La teoria fenomenologica delle transizioni radiative di Einstein

Lucio Crivellari
INAF – Osservatorio Astronomico di Trieste
&
Instituto de Astrofísica de Canaias
D.pto de Astrofísica Univ. La Laguna (Tenerife)
La teoria fenomenologica delle transizioni radiative
di Einstein
22/09/16
Capodimonte, 21 settembre 2016.
1
Sommario
1. L'atto di disperazione di Planck
2. La teoria fenomenologica di Einstein
delle transizioni radiative
3.
22/09/16
Le relazioni di Füchtbauer e Ladenburg
2
Difficoltà dell’elettrodinamica classica:
• spettro del corpo nero;
• spettri atomici e stabilità degli atomi;
• interpretazione dell’effetto fotoelettrico.
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3
TERMODINAMICA DEL CAMPO DI RADIAZIONE
(Necessaria premessa; fonte le Lezioni di Planck
sulla radiazione termica)
•
Il sistema considerato non è un sistema materiale, ma uno
puramente energetico
Entropia del campo di radiazione
D’accordo con il 2º principio, come qualsiasi sistema
fisico in uno stato definito, la radiazione possiede una
entropia definita
Definizione dell’entropia e della temperatura
di una radiazione monocromatica
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4
Radiazione termica:
emessa a spese dell'energia interna del corpo emissore ;
in condizioni di equilibrio termodinamico (ET)
obbedisce alle leggi di
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●
Kirchhoff
●
Stefan - Boltzmann
●
Wien
5
Legge di Kirchhoff
definiamo:
potere emissore e ν ( n ; T , {α}) :
flusso della potenza irradiata lungo n (per udf)
capacità di assorbimento a ν ( n ; T , {α }) :
rapporto tra energia assorbita ed incidente lungo n (per udf)
e ν ( n ; T , {α})
= Bν (T )
aν ( n; T ,{α})
Vale in ET indipendentemente dalla
natura e forma geometrica del corpo emissore.
in ET isotropia della radiazione
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6
Legge di Stefan - Boltzmann
∞
4
u
d
ν
=
σ
T
∫ ν
0
uν densità di energia radiante monocromatica
Legge di Wien
Forma funzionale :
B ν (T ) = ν3 φ ( T /ν )
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M. Planck: lo spettro del corpo nero ed il
quanto di azione
Problematica di Planck:
• Il teorema H elettromagnetico
processi radiativi irreversibili
ipotesi della radiazione naturale
• spettro del corpo nero
forma della funzione universale di Kirchhoff
Modello per la cavità di corpo nero
Radiazione stazionaria rinchiusa in una cavità con pareti
riflettenti alla temperatura T, in presenza di oscillatori che
interagiscono con la radiazione (risonatori)
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8
Il percorso di Planck
3
Planck trova la relazione
c
Uν =
uν
2
8π ν
tra energia media del risonatore e densità di energia del corpo nero.
(media sull'insieme)
Ipotesi ad hoc per la relazione tra entropia ed energia del risonatore:
S = −
U
U
ln
−1 ,
aν
bν
(
)
giustificata successivamente dalla necessaria condizione fisica
∂2 S
< 0
2
∂u
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∂S
1
=
,
θ
∂U
In condizioni di ET vale
per Planck definizione della temperatura elettromagnetica
( θ temperatura in unità di energia)
Dalle precedenti:
∂S
1
U
= −
ln
∂U
aν bν
Uν = bν e
→
−a ν / θ
3
→
8 π b ν −a ν /θ
uν =
e
3
c
(legge di Wien)
due costanti a e b
[a] = [b] = M L2 T −1
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Risultati sperimentali
Lummer e Pringsheim
(Settembre 1900)
Planck (19 ottobre 1900):
2 S
α

2
U   U 
U
Legge di distribuzione di Planck:
2h ν3
1
B ν (T ) =
c 2 eh ν /k T − 1
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I risultati precedenti erano frutto di una felice interpolazione.
Ricerca di un significato fisico della legge di distribuzione
Sulla falsariga di Boltzmann, ricorso ai combinatoriali
Entropia e probabilità:
S  ln  nr. complessioni 
Problema fondamentale della termodinamica statistica:
Distribuzione energia total E = UN tra N risonatori
di frequenza ν.
“atto di disperazione” :
E non è infinitamente divisibile
→
quanto di energia
ϵ = hν
(Presentazione alla Società Tedesca di Fisica il 14 dicembre 1900;
Articolo in Annalen der Physik, 1901, 1, 69.)
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BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
Per la termodinamica del campo di radiazione:
M. Planck: Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung,
1ª ed. 1906, 2ª ed. Riveduta 1913, succesive 1919, 1921, 1923.
Traduzione inglese di M. Masius,1914, in The Theory of Heat Radiation,
1988, The Thomas/ American Institute of Physics series in the History
Of Modern Physics.
Per il percorso di Planck:
T.S. Kuhn: Black Body Theory and the Quantum Discontinuity: 1894 – 1912,
(Oxford – New York), 1978. Traduzione italiana a cura di
E. Bellone in Alle origini della fisica contemporanea. La teoria del corpo
nero e la discontinuità quantica, 1981, ed. Il Mulino.
G. Giuliani: La teoria della radiazione di corpo nero: il percorso di Planck
M. Planck: Nobel Lecture, June 2, 1920
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Teoria euristica della luce
1. L’ipotesi del quanto di luce
(Annalen der Physik, 1905, 17, 132; Annalen der Physik, 1906, 20, 199,)
2. Teoria quantistica della radiazione
(Physikalische Zeitschrift, 1917, 18, 121)
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1. L’ipotesi del quanto di luce
Conflitto tra la teoria di Maxwell ed i fatti sperimentali relativi all’interazione
radiazione – materia: effetto fotoelettrico, assorbimento ed emissione della
radiazione, etc.
Ipotesi del quanto di luce
Secondo l’ipotesi che qui voglio proporre, quando un raggio di luce si
espande partendo da un punto, l’energia non si distribuisce su volumi
sempre più grandi, bensì rimane costituita da un numero finito di quanti
di energia localizzati nello spazio e che si muovono senza suddividersi,
e che non possono essere assorbiti od emessi parzialmente.
(Einstein, Ann. der Phys., 1905, 17, p.133.)
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La fondamentale conclusione di Einstein :
Una radiazione monocromatica diluita si comporta, dal punto
di vista termodinamico come se fosse composta da quanti di
energia  = Rbν/ N = h , indipendenti tra loro
Ipotesi di quantizzazione di Planck:
Nell’interazione tra la radiazione e gli oscillatori, la
ripartizione dell’energia E tra N oscillatori non può
consistere di parti arbitrariamente piccole.
Einstein postula l’esistenza di particelle di luce
(Lichtquanten)
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2. Teoria quantistica della radiazione
(Physikalische Zeitschrift, 1917, 18, 121)
Quando Einstein scrive il suo articolo, i meccanismi che regolano
le transizioni radiative sono ancora oscuri, e li affronta da un punto
di vista fenomenologico.
Ipotesi che le transizioni radiative sono regolate da
leggi probabilistiche (analogia col decadimento radiativo).
Comunque ha alle spalle la termodinamica statistica di Gibbs (1902)
ed il modello atomico di Bohr (1913).
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17
Einstein aveva ipotizzato:
Se una radiazione monocromatica si comporta rispetto alla
relazione entropia-volume come un mezzo discontinuo,
costituito da quanti di energia di grandezza hνdovremo
esaminare l’ipotesi che le
leggi di emissione e di trasformazione della luce
siano costituite anche loro come se la luce fosse formata
da simili quanti di energia.
(Annalen der Physik, 1905, 17, p. 143.)
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18
Scambio di energia ed impulso tra il campo di radiazione
e la materia (costituita da molecole)
La distribuzione degli stati energetici interni, d’accordo
con la teoria quantistica, è fissata dai processi di
emissione ed assorbimento.
Da tale condizione deriva la legge di distribuzione di Planck
Però il trasferimento di impulso nei processi radiativi conduce
anche alla distribuzione maxwelliana della velocità delle molecole.
Per raggiungere una teoria esente da contraddizioni,
i processi elementari devono essere considerati come
totalmente orientati
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Ipotesi circa lo scambio di energia per irraggiamento
Per trasposizione delle condizioni classiche di un risonatore,
si postulano leggi probabilistiche per le transizioni quantistiche,
tuttavia sconosciute.
Materia pervasa da un campo di radiazione (Einstrahlung)
Agente che provoca la transizione: uν
m
a) assorbimento:
b) emissione indotta:
d Pn  m  Bnm uν d t

n
m
n
d PmIn n  Bm
uν d t

n
Con o senza radiazione (Ausstrahlung)
Decadimento
c) emissione spontanea:
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n
d PmSp n  Am
dt
m

n
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In condizioni ET la ripartizione dell’energia tra gli stati possibili
è determinata dalla distribuzione canonica di Gibbs
Serie di stati discreti Zn con energie assegnate n
Frequenza relativa dello stato Zn:
Nn
N
− εn / k T
≡ wn = g n e
Bilancio dettagliato giustificato dall’ipotesi ET:

Sp
In
wn d Pn  m wm d P m

d
P
n
m n
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
21
Dalle precedenti segue:
−ϵ n/ kT
m
n
n
m
esplicitando:
uν =
ϵ m−ϵn = h ν
→
0
(3 postulato di Bohr)
gn B mn = gm Bnm
→
T →∞
A nm
n
1
Bm e
uν =
−ϵ m /kT
= gm ( B uν + A ) e
gn B u ν e
lim u ν (T ) = ∞
n
m
(ϵ m −ϵn )/ kT
A nm
n
−1
1
h ν /kT
Bm e
−1
A nm kT
h ν/ kT ≪1 → u ν = n
Bm h ν
2
uν = 8 π kT ν3
Rayleigh & Jeans:
c
An
Per il pricipio di corrispondenza di Bohr:
B
m
n
m
3
8πh ν
=
3
c
3
→
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8π hν
1
uν =
c3
e h ν /kT − 1
22
Se
e
hν
kT
≫ 1
(i.e. trascurando l'emissione indotta)
3
→
8π ν
−h ν /kT
uν =
he
3
c
3
cf. Wien:
→
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ν
−a
8π ν
kT
uν =
b
e
3
c
a = b = h
[h] = M L2 T −1
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Le relazioni di Füchtbauer e Ladenburg
Ch. Füchtbauer (1877 - 1959)
R. Ladenburg (1882 - 1952)
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Rappresentazione macroscopica del campo di radiazione
Intensità specifica (relazione con la fotometria)
δ E ν (n) ∝ n⋅k δ S δ ω δ ν δ t
( n⋅k )
−1
lim
δS δωδνδ t → 0
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δ Eν (n)
≡I ( r , t ; n , ν )
δ Sδωδ νδt
(intensità specifica)
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Coefficiente macroscopico di assorbimento
d I ν (n)
= − a ν (n) dl
I ν ( n)
Definito dalla relazione differenziale
(legge di Beer–Lambert per l'attenuazione della luce attraverso un mezzo)
Fattorizzazione:
aν
ϕ(ν) ≡
ā
∞
ā ≡
∫ aν d ν
0
→
aν = ā ⋅ϕ( ν)
misura x profilo
[aν ] = L
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−1
; [ā ] = L
−1
T
−1
; [ϕ] = T
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Relazione di Füchtbauer
Calcolo dell'energia assorbita
a) Formulazione microscopica (cinetica)
processo direzionale (Milne 1924)
Probabilità della transizione j → k (Milne) :
d Pj→k
dω
= B jk
I (n)dt ;
4π ν
4π
uν =
J
c ν
Nr. processi per udt ed udV dentro d ω con energia
R j →k = B jk
dω
n (ν)d ν I ν (n) ;
4π j
h ν jk
n j (ν ) = N j ϕ(ν)
4π k
Bj
Integrando su tutte le direzioni e frequenze, con B jk =
c
∞
h ν jk k
E =
B j N j ∫ ϕ(ν)J ν d ν ;
c
0
[E ] = ( M L2 T −2 ) L −3 T −1
(densità di energia monocromatica assorbita per udt)
22/09/16
27
b) Formulazione macroscopica
Dalla definizione di coefficiente di assorbimento segue:
a jk (ν) I ν (n)d ν = ā jk ϕ(ν) I ν (n) d ν
Integrando su tutte le frequenze e le direzioni:
∞
E = ā jk ∫ ϕ( ν)J ν d ν
0
−1 −1
−2
2 −2
−3 −1
[E ] = ( L T ) M T = ( M L T ) L T
Dal confronto con la precedente segue:
ā jk
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h ν jk k
=
Bj N j
c
(Füchtbauer,
1920)
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Relazione di Ladenburg
Coefficiente macroscopico di estinzione:
χν = aν + σ ν
χν = σν
Oscillatore classico (Lorentz) :
(privo di struttura interna)
π e2
χ osc (ν) =
ϕ(ν)
mc
(sezione d'urto)
Atomo di Bohr-Einstein:
π e2
σ osc (ν ) =
N e ϕ(ν) (+)
mc
(coeff. diffusione)
χν = aν
(con struttura interna)
coeff. assorbimento:
Confrontando (+) con (++) :
22/09/16
a jk
h ν jk k
=
B j N j φ (ν )
c
(++)
2
h ν jk k
πe
Ne ⇔
BjNj
mc
c
29
Ipotesi di Ladenburg (1921)
Ne
j
m
k
=
h
ν
B
jk
j N j
2
πe
Nel processo di estinzione
N e oscillatori classici sono equivalenti a N j atomi
j
costante di proporzionalità
f jk
m
k
≡
h
ν
B
jk
j
2
πe
(forza dell'oscillatore)
22/09/16
30
Relazioni tra I coefficienti di Einstein:
gk j
B =
Bk
gj
k
j
3
c
k
j
Bj =
A
k
3
8πh ν
f jk
→
3
gk j
mc
=
Ak ;
2 2 2
8 π e ν jk g j
Akj = 1/ τ k
relazione tra una proprietà macroscopica del mezzo,
i.e. f
jk
, e la probabilità della transizione j → k
Come sottolineato da Ladenburg,
3
mc
2 2 2
8 π e ν jk
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è eguale a 1/3 del tempo di decadimento dell'oscillatore
31
Conclusioni dalle relazioni di Füchtbauer e Ladenburg
Dal punto di vista operativo:
Permettono il calcolo dei coefficienti macroscopici
del trasporto radiativo in funzione di costanti fisiche e
dei parametri termodinamici del mezzo materiale.
Dal punto di vista teorico:
●
interpretazione quantistica della dispersione ottica anomala
che apre la strada alla meccanica delle matrici di Heisenberg;
●
tempo di vita medio dei livelli eccitati, da cui
allargamento dei livelli energetici ed ampiezza naturale
delle righe spettrali
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Ho recentemente trattato l'argomento in
The road to matrix mechanics: I. Classical interpretation of the
anomalous optical dispersion & II. Ladenburg's interpretation of
optical dispersion.
L. Crivellari: Eur. J. Phys., 37, September 2016.
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Finis coronat operam
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34
Leggi deterministiche vs. Leggi probabilistiche
<< Le leggi fisiche sono enunciati che esprimono rapporti fissi, valevoli senza
eccezioni, fra grandezze fisiche misurabili, rapporti che permettono di
calcolare una di tali grandezze quando le altre sono note da precedenti
misure. >> (M. Planck)
M. Planck:
• Leggi dinamiche e leggi statistiche (3 agosto 1914);
• Caratteri generali delle leggi fisiche (14 febbraio 1926).
In La conoscenza del mondo fisico, 1942 (Torino:Einaudi)
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leggi dinamiche: nessi causali necessari
Quando le leggi dinamiche sono tuttavia oscure
 leggi statistiche  determinazione di valori medi,
che permettono di valutare una probabilità
<< Il dualismo tra leggi dinamiche e leggi statistiche è strettamente
connesso col dualismo microcosmo/macrocosmo. [ ... ]
Siamo costretti a concedere sia alle leggi dinamiche che alle
leggi statistiche il ruolo che loro spetta. >>
(Planck, op. Cit.)
Processi reversibili ed irreversibili
invarianti rispetto alla variabile
tempo
processi reversibili
processi irrreversibili
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 leggi
non-invarianti
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• Processi reversibili: subordinati ad una legge dinamica
Il principio della conservazione dell’energia è la principale
legge dinamica.
• Processi irreversibili: obbediscono a leggi statistiche.
Il 2º principio della termodinamica, ricondotto da Boltzmann
ai processi irreversibili, è la principale legge statistica.
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Necessità delle leggi statistiche per sopperire alla nostra
limitata conoscenza dei fenomeni:
errori di misura e limitata sensibilità degli strumenti.
Indeterminazione intrinseca:
Probabilità quantistica intesa non come una insufficiente
conoscenza a livello microfisico, ma come un’affermazione
basica della contingenza di un evento singolo.
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Atteggiamento di Planck ed Einstein
Resistenza ad accettare le leggi statistiche
Planck:
Anche se sarebbe giustificata logicamente l’esistenza in natura di sole leggi
statistiche. per soddisfare il nostro bisogno di conoscenza dobbiamo assumere
come postulato lo stretto carattere causale delle leggi fisiche.
La fisica non può fare a meno della premessa che esistano
leggi assolute. (Leggi dinamiche e leggi statistiche, op. cit, p. 69)
Einstein:
Mi è insopportabile l’idea che un elettrone possa scegliere liberamente il
momento e la direzione dell’emissione. Se così fosse, preferirei fare il calzolaio
o il croupier. (Dalla lettera a Max Born del 24 aprile 1924.)
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Qualche ulteriore spunto per future discussioni
• È la meccanica quantistica una teoria completa?
• Dal moto browniano all’equazione di Schrödinger
• S. Chandrasekhar: 1943, Stochastic processes in physics
and astronomy, Reviews of Modern Physics.
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Sviluppo matematico
N risonatori con energia UN :
R 
 N  P N  P
N N PP
S N N S
S N k ln R k   N  P  ln  N  P   N ln N  P ln P
entropia N risonatori
Nr. complessioni
SN
U N P 
U N N U

U 
U U U
 k N  1   ln 1   
ln   S
  
  



U
 k  1 


U U U
 
ln 
 ln 1   
  

 
 hν
S

U  
U  U
U 
 ln 1 
 
 k  1 
ln

h
ν
h
ν
h
ν
h
ν
 



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
uv

8 π hν 3
1
c3
e hν / k T  1
41