Programma del corso di Analisi Matematica 2

Politecnico di Bari
Programma svolto nel corso di Analisi Matematica II (L-Z) - 6 CFU
Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale – D.M. 270/04 - Bari
A. A. 2012/2013
Docente: Luigi Sportelli
Avvertenze
1. Tutti gli argomenti si intendono comprensivi di definizioni, proprietà, enunciati, esempi, contro-esempi, applicazioni e, per le parti in grassetto, dimostrazioni.
2. Per informazioni più dettagliate è necessario consultare il registro delle lezioni.
Funzioni di più variabili
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Base canonica, prodotto scalare, norma euclidea, distanza e
prodotto esterno. Intorno sferico. Punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati. Insiemi limitati e compatti. Insiemi convessi e connessi. Funzioni di più variabili
a valori reali. L’insieme di livello. Definizione di continuità e relativi criteri. Definizione di limite per
funzioni a valori reali. Definizione di insieme denso. Definizione di limite per funzioni vettoriali. Definizione di continuità. Uso dei teoremi di carattere generale per il calcolo dei limiti. Restrizione di una
funzione a una curva e non esistenza del limite. Uso di maggiorazioni con funzioni radiali per provare
l’esistenza del limite. Richiami sul simbolo o(1) e relative regole di calcolo. Prima formula
dell’incremento finito. Funzioni continue su un compatto: teorema di Weierstrass, definizione di uniforme continuità e teorema di Hein-Cantor. Definizione di funzione lipschitziana.
Calcolo differenziale
Derivata parziale di una funzione di due variabili. Definizione di gradiente. Definizione di derivata direzionale. Proprietà elementari delle derivate direzionali. Regola della catena. Differenziabilità di funzioni
a valori scalari. Teorema sulla continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili. Formula del
gradiente. Piano tangente. Direzione di massima e minima crescita. Teorema del differenziale totale.
Definizione di funzioni di classe C1. Teorema del valore medio. Precisazioni sullo studio della differenziabilità con l’uso della definizione. Integrali dipendenti da un parametro. Teorema di passaggio al
limite sotto integrale. Teorema di derivazione sotto integrale. Derivate di ordine superiore. Funzioni k
volte differenziabili. Teorema di Schwarz. Matrice hessiana. Polinomio di Taylor di ordine 2. Formula
di Taylor con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Definizioni d’insieme convesso e di funzione convessa. Teorema sulla regolarità delle funzioni convesse. Teorema su convessità e piano tangente.
Teorema sulla convessità di f in un insieme convesso e aperto. Teorema su convessità e matrice hessiana. Corollario su convessità e matrice hessiana per n=2. Caratterizzazione delle forme quadratiche
mediante gli autovalori. Definizione di punto critico. Teorema di Fermat. Definizione di punto di sella.
Studio degli estremi liberi di funzioni a valori scalari. Massimi e minimi vincolati col metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Derivabilità e differenziabilità di funzioni a valori vettoriali: derivata direzionale e
definizione di funzione differenziabile, teorema sulla continuità e derivabilità delle funzioni differenziabili, matrice jacobiana e regola della catena.
Curve e integrali curvilinei
Curve in Rn. Definizioni di curva e di sostegno di una curva. Definizioni di curva chiusa, curva semplice
e curva piana. Definizione di curva di Jordan. Equazioni parametriche di una curva. Sostegno di una
curva: esempi (retta, circonferenza, ellisse). Differenziabilità di una curva. Vettore velocità. Vettore accelerazione. Velocità scalare. Accelerazione scalare. Retta tangente, vettore tangente e versore tangente.
Curve regolari e regolari a tratti. Integrabilità di funzioni vettoriali. Curve rettificabili. Lunghezza di una
curva di classe C1 come integrazione della velocità scalare nell’intervallo temporale. Teorema sulla lunghezza di una curva. Definizione di curve equivalenti. Ascissa curvilinea (parametro d’arco). Densità
lineare e massa di un filo curvilineo. Definizione di integrale curvilineo di 1 a specie. Definizione di forma differenziale lineare. Definizione di integrale curvilineo di 2a specie. Teorema su curve equivalenti
di classe C1 e relazioni fra i rispettivi integrali curvilinei. Definizioni di forma differenziale esatta e di
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funzione potenziale. Teorema sull’indipendenza dal cammino di integrazione della funzione potenziale.
Teorema sulla caratterizzazione delle forme differenziali di classe C(E). Definizione di campo conservativo. Definizione di forma differenziale chiusa e relative osservazioni. Definizione di rotore di un campo
vettoriale. Costruzione del potenziale. Insiemi semplicemente connessi. Teorema sulle forme chiuse in
aperti semplicemente connessi. Cicloide.
Integrali impropri
Integrabilità in senso improprio. Criteri di convergenza: criterio del confronto. Assoluta integrabilità in
senso improprio. Integrabilità in senso improprio non implica assoluta integrabilità in senso improprio.
Integrali multipli
Integrali doppi su rettangoli. Definizione di suddivisione. Definizioni di funzione integrabile e di integrale. Criterio di integrabilità. Teorema (Se f è continua allora f è integrabile). Proprietà dell’integrale.
Formule di riduzione su rettangoli. Formula per le funzioni a variabili separate. Integrali doppi: il caso
generale. Definizione di misura secondo Peano-Jordan. Teorema sulla misurabilità di un insieme limitato. Teorema sulla caratterizzazione degli insiemi di misura nulla. Teorema sull’additività rispetto al dominio di integrazione. Domini semplici (o normali) rispetto a un asse. Formule di riduzione per domini
semplici. Teorema sull’integrabilità per l’unione di domini semplici. Cambiamento delle variabili di integrazione per gli integrali doppi: approccio euristico. Teorema sul cambiamento delle variabili di integrazione. Coordinate polari. Funzione di Gauss. Definizione di divergenza. Richiami sulla definizione di
rotore. Il teorema della divergenza nel piano. Formule di Green per domini semplici. Definizione di dominio regolare a tratti. Formule di Green per domini regolari a tratti. Corollario sulle conseguenze delle formule di Green. Teorema della divergenza nel piano. Teorema del rotore nel piano. Teorema del
rotore o di Stokes nello spazio. Operatori differenziali ed equazioni di Maxwell.
Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie. Ordine, forma implicita o esplicita, omogeneità, linearità, coefficienti.
Equazioni lineari del primo ordine. Teorema su soluzione generale della omogenea e soluzione del problema di Cauchy. Teorema sulla soluzione generale di equazioni lineari del primo ordine. Calcolo della
soluzione particolare dell’equazione non omogenea: variazione della costante (metodo di Lagrange).
Teorema sulla struttura delle soluzioni dell’equazione non omogenea. Equazioni del primo ordine a
variabili separabili. Risultati di esistenza e unicità per il problema di Cauchy. Teorema su esistenza e
unicità del problema di Cauchy. Teorema di esistenza globale. Equazioni lineari del secondo ordine. Definizione di soluzioni linearmente indipendenti. Determinante wronskiano. Lemma su determinante
wronskiano e indipendenza. Teorema sulla struttura dell’integrale dell’equazione lineare del secondo
ordine. Equazioni lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti. Teorema sulla soluzione
generale dell’equazione lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti. Equazioni lineari del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti.
Testo di riferimento (Teoria ed esercizi)
1. M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, seconda edizione, McGraw-Hill,
2011
Testi di consultazione
1. M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009
2. P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, volume II, parte prima e parte seconda,
Liguori Editore, 1995
3. S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2011
Bari, 14 giugno 2013
Il docente
Luigi Sportelli
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