Dimostrazione dell`esistenza di infinite terne pitagoriche

Dimostrazione dell'esistenza di infinite terne pitagoriche
Le terne pitagoriche sono le soluzioni intere e positive dell'equazione
proviamo a dimostrare che ne esistono infinite.
x 2 y 2=z 2 ;
Dimostrazione
Dall'equazione appena vista, possiamo ricavare la seguente:
2
2
y =z −x
2
.
Sapendo che z deve essere un numero intero maggiore di x (fatto deducibile dalla prima
equazione, notando che y 2 è certamente un numero positivo), possiamo riscriverlo
come il quadrato della somma di x e di un numero n generico: y 2= xn2−x 2 , da cui si
deduce che y 2= x 22 n xn2 −x 2 =2 n xn 2 .
Per dimostrare che le terne pitagoriche sono infinite ci basterà esaminare il caso in cui n è
y 2−1
uguale a 1. Avremo allora che y 2=2 x1 e quindi x=
. Affinché si abbiano sia
2
la variabile x sia la y intere, bisognerà scegliere un y intero tale che y 2−1 sia un
numero pari, cosa che in realtà è facilissima: basta scegliere un valore di y che sia dispari.
Infatti il quadrato di un numero dispari è ancora dispari, perciò per ogni y naturale dispari
si potrà calcolare una terna pitagorica (il quadrato di y sarà ancora dispari e sottraendogli
uno si otterrà un numero pari), ma i numeri dispari sono infiniti, dunque lo sono anche gli
elementi della classe di terne pitagoriche che abbiamo trovato.
Oltre a questa infinità di terne pitagoriche che abbiamo generato con n uguale a 1, ne
esistono altre infinità per valori di n più grandi di 1. Per ogni valore di n si genererà una
nuova classe di terne pitagoriche.
Abbiamo dimostrato che esistono “almeno” infinite terne pitagoriche.