro le lunghezze dei segmenti
•
•
La retta passante per F e ortogonale alla direttrice costituisce l'asse di
simmetria della curva.
L'intersezione dell'asse di simmetria con la parabola, punto medio tra il fuoco
e la sua proiezione sulla direttrice, si dice vertice della parabola.
Equazione
In geometria analitica, il piano è dotato di coordinate cartesiane ortogonali, e una
parabola può essere descritta come luogo di punti che soddisfa un'equazione di un
certo tipo.
Una parabola è l'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano che soddisfano una
equazione quadratica del tipo
dove:
Equazioni quadratiche con condizioni diverse da h2 = ab descrivono altre coniche,
quali ad esempio l'ellisse e l'iperbole.
Operando una rotazione che trasforma l'asse della parabola in una retta parallela
all'asse delle ordinate si può ottenere una espressione più semplice, del tipo:
con
. Se invece la rotazione trasforma l'asse in una retta parallela all'asse
delle ascisse l'equazione diventa: