Terza Legge di Keplero

TERZA LEGGE DI KEPLERO:
La terza legge sul moto dei corpi celesti, formulata da Keplero, afferma che si mantiene costante il
rapporto fra il quadrato del periodo di rivoluzione dei pianeti (𝑻𝟐 )e il cubo del semiasse maggiore
(𝒓𝟑 )della sua orbita:
𝑇2
𝑘= 3
𝑟
𝑠2
k = [ 3 ] equazione dimensionale.
𝑚
K risulta essere un valore costante per qualunque pianeta che ruota attorno al Sole.
Tale relazione fu usata da Newton per trovare una legge che fosse in grado di spiegare i moti dei pianeti
formulati da Keplero; tale legge prende nome di: LEGGE DELLA GRAVITAZIONE UNIVERSALE, la cui forza in
modulo può essere descritta dall’equazione:
𝑚1 ∗ 𝑚2
𝑟2
Tale equazione descrive la reazione che intercorre tra due corpi in virtù delle loro masse e le loro distanze,
ed esprime una forza attrattiva e reciproca per i corpi in questione: direttamente proporzionale al
prodotto delle loro masse, e inversamente proporzionali ai quadrati delle distanze.
𝐹𝑔 = 𝐺 ∗
Da Keplero alla gravità
In quanto la forza di gravitazione universale che risente un corpo, che orbita attorno ad un altro corpo
celeste, è diretta verso quest’ultimo, può essere considerata come una forza centripeta con opportune
semplificazioni:


Consideriamo la traiettoria del moto di un qualsiasi pianeta, si come un ellisse, ma avente
eccentricità 𝒆 pari a zero (quindi avente i due fuochi coincidenti), risultando essere a tutti gli effetti
una circonferenza,( di conseguenza l’asse maggiore coinciderebbe con il raggio della circonferenza).
I corpi quindi (dalle prime due leggi di Keplero) risentono di un accelerazione centripeta compiendo
un moto circolare (al cui centro è presente l’altro corpo), e risentirebbero di una forza centripeta
pari a:
𝑭𝒄 = 𝒎
𝒗𝟐
𝒓
In quanto la velocità tangenziale 𝒗 può essere descritta come:𝒗 =
𝟐𝝅𝒓
e
𝑻
a sua volta T (dalla formula inversa
della terza legge di Keplero) è : 𝑇 2 = 𝑘 ∗ 𝑟 3 , la formula può essere descritta come:
(2𝜋𝑟)2
4𝜋 2 ∗ 𝑟 2
3
2
𝐹𝑐 = 𝑚 𝑇
= 𝑚 𝑘𝑟
𝑟
𝑟
con opportune semplificazioni otteniamo:
4𝜋 2
𝐹𝑐 = 2 𝑚
𝑘𝑟
𝟒𝝅𝟐
con la lettera C: si a quindi che la forza centripeta che risente il pianeta
𝒌
𝒎
che percorre la sua orbita risulta essere: 𝑭 = 𝑪 ∗ 𝟐
per semplicità descriviamo
𝒓
Il termine 𝑪 come possiamo notare, non dipende dal pianeta considerato in quanto K è costante per tutti i
pianeti che orbitano attorno ad uno stesso corpo celeste(es:Sole) e 4π^2 è un semplice numero.
dalla formula possiamo già osservare che la forza centripeta è direttamente proporzionale alla massa e
inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
Per il terzo principio della dinamica (p. azione e reazione), Newton afferma che anche il corpo celeste
(es:Sole) attorno al quale orbitano i pianeti risente di tale forza (di stessa intensità ma opposta di verso) e la
descrive quindi con: 𝑭
= 𝑪′ ∗
𝑴
( dove C’ è una costante come nel primo caso,
𝒓𝟐
ed M è la massa del corpo attorno al quale girano gli altri pianeti):
𝑪′ ∗
𝑴
𝒎
=
𝑪
∗
𝒓𝟐
𝒓𝟐
Semplificando i quadrati dei raggi otteniamo:
𝑪′ 𝑴 = 𝑪𝒎
A questo punto Newton per trovare quanto vale la costante C’ divide entrambi i membri del equazione per
il prodotto mM (il prodotto della massa del pianeta * la massa del corpo celesta attorno al quale il
pianeta orbita) ottenendo:
𝑪′
𝒎
=
𝑪
𝑴
=𝑮
G quindi è una nuova costante e per il fatto che Fg=Fc=Fc’ otteniamo quindi la formula definitiva:
𝒎∗𝑴
𝑭𝒈 = 𝑮 ∗
𝒓𝟐
Otteniamo quindi la legge di gravitazione universale formulata da newton.
Legge di Keplero:
Considerando la terza legge di Keplero ci apprestiamo a calcolare la costante per i pianeti de sistema solare
e per i pianeti medicei: cioè i satelliti principali di Giove.
Dato che la costante dipende dal corpo celeste attorno al quale i pianeti ruotano, otterremmo valori di k
diversi per i tipi di pianeti: quindi tutti i pianeti che girano intorno al sole dovrebbero avere la stessa
costante; i pianeti medicei avranno un'altra costante perché ruotano attorno a Giove.
Ciò dipende dalla diversa forza di gravità che esercitano il sole e Giove rispettivamente sui pianeti del
sistema solare e i pianeti medicei.
Pianeti del sistema solare:
Pianeti del
sistema solare
Mercurio
Venere
Terra
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Semi asse
maggiore del
orbita (milioni di
Km)
57,91
108
149,6
227,94
778,4
1426,98
2870
4497
Periodo di
rivoluzione (anni)
Semi asse
maggiore del
orbita (metri)
Periodo di
rivoluzione(secondi)
0,241 anni
0,615 anni
1 anno
1,881 anni
11,87 anni
29,45 anni
84,07 anni
164,9 anni
57.894.375,96
108.159.260,50
149.597.870,70
233.971.069,80
779.255.308,40
1.427.014.089
2.857.319.330
4.496.911.993
7603200
21081600
31536000
59356800
374112000
928972800
2649628800
5189875200
Ci calcoliamo ora la costante per i pianeti del sistema solare:
Pianeti del sistema
solare
Semi asse al cubo
Quadrati dei periodi
di rivoluzione
Costante (K)
Mercurio
1,94E+23
5,78087E+13
2,97909E-10
Venere
1,27E+24
4,44434E+14
3,5125E-10
Terra
3,35E+24
9,94519E+14
2,97055E-10
Marte
1,28E+25
3,52323E+15
2,75077E-10
Giove
4,73E+26
1,3996E+17
2,95777E-10
Saturno
2,91E+27
8,6299E+17
2,96976E-10
Urano
2,33E+28
7,02053E+18
3,0095E-10
Nettuno
9,09E+28
2,69348E+19
2,9619E-10
Possiamo vedere che i valori della costante della terza legge di Keplero sono approssimativamente uguali,
poniamo quindi i risultati su un apposita tabella:
3E+19
2.5E+19
2E+19
1.5E+19
Series1
1E+19
5E+18
0
0.00
Pianeti medicei:
Satelliti di Giove
Io
Europa
Ganimede
Callisto
Semi asse
maggiore del
orbita(metri)
421800000
671100000
1070400000
1882700000
Periodo di
rivoluzione(secondi)
152928
306720
618624
1442016
Ci calcoliamo ora la costante:
Semi asse maggiore al cubo (d^3)
7,50446E+25
3,02247E+26
1,22642E+27
6,67334E+27
Periodo di rivoluzione al
quadrato (T^2)
23386973184
94077158400
3,82696E+11
2,07941E+12
Costante (k):
𝑇2
𝑑3
3,11641E-16
3,11259E-16
3,12044E-16
3,116E-16
Ora poniamo i risultati su un apposito grafico dove sull’asse X compaiono i cubi dei raggi e sull’asse y i
quadrati dei periodi
2.5E+12
grafico costante terza legge di keplero per pianeti
medicei
2E+12
1.5E+12
1E+12
5E+11
0
0
1E+28
In entrambi i grafici otteniamo una retta, ciò dimostra che la terza legge di keplero è costante per tutti i
copri celesti e il suo valore dipende dal copro celeste attorno a cui i pianeti orbitano.
Premessa leggi di Keplero:
La prima legge afferma che:
« l’ orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. »
La seconda legge afferma che:
« Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in
tempi uguali. »