La velocità di propagazione del segnale lungo una linea di trasmissione è data da:
u
1
LC
Vediamo come, nel caso si scelga come linea un cavo coassiale, sia facile dimostrare che tale
grandezza è indipendente dalla geometria della linea.
Consideriamo un cavo coassiale di lunghezza l i cui conduttori interno ed esterno abbiano
rispettivamente raggio a e b e supponiamo che lo spazio tra i due conduttori sia riempito con un
mezzo di costante dielettrica assoluta ε e permeabilità magnetica assoluta µ.
Calcoliamo in primo luogo la capacità per unità di lunghezza che per definizione è data da:
Q
C
Va Vb l
Il campo elettrico a distanza r dall’asse del cilindro (con
teorema di Gauss:
E ( r ) 2πrl
Q
ε
L
Φ( B)
l i
E (r )
) può essere calcolato usando il
Q
2πrεl
dove Q è la carica presente sui conduttori. La differenza di potenziale tra i conduttori è data da:
b
Q
Q
b
Vb Va
dr Va Vb
ln
2πrεl
2πεl a
a
Quindi la capacità per unità di lunghezza è:
Q
2πε
C
Va Vb l ln b
a
Per calcolare l’induttanza per unità di lunghezza si utilizza un procedimento analogo. Essa è data
da:
r
dove i è la corrente. B può essere calcolata usando la legge di Ampère:
B(r ) 2πr µi
Quindi si ha:
B(r )
µi
2πr
b
µi
µi l b
Φ(B) ldr
ln
2πr
2π
a
a
Da cui
L
µi l b 1
µ
b
ln ln
2π
a l i 2π a
Perciò la velocità di propagazione del segnale è:
u
1
1
LC
εµ
che dipende solo dalle proprietà elettromagnetiche del mezzo e non dalla geometria della linea.
