Esercizi di econometria: serie 1 Esercizio 1 E’ data la popolazione dell’Abruzzo classificata in sei categorie di reddito ed in tre classi di età come segue: Reddito: (1) (2) (3) (4) (5) (6) L. 2.000.000 – 4.000.000 L. 4.000.000 – 8.000.000 L. 8.000.000 – 12.000.000 L. 12.000.000 – 20.000.000 L. 20.000.000 – 50.000.000 Oltre L. 50.000.000 Età: (1) (2) (3) Giovani Adulti Anziani Si definiscano ora le variabili casuali X = {Categoria di reddito } , e Y = {Classe di età } , e sia la funzione di densità congiunta la seguente: Y X 1 2 3 4 5 6 1 2 3 0.250 0.075 0.040 0.020 0.010 0.010 0.020 0.250 0.075 0.030 0.015 0.010 0.005 0.020 0.100 0.035 0.020 0.020 a. Si costruisca la funzione di ripartizione congiunta FX Y (x ,y ) b. Si costruiscano le funzioni di ripartizione e densità marginali. c. Si derivino le funzioni di densità della variabile casuale X condizionate ad Y = 1, 2 , 3 Soluzione a. Per definizione la funzione di ripartizione congiunta è data dalla seguente espressione: FX Y (x , y ) = P(X ≤ x , Y ≤ y ) poiché la variabile aleatoria in esame è discreta, la funzione di ripartizione congiunta si ottiene come segue: FX Y (x ,y ) = ∑ ∑ f (x ,y ) XY i j i :x i ≤x j:y j ≤ y dove f X Y (x i ,y j ) rappresenta la funzione di densità di probabilità discreta (o massa di probabilità). I risultati sono riportati nella seguente tabella a doppia entrata: 1 Esercizi di econometria serie 1 Y 1 2 3 0.250 0.325 0.365 0.385 0.395 0.400 0.270 0.595 0.710 0.760 0.785 0.800 0.275 0.620 0.835 0.920 0.965 1 X 1 2 3 4 5 6 Tabella 1: funzione di ripartizione congiunta b. Le funzioni di densità marginali sono date dalle seguenti espressioni: f X ( x ) = ∑ f X Y (x ,y j ) e j f Y ( y ) = ∑ f X Y ( x i ,y ) i e i risultati sono riportati rispettivamente nell’ultima colonna e nell’ultima riga della seguente tabella a doppia entrata Y X 1 2 3 4 5 6 f Y (y) 1 2 3 f X (x) 0.250 0.075 0.040 0.020 0.010 0.010 0.400 0.020 0.250 0.075 0.030 0.015 0.010 0.400 0.005 0.020 0.100 0.035 0.020 0.020 0.200 0.275 0.345 0.215 0.085 0.045 0.035 1 Tabella 2: funzioni di densità marginali. Le funzioni di ripartizione marginali sono date dalle seguenti espressioni: FX ( x ) = ∑ f (x ) X i FY ( y) = e i :x i ≤ x ∑ f (y ) Y j j:y j ≤ y e i risultati sono riportati rispettivamente nell’ultima colonna e nell’ultima riga della tabella 1 c. Per definizione la funzione di densità discreta condizionata della variabile aleatoria X dato Y = y è data dalla seguente espressione: f X , Y (x ,y) f X Y (x y ) = f Y (y) i risultati sono riportati nella seguente tabella X 1 2 3 4 5 6 f X Y (x y = 1) f X Y (x y = 2 ) 0.625 0.188 0.100 0.050 0.025 0.012 1 0.050 0.625 0.188 0.075 0.037 0.025 1 f X Y (x y = 3) 0.025 0.100 0.500 0.175 0.100 0.100 1 Tabella 3: funzioni di densità condizionata. 2 Esercizi di econometria serie 1 Esercizio 2 Avete 10.000.000 di lire da investire in un anno e due possibili investimenti finanziari: azioni (A) e titoli di stato (T). Si definiscano le variabili casuali X = { Rendimento delle azioni} e Y = { Rendimento dei titoli di stato} . I rendimenti sono giudicati in condizioni di incertezza dalla seguente distribuzione di probabilità: A T 6% 8% 10% a. b. c. d. e. - 10% 0 10% 20% 0 0 0.10 0 0.10 0.10 0.10 0.30 0 0.10 0.20 0 Si costruisca la funzione di ripartizione congiunta FX ,Y ( x ,y ) delle due variabili casuali. Si costruiscano le funzioni di densità e di ripartizione marginali di X e di Y. Qual è la probabilità che un titolo renda più del 6%? Qual è la probabilità che un’azione dia un rendimento positivo? Qual è la probabilità che un titolo renda più di un’azione? Soluzione a. Sulla base della definizione di funzione di ripartizione congiunta data nel precedente esercizio, si ottengono i risultati riportati nella seguente tabella a doppia entrata: Y X 6% 8% 10% - 10% 0 10% 20% 0 0 0.10 0 0.10 0.30 0.10 0.50 0.70 0.20 0.80 1 Tabella 4: funzione di ripartizione congiunta. b. Sulla base della definizione di funzione di densità marginali data nel precedente esercizio, si ottengono i risultati riportati nella seguente tabella a doppia entrata rispettivamente nell’ultima colonna e nell’ultima riga della seguente tabella a doppia entrata Y X 6% 8% 10% f Y (y) - 10% 0 10% 20% f X (x) 0 0 0.10 0.10 0 0.10 0.10 0.20 0.10 0.30 0 0.40 0.10 0.20 0 0.30 0.20 0.60 0.20 1 Tabella 5: funzioni di densità marginali. Per le funzioni di ripartizione marginali invece i risultati sono riportati rispettivamente nell’ultima colonna e nell’ultima riga della tabella 4. c. La probabilità che un titolo renda più del 6% è data da: P(X > 6 ) = 1 − P(X ≤ 6 ) = 1 − FX (6) P(X > 6 ) = 1 − 0.20 = 0.80 3 Esercizi di econometria serie 1 d. La probabilità che un’azione dia un rendimento positivo è la seguente: P(Y > 0 ) = 1 − P(Y ≤ 0 ) = 1 − FY (0) P(Y > 0 ) = 1 − 0.30 = 0.70 e. Infine la probabilità che un titolo renda più di un’azione è pari a: P(X > Y ) = P(X = 6,Y = −10) + P(X = 6,Y = 0) + P(X = 8,Y = −10) + P(X = 8,Y = 0 ) + P(X = 10,Y = −10 ) + P(X = 10,Y = 0 ) P(X > Y ) = 0 + 0 + 0 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.30 Esercizio 3 Un’immagine da satellite RBV è composta da tre colori (Rosso, Verde e Blu, per semplicità escluderemo il caso di compresenza di colori). Si sa che l’intera immagine è composta da 512 × 512 pixel di cui 1 3 blu, 2 9 verdi e 4 9 rossi distribuiti a caso. Si prenda una sezione quadrata di 2 × 2 pixel. a. Qual è la probabilità di incontrare 1 pixel rosso e 2 pixel verdi? b. Qual è la probabilità di incontrare 2 pixel rossi e 2 pixel blu? c. Qual è la probabilità di incontrare almeno 3 pixel verdi? d. Qual è la probabilità di incontrare meno di 3 pixel rossi? e. Qual è la probabilità di incontrare 3 pixel verdi e non più di 1 pixel rosso? Soluzione L’esperimento in esame consiste nell’estrarre senza reimmissione 4 pixel da una popolazione la cui numerosità è pari a N = 512 × 512 = 262144, data la elevata numerosità della popolazione lo schema di estrazione descritto è assimilabile allo schema con ripetizione. Dal testo si ricava che: P( R ) = 4 9 P( B ) = 1 3 P( V ) = 2 9 a. Per calcolare la probabilità richiesta, ossia di incontrare 1 pixel rosso e 2 pixel verdi, è possibile utilizzare la distribuzione multinomiale (trinomiale) f X ,Y (x ,y ) = n! p x q y (1 − p − q )n −x − y x! y! (n − x − y )! nel caso in esame p rappresenta la probabilità di estrarre un pixel rosso e q la probabilità di estrarre un pixel verde, sostituendo i valori si ottiene: P (R = 1,V = 2 ) = 2 4! 4 2 1 64 = 0.088 = 1! 2!1! 9 9 3 729 b. Anche nel caso di calcolare la probabilità di incontrare 2 pixel rossi e 2 pixel blu è possibile utilizzare la distribuzione trinomiale dove p rappresenta la probabilità di estrarre un 4 Esercizi di econometria serie 1 pixel rosso e q la probabilità di estrarre un pixel blu, sostituendo i valori si ottiene: P (R = 2 , B = 2) = 2 2 0 4! 4 1 2 96 = 0.132 = 2!2!0! 9 3 9 729 c. Probabilità di incontrare almeno 3 pixel verdi In questo caso è possibile utilizzare la distribuzione binomiale f X (x ) = n! p x (1 − p )n − x x!(n − x )! dove p rappresenta la probabilità di estrarre un pixel verde, sostituendo i valori si ottiene: P(V ≥ 3) = P(V = 3) + P(V = 4 ) 3 4! 2 2 P(V = 3) = 1 − 3!(4 − 3)! 9 9 4− 3 = 0.034 4 4! 2 2 P( V = 4 ) = 1 − 4!(4 − 4)! 9 9 4− 4 = 0.002 P(V ≥ 3) = 0.034 + 0.002 = 0.036 d. Volendo calcolare la probabilità di incontrare meno di 3 pixel rossi è possibile ancora utilizzare la distribuzione binomiale dove p rappresenta la probabilità di estrarre un pixel rosso, sostituendo i valori si ottiene: P(R < 3) = P(R = 0 ) + P(R = 1) + P(R = 2 ) = 1 − P(R = 4) − P(R = 3) 3 4! 4 4 P(R = 3) = 1 − 4!(4 − 4)! 9 9 4 4! 4 4 P( R = 4 ) = 1 − 3!(4 − 3)! 9 9 4 −3 = 0.195 4− 4 = 0.039 P(R < 3) = 1 − 0.195 − 0.039 = 0.766 e. Per la probabilità di incontrare 3 pixel verdi e non più di 1 pixel rosso è necessario invece utilizzare la distribuzione multinomiale dove p rappresenta la probabilità di estrarre un pixel verde e q la probabilità di estrarre un pixel rosso, sostituendo i valori si ottiene: P(V = 3,R ≤ 1) = P(V = 3,R = 0) + P(V = 3,R = 1) P(V = 3,R = 0) = 3 0 1 4! 2 4 1 = 0.020 3!0!1! 9 9 3 3 1 0 4! 2 4 1 P(V = 3,R = 1) = = 0.014 3!1!0! 9 9 3 P(V = 3,R ≤ 1) = 0.020 + 0.014 = 0.034 5 Esercizi di econometria serie 1 Esercizio 4 Due carte sono estratte da un mazzo di 52 carte. Sia X = {numero di Assi} e Y = { numero di King} . a. Si ricavino le funzioni di densità e di ripartizione congiunte di X ed Y. b. Si estraggano ora 5 carte. Qual è la probabilità di avere un Asso condizionatamente al fatto di non avere alcun King? Soluzione a. Dalle ipotesi dell’esercizio si ricava che le v.a. X e Y possono assumere tre sole determinazioni X = { 0 ,1, 2} Y = { 0 , 1, 2} ed inoltre lo schema di estrazione è senza reimmmissione. In tal caso la distribuzione di probabilità congiunta può essere calcolata ricordando che lo spazio campionario Ω è costituito da 52 × 51 = 2652 eventi elementari equiprobabili, ciascuno dei quali è dato da una coppia (ordinata) di carte estratte. Ricordando che in un mazzo di 52 carte vi sono 4 Assi e 4 King si ha che: Ø il numero di coppie in cui sono presenti due Assi oppure due King sono pari a 4 × 3 = 12 ; Ø il numero di coppie in cui sono presenti un Asso e un King sono pari a 4 × 4 × 2 = 32 ; Ø il numero di coppie in cui sono presenti un Asso oppure un King sono pari a 4 × 44 × 2 = 352 ; Ø il numero di coppie in cui non sono presenti né un Asso né un King sono pari a 44 × 43 = 1892 ; Sulla base di questi dati e applicando la definizione classica di probabilità è possibile calcolare la distribuzione di probabilità congiunta Y X 0 1 2 fY (y ) 0 1 2 0.713 0.133 0.005 0,851 0.133 0.012 0 0.145 0.005 0 0 0.005 f X (x) 0.851 0.145 0.005 Tabella 6: funzione di densità congiunta. Alternativamente è possibile ricavare la distribuzione di probabilità congiunta attraverso la relazione: f X ,Y ( x ,y ) = f X (x )⋅ f X Y (x y ) dato che lo schema di estrazione utilizzato è senza reimmissione, la funzione di densità marginale f X ( x ) appartiene alla famiglia ipergeometrica ed è facilmente calcolabile sulla base dei dati dell’esercizio, la funzione di densità condizionata f X Y (x y) è anch’essa facilmente calcolabile in quanto il condizionamento al verificarsi di un dato evento equivale ad una modifica dello spazio campionario Ω, ad esempio condizionare all’evento A = { 0 assi} significa che il nuovo spazio campionario Ω è costituito da 48 × 47 = 2256 casi possibili, i valori assunti dalle funzioni di densità condizionate possono essere calcolati attraverso la distribuzione ipergeometrica tenendo presente quanto detto prima. Questo secondo procedimento, che non viene illustrato nei dettagli a causa della sua laboriosità, consente maggiormente di evidenziare il fatto che la distribuzione di probabilità congiunta in esame è un esempio di distribuzione ipergeometrica multivariata. La funzione di ripartizione congiunta si ottiene dalla seguente espressione: 6 Esercizi di econometria FX Y (x ,y ) = serie 1 ∑ ∑ f (x ,y ) XY i j i :x i ≤x j:y j ≤ y I risultati sono riportati nella seguente tabella a doppia entrata: Y 0 1 2 0.713 0.846 0.851 0.846 0.991 0.995 0.851 0.995 1 X 0 1 2 Tabella 7: funzione di ripartizione congiunta. b. La probabilità di avere 1 Asso condizionatamente al fatto di non avere nessun King può essere calcolata attraverso la relazione: P [( X = 1) ∩ ( Y = 0 ) ] P ( Y = 0) In questo caso il numero di carte estratte è pari a 5 pertanto lo spazio campionario Ω è più complesso, in quanto costituito da un insieme di quintuple; si hanno, quindi, 52 × 51 × 50 × 49 × 48 eventi elementari. Sulla base di queste considerazioni si ha: [ ] P ( X = 1) ( Y = 0) = 4 44 43 42 41 P[( X = 1) ∩(Y = 0 )] = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 = 0.209 52 51 50 49 48 P(Y = 0 ) = 48 47 46 45 44 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0.659 52 51 50 49 48 P[( X = 1) (Y = 0 )] = 0 ,209 = 0.317 0 ,659 Esercizio 5 La variabile casuale doppia ( X, Y) ha funzione di densità congiunta: θ x + y +1 f X ,Y ( x ,y ) = 0 a. b. c. d. se x ,y = 0,1,2 altrimenti A quale condizione sul parametro θ la f X ,Y ( x ,y ) è una funzione di densità congiunta? Ricavare le due funzioni di densità marginali. Ricavare la funzione di densità di X condizionata ad Y = 0 . Verificare che quest’ultima sia effettivamente una funzione di densità. Soluzione a. Affinché la funzione sopra indicata rappresenti una funzione di densità devono essere soddisfatte le seguenti condizioni: 7 Esercizi di econometria 1. serie 1 f X ,Y (x ,y) ≥ 0 ∀x ,y ; +∞ +∞ 2. ∫ ∫ f (x ,y)dx dy = 1 ossia X ,Y −∞ −∞ ∑∑ f (x ,y ) = 1 X ,Y i i j j La prima condizione è soddisfatta ∀ θ > 0 ; la seconda invece è soddisfatta quando: ∑∑ f (x ,y ) = ∑∑ θ 2 X ,Y i i j 2 x + y +1 =1 x =0 y =0 j b. Le funzioni di densità marginali si ottengono a partire dalla distribuzione di probabilità congiunta attraverso le relazioni: f X ( x ) = ∑ f X Y (x ,y j ) j f Y ( y ) = ∑ f X Y (x i ,y ) i i risultati sono riportati rispettivamente nell’ultima colonna e nell’ultima riga della seguente tabella a doppia entrata: 0 1 2 f X (x) 0 θ θ2 θ3 θ(1+ θ + θ2 ) 1 θ2 θ3 θ4 2 θ3 θ4 θ5 Y X f Y (y) θ(1+ θ + θ2 ) θ2 (1+ θ + θ2 ) θ3 (1+ θ + θ2 ) θ2 (1+ θ + θ2 ) θ3 (1+ θ + θ2 ) Tabella 8: funzioni di densità marginali. c. La funzione di densità discreta condizionata della variabile aleatoria X dato Y = y è data dalla espressione: f X , Y (x ,y) f X Y (x y ) = f Y (y ) i risultati sono riportati nella seguente tabella: f X Y (x y = 0) 1 (1 + θ + θ2 ) 0 θ (1 + θ + θ2 ) 1 θ2 (1+ θ + θ2 ) 2 1 Tabella 9: funzione di densità condizionata. d. Affinché f X Y (x y = 0) sia una funzione di densità devono essere verificate le proprietà: 1. f X Y (x y = 0) ≥ 0 ∀x ; 2. ∑ f (x XY i y = 0) = 1 i Come si può vedere dalla tabella 9 entrambe le condizioni sono soddisfatte. 8 Esercizi di econometria serie 1 Esercizio 6 Si considerino 2 palline estratte senza reimmissione da un’urna che contiene tre palline numerate da 1 a 3. Sia X il numero della prima palla estratta ed Y il più grande dei due numeri estratti. a. Trovare la funzione di densità congiunta di X ed Y b. Trovare la probabilità P X = 1 Y = 3 Sia ora X il più piccolo dei due numeri ed Y il più grande: c. Trovare la funzione di densità congiunta di X ed Y d. Trovare la distribuzione di Y condizionata ad X = 1 ( ) Soluzione a. Lo spazio campionario è dato dalle seguenti coppie ordinate: { } Ω = (1, 2 ) , (1, 3) , ( 2 , 1) , ( 2 , 3) , (3 , 1) , (3 , 2 ) inoltre, dalle ipotesi dell’esercizio, si ha che i punti dello spazio campionario sono equiprobabili; la funzione di densità congiunta è data dalla seguente tabella a doppia entrata: Y X 1 2 3 f Y (y) 2 3 f X (x) 1/6 1/6 0 2/6 = 1/3 1/6 1/6 2/6 4/6 = 2/3 2/6 = 1/3 2/6 = 1/3 2/6 = 1/3 1 Tabella 10: funzioni di densità congiunta e marginali. b. P( X = 1 Y = 3) = P[( X = 1) ∩ (Y = 3)] 1 = P(Y = 3) 4 c. Nelle nuove ipotesi cambia l’insieme delle possibili determinazioni assunte dalle variabili aleatorie X ed Y, la funzione di densità congiunta è data dalla seguente tabella a doppia entrata: 2 3 f X (x) 1 2/6 2/6 4/6 = 2/3 2 0 2/6 2/6 = 1/3 2/6 = 1/3 4/6 = 2/3 1 Y X f Y (y) Tabella 11: funzioni di densità congiunta e marginali. d. La funzione di densità discreta condizionata della variabile aleatoria Y dato X = x è data dalla espressione di seguito riportata: f Y X (y x ) = f X , Y (x ,y) f X (x ) e i risultati sono riportati nella seguente tabella: 9 Esercizi di econometria serie 1 Y f Y X (y x = 1) 2 3 12 12 1 Tabella 12: funzione di densità condizionata. Esercizio 7 Ricavare la funzione di densità congiunta e la funzione di ripartizione congiunta della distribuzione uniforme bivariata definita nell’intervallo a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d . Soluzione La funzione di densità della variabile aleatoria uniforme bivariata è data dalla seguente espressione: per a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d k f X ,Y ( x ,y ) = altrimenti 0 per determinare il valore del parametro k è sufficiente imporre le seguenti condizioni: 1. +∞ +∞ f X ,Y (x ,y) ≥ 0 ∀x ,y ; 2. ∫ ∫ f (x ,y)dx dy = 1 X ,Y −∞ −∞ La prima condizione è soddisfatta ∀k ≥ 0 ; la seconda condizione è soddisfatta quando: d k d y ∫a ∫c dx = 1 ⇒ b b ∫ [yk ] d c a b dx = 1 ⇒ ∫ k(d − c )dx = 1 ⇒ (d − c )k[x] ba = 1 ⇒ k = a 1 (d − c)(b − a ) Alternativamente è possibile risolvere l’esercizio per via geometrica in quanto il parametro k è assimilabile all’altezza del parallelepipedo di seguito riportato il cui volume è pari a 1 Figura 1 10 Esercizi di econometria serie 1 Esercizio 8 Siano X ed Y variabili casuali continue con funzione di densità congiunta c x 0 < x < y < 1 f X ,Y (x ,y) = 0 altrimenti Trovare il valore della costante c . Soluzione Affinché l’espressione rappresenti una funzione di densità devono essere soddisfatte le seguenti condizioni: +∞ +∞ f X ,Y (x ,y) ≥ 0 ∀x ,y ; 1. 2. ∫ ∫ f (x, y )dx dy = 1 X ,Y −∞ −∞ La prima condizione è soddisfatta ∀ c > 0; l’integrale doppio che figura nella successiva condizione è definito su una regione normale. In via analitica si ha: x =1 c x dx ∫ x∫= y dy = 1 ⇒ y= 0 y =1 y =1 y =1 1 1 2 1 1 2 ∫y= 0 c 2 x y dy = 1 ⇒ cy∫=0 2 − 2 y dy = 1 ⇒ c = 3 Esercizio 9 Siano X ed Y variabili casuali continue con funzione di densità congiunta: x + y 0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ 1 f X ,Y ( x ,y ) = altrimenti 0 Ricavare la probabilità P(0,5 ≤ X ≤ 1,0 ≤ Y ≤ 0,5) Soluzione 0 ,5 1 0 , 5 0 ,5 1 2 P(0 ,5 ≤ X ≤ 1; 0 ≤ Y ≤ 0,5) = ∫ ∫ (x + y )dy dx = ∫ x[y] 0 + y dx = 2 0 0 ,5 0 0 ,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ x + dx = x 2 + [x ] 0 ,5 = 2 8 2 2 0, 5 8 4 0 , 5 1 11 Esercizi di econometria serie 1 Esercizio 10 Sia data la funzione di densità 3x 0 < y < x < 1 f X ,Y (x ,y) = 0 altrimenti Trovare le due funzioni di densità marginali. Soluzione Le funzioni di densità marginali sono date dalle seguenti espressioni: f X (x) = +∞ ∫ f (x, y)dy X, Y -∞ f Y (y) = +∞ ∫ f (x, y )dx X, Y -∞ Il supporto della variabile aleatoria in esame è dato da una regione normale (vedi fig. 2), sostituendo i valori si ottiene: x f X ( x ) = ∫ 3x dy = 3x[y]x0 = 3x 2 0 x =1 1 ( 3 1 f Y ( y ) = ∫ 3x dx = 3 x 2 = 1 − y 2 2 x 2 x =y ) Figura 2 12