Corso di
ELETTROTECNICA
Il doppio bipolo resistivo
Presentazione a cura del
Prof. Alvise Maschio
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
Università di Padova
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Rappresentazione controllata in
corrente e in tensione - 1
Si parta dalle due rappresentazioni (rispettivamente
controllata in tensione o controllata in corrente) del
doppio bipolo, aventi relazioni algebriche, lineari, a
coefficienti costanti e con le due grandezze
dipendenti nulle quando sono nulle le due
grandezze indipendenti.
⎧v1 = R1 1 i1 + R1 2 i2
(1) ⎨
⎩v 2 = R2 1 i1 + R2 2 i2
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(2)
⎧i1 = G1 1 v1 + G1 2 v 2
⎨
⎩i2 = G2 1 v1 + G2 2 v 2
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Rappresentazione controllata in
corrente e in tensione - 2
La condizione di passività (cioè di potenza entrante
sempre non negativa) richiede rispettivamente:
⎧
⎪
⎪⎪R1 1 ≥0
(3) ⎨R2 2 ≥0
2
⎪
⎛ R + R ⎞
⎪R1 1 R2 2 ≥ ⎜ 1 2 2 1 ⎟
⎪⎩
⎝
⎠
2
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⎧
⎪
⎪⎪G1 1 ≥0
(4) ⎨G2 2 ≥0
2
⎪
⎛ G + G ⎞
21
⎪G1 1 G2 2 ≥ ⎜ 1 2
⎟
⎪⎩
⎝
⎠
2
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Rappresentazione controllata in
corrente e in tensione - 3
La
condizione
rispettivamente:
(5) R1 2 = R2 1
reciprocità
richiede
(6) G1 2 = G2 1
La non amplificazione delle tensioni e correnti alle
porte richiede rispettivamente che:
⎧R1 1 ≥ R2 1
(7) ⎨
⎩R2 2 ≥ R1 2
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di
⎧G1 1 ≥ G2 1
(8) ⎨
⎩G2 2 ≥ G1 2
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Sintesi di un doppio bipolo resistivo
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Dati i sistemi di equazioni (1) o (2) si vogliono
individuare tre resistenze o, rispettivamente, tre
conduttanze che, collegate a stella o a triangolo,
soddisfino i sistemi di equazioni stessi.
Gli schemi possibili sono illustrati nelle figure
successive.
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Sintesi a stella di un doppio
bipolo resistivo - 1
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Sintesi a stella di un doppio
bipolo resistivo - 2
Si consideri il caso di figura a) (R12 > 0). Si ottiene:
⎧v1 = Ra i1 + Rc (i1 + i2 )=(Ra + Rc )i1 + Rc i2
(9) ⎨
⎩v 2 = Rb i2 + Rc (i1 + i2 )= Rc i1 + (Rb + Rc )i2
Da esso, confrontandolo con il sistema di equazioni
(1), si può ricavare:
⎧⎪R1 1 = Ra + Rc
(10) ⎨R2 2 = Rb + Rc
⎪R = R = R
⎩ 1 2 2 1 c
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Sintesi a stella di un doppio
bipolo resistivo - 3
Da (10) si ricavano i valori dei parametri della rete a
stella; le condizioni esplicitate in (11) discendono
dalle condizioni di passività, reciprocità e non
amplificazione delle tensioni del doppio bipolo.
⎧⎪Ra = R1 1 − R1 2 ≥ 0
(11) ⎨Rb = R2 2 − R2 1 ≥0
⎪R = R = R
⎩ c 1 2 2 1
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Sintesi a stella di un doppio
bipolo resistivo - 4
Nel caso R12 < 0 si consideri la figura b). Si ottiene
in questo caso il seguente gruppo di parametri:
⎧⎪Ra = R1 1 + R1 2 ≥0
(12) ⎨Rb = R2 2 + R2 1 ≥ 0
⎪R = − R =−R
⎩ c
12
21
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Le relazioni esplicitate dipendono sempre dalle
condizioni di passività, reciprocità e non
amplificazione delle tensioni.
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Sintesi a triangolo di un doppio
bipolo resistivo - 1
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Sintesi a triangolo di un doppio
bipolo resistivo - 2
Si consideri il caso di figura c) (G12 < 0). Si ottiene:
⎧i1 = Ga v1 + Gc (v1 −v 2 )=(Ga + Gc )v1 −G c v 2
(13) ⎨
⎩i2 = Gb v 2 + Gc (v 2 − v1 )= −G c v1 + (Gb + Gc )v 2
Da esso, confrontandolo con il sistema di equazioni
(2), si può ricavare:
⎧⎪G1 1 =G a + Gc
(14) ⎨G2 2 =G b + Gc
⎪G = G = −G
⎩ 1 2 2 1
c
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Sintesi a triangolo di un doppio
bipolo resistivo - 3
Da (14) si ricavano i valori dei parametri della rete a
triangolo, dove le condizioni esplicitate discendono
dalle condizioni di passività, reciprocità e non
amplificazione delle correnti del doppio bipolo.
⎧⎪Ga =G1 1 + G1 2 ≥0
(15) ⎨Gb = G2 2 + G2 1 ≥ 0
⎪G = −G =−G
⎩ c
12
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Sintesi a triangolo di un doppio
bipolo resistivo - 4
Nel caso G12 > 0 si consideri la figura d). Si ottiene
in questo caso il seguente gruppo di parametri:
⎧⎪Ga = G1 1 −G1 2 ≥0
(16) ⎨Gb =G 2 2 − G2 1 ≥ 0
⎪G =G =G
⎩ c 1 2
21
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Le relazioni esplicitate dipendono sempre dalle
condizioni di passività, reciprocità e non
amplificazione delle correnti.
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