Reazione di radiazione e larghezza naturale della riga emessa

Reazione di radiazione e larghezza naturale della riga emessa
Assumiamo che, nel modello ad oscillatori della materia, agli elettroni sia
conferita una certa energia (ad esempio riscaldando una lampada a gas).
A causa della perdita di energia meccanica dovuta alla radiazione diffusa
dall’oscillatore carico, la stessa radiazione emessa non è perfettamente monocromatica. Infatti, dall’equazione dell’oscillatore (assumiamo di risolvere il problema in una dimensione, le altre sono analoghe)
ẍ + γ ẋ + ω02 x = 0 ,
il moto si riduce (per opportune condizioni iniziali)1
γ
γ
x(t) = x0 e− 2 t e−iωf t ≈ x0 e− 2 t e−iω0 t ,
con ωf2 = ω02 −
γ2
;
4
(1)
La reazione di radiazione (gli effetti dell’emissione di radiazione sullo stesso
oscillatore) sono un argomento difficile da affrontare in generale, ma possono
essere stimati in modo semplice nel caso di un moto periodico dell’elettrone.
Si può cosı̀ stimare la forza meccanica sull’elettrone dovuta all’emissione.
Assumendo che la forza viscosa Fv = −me γ ẋ, sia interamente dovuta alla
perdita di energia per radiazione, si ha che la perdita di potenza meccanica
dovuta alla forza viscosa (mediata sul ciclo: hFv ẋi) deve uguagliare la perdita
2
in potenza per emissione di radiazione (hPdiff = 23 kce3e h(ẍ)2 i), cioè:
h−me γ ẋẋi +
2 ke e2
h(ẍ)2 i = 0 .
3 c3
In ogni ciclo gli effetti dovuti alla forza viscosa sono molto piccoli (γ ω0 =
2π
, come si dovrà verificare a posteriori) e la parte reale della soluzione (1)
T0
può essere scritta
< x(t) = x0 e−γ/2t cos ωf t ≈ x0 cos ω0 t ,
1
La soluzione generale dell’equazione del moto per condizioni iniziali fissate da
x(t = 0) = x0 e ẋ(t = 0) = v0 , può essere scritta
1 γ
−γ/2t
x0 + v0 sin ωf t + x0 cos ωf t ,
x(t) = e
ωf 2
la soluzione (1) corrisponde a condizioni iniziali x(t = 0) = x0 e v0 = −γx0 /2 come può
essere facilmente verificato.
1
per un lungo intervallo di tempo T0 t γ −1 , in cui il moto è approssimativamente periodico. Si ottiene cosı̀ :
h−me γ ẋ2 i = −me γx20 ω02
e
1
2
2 ke e2 2
2 ke e2 2 1 4
hẍ
i
=
x ω .
3 c3
3 c3 0 2 0
Uguagliando
1
2 ke e2 2 1 4
x0 ω0 = me γ x20 ω02
3
3 c
2
2
ovvero
γ≈
2 ke e2 2
ω .
3 m e c3 0
(2)
Il valore relativo di γ:
γ
2 ke e2 2πc
2 ke e2
1.2 · 10−4 Å
ω
=
=
≈
:
0
ω0
3 me c3
3 m e c 3 λ0
λ0
γ
10−8 <
< 10−2 ;
ω0
(3)
(4)
per lunghezze d’onda dal visibile (λ ≈ 5000 Å) ai raggi X (λ ≈ 10−2 Å),
verificando l’assunzione γ ω0 .
Esercizio: verificare che le stesse conclusioni possono essere raggiunte nel
−iωt
caso di un oscillatore forzato da un campo elettrico
.
i 0e
h esterno E = x̂E
qe /me
−iωt
...)
(suggerimento: il moto è ora dato da <x(t) = < ω2 −ω2 −iγω E0 e
0
Larghezza naturale (radiativa) della riga emessa
La (parte radiativa, naturale) della larghezza della riga spettrale emessa2
può essere ricavata da un’analisi di Fourier dei campi che sono proporzionali
(nel limite γ ω0 ) alla (1), ovvero3
γ
E(t) = E0 e− 2 t e−iω0 t .
(5)
2
Diversi fattori allargano ulteriormente la riga emessa da un gas riscaldato, quali
l’effetto doppler dell’atomo in movimento e l’interruzione, a causa degli urti con gli altri atomi, del treno d’onda emesso.
3
Per essere precisi il campo elettrico è proporzionale a ẍ, ma nel limite γ ω0 ,
γ
γ
la derivata seconda della (1), ẍ = x0 (−iω0 − γ/2)2 e− 2 t e−iω0 t ≈ −x0 ω02 e− 2 t e−iω0 t ∼
γ
E0 e− 2 t e−iω0 t , come espresso dalla (5).
2
Ne segue
γ
1 Z +∞
1 Z +∞
E(ω) = √
E(t) eiωt dt = √
E0 e− 2 t e−iω0 t eiωt dt
2π −∞
2π 0
E0
1
= √
γ
2π i(ω − ω0 ) − 2
corrispondente ad un’intensità di radiazione I(ω) ∼ |E(ω)|2
I(ω) = I0
1
γ
2π (ω − ω0 )2 +
γ2
4
+∞
e normalizzata in modo tale che −∞
I(ω)dω = I0 . La larghezza della riga
∆ω, misurata a metà altezza, risulta
R
∆ω ≈ γ =
2 ke e2 2
ω .
3 me c3 0
La stessa larghezza espressa in funzione della lunghezza d’onda è
|∆λ| = 2πc
(6)
4
∆ω
4π
4π ke e2
=
r0 ≈ 10−12 cm ,
=
2
ω0
3 me c2
3
ed è costante ed indipendente dalla frequenza dell’oscillatore. In pratica lo
smorzamento radiativo non è la sola causa di allargamento della riga spettrale: interruzioni del treno d’onda dovute a collisioni tra atomi e l’effetto
Doppler contribuiscono ad allargare le righe spettrali.
La relazione (6), scrivibile anche:
∆ω · γ −1 = ∆ω · τ ≈ 1
tra la larghezza (radiativa) della riga e la vita media (radiativa τ = γ −1 )
dello stato, equivale alla relazione
∆E · ∆t ≈ h̄ ,
(7)
se ∆E = h̄∆ω. La (7) è la relazione quantistica tra la vita media e la
larghezza in energia di uno stato.
4
Si noti che λ · ω = 2πc e quindi che ∆λ · ω + λ · ∆ω = 0
3