Esercizi di econometria: serie 1
Esercizio 1
E’ data la popolazione dell’Abruzzo classificata in sei categorie di reddito ed in tre classi di
età come segue:
Reddito:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
L. 2.000.000 – 4.000.000
L. 4.000.000 – 8.000.000
L. 8.000.000 – 12.000.000
L. 12.000.000 – 20.000.000
L. 20.000.000 – 50.000.000
Oltre L. 50.000.000
Età:
(1)
(2)
(3)
Giovani
Adulti
Anziani
Si definiscano ora le variabili casuali X = {Categoria di reddito } , e Y = {Classe di età } , e sia
la funzione di densità congiunta la seguente:
Y
X
1
2
3
4
5
6
1
2
3
0.250
0.075
0.040
0.020
0.010
0.010
0.020
0.250
0.075
0.030
0.015
0.010
0.005
0.020
0.100
0.035
0.020
0.020
a. Si costruisca la funzione di ripartizione congiunta FX Y (x ,y )
b. Si costruiscano le funzioni di ripartizione e densità marginali.
c. Si derivino le funzioni di densità della variabile casuale X condizionate ad Y = 1, 2 , 3
Soluzione
a. Per definizione la funzione di ripartizione congiunta è data dalla seguente espressione:
FX Y (x , y ) = P(X ≤ x , Y ≤ y )
poiché la variabile aleatoria in esame è discreta, la funzione di ripartizione congiunta si
ottiene come segue:
FX Y (x ,y ) =
∑ ∑ f (x ,y )
XY
i
j
i :x i ≤x j:y j ≤ y
dove f X Y (x i ,y j ) rappresenta la funzione di densità di probabilità discreta (o massa di
probabilità). I risultati sono riportati nella seguente tabella a doppia entrata:
1
Esercizi di econometria
serie 1
Y
1
2
3
0.250
0.325
0.365
0.385
0.395
0.400
0.270
0.595
0.710
0.760
0.785
0.800
0.275
0.620
0.835
0.920
0.965
1
X
1
2
3
4
5
6
Tabella 1: funzione di ripartizione congiunta
b. Le funzioni di densità marginali sono date dalle seguenti espressioni:
f X ( x ) = ∑ f X Y (x ,y j )
e
j
f Y ( y ) = ∑ f X Y ( x i ,y )
i
e i risultati sono riportati rispettivamente nell’ultima colonna e nell’ultima riga della seguente
tabella a doppia entrata
Y
X
1
2
3
4
5
6
f Y (y)
1
2
3
f X (x)
0.250
0.075
0.040
0.020
0.010
0.010
0.400
0.020
0.250
0.075
0.030
0.015
0.010
0.400
0.005
0.020
0.100
0.035
0.020
0.020
0.200
0.275
0.345
0.215
0.085
0.045
0.035
1
Tabella 2: funzioni di densità marginali.
Le funzioni di ripartizione marginali sono date dalle seguenti espressioni:
FX ( x ) =
∑ f (x )
X
i
FY ( y) =
e
i :x i ≤ x
∑ f (y )
Y
j
j:y j ≤ y
e i risultati sono riportati rispettivamente nell’ultima colonna e nell’ultima riga della tabella 1
c. Per definizione la funzione di densità discreta condizionata della variabile aleatoria X dato
Y = y è data dalla seguente espressione:
f X , Y (x ,y)
f X Y (x y ) =
f Y (y)
i risultati sono riportati nella seguente tabella
X
1
2
3
4
5
6
f X Y (x y = 1) f X Y (x y = 2 )
0.625
0.188
0.100
0.050
0.025
0.012
1
0.050
0.625
0.188
0.075
0.037
0.025
1
f X Y (x y = 3)
0.025
0.100
0.500
0.175
0.100
0.100
1
Tabella 3: funzioni di densità condizionata.
2
Esercizi di econometria
serie 1
Esercizio 2
Avete 10.000.000 di lire da investire in un anno e due possibili investimenti finanziari: azioni
(A) e titoli di stato (T). Si definiscano le variabili casuali X = { Rendimento delle azioni} e
Y = { Rendimento dei titoli di stato} . I rendimenti sono giudicati in condizioni di incertezza
dalla seguente distribuzione di probabilità:
A
T
6%
8%
10%
a.
b.
c.
d.
e.
- 10%
0
10%
20%
0
0
0.10
0
0.10
0.10
0.10
0.30
0
0.10
0.20
0
Si costruisca la funzione di ripartizione congiunta FX ,Y ( x ,y ) delle due variabili casuali.
Si costruiscano le funzioni di densità e di ripartizione marginali di X e di Y.
Qual è la probabilità che un titolo renda più del 6%?
Qual è la probabilità che un’azione dia un rendimento positivo?
Qual è la probabilità che un titolo renda più di un’azione?
Soluzione
a. Sulla base della definizione di funzione di ripartizione congiunta data nel precedente
esercizio, si ottengono i risultati riportati nella seguente tabella a doppia entrata:
Y
X
6%
8%
10%
- 10%
0
10%
20%
0
0
0.10
0
0.10
0.30
0.10
0.50
0.70
0.20
0.80
1
Tabella 4: funzione di ripartizione congiunta.
b. Sulla base della definizione di funzione di densità marginali data nel precedente esercizio,
si ottengono i risultati riportati nella seguente tabella a doppia entrata rispettivamente
nell’ultima colonna e nell’ultima riga della seguente tabella a doppia entrata
Y
X
6%
8%
10%
f Y (y)
- 10%
0
10%
20%
f X (x)
0
0
0.10
0.10
0
0.10
0.10
0.20
0.10
0.30
0
0.40
0.10
0.20
0
0.30
0.20
0.60
0.20
1
Tabella 5: funzioni di densità marginali.
Per le funzioni di ripartizione marginali invece i risultati sono riportati rispettivamente
nell’ultima colonna e nell’ultima riga della tabella 4.
c. La probabilità che un titolo renda più del 6% è data da:
P(X > 6 ) = 1 − P(X ≤ 6 ) = 1 − FX (6)
P(X > 6 ) = 1 − 0.20 = 0.80
3
Esercizi di econometria
serie 1
d. La probabilità che un’azione dia un rendimento positivo è la seguente:
P(Y > 0 ) = 1 − P(Y ≤ 0 ) = 1 − FY (0)
P(Y > 0 ) = 1 − 0.30 = 0.70
e. Infine la probabilità che un titolo renda più di un’azione è pari a:
P(X > Y ) = P(X = 6,Y = −10) + P(X = 6,Y = 0) + P(X = 8,Y = −10) + P(X = 8,Y = 0 ) +
P(X = 10,Y = −10 ) + P(X = 10,Y = 0 )
P(X > Y ) = 0 + 0 + 0 + 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.30
Esercizio 3
Un’immagine da satellite RBV è composta da tre colori (Rosso, Verde e Blu, per semplicità
escluderemo il caso di compresenza di colori). Si sa che l’intera immagine è composta da
512 × 512 pixel di cui 1 3 blu, 2 9 verdi e 4 9 rossi distribuiti a caso.
Si prenda una sezione quadrata di 2 × 2 pixel.
a. Qual è la probabilità di incontrare 1 pixel rosso e 2 pixel verdi?
b. Qual è la probabilità di incontrare 2 pixel rossi e 2 pixel blu?
c. Qual è la probabilità di incontrare almeno 3 pixel verdi?
d. Qual è la probabilità di incontrare meno di 3 pixel rossi?
e. Qual è la probabilità di incontrare 3 pixel verdi e non più di 1 pixel rosso?
Soluzione
L’esperimento in esame consiste nell’estrarre senza reimmissione 4 pixel da una popolazione
la cui numerosità è pari a N = 512 × 512 = 262144, data la elevata numerosità della
popolazione lo schema di estrazione descritto è assimilabile allo schema con ripetizione. Dal
testo si ricava che:
P( R ) =
4
9
P( B ) =
1
3
P( V ) =
2
9
a. Per calcolare la probabilità richiesta, ossia di incontrare 1 pixel rosso e 2 pixel verdi, è
possibile utilizzare la distribuzione multinomiale (trinomiale)
f X ,Y (x ,y ) =
n!
p x q y (1 − p − q )n −x − y
x! y! (n − x − y )!
nel caso in esame p rappresenta la probabilità di estrarre un pixel rosso e q la probabilità di
estrarre un pixel verde, sostituendo i valori si ottiene:
P (R = 1,V = 2 ) =
2
4! 4 2 1 64
= 0.088
=
1! 2!1! 9 9 3 729
b. Anche nel caso di calcolare la probabilità di incontrare 2 pixel rossi e 2 pixel blu è
possibile utilizzare la distribuzione trinomiale dove p rappresenta la probabilità di estrarre un
4
Esercizi di econometria
serie 1
pixel rosso e q la probabilità di estrarre un pixel blu, sostituendo i valori si ottiene:
P (R = 2 , B = 2) =
2
2
0
4! 4 1 2
96
= 0.132
=
2!2!0! 9 3 9
729
c. Probabilità di incontrare almeno 3 pixel verdi In questo caso è possibile utilizzare la
distribuzione binomiale
f X (x ) =
n!
p x (1 − p )n − x
x!(n − x )!
dove p rappresenta la probabilità di estrarre un pixel verde, sostituendo i valori si ottiene:
P(V ≥ 3) = P(V = 3) + P(V = 4 )
3
4! 2 2
P(V = 3) =
1 −
3!(4 − 3)! 9 9
4− 3
= 0.034
4
4! 2 2
P( V = 4 ) =
1 −
4!(4 − 4)! 9 9
4− 4
= 0.002
P(V ≥ 3) = 0.034 + 0.002 = 0.036
d. Volendo calcolare la probabilità di incontrare meno di 3 pixel rossi è possibile ancora
utilizzare la distribuzione binomiale dove p rappresenta la probabilità di estrarre un pixel
rosso, sostituendo i valori si ottiene:
P(R < 3) = P(R = 0 ) + P(R = 1) + P(R = 2 ) = 1 − P(R = 4) − P(R = 3)
3
4! 4 4
P(R = 3) =
1 −
4!(4 − 4)! 9 9
4
4! 4 4
P( R = 4 ) =
1 −
3!(4 − 3)! 9 9
4 −3
= 0.195
4− 4
= 0.039
P(R < 3) = 1 − 0.195 − 0.039 = 0.766
e. Per la probabilità di incontrare 3 pixel verdi e non più di 1 pixel rosso è necessario invece
utilizzare la distribuzione multinomiale dove p rappresenta la probabilità di estrarre un pixel
verde e q la probabilità di estrarre un pixel rosso, sostituendo i valori si ottiene:
P(V = 3,R ≤ 1) = P(V = 3,R = 0) + P(V = 3,R = 1)
P(V = 3,R = 0) =
3
0
1
4! 2 4 1
= 0.020
3!0!1! 9 9 3
3
1
0
4! 2 4 1
P(V = 3,R = 1) =
= 0.014
3!1!0! 9 9 3
P(V = 3,R ≤ 1) = 0.020 + 0.014 = 0.034
5
Esercizi di econometria
serie 1
Esercizio 4
Due carte sono estratte da un mazzo di 52 carte. Sia X = {numero di Assi} e
Y = { numero di King} .
a. Si ricavino le funzioni di densità e di ripartizione congiunte di X ed Y.
b. Si estraggano ora 5 carte. Qual è la probabilità di avere un Asso condizionatamente al fatto
di non avere alcun King?
Soluzione
a. Dalle ipotesi dell’esercizio si ricava che le v.a. X e Y possono assumere tre sole
determinazioni X = { 0 ,1, 2} Y = { 0 , 1, 2} ed inoltre lo schema di estrazione è senza
reimmmissione. In tal caso la distribuzione di probabilità congiunta può essere calcolata
ricordando che lo spazio campionario Ω è costituito da 52 × 51 = 2652 eventi elementari
equiprobabili, ciascuno dei quali è dato da una coppia (ordinata) di carte estratte. Ricordando
che in un mazzo di 52 carte vi sono 4 Assi e 4 King si ha che:
Ø il numero di coppie in cui sono presenti due Assi oppure due King sono pari a 4 × 3 = 12 ;
Ø il numero di coppie in cui sono presenti un Asso e un King sono pari a 4 × 4 × 2 = 32 ;
Ø il numero di coppie in cui sono presenti un Asso oppure un King sono pari a
4 × 44 × 2 = 352 ;
Ø il numero di coppie in cui non sono presenti né un Asso né un King sono pari a
44 × 43 = 1892 ;
Sulla base di questi dati e applicando la definizione classica di probabilità è possibile
calcolare la distribuzione di probabilità congiunta
Y
X
0
1
2
fY (y )
0
1
2
0.713
0.133
0.005
0,851
0.133
0.012
0
0.145
0.005
0
0
0.005
f X (x)
0.851
0.145
0.005
Tabella 6: funzione di densità congiunta.
Alternativamente è possibile ricavare la distribuzione di probabilità congiunta attraverso la
relazione:
f X ,Y ( x ,y ) = f X (x )⋅ f X
Y
(x y )
dato che lo schema di estrazione utilizzato è senza reimmissione, la funzione di densità
marginale f X ( x ) appartiene alla famiglia ipergeometrica ed è facilmente calcolabile sulla
base dei dati dell’esercizio, la funzione di densità condizionata f X Y (x y) è anch’essa
facilmente calcolabile in quanto il condizionamento al verificarsi di un dato evento equivale
ad una modifica dello spazio campionario Ω, ad esempio condizionare all’evento
A = { 0 assi} significa che il nuovo spazio campionario Ω è costituito da 48 × 47 = 2256 casi
possibili, i valori assunti dalle funzioni di densità condizionate possono essere calcolati
attraverso la distribuzione ipergeometrica tenendo presente quanto detto prima. Questo
secondo procedimento, che non viene illustrato nei dettagli a causa della sua laboriosità,
consente maggiormente di evidenziare il fatto che la distribuzione di probabilità congiunta in
esame è un esempio di distribuzione ipergeometrica multivariata.
La funzione di ripartizione congiunta si ottiene dalla seguente espressione:
6
Esercizi di econometria
FX Y (x ,y ) =
serie 1
∑ ∑ f (x ,y )
XY
i
j
i :x i ≤x j:y j ≤ y
I risultati sono riportati nella seguente tabella a doppia entrata:
Y
0
1
2
0.713
0.846
0.851
0.846
0.991
0.995
0.851
0.995
1
X
0
1
2
Tabella 7: funzione di ripartizione congiunta.
b. La probabilità di avere 1 Asso condizionatamente al fatto di non avere nessun King può
essere calcolata attraverso la relazione:
P [( X = 1) ∩ ( Y = 0 ) ]
P ( Y = 0)
In questo caso il numero di carte estratte è pari a 5 pertanto lo spazio campionario Ω è più
complesso, in quanto costituito da un insieme di quintuple; si hanno, quindi,
52 × 51 × 50 × 49 × 48 eventi elementari. Sulla base di queste considerazioni si ha:
[
]
P ( X = 1) ( Y = 0) =
4 44 43 42 41
P[( X = 1) ∩(Y = 0 )] = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 5 = 0.209
52 51 50 49 48
P(Y = 0 ) =
48 47 46 45 44
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 0.659
52 51 50 49 48
P[( X = 1) (Y = 0 )] =
0 ,209
= 0.317
0 ,659
Esercizio 5
La variabile casuale doppia ( X, Y) ha funzione di densità congiunta:
θ x + y +1
f X ,Y ( x ,y ) =
0
a.
b.
c.
d.
se x ,y = 0,1,2
altrimenti
A quale condizione sul parametro θ la f X ,Y ( x ,y ) è una funzione di densità congiunta?
Ricavare le due funzioni di densità marginali.
Ricavare la funzione di densità di X condizionata ad Y = 0 .
Verificare che quest’ultima sia effettivamente una funzione di densità.
Soluzione
a. Affinché la funzione sopra indicata rappresenti una funzione di densità devono essere
soddisfatte le seguenti condizioni:
7
Esercizi di econometria
1.
serie 1
f X ,Y (x ,y) ≥ 0 ∀x ,y ;
+∞ +∞
2.
∫ ∫ f (x ,y)dx dy = 1
ossia
X ,Y
−∞ −∞
∑∑ f (x ,y ) = 1
X ,Y
i
i
j
j
La prima condizione è soddisfatta ∀ θ > 0 ; la seconda invece è soddisfatta quando:
∑∑ f (x ,y ) = ∑∑ θ
2
X ,Y
i
i
j
2
x + y +1
=1
x =0 y =0
j
b. Le funzioni di densità marginali si ottengono a partire dalla distribuzione di probabilità
congiunta attraverso le relazioni:
f X ( x ) = ∑ f X Y (x ,y j )
j
f Y ( y ) = ∑ f X Y (x i ,y )
i
i risultati sono riportati rispettivamente nell’ultima colonna e nell’ultima riga della seguente
tabella a doppia entrata:
0
1
2
f X (x)
0
θ
θ2
θ3
θ(1+ θ + θ2 )
1
θ2
θ3
θ4
2
θ3
θ4
θ5
Y
X
f Y (y)
θ(1+ θ + θ2 )
θ2 (1+ θ + θ2 )
θ3 (1+ θ + θ2 )
θ2 (1+ θ + θ2 )
θ3 (1+ θ + θ2 )
Tabella 8: funzioni di densità marginali.
c. La funzione di densità discreta condizionata della variabile aleatoria X dato Y = y è data
dalla espressione:
f X , Y (x ,y)
f X Y (x y ) =
f Y (y )
i risultati sono riportati nella seguente tabella:
f X Y (x y = 0)
1 (1 + θ + θ2 )
0
θ (1 + θ + θ2 )
1
θ2 (1+ θ + θ2 )
2
1
Tabella 9: funzione di densità condizionata.
d. Affinché f X Y (x y = 0) sia una funzione di densità devono essere verificate le proprietà:
1. f X Y (x y = 0) ≥ 0 ∀x ;
2.
∑ f (x
XY
i
y = 0) = 1
i
Come si può vedere dalla tabella 9 entrambe le condizioni sono soddisfatte.
8
Esercizi di econometria
serie 1
Esercizio 6
Si considerino 2 palline estratte senza reimmissione da un’urna che contiene tre palline
numerate da 1 a 3. Sia X il numero della prima palla estratta ed Y il più grande dei due
numeri estratti.
a. Trovare la funzione di densità congiunta di X ed Y
b. Trovare la probabilità P X = 1 Y = 3
Sia ora X il più piccolo dei due numeri ed Y il più grande:
c. Trovare la funzione di densità congiunta di X ed Y
d. Trovare la distribuzione di Y condizionata ad X = 1
(
)
Soluzione
a. Lo spazio campionario è dato dalle seguenti coppie ordinate:
{
}
Ω = (1, 2 ) , (1, 3) , ( 2 , 1) , ( 2 , 3) , (3 , 1) , (3 , 2 )
inoltre, dalle ipotesi dell’esercizio, si ha che i punti dello spazio campionario sono
equiprobabili; la funzione di densità congiunta è data dalla seguente tabella a doppia entrata:
Y
X
1
2
3
f Y (y)
2
3
f X (x)
1/6
1/6
0
2/6 = 1/3
1/6
1/6
2/6
4/6 = 2/3
2/6 = 1/3
2/6 = 1/3
2/6 = 1/3
1
Tabella 10: funzioni di densità congiunta e marginali.
b. P( X = 1 Y = 3) =
P[( X = 1) ∩ (Y = 3)] 1
=
P(Y = 3)
4
c. Nelle nuove ipotesi cambia l’insieme delle possibili determinazioni assunte dalle variabili
aleatorie X ed Y, la funzione di densità congiunta è data dalla seguente tabella a doppia
entrata:
2
3
f X (x)
1
2/6
2/6
4/6 = 2/3
2
0
2/6
2/6 = 1/3
2/6 = 1/3
4/6 = 2/3
1
Y
X
f Y (y)
Tabella 11: funzioni di densità congiunta e marginali.
d. La funzione di densità discreta condizionata della variabile aleatoria Y dato X = x è data
dalla espressione di seguito riportata:
f Y X (y x ) =
f X , Y (x ,y)
f X (x )
e i risultati sono riportati nella seguente tabella:
9
Esercizi di econometria
serie 1
Y
f Y X (y x = 1)
2
3
12
12
1
Tabella 12: funzione di densità condizionata.
Esercizio 7
Ricavare la funzione di densità congiunta e la funzione di ripartizione congiunta della
distribuzione uniforme bivariata definita nell’intervallo a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d .
Soluzione
La funzione di densità della variabile aleatoria uniforme bivariata è data dalla seguente
espressione:
per a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d
k
f X ,Y ( x ,y ) =
altrimenti
0
per determinare il valore del parametro k è sufficiente imporre le seguenti condizioni:
1.
+∞ +∞
f X ,Y (x ,y) ≥ 0 ∀x ,y ;
2.
∫ ∫ f (x ,y)dx dy = 1
X ,Y
−∞ −∞
La prima condizione è soddisfatta ∀k ≥ 0 ; la seconda condizione è soddisfatta quando:
d
k
d
y
∫a ∫c dx = 1 ⇒
b
b
∫ [yk ]
d
c
a
b
dx = 1 ⇒ ∫ k(d − c )dx = 1 ⇒ (d − c )k[x] ba = 1 ⇒ k =
a
1
(d − c)(b − a )
Alternativamente è possibile risolvere l’esercizio per via geometrica in quanto il parametro k
è assimilabile all’altezza del parallelepipedo di seguito riportato il cui volume è pari a 1
Figura 1
10
Esercizi di econometria
serie 1
Esercizio 8
Siano X ed Y variabili casuali continue con funzione di densità congiunta
c x 0 < x < y < 1
f X ,Y (x ,y) =
0 altrimenti
Trovare il valore della costante c .
Soluzione
Affinché l’espressione rappresenti una funzione di densità devono essere soddisfatte le
seguenti condizioni:
+∞ +∞
f X ,Y (x ,y) ≥ 0 ∀x ,y ;
1.
2.
∫ ∫ f (x, y )dx dy = 1
X ,Y
−∞ −∞
La prima condizione è soddisfatta ∀ c > 0; l’integrale doppio che figura nella successiva
condizione è definito su una regione normale. In via analitica si ha:
x =1
c
x
dx
∫ x∫= y dy = 1 ⇒
y= 0
y =1
y =1
y =1
1
1 2
1 1 2
∫y= 0 c 2 x y dy = 1 ⇒ cy∫=0 2 − 2 y dy = 1 ⇒ c = 3
Esercizio 9
Siano X ed Y variabili casuali continue con funzione di densità congiunta:
x + y 0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ 1
f X ,Y ( x ,y ) =
altrimenti
0
Ricavare la probabilità P(0,5 ≤ X ≤ 1,0 ≤ Y ≤ 0,5)
Soluzione
0 ,5
1
0 , 5
0 ,5
1 2
P(0 ,5 ≤ X ≤ 1; 0 ≤ Y ≤ 0,5) = ∫ ∫ (x + y )dy dx = ∫ x[y] 0 + y dx =
2 0
0 ,5 0
0 ,5
1
1
1
1 1
1 1
1
1
= ∫ x + dx = x 2 + [x ] 0 ,5 =
2
8
2 2 0, 5 8
4
0 , 5
1
11
Esercizi di econometria
serie 1
Esercizio 10
Sia data la funzione di densità
3x 0 < y < x < 1
f X ,Y (x ,y) =
0 altrimenti
Trovare le due funzioni di densità marginali.
Soluzione
Le funzioni di densità marginali sono date dalle seguenti espressioni:
f X (x) =
+∞
∫ f (x, y)dy
X, Y
-∞
f Y (y) =
+∞
∫ f (x, y )dx
X, Y
-∞
Il supporto della variabile aleatoria in esame è dato da una regione normale (vedi fig. 2),
sostituendo i valori si ottiene:
x
f X ( x ) = ∫ 3x dy = 3x[y]x0 = 3x 2
0
x =1
1
(
3
1
f Y ( y ) = ∫ 3x dx = 3 x 2 = 1 − y 2
2 x 2
x =y
)
Figura 2
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