Soluzioni compito 19.09.2014

FISICA GENERALE I
A.A. 2013-2014
19 Settembre 2014
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
8-9
crediti
10 crediti
Voto:
Esercizio n. 1 Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità
angolare costante ω attorno al suo estremo A. Lungo l’asta sono posti in successione una
molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla che reca al suo estremo libero una
massa m, un filo ideale di lunghezza l1 fissato da un lato alla massa m e recante all’altro
estremo una massa 2m e un secondo filo ideale di lunghezza l 2 fissato da un lato alla massa
2m e recante all’altro estremo una massa m (vedi figura).
Determinare all’equilibrio la deformazione x della molla e la tensione dei fili.
Calcolare inoltre l’accelerazione della massa 2m nel sistema di riferimento x,y in figura
quando l’asta forma un angolo θ con l’asse y.
Eseguire i calcoli per: k= 10 N/m, m= 0.2 kg, l1= 0.3 m, l2= 0.2 m, ω= 2 rad/s, θ= 30°.
Esercizio n. 2 Una molla di costante elastica k mantiene inizialmente orizzontale un’asta
di lunghezza L e massa M vincolata all’altro estremo A (vedi figura). Una massa m cade da
una quota h al di sopra dell’asta e vi si conficca, a distanza l da A. Determinare la velocità
angolare dopo l’urto e la deformazione y della molla all’equilibrio (N.B. per piccoli
spostamenti si può considerare che la molla resti verticale).
Eseguire i calcoli per: L= 0.4 m, l= 0.15 m, h= 0.3 m, M= 0.2 kg, m= 0.05 kg, k= 20 N/m.
12 crediti
Esercizio n. 3 Il sensore di impatto di un’automobile funziona emettendo un suono di frequenza v0 e misurando la
frequenza dell’onda riflessa da un eventuale ostacolo. Sapendo che la frequenza massima che può misurare è vM,
determinare la massima velocità VM del veicolo per la quale il dispositivo è in grado di segnalare un ostacolo fermo. La
velocità del suono è V.
N.B. assumere che l’onda riflessa venga ricevuta istantaneamente, senza ritardo temporale.
Eseguire i calcoli per v0= 30000 Hz, vM= 36000 Hz, V= 1230 km/h.
Esercizio n. 4 Utilizzando una forza Fm costante si comprime di un tratto x uno stantuffo
che chiude un recipiente cilindrico di sezione A contenente n moli di un gas biatomico,
inizialmente a pressione p0, temperatura T0 e volume V0. Il gas raggiunge lo stato di
equilibrio finale assorbendo un calore Q da un’unica sorgente. Determinare i valori delle
variabili termodinamiche del gas nello stato finale, e la variazione di entropia dell’universo.
Eseguire i calcoli per Fm= 2.5 103 N, A= 200 cm2, n= 2.5, p0= 1 atm, V0= 70 l, Q= 2000 J.
FISICA GENERALE I
A.A. 2013-2014
19 Settembre 2014
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
8-9
crediti
10 crediti
Voto:
Esercizio n. 1 Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità
12 crediti
angolare costante ω attorno al suo estremo A. Lungo l’asta sono posti in successione una
molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla che reca al suo estremo libero una
massa m, un filo ideale di lunghezza l1 fissato da un lato alla massa m e recante all’altro
estremo una massa 2m e un secondo filo ideale di lunghezza l 2 fissato da un lato alla massa
2m e recante all’altro estremo una massa m (vedi figura).
Determinare all’equilibrio la deformazione x della molla e la tensione dei fili.
Calcolare inoltre l’accelerazione della massa 2m nel sistema di riferimento x,y in figura
quando l’asta forma un angolo θ con l’asse y.
Eseguire i calcoli per: k= 10 N/m, m= 0.2 kg, l1= 0.3 m, l2= 0.2 m, ω= 2 rad/s, θ= 30°.
Le condizioni di equilibrio per le tre masse sono:
−𝑇2 + 𝑚𝜔2 (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑥) = 0
𝑇2 − 𝑇1 + 2𝑚𝜔2 (𝑙1 + 𝑥) = 0
−𝑘𝑥 + 𝑇1 + 𝑚𝜔2 𝑥 = 0
Sommandole si trova
𝑚𝜔2 (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑥 + 2𝑙1 + 2𝑥 + 𝑥) − 𝑘𝑥 = 0
→
𝑥=
𝑚𝜔2 (3𝑙1 + 𝑙2 )
= 0.13 𝑚
𝑘 − 4𝑚𝜔 2
Le tensioni si ricavano ora dalla prima e dalla terza equazione:
𝑇2 = 𝑚𝜔2 (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑥) = 0.5 𝑁
𝑇1 = (𝑘 − 𝑚𝜔2 )𝑥 = 1.19 𝑁
Infine per la massa 2m l’accelerazione è puramente centripeta di modulo ω2(l1+x) e quindi:
𝑎𝑥 = −𝜔2 (𝑙1 + 𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝜃 = −0.86 𝑚/𝑠 2
;
𝑎𝑦 = −𝜔2 (𝑙1 + 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −1.5 𝑚/𝑠 2
Esercizio n. 2 Una molla di costante elastica k mantiene inizialmente orizzontale un’asta
di lunghezza L e massa M vincolata all’altro estremo A (vedi figura). Una massa m cade da
una quota h al di sopra dell’asta e vi si conficca, a distanza l da A. Determinare la velocità
angolare dopo l’urto e la deformazione y della molla all’equilibrio (N.B. per piccoli
spostamenti si può considerare che la molla resti verticale).
Eseguire i calcoli per: L= 0.4 m, l= 0.15 m, h= 0.3 m, M= 0.2 kg, m= 0.05 kg, k= 20 N/m.
L’impulso trasferito nell’urto completamente anelastico è J= mv= m(2gh)1/2, e la conservazione del momento angolare
rispetto ad A dà
𝐽𝑙 = 𝐼𝜔 = (𝑚𝑙 2 +
𝑀𝐿2
)𝜔
3
→
𝜔=
𝑚√2𝑔ℎ 𝑙
= 1.54 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑀𝐿2
(𝑚𝑙 2 + 3 )
All’equilibrio l’asta sarà inclinata di un angolo θ a causa della deformazione y della molla, e l’equilibrio dei momenti
della forza elastica e della forza peso rispetto ad A fornisce
𝐿
𝑘𝑦𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 = (𝑚𝑔𝑙 + 𝑀𝑔 ) 𝑐𝑜𝑠𝜃
2
→
𝑦=
𝑚𝑔𝑙 + 𝑀𝑔
𝐿𝑘
𝐿
2 = 5.8 𝑐𝑚
Esercizio n. 3 Il sensore di impatto di un’automobile funziona emettendo un suono di frequenza v0 e misurando la
frequenza dell’onda riflessa da un eventuale ostacolo. Sapendo che la frequenza massima che può misurare è vM,
determinare la massima velocità VM del veicolo per la quale il dispositivo è in grado di segnalare un ostacolo fermo. La
velocità del suono è V.
N.B. assumere che l’onda riflessa venga ricevuta istantaneamente, senza ritardo temporale.
Eseguire i calcoli per v0= 30000 Hz, vM= 36000 Hz, V= 1230 km/h.
L’onda investe l’ostacolo, e ne viene riflessa, con frequenza apparente
𝜈′ = 𝜐0
𝑉
𝑉−𝑣
e viene ricevuta con frequenza
𝑉+𝑣
𝑉+𝑣
= 𝜐0
𝑉
𝑉−𝑣
𝜈′′ = 𝜈 ′
La massima velocità per il funzionamento del dispositivo è quella per cui v”=vM, ossia :
𝜈𝑀 (𝑉 − 𝑉𝑀 ) = 𝜈0 (𝑉 + 𝑉𝑀 )
→
𝑉𝑀 = 𝑉
𝜈𝑀 − 𝜈0
= 112 𝑘𝑚/ℎ
𝜈𝑀 + 𝜈0
Esercizio n. 4 Utilizzando una forza Fm costante si comprime di un tratto x uno stantuffo
che chiude un recipiente cilindrico di sezione A contenente n moli di un gas biatomico,
inizialmente a pressione p0, temperatura T0 e volume V0. Il gas raggiunge lo stato di
equilibrio finale assorbendo un calore Q da un’unica sorgente. Determinare i valori delle
variabili termodinamiche del gas nello stato finale, e la variazione di entropia dell’universo.
Eseguire i calcoli per Fm= 2.5 103 N, A= 200 cm2, n= 2.5, p0= 1 atm, V0= 70 l, Q= 2000 J.
Nello stato finale le variabili termodinamiche valgono:
𝑝𝑓 =
𝐹𝑚
𝐴
;
𝑉𝑓 = 𝑉0 − 𝐴𝑥
;
𝑇𝑓 =
𝑝𝑓 𝑉𝑓
𝐹𝑚
(𝑉 − 𝐴𝑥)
=
𝑛𝑅
𝑛𝑅𝐴 0
dove x si può ricavare dal I° principio della termodinamica:
𝑛𝑐𝑉 (𝑇𝑓 − 𝑇0 ) = Δ𝑈 = 𝑄 − 𝐿 = 𝑄 −
𝐹𝑚
(𝑉 − 𝑉0 ) = 𝑄 + 𝐹𝑚 𝑥
𝐴 𝑓
→
𝑇𝑓 = 𝑇0 +
𝑄 + 𝐹𝑚 𝑥
𝑛𝑐𝑉
Uguagliando le due espressioni ottenute per Tf si trova
𝑥=
𝑐𝑉 𝑉0 (𝐹𝑚 − 𝑝0 𝐴) − 𝑄𝑅𝐴
= 0.25 𝑚
𝐹𝑚 𝐴(𝑐𝑉 + 𝑅)
→
𝑝𝑓 = 1.23 𝑎𝑡𝑚
;
𝑉𝑓 = 65 𝑙
;
𝑇𝑓 = 391 𝐾
Per la variazione di entropia,l’ambiente è costituito dall’unica sorgente, a temperatura Tf, con cui il gas scambia calore,
per cui:
∆𝑆 = −
𝑇𝑓
𝑉𝑓
𝑄
dU + dL
𝑄
+∫
= − + 𝑛𝑐𝑉 𝑙𝑛 + 𝑛𝑅 𝑙𝑛 = 0.46 𝐽/𝐾
𝑇𝑓
T
𝑇𝑓
𝑇0
𝑉0
FISICA 1
A.A. 2013-2014
19 Settembre 2014
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto:
Esercizio n. 1 Due ciclisti A e B si inseguono in un velodromo circolare di raggio R, partendo contemporaneamente
quando B è a mezzo giro di distanza da A. Se A si muove a velocità costante VA, con che velocità angolare (costante) si
deve muovere B per raggiungere A entro il tempo T ?
Eseguire i calcoli per: R= 50 m, VA= 10 m/s,T= 3 min.
Dette sA, sB le ascisse curvilinee dei due ciclisti:
𝑠𝐴 (𝑡) = 𝜋𝑅 + 𝑉𝐴 𝑡
𝑠𝐵 (𝑡) = 𝑉𝐵 𝑡 = 𝜔𝐵 𝑅𝑡
B raggiungerà A al tempo T se sA(T)= sB(T), ossia
𝜋𝑅 + 𝑉𝐴 𝑇 = 𝜔𝐵 𝑅𝑇
→
𝜔𝐵 =
𝜋𝑅 + 𝑉𝐴 𝑇
= 0.22 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑅𝑇
Esercizio n. 2 Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità
angolare costante ω attorno al suo estremo A. Lungo l’asta sono posti in successione una
molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla che reca al suo estremo libero una
massa m, e un filo ideale di lunghezza l fissato da un lato alla massa m e recante all’altro
estremo una massa 2m (vedi figura).
Determinare all’equilibrio la deformazione x della molla e la tensione del filo.
Eseguire i calcoli per: k= 10 N/m, m= 0.2 kg, l= 0.3 m, ω= 2 rad/s.
Le condizioni di equilibrio per le due masse sono:
−𝑇 + 2𝑚𝜔2 (𝑙 + 𝑥) = 0
−𝑘𝑥 + 𝑇 + 𝑚𝜔2 𝑥 = 0
Sommandole si trova
𝑚𝜔2 (2𝑙 + 2𝑥 + 𝑥) − 𝑘𝑥 = 0
→
𝑥=
2𝑚𝜔2 𝑙
= 6.3 𝑐𝑚
𝑘 − 3𝑚𝜔 2
La tensioni si ricava ora dalla prima o dalla seconda equazione:
𝑇2 = 2𝑚𝜔2 (𝑙 + 𝑥) = 0.58 𝑁
FISICA 2
A.A. 2013-2014
19.09.2014
Cognome
Nome
n. matricola
Corso di Studi
Docente
Voto:
Esercizio n. 1: Si consideri un sistema costituito da un guscio sferico di raggio R, caricato con densità di
carica superficiale , attraversato lungo un diametro da un filo rettilineo infinito, caricato con densità
lineare di carica . Determinare su un asse ortogonale al filo e passante per il centro del guscio sferico la
distanza d alla quale il campo elettrico totale dovuto alle due distribuzioni di carica è nullo.
Per i calcoli si utilizzi: R=10 cm, 
C/m2, = -10-10 C/m
Utilizzando la legge di Gauss:
Esercizio n. 2: Un cilindro infinitamente lungo di raggio R è percorso da una corrente di densità non
uniforme J(r)=kr, dove rR è la distanza dall’asse del cilindro stesso. Calcolare il valore del campo
magnetico ad una distanza D dall’asse del cilindro.
Utilizzare per i calcoli R=2 cm, k=5 A/m3, D=4 cm
Applicando la legge di Ampere utilizzando un cammino circolare di raggio D, coassiale al cilindro: