Soluzioni compito 19.09.2014
annuncio pubblicitario
FISICA GENERALE I A.A. 2013-2014 19 Settembre 2014 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente 8-9 crediti 10 crediti Voto: Esercizio n. 1 Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità angolare costante ω attorno al suo estremo A. Lungo l’asta sono posti in successione una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla che reca al suo estremo libero una massa m, un filo ideale di lunghezza l1 fissato da un lato alla massa m e recante all’altro estremo una massa 2m e un secondo filo ideale di lunghezza l 2 fissato da un lato alla massa 2m e recante all’altro estremo una massa m (vedi figura). Determinare all’equilibrio la deformazione x della molla e la tensione dei fili. Calcolare inoltre l’accelerazione della massa 2m nel sistema di riferimento x,y in figura quando l’asta forma un angolo θ con l’asse y. Eseguire i calcoli per: k= 10 N/m, m= 0.2 kg, l1= 0.3 m, l2= 0.2 m, ω= 2 rad/s, θ= 30°. Esercizio n. 2 Una molla di costante elastica k mantiene inizialmente orizzontale un’asta di lunghezza L e massa M vincolata all’altro estremo A (vedi figura). Una massa m cade da una quota h al di sopra dell’asta e vi si conficca, a distanza l da A. Determinare la velocità angolare dopo l’urto e la deformazione y della molla all’equilibrio (N.B. per piccoli spostamenti si può considerare che la molla resti verticale). Eseguire i calcoli per: L= 0.4 m, l= 0.15 m, h= 0.3 m, M= 0.2 kg, m= 0.05 kg, k= 20 N/m. 12 crediti Esercizio n. 3 Il sensore di impatto di un’automobile funziona emettendo un suono di frequenza v0 e misurando la frequenza dell’onda riflessa da un eventuale ostacolo. Sapendo che la frequenza massima che può misurare è vM, determinare la massima velocità VM del veicolo per la quale il dispositivo è in grado di segnalare un ostacolo fermo. La velocità del suono è V. N.B. assumere che l’onda riflessa venga ricevuta istantaneamente, senza ritardo temporale. Eseguire i calcoli per v0= 30000 Hz, vM= 36000 Hz, V= 1230 km/h. Esercizio n. 4 Utilizzando una forza Fm costante si comprime di un tratto x uno stantuffo che chiude un recipiente cilindrico di sezione A contenente n moli di un gas biatomico, inizialmente a pressione p0, temperatura T0 e volume V0. Il gas raggiunge lo stato di equilibrio finale assorbendo un calore Q da un’unica sorgente. Determinare i valori delle variabili termodinamiche del gas nello stato finale, e la variazione di entropia dell’universo. Eseguire i calcoli per Fm= 2.5 103 N, A= 200 cm2, n= 2.5, p0= 1 atm, V0= 70 l, Q= 2000 J. FISICA GENERALE I A.A. 2013-2014 19 Settembre 2014 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente 8-9 crediti 10 crediti Voto: Esercizio n. 1 Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità 12 crediti angolare costante ω attorno al suo estremo A. Lungo l’asta sono posti in successione una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla che reca al suo estremo libero una massa m, un filo ideale di lunghezza l1 fissato da un lato alla massa m e recante all’altro estremo una massa 2m e un secondo filo ideale di lunghezza l 2 fissato da un lato alla massa 2m e recante all’altro estremo una massa m (vedi figura). Determinare all’equilibrio la deformazione x della molla e la tensione dei fili. Calcolare inoltre l’accelerazione della massa 2m nel sistema di riferimento x,y in figura quando l’asta forma un angolo θ con l’asse y. Eseguire i calcoli per: k= 10 N/m, m= 0.2 kg, l1= 0.3 m, l2= 0.2 m, ω= 2 rad/s, θ= 30°. Le condizioni di equilibrio per le tre masse sono: −π2 + ππ2 (π1 + π2 + π₯) = 0 π2 − π1 + 2ππ2 (π1 + π₯) = 0 −ππ₯ + π1 + ππ2 π₯ = 0 Sommandole si trova ππ2 (π1 + π2 + π₯ + 2π1 + 2π₯ + π₯) − ππ₯ = 0 → π₯= ππ2 (3π1 + π2 ) = 0.13 π π − 4ππ 2 Le tensioni si ricavano ora dalla prima e dalla terza equazione: π2 = ππ2 (π1 + π2 + π₯) = 0.5 π π1 = (π − ππ2 )π₯ = 1.19 π Infine per la massa 2m l’accelerazione è puramente centripeta di modulo ω2(l1+x) e quindi: ππ₯ = −π2 (π1 + π₯) π πππ = −0.86 π/π 2 ; ππ¦ = −π2 (π1 + π₯) πππ π = −1.5 π/π 2 Esercizio n. 2 Una molla di costante elastica k mantiene inizialmente orizzontale un’asta di lunghezza L e massa M vincolata all’altro estremo A (vedi figura). Una massa m cade da una quota h al di sopra dell’asta e vi si conficca, a distanza l da A. Determinare la velocità angolare dopo l’urto e la deformazione y della molla all’equilibrio (N.B. per piccoli spostamenti si può considerare che la molla resti verticale). Eseguire i calcoli per: L= 0.4 m, l= 0.15 m, h= 0.3 m, M= 0.2 kg, m= 0.05 kg, k= 20 N/m. L’impulso trasferito nell’urto completamente anelastico è J= mv= m(2gh)1/2, e la conservazione del momento angolare rispetto ad A dà π½π = πΌπ = (ππ 2 + ππΏ2 )π 3 → π= π√2πβ π = 1.54 πππ/π ππΏ2 (ππ 2 + 3 ) All’equilibrio l’asta sarà inclinata di un angolo θ a causa della deformazione y della molla, e l’equilibrio dei momenti della forza elastica e della forza peso rispetto ad A fornisce πΏ ππ¦πΏπππ π = (πππ + ππ ) πππ π 2 → π¦= πππ + ππ πΏπ πΏ 2 = 5.8 ππ Esercizio n. 3 Il sensore di impatto di un’automobile funziona emettendo un suono di frequenza v0 e misurando la frequenza dell’onda riflessa da un eventuale ostacolo. Sapendo che la frequenza massima che può misurare è vM, determinare la massima velocità VM del veicolo per la quale il dispositivo è in grado di segnalare un ostacolo fermo. La velocità del suono è V. N.B. assumere che l’onda riflessa venga ricevuta istantaneamente, senza ritardo temporale. Eseguire i calcoli per v0= 30000 Hz, vM= 36000 Hz, V= 1230 km/h. L’onda investe l’ostacolo, e ne viene riflessa, con frequenza apparente π′ = π0 π π−π£ e viene ricevuta con frequenza π+π£ π+π£ = π0 π π−π£ π′′ = π ′ La massima velocità per il funzionamento del dispositivo è quella per cui v”=vM, ossia : ππ (π − ππ ) = π0 (π + ππ ) → ππ = π ππ − π0 = 112 ππ/β ππ + π0 Esercizio n. 4 Utilizzando una forza Fm costante si comprime di un tratto x uno stantuffo che chiude un recipiente cilindrico di sezione A contenente n moli di un gas biatomico, inizialmente a pressione p0, temperatura T0 e volume V0. Il gas raggiunge lo stato di equilibrio finale assorbendo un calore Q da un’unica sorgente. Determinare i valori delle variabili termodinamiche del gas nello stato finale, e la variazione di entropia dell’universo. Eseguire i calcoli per Fm= 2.5 103 N, A= 200 cm2, n= 2.5, p0= 1 atm, V0= 70 l, Q= 2000 J. Nello stato finale le variabili termodinamiche valgono: ππ = πΉπ π΄ ; ππ = π0 − π΄π₯ ; ππ = ππ ππ πΉπ (π − π΄π₯) = ππ ππ π΄ 0 dove x si può ricavare dal I° principio della termodinamica: πππ (ππ − π0 ) = Δπ = π − πΏ = π − πΉπ (π − π0 ) = π + πΉπ π₯ π΄ π → ππ = π0 + π + πΉπ π₯ πππ Uguagliando le due espressioni ottenute per Tf si trova π₯= ππ π0 (πΉπ − π0 π΄) − ππ π΄ = 0.25 π πΉπ π΄(ππ + π ) → ππ = 1.23 ππ‘π ; ππ = 65 π ; ππ = 391 πΎ Per la variazione di entropia,l’ambiente è costituito dall’unica sorgente, a temperatura Tf, con cui il gas scambia calore, per cui: βπ = − ππ ππ π dU + dL π +∫ = − + πππ ππ + ππ ππ = 0.46 π½/πΎ ππ T ππ π0 π0 FISICA 1 A.A. 2013-2014 19 Settembre 2014 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto: Esercizio n. 1 Due ciclisti A e B si inseguono in un velodromo circolare di raggio R, partendo contemporaneamente quando B è a mezzo giro di distanza da A. Se A si muove a velocità costante VA, con che velocità angolare (costante) si deve muovere B per raggiungere A entro il tempo T ? Eseguire i calcoli per: R= 50 m, VA= 10 m/s,T= 3 min. Dette sA, sB le ascisse curvilinee dei due ciclisti: π π΄ (π‘) = ππ + ππ΄ π‘ π π΅ (π‘) = ππ΅ π‘ = ππ΅ π π‘ B raggiungerà A al tempo T se sA(T)= sB(T), ossia ππ + ππ΄ π = ππ΅ π π → ππ΅ = ππ + ππ΄ π = 0.22 πππ/π π π Esercizio n. 2 Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità angolare costante ω attorno al suo estremo A. Lungo l’asta sono posti in successione una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla che reca al suo estremo libero una massa m, e un filo ideale di lunghezza l fissato da un lato alla massa m e recante all’altro estremo una massa 2m (vedi figura). Determinare all’equilibrio la deformazione x della molla e la tensione del filo. Eseguire i calcoli per: k= 10 N/m, m= 0.2 kg, l= 0.3 m, ω= 2 rad/s. Le condizioni di equilibrio per le due masse sono: −π + 2ππ2 (π + π₯) = 0 −ππ₯ + π + ππ2 π₯ = 0 Sommandole si trova ππ2 (2π + 2π₯ + π₯) − ππ₯ = 0 → π₯= 2ππ2 π = 6.3 ππ π − 3ππ 2 La tensioni si ricava ora dalla prima o dalla seconda equazione: π2 = 2ππ2 (π + π₯) = 0.58 π FISICA 2 A.A. 2013-2014 19.09.2014 Cognome Nome n. matricola Corso di Studi Docente Voto: Esercizio n. 1: Si consideri un sistema costituito da un guscio sferico di raggio R, caricato con densità di carica superficiale ο³, attraversato lungo un diametro da un filo rettilineo infinito, caricato con densità lineare di carica ο¬. Determinare su un asse ortogonale al filo e passante per il centro del guscio sferico la distanza d alla quale il campo elettrico totale dovuto alle due distribuzioni di carica è nullo. Per i calcoli si utilizzi: R=10 cm, ο ο³ C/m2, ο¬= -10-10 C/m Utilizzando la legge di Gauss: Esercizio n. 2: Un cilindro infinitamente lungo di raggio R è percorso da una corrente di densità non uniforme J(r)=kr, dove rο£R è la distanza dall’asse del cilindro stesso. Calcolare il valore del campo magnetico ad una distanza D dall’asse del cilindro. Utilizzare per i calcoli R=2 cm, k=5 A/m3, D=4 cm Applicando la legge di Ampere utilizzando un cammino circolare di raggio D, coassiale al cilindro:
