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Soluzione degli Esercizi avanzati del Capitolo 10
Es.
In base agli arrotondamenti effettuati nei calcoli, si possono riscontrare piccole differenze nei risultati finali.
10.1 La risposta esatta è d.. Infatti, la variabile casuale X , “punteggio del test”, nella popolazione degli infermieri ha
E ( X ) = 80 e σ 2 = 100 . Approssimando la v.c. a una Normale, ossia applicando il teorema del limite centrale, si ha
che: X si può approssimare a una v.c. normale con E ( X ) = 80 e σ X2 = σ 2 n = 100 36 e quindi σ X = 10 6 = 1,667 .
⎛ a − 80 X − E ( X ) b − 80 ⎞
⎟ = P ⎛⎜ a − 80 ≤ Z ≤ b − 80 ⎞⎟ = 0,99
≤
≤
P a ≤ X ≤ b = P⎜
⎜ 1,667
⎜ 1,667
1,667 ⎟⎠
1,667 ⎟⎠
σ n
⎝
⎝
e dalle tavole della normale standardizzata (o dal software per la normale) si trova:
b − 80
a − 80
= z 0,005 = 2,576 ;
= −z 0,005 = −2,576
1,667
1,667
e quindi b = 84,29 ; a = 75,71 .
(
10.2
)
a. Lo spazio campionario Ω costituito da tutti i campioni di dimensione campionaria pari a 2, estratti senza
ripetizione, senza tener conto dell’ordine, è:
c1 =
150
100
c2 =
150
60
c3 =
150
50
c4 =
100
60
c5 =
100
50
c6 =
60
50
Si osservi che se si fosse tenuto conto anche dell’ordine, il numero di possibili campioni sarebbe raddoppiato
poiché per ogni campione considerato si doveva tener conto anche della sua permutazione.
b. Lo spazio campionario Ω costituito da tutti i campioni di dimensione campionaria pari a 2, estratti con
ripetizione senza tener conto dell’ordine, è:
c1 =
150
c6 =
100
150
100
c7 =
100
50
150
60
c8 =
60
60
c4 =
150
50
c9 =
60
50
c5 =
100
100
c10 =
50
50
c2 =
c3 =
150
60
Come nel punto precedente, se avessimo considerato l’ordine di estrazione, il numero di campioni sarebbe
aumentato a 16.
c. La distribuzione di probabilità di X è:
X
55
75
80
100
105
125
P X
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
( )
( )
V (X ) = 516,67
E X = 90
Si noti che, anche se avessimo considerato l’ordine di estrazione nei campioni, saremmo giunti alla stessa
distribuzione di probabilità per la media campionaria.
d. La distribuzione di probabilità di X è:
X
50
55
60
75
80
100
105
125
150
P X
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
2
1
10
1
10
1
10
( )
( )
V (X ) = 930
E X = 90
10
Si noti che, anche se avessimo considerato l’ordine di estrazione nei campioni, saremmo giunti a una diversa
distribuzione di probabilità per la media campionaria.
e. La varianza ottenuta al punto d. è maggiore di quella ottenuta al punto c. Le medie sono uguali e coincidono
anche con la media della popolazione. Il valore della varianza della X nel punto c. coincide con il valore che
si ottiene applicando la formula 10.7.1.
10.3 La risposta esatta è la d.
Infatti:
⎛ X − E ( X ) 195 − 190 ⎞
⎟ = P (Z > 2,5)
P X > 195 = P ⎜
>
⎟
⎜ σ n
10
5
⎠
⎝
(
)
10.4 Sia X la v.c. “altezza media dei 9 setter selezioniati”. Utilizzando le tavole della normale o il software, si ha:
⎛ X − 30 21 − 30 ⎞
⎟ = 1 − P (Z ≤ −9 ) = 1 − Φ (−9) = 1 − [1 − Φ (9)] = 1
P X > 21 = 1 − P X ≤ 21 = 1 − P ⎜⎜
≤
⎟
1
1
⎠
⎝
(
)
(
)
10.5 La risposta esatta è la b., infatti σ = σ
X
(
n = 10
3600 = 1 6
)
10.6 Sia X ~ N μ = 45; σ 2 = 25 la v.c. “salario”. Utilizzando le tavole della normale o il software, si ha:
⎛ X − 45 40 − 45 ⎞
a. P ( X < 40 ) = P ⎜
≤
⎟ = P (Z ≤ −1) = Φ( −1) = 1 − Φ(1) = 0,1587
5
⎝ 5
⎠
(
)
⎛ X − 45 40 − 45 ⎞
⎟ = P (Z ≤ −4,47 ) = Φ (−4,47) = 1 − Φ (4,47) = 0
≤
⎟
⎝ 5 4,47 5 4,47 ⎠
(
)
⎛ X − 45 40 − 45 ⎞
⎟⎟ = P (Z ≤ −7,75) = Φ (−7,75) = 1 − Φ (7,75) = 0
≤
⎝ 5 7,75 5 / 7,75 ⎠
b. P X < 40 = P ⎜⎜
c. P X < 40 = P ⎜⎜
10.7
a. V ( X ) = 1550
b. La distribuzione di probabilità della varianza campionaria è:
σˆ 2
25
400
P σ̂ 2
1
6
1
6
( )
625
2
6
2025 2500
1
6
1
6
c. Il valore atteso della varianza campionaria è 1033,33 che non coincide con la varianza della popolazione.
10.8 La v.c. X “numero di persone su cinque che prendono la metropolitana” è binomiale con π = 0,35 e n = 5 . Utilizzando
il software per la binomiale, si ha:
a. Seguendo la distribuzione (10.6.4) la probabilità è data da P ( X = 0,4) =
5!
(0,35) 2 (0,65) 3 = 0,336 .
2!3!
b. Si cerca la Pr (più di un terzo prendono la metropolitana) , quindi, indicato con Y = X 5 la quota campionaria,
sia ha P (Y > 1 3) = P ( X > 5 3) . D’altra parte, la binomiale assume valori solo interi e dunque:
⎡⎛ 5 ⎞
⎤
⎛ 5⎞
P ( X > 1,67) = P ( X ≥ 2 ) = 1 − P ( X = 0 o X = 1) = 1 − ⎢⎜⎜ ⎟⎟0,35 0 ⋅ 0,65 5 + ⎜⎜ ⎟⎟0,351 ⋅ 0,65 4 ⎥ = 0,57
⎝1⎠
⎣⎝ 0 ⎠
⎦
X
c. Indichiamo con Y =
la variabile casuale “quota campionaria”. Pertanto,
n
nπ
1
E (Y ) = E ( X n ) = E ( X ) =
= π = 0,35 e
n
n
nπ (1 − π )
π (1 − π )
1
SD(Y ) = V (Y ) = V ( X n ) =
V (X ) =
=
= 0,21 .
2
2
n
n
n
10.9
“percentuale di laureati” ha valore atteso E ( X ) = π = 0,2 e varianza V ( X ) =
π (1 − π )
= 0,0032 . Per
n
n = 50 possiamo approssimarla a una v.c. N (0,2; 0,0032 ) . Utilizzando le tavole della normale o il software statistico, si
trova:
La v.c. X
a. P ( X > 0,2 ) = 0,5 per la simmetria della v.c. normale rispetto al suo valore medio x = 0,2 .
⎛ 0 − 0,20 X − 0,20 0,10 − 0,20 ⎞
≤
≤
⎟ = P (− 3,33 ≤ Z ≤ −1,66 ) =
0,06
0,06 ⎠
⎝ 0,06
Φ(− 1,66 ) − Φ (− 3,33) = [1 − Φ (1,66 )] − [1 − Φ (3,33)] = [1 − 0,9515] − [1 − 0,99952] = 0,048
b. P (0 ≤ X ≤ 0,10 ) = P ⎜
⎛ X − 0,20 0,3 0 − 0,20 ⎞
<
⎟ = 1 − P (Z < 1,66 ) = 0,0485
0,06
⎠
⎝ 0,06
c. P ( X ≥ 0,30 ) = 1 − P ( X < 0,30 ) = 1 − P ⎜
⎛ X − 0,20 0,15 − 0,20 ⎞
P ( X ≤ 0,15) = P ⎜⎜
≤
⎟ = P (Z ≤ −0,83) =
0,06 ⎟⎠
⎝ 0,06
Φ(− 0,83) = [1 − Φ(0,83)] = 1 − 0,7967 = 0,2033
quindi è più probabile osservare una frequenza di laureati minore o uguale a 0,15.
10.10
a. Il valore atteso della statistica è uguale nelle due indagini (ed in particolare coincide con la percentuale di
persone della popolazione favorevole al provvedimento).
b. La deviazione standard dell’indagine compiuta su 100 individui è inferiore a quella compiuta su 50 individui;
in particolare, si ha che
π (1 − π )
<
π (1 − π )
. Questo risultato conferma che all’aumentare della numerosità
100
50
campionaria, la precisione della stima aumenta (e dunque la deviazione standard diminuisce).
10.11
a.
X ~ N (100;69,44 ) , utilizzando le tavole della normale o il software statistico si trova:
⎛ X − 100 90 − 100 ⎞
⎟ = P (Z ≤ −1,20 ) = Φ (− 1,20 ) = 1 − Φ (1,20 ) = 1 − 0,8849 = 0,1151
P X < 90 = P ⎜⎜
<
8,33 ⎟⎠
⎝ 8,33
⎛ X − 100 115 − 100 ⎞
⎟ = 1 − P (Z ≤ 1,80 ) = 1 − Φ (1,80 ) = 1 − 0,9641 = 0,0359
P X > 115 = 1 − P X ≤ 115 = 1 − P ⎜⎜
≤
8,33 ⎟⎠
⎝ 8,33
E’ più probabile osservare valori della media campionaria inferiori a 90.
(
)
(
)
(
)
X ~ N (100;25) e dalle tavole della normale o mediante il software statistico si trova che la probabilità
diminuisce. Infatti:
⎛ X − 100 115 − 100 ⎞
P X > 115 = 1 − P (X ≤ 115) = 1 − P ⎜
≤
⎟ = 1 − P (Z ≤ 3) = 1 − Φ (3) = 1 − 0,99865 = 0,00135 Ciò
5
5
⎝
⎠
si spiega osservando che all’aumentare della numerosità campionaria, il valore medio campionario tende ad
avvicinarsi al valore incognito della popolazione.
b.
(
)
c. La deviazione standard della media campionaria è
σ
n
10.12
. Si ha
25
= 2,5 da cui n = 100 .
n
a. Ogni intervistato ha due sole possibilità di risposta, che possiamo indicare con 1=”vota A” e 0=”non
vota A”, quindi il numero di persone che nel campione si esprime a favore di A può andare da 0 a
3500. Poiché nella popolazione π = 0,55 , la v.c. si distribuisce come una Binomiale con n = 3500 e
π = 0,55 e il suo valore atteso è μ = nπ = 1925 . Pertanto ci si attende nel campione 1925 intervistati
che si dicono a favore di A. Tuttavia, poiché la deviazione standard è σ = nπ (1 − π ) = 29,4 nel
campione probabilmente non si osserveranno esattamente 1925 persone a favore di A ma per esempio
un numero oscillante tra μ ± σ ossia tra 1896 e 1954.
b. La proporzione di intervistati nel campione che vota per A, X , è una v.c. binomiale divisa per 3500.
Questa v.c. assume i valori 0, 1/3500, …, 3499/3500, 1. Poiché nella popolazione π = 0,55 , allora la
distribuzione della X ha valore atteso uguale a π = 0,55 e deviazione standard
π (1 − π )
0,55 ⋅ 0,45
= 0,0084 . Quindi con buona probabilità si osserverà nel campione una quota
3500
all’interno dei valori μ ± σ ossia tra 0,54 e 0,56.
n
10.13
=
a. Poiché la popolazione dei negozi è finita la media campionaria dell’orario di apertura è
⎛ 5000 − 50 ⎞ (0,3) 2
E ( X ) = μ = 8,30 e la varianza Var ( X ) = ⎜
= 0,00178 .
⎟
⎝ 5000 − 1 ⎠ 50
50
b. Sia la dimensione campionaria, n = 50 , che il rapporto
= 0,01 sono sufficienti per poter affermare
5000
che la media campionaria si distribuisce come una v.c. Normale con μ = 8,30 e σ 2 = 0,00178 .
c. Poiché
la
media
P (8,30 ≤ X ≤ 8,384) = P (
campionaria
8,30 − 8,30
distribuisce come
X −μ
8,384 − 8,30
≤
⎛N −n⎞σ 2
⎜
⎟
⎝ N −1 ⎠ n
= P ( 0 ≤ Z ≤ 1,99) = Φ(1,99) − Φ(0) = 0,9767 − 0,5 = 0,4767 .
10.14
0,00178
≤
si
0,00178
una
v.c.
Normale,
si
ha:
)=
a. La quota attesa di intervistati che si dicono interessati all’offerta commerciale è E ( X ) = π = 0,05 .
b. Considerata
la
popolazione
infinita,
la
media
campionaria
X
è
distribuita
π (1 − π )
come
⎛120 ⎞
⎟⎟(0,05) 6 (0,95)120−6 con media π = 0,05 e deviazione standard
P ( X = x ) = ⎜⎜
= 0,02 .
6
n
⎝
⎠
Tuttavia, poiché la numerosità campionaria è sufficientemente ampia e nπ > 5 , n(1 − π ) > 5 , la
distribuzione si può approssimare a quella di una v.c. Normale.
c. P ( X > 50) = P (
X − 0,05 0,08 − 0,05
>
)) = P (Z > 1,5) = 1 − P (Z ≤ 1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668 .
0,02
0,02
