Le funzioni continue
1. Limiti di funzioni
Sia
f : E ⊂ X 7→ Y
con X e Y spazi metrici. Indichiamo con dX e rispettivamente dY le
rispettive espressioni della distanza.
Se p ∈ D(E) allora ha senso parlare del (eventuale)
lim f (x) = q
x→p
Intendendo con tale scrittura il seguente fenomeno
∀ε > 0
∃ρ > 0
tale che ∀x ∈ E che soddisfi inoltre la disuguaglianza
0 < dX (x, p) ≤ ρ
segua che
dY (f (x), q) ≤ ε
Sussiste il seguente risultato detto anche teorema ponte
Teorema 1.1. Riesce lim f (x) = q se e solo se ∀{pn } convergenti a p
x→p
riesce {f (pn )} convergente a q.
Risultati ben noti collegati alla definizione di limite sono i seguenti:
• unicitá del limite,
• nel caso Y spazio dei complessi (o dei reali) somma, differenza, prodotto e quoziente (ove lecito) di funzioni f e g che
abbiano limite, hanno anch’esse limite la somma, la differenza
il prodotto e il quoziente (ove lecito) dei due limiti.
• se X = R il caso dei limiti a +∞ o a −∞.
• i limiti infiniti.
1
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LE FUNZIONI CONTINUE
2. Funzioni continue
Definizione 2.1. Sia f : E ⊂ X 7→ Y e sia p ∈ E: f si dice
continua in p se
∀ε > 0 ∃δ : x ∈ E, dX (x, p) ≤ ρ
→
dY (f (x), f (p)) ≤ ε
f si dice continua in E se é continua in tutti i punti di E.
Le funzioni continue piú elementari sono le costanti.
Corollario 2.2. Sia p un punto isolato di E allora qualunque funzione f : E ⊂ X → Y é continua.
Dimostrazione. Infatti se p é isolato esiste un intorno I(p, ρ) di
p che non contiene punti di E diversi da p stesso: quindi
{x ∈ E AN D x ∈ I(p, ρ)}
→
x=p
Corollario 2.3. Se p ∈ D(E) allora f : E ⊂ X → Y é continua in
p se e solo se
lim f (x) = f (p)
x→p
3. Il teorema ponte
Teorema 3.1. Sia f : E ⊂ X 7→ Y : f é continua in p se e solo se
∀{pn } : lim to∞pn = p
n
→
lim to∞f (pn ) = f (p)
n
Osservazione 3.2. Si noti la continuitá in p equivale a che qualsiasi
sia la successione {pn } convergente a p in X ne segua che la corrispondente successione {f (pn )} converga a f (p) in Y : non basta cioé che
la convergenza sia riconosciuta su una particolare successione, occorre
che essa sia riconosciuta su tutte !
3.1. Continuitá delle funzioni composte.
Teorema 3.3. Siano
f : E ⊂ X 7→ f (E) ⊂ Y,
g : F ⊂ Y 7→ Z
se
• f (E) ⊂ F
• f é continua in p
• g é continua in f (p)
allora
w : E ⊂ X 7→ Z,
é continua in p.
x 7→ g[f (x)]
3. IL TEOREMA PONTE
3
3.2. Contrimmagine degli aperti.
Definizione 3.4. Sia f : E ⊂ X 7→ Y : per ogni V ⊂ Y si indica con
f −1 (V ) il sottoinsieme di E costituito dai punti x tali che f (x) ∈ V .
L’insieme f −1 (V ) prende il nome di contrimmagine di V mediante f .
Si noti che si puó parlare di contrimmagine f −1 (V ) qualunque sia V ⊂
Y e qualunque sia f : E ⊂ X 7→ Y :
• f −1 (V ) puó risultare l’insieme vuoto,
• la determinazione di f −1 (V ) non richiede che f sia invertibile,
• la cardinalitá di f −1 (V ) é, in generale, minore o uguale di
quella di V .
Teorema 3.5. Se f : X 7→ Y é continua e se V ⊂ Y é aperto in Y
allora f −1 (V ) é aperto in X.
Dimostrazione. Per riconoscere che f −1 (V ) é aperto occorre poter riconoscere che se p ∈ f −1 (V ) allora esiste tutto un intorno I(p, ρ) ⊂
f −1 (V ).
Consideriamo il punto f (p) ∈ V : essendo V aperto allora esiste tutto
un intorno I(f (p), ε) ⊂ V . Tenuto conto della continuitá di f in p
esiste un raggio δ tale che
x ∈ I(p, δ)
→
f (x) ∈ I(f (p), ε) ⊂ V
quindi
I(p, δ) ⊂ f −1 (V )
e quindi che
p ∈ f −1 (V )
→
I(p, δ) ⊂ f −1 (V )
Corollario 3.6. Se f : X 7→ Y é continua e se V ⊂ Y é chiuso in
Y allora f −1 (V ) é chiuso in X.
Viceversa sussiste anche il seguente teorema opposto
Teorema 3.7. Se f : X 7→ Y é tale che la contrimmagine f −1 (V ) di
ogni aperto V ⊂ Y é aperta in X allora f é continua.
Dimostrazione. Consideriamo, fissato p ∈ X, l’intorno aperto
V = I(p, ε) : ∀y ∈ Y dY (y, f (p)) < ε
detta f −1 (V ) la contrimmagine riesce
• f −1 (V ) aperto in X
• p ∈ f −1 (V )
• ∃I(p, δ) ⊂ f −1 (V )
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LE FUNZIONI CONTINUE
Ma allora
dX (x, p) < δ
ovvero la continuitá in p.
→
dY (f (x), f (p)) < ε
Osservazione 3.8. La teoria svolta in questa sezione si riferisce a
funzioni continue definite in tutto lo spazio X: questo non corrisponde
ai casi piú frequenti nei quali una funzione f risulta definita su sottoinsiemi E ⊂ X.
Le affermazioni precedenti vanno sostituite al modo seguente:
• Se f : E ⊂ X 7→ Y é continua e se V ⊂ Y é aperto in Y
allora f −1 (V ) é intersezione di un aperto di X con E.
• Se f : , E ⊂ X 7→ Y é continua e se V ⊂ Y é chiuso in Y
allora f −1 (V ) é intersezione di un chiuso di X con E.
4. Algebra delle funzioni complesse continue
Siano
f, g : E ⊂ X 7→ C
dove con C indichiamo lo spazio dei numeri complessi.
Si possono costruire le nuove funzioni sommando, sottraendo, moltiplicando
∀p ∈ E : f (p) ± g(p), f (p) . g(p), ...
e, ove possibile (g(p) 6= 0) si puó considerare il quoziente
f (p)
g(p)
Teorema 4.1. Se le due funzioni f e g sono continue tali riescono
f + g, f − g, f g e f /g.
Dimostrazione. Prodotto per un fattore:
Tenuto presente che
|λf (x) − λf (p)| = |λ||f (x) − f (p)|
la continuitá della funzione λf discende direttamente dalla continuitá
della f .
Somma:
La disuguaglianza triangolare valida in C implica che
| {f (x) + g(x)} − {f (p) + g(p)}| ≤ |f (x) − f (p)| + |g(x) − g(p)|
Per cui, scelto ε > 0 se
ε
|f (x) − f (p)| ≤ ,
2
|g(x) − g(p)| ≤
ε
2
4. ALGEBRA DELLE FUNZIONI COMPLESSE CONTINUE
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allora ne segue che
| {f (x) + g(x)} − {f (p) + g(p)}| ≤ ε
Dalla continuitá di f e di g si riconosce l’esistenza di δ > 0 e di σ > 0
tali che
ε
x ∈ I(p, δ) → f (x) ∈ I f (p),
2
ε
x ∈ I(p, σ) → g(x) ∈ I g(p),
2
Indicato con
ρ = min{δ, σ}
riesce quindi
x ∈ I(p, ρ)
→
f (x) + g(x) ∈ I (f (p) + g(p), ε)
Il caso della differenza é del tutto analogo.
Prodotto:
|f (x)g(x) − f (p)g(p)| ≤ |f (x)g(x) − f (p)g(x)|+|f (p)g(x) − f (p)g(p)| =
≤ |g(x)||f (x) − f (p)| + |f (p)||g(x) − g(p)|
Tenuto conto della continuitá di f e di g, scelto ε > 0 esistono δ > 0 e
di σ > 0 tali che
x ∈ I(p, δ)
x ∈ I(p, σ)
Indicato con
→
→
f (x) ∈ I (f (p), ε)
g(x) ∈ I (g(p), ε) , |g(x)| ≤ |g(p)| + ε
ρ = min{δ, σ}
riesce quindi
x ∈ I(p, ρ)
→
|f (x)g(x) − f (p)g(p)| ≤ (|g(p)| + ε)ε + |f (p)|ε
Da cui la continuitá della funzione prodotto.
Il caso del quoziente é analogo.
Osservazione 4.2. Il caso delle funzioni f, g : E ⊂ X 7→ C include
naturalmente quello piú elementare delle funzioni
f, g : [a, b] ⊂ R 7→ R
le funzioni reali di una variabile reale.
Tenuto presente che la funzione piú semplice
f : x 7→ x
é continua, il teorema precedente permette di riconoscere la continuitá
di
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LE FUNZIONI CONTINUE
• le costanti,
• polinomi,
• funzioni razionali.
4.1. Le funzioni reali. Assegnate due funzioni
f, g : E ⊂ X 7→ R
ha senso considerare le due nuove funzioni
min{f, g},
max{f, g}
Teorema 4.3. Se f e g sono continue tali riescono anche min{f, g},
max{f, g}.
5. Le funzioni continue f : X 7→ Rn
Una funzione
f : E ⊂ X 7→ Rn
é una legge che ad ogni punto p ∈ E fa corrispondere un punto f (p) ∈
Rn : tenuto conto che i punti di Rn sono n−ple di numeri reali, sará
f (p) = {x1 , x2 , ..., xn }
dove gli n numeri dipendono da p, sono ciascuno una diversa funzione
di p.
Assegnare pertanto una funzione f : E ⊂ X 7→ Rn corrisponde pertanto ad assegnare n funzioni
f1 : E ⊂ X 7→ R,
f2 : E ⊂ X 7→ R, ..., fn : E ⊂ X 7→ R
che sono dette le funzioni coordinate ad essa associate.
Teorema 5.1. La funzione
f : E ⊂ X 7→ Rn
é continua nel punto p se e solo se in tale punto sono continue tutte le n
funzioni fk : E ⊂ X 7→ R, k = 1, 2, ..., n che ad essa corrispondono.
