note_matem_applicata

Scuola Tridentum – Trento
5^ R - A.S. 2013/14
Prof. Angelo Danese
NOTE DI MATEMATICA APPLICATA ALL’ECONOMIA
«[…] lo scopo dell’analisi infinitesimale è quello di fare acquisire strumenti di
calcolo atti alla ricerca ottimale di funzioni vincolate, soprattutto di natura
economica», (dai Programmi Ministeriali).
In queste note affronteremo alcuni argomenti di economia ai quali (come abbiamo già
visto in classe) è possibile applicare i metodi propri della matematica.
In questo II Modulo trattiamo qualche semplice applicazione delle funzioni di due
variabili all’economia; qui di seguito troverete una serie di nozioni teoriche relative a
questi argomenti.
Spesso le imprese producono diversi tipi dello stesso prodotto, differenti per qualità,
per costo di produzione…
Per esempio: generi alimentari, vestiti, automobili…
Tali imprese, poi, vendono tali prodotti. Tale vendita può avvenire in un unico
mercato, o in mercati diversi; in regime di libera (o pura, o perfetta) concorrenza, o di
monopolio; ecc…
In queste condizioni la massimizzazione dei profitti o la minimizzazione dei costi
implicano funzioni in più variabili.
D’ora in poi, siano e due beni prodotti da un’impresa.
In un mercato di concorrenza pura, i due beni e vengono venduti ai pressi fissi
e
rispettivamente; quindi, nota la funzione ( , ) dei costi sostenuti per la
produzione, obiettivo dell’impresa è scegliere la quantità dei prodotti per
massimizzare il profitto.
Definizione 1
La funzione profitto (o utile, o guadagno) ( , ) di un’impresa è data da
( , )= −
dove:

= ( , )=
+
è la funzione ricavo

= ( , )=
+
+
+ è la funzione costo
con , , , , , ∊ ℝ.
Definizione 2
Si chiama domanda di un bene la quantità che di esso viene richiesta dal mercato. La
funzione che esprime la domanda di un bene in funzione del prezzo cui il bene stesso
viene venduto è detta funzione domanda relativa a quel bene.
Indicando la quantità domandata con la lettera ed il prezzo di un’unità del bene con
la lettera , la funzione domanda sarà espressa da un’equazione del tipo = ( ).
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In un mercato in regime di monopolio, invece, i prezzi di vendita non sono costanti,
ma sono funzione della domanda dei due prodotti; tali prodotti possono essere:
a) succedanei o surrogati: in tal caso l’aumento del prezzo di uno dei due prodotti
implica l’aumento di richiesta dell’altro;
b) complementari: in tal caso l’aumento del prezzo di uno dei due prodotti
comporta la diminuzione della domanda dell’altro.
In economia si utilizza l’aggettivo marginale per indicare la derivata della funzioni
costo, ricavo e profitto (nell’ipotesi che queste ultime siano derivabili!): le funzioni
costo marginale, ricavo marginale e profitto marginale indicano rispettivamente la
derivata delle corrispondenti funzioni costo, ricavo e profitto rispetto alla variabile
indipendente (che solitamente è la quantità prodotta o venduta).
Sempre in ambito economico, il valore della derivata di una funzione in un punto
(per esempio il valore del profitto marginale in corrispondenza della quantità
)
viene spesso utilizzato come approssimazione della variazione della funzione in
corrispondenza di un incremento di un’unità della variabile indipendente, a partire dal
valore
(per esempio come approssimazione di quanto varia il profitto per un
incremento di un’unità della quantità prodotta, cioè del passaggio della quantità
prodotta da
a
+ 1).
Questa approssimazione si fonda sul fatto che il grafico di una funzione derivabile in
un punto
può essere approssimato localmente dalla retta tangente al grafico della
funzione in :
Esempio 1
Il profitto (in €) derivante dalla produzione e vendita della quantità q di un dato bene
è espresso dalla seguente funzione: π(q) = 0,0004q + 8q.
a) Determinare la funzione profitto marginale.
In questo esempio la funzione profitto è funzione di una sola variabile, quindi
indichiamo il profitto marginale con ( ); con un semplicissimo calcolo si
ottiene ( ) = 0,0004 ∙ 3 + 8 = 0,0012 + 8.
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b) Determinare il profitto marginale in corrispondenza della produzione di una
quantità = 100.
Immediatamente si ha (100) = 0,0012 ∙ 100 + 8 = 20 € , quindi (in base
anche a quanto già osservato prima) possiamo dire che quando la quantità
venduta passa da 100 a 101 il profitto aumenta approssimativamente di 20 €.
Possiamo verificare che l’approssimazione è effettivamente buona; infatti la
variazione reale del profitto è pari a
Δ = (101) − (100) = ⋯ = 20,1204
cioè l’errore commesso è di soli 12 centesimi.
Definizione 3
Data la funzione ( , , … , ) definita in un sottoinsieme di ℝ , diciamo funzione
marginale rispetto alla variabile , la derivata parziale di rispetto a
per ogni
= 1,2, … , .
Nel corso del nostro studio ci concentreremo solo sulle funzioni di due variabili,
quindi faremo riferimento alla seguente:
Definizione 4
Sia la quantità prodotta di un certo bene e siano , due fattori di produzione (ad
esempio capitale e lavoro, prezzo e reddito, terra(1) e lavoro(2), …): = ( , ).
Allora:

=
è la produttività marginale di ,

=
è la produttività marginale di .
Applicazione
Ci interessiamo, in particolare, della funzione della domanda di un bene, dipendente
dal prezzo del bene e dal reddito del consumatore, ossia della funzione
= ( , )
di cui supponiamo che esistano le derivate parziali; quindi
è la funzione marginale
del prezzo, mentre
è la funzione marginale del reddito.
La funzione marginale del prezzo indica come varia la funzione della domanda
quando abbiamo una variazione del prezzo, considerando costante il reddito del
consumatore. La funzione marginale del reddito, invece, indica come varia la
funzione della domanda quando abbiamo una variazione del reddito, considerando
costante il prezzo di un dato bene.
______________________
1
2
= termine utilizzato per indicare tutte le risorse naturali.
= termine utilizzato per indicare tutte le risorse derivanti dalle varie attività lavorative.
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Esempio 2
Se la funzione della domanda di un bene, dipendente dal prezzo
reddito del consumatore, è
= −4 − + 6
allora determiniamo:
 la funzione marginale del prezzo 
= −8 + 6 ;
 la funzione marginale del reddito 
= −2 + 6 .
Per un prezzo = 40 ed un reddito = 50 si avrà:
(40, 50) = −8 ∙ 40 + 6 ∙ 50 = −20;

(40, 50) = −2 ∙ 50 + 6 ∙ 40 = 140.

del bene e dal
Per ottenere il massimo profitto, le imprese devono utilizzare in modo ottimale i
fattori di produzione di cui dispongono.
Debbono determinare quindi quella combinazione di fattori produttivi che renda
massima la produzione ma minimi i costi.
La prima e più semplice funzione di produzione è quella proposta dal matematico
Cobb e dall’economista Douglas che, nonostante ad oggi esistano altre funzioni più
generali e complete, ha vaste applicazioni in econometria.
Definizione 5
La funzione di Cobb-Douglas ha la seguente forma


= ( , )=
dove:

è la quantità di un certo bene prodotto dall’impresa;

è un coefficiente numerico positivo;

è il capitale (cioè le risorse derivanti da tutto ciò che è frutto di un processo
produttivo e, in particolare, i macchinari);

è il lavoro;
 0 <  < 1.
Proprietà della funzione di Cobb-Douglas
1. La funzione è una funzione omogenea, cioè per ogni ∊ ℝ si ha:




( , ) = ( ) ( )  =  
=
=
( , ).
Poiché rappresenta lo “stock di capitale” e la “quantità di lavoro”, la cui
combinazione permette di ottenere il volume di produzione


= ( , )=
,
il fatto che la funzione
sia omogenea significa che se si fa variare
simultaneamente e nella stessa proporzione, , la quantità utilizzata di ciascuno
dei fattori x e y, il volume di produzione, Γ, varia in questa stessa proporzione
t.
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In questo caso, l’analisi economica utilizza l’espressione rendimenti costanti in
scala.
2. Il prodotto è totalmente ripartito tra il capitale ed il lavoro nelle proporzioni
rispettive  e 1 − .
3. L’efficienza della produzione, cioè dell’organizzazione dei fattori di
produzione, è misurata dal coefficiente . Intuitivamente appare chiaro che se
due imprese hanno gli stessi , ed  e, ciononostante, producono quantità
differenti di output, la differenza può essere imputata alla superiore
organizzazione ed imprenditorialità di una della imprese: l’impresa più
efficiente avrà un coefficiente più grande rispetto a quella meno efficiente.
4. …
Vedremo ben poche applicazioni della funzione di Cobb-Douglas, e più precisamente
faremo (sempre) riferimento alla seguente:
Osservazione
La funzione di Cobb-Douglas può essere generalizzata nella
 
= ( , )=
con 0 <  < 1.
Se  +  = 1, la funzione è detta di Cobb-Douglas in senso stretto ( i rendimenti in
scala di e sono costanti); in caso contrario in senso generalizzato.
Si osservi che:
 se  +  > 1, allora si hanno rendimenti in scala crescenti;
 se  +  < 1, allora si hanno rendimenti in scala decrescenti.
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