1 < π si mantiene il

1
October 15, 2009
Numeri, intervalli,intorni
Es. 1 π n > 0 quindi moltiplicando i membri di 0 < 1 < π si mantiene il
verso delle disuguaglianze.
Es. 2 Le due disequazioni individuano il complementare dell’intervallo [1,5]
e l’intervallo(-2/3,10/3) la cui intersezione é l’intervallo (-2/3,1).
q
q
√
√
√
√
7 − 85 − 36 2 7 + 85 − 36 2
√
√
,
)
Es. 3 a) (1− 13, 1+ 13) b)R \[-1,1] c)(
2(−1 + 2)
2(−1 + 2)
√
√
7 − 103 7 + 103
Es. 4 x ∈ (
,
) e x < −2.
3
3
Es. 5 la soluzione è la 2. La seconda disequazione individua l ’ intervallo
[1,3], mentre per la prima occorre distinguere la posizione di x rispetto a -2 e
2
. Per x< −2 la equazione si traduce in 3-2 x<-2-x. Analoghi gli altri casi.
3
Es. 6 Si tratta di dimostrare non solo che
1 − b 1 + a + a2
1 + b + b2
1−a
>
e
<
a+1
b+1
a+1
b+1
ma anche verificare che
1−a
1 + a + a2
<
a+1
a+1
altrimenti il primo estremo sarebbe maggiore del secondo. La prima equivale
a
2
2
>
a+1
b+1
, per la seconda essendo a + 1 > 0 e a − b < 0 ci si riduce a a + b + ab > 0.
7
5
, 2/3 +
) per
9n + 6
6 + 9n2
cui 2/3 appartiene all’intersezione, che non contiene altri elementi poiché
se p < 2/3 é un qualsiasi numero reale esiste n0 ∈N tale che p > 2/3 −
7
(altrimenti N sarebbe limitato) per cui il corrispodente intervallo non
9n0 + 6
contiene p; in modo analogo per i valori q> 2/3.
Es. 7 Gli intervalli si possono scrivere (2/3 −
Es. 8 Gli intorni di x0 ed x1 di raggio |x0 − x1 |/3, pari ad 1/3 della distanza
tra x0 ed x1 , non hanno punti comuni.
2
Es. 9 [2, 5)
2
Es. 10 Le soluzioni
√ dell’equazione di secondo grado ax + bx + c = 0 sono
∆
date da −b/2a ±
. Queste se reali sono gli estremi di un intorno di b/2a
2a
√
√
∆
141
. Nell’esercizio in questione x0 = 7/2 ed r=
. quindi la
di raggio
2a
2
soluzione é la 1.
Es. 11 Discutere quali dei seguenti insiemi siano limitati superiormente e/o
inferiormente: a) limitato superiormente da 10 per es., ma non inferiormente
b) Si tratta di numeri tutti positivi ed il numeratore é minore del denominatore quindi l’insieme é limitato inferiormente da 0 e superiormente da 1.
c) la lunghezza della circonferenza 20 π é maggiore di ognuno dei perimetri
considerati, che sono quantitá positive.
d) L’equazione xn + y n = z n ammette soluzioni intere con elementi tutti non
nulli solo se n=1 o 2.Si tratta dell’ultimo teorema di Fermat. Il risultato
annunciato agli inizi del 700 da Fermat è stato dimostrato solo di recente.
Es. 12 Per difetto.
3
Es. 13 2.714
= 19.9908.. < 2.7153 = 20.129.. quindi 2.7 é una approssi√
3
mazione di 20 a meno di 0.1. In modo analogo 2.72 ne é un approsimazione
a meno di 0.01.
Es. 14 Supponiamo che nella reazione chimica A+B7→ AB in cui i reagenti A B formano un prodotto AB al tempo iniziale le concentrazioni fossero
[A]=a=3,[B]=b=4, [AB]=x=0. La velocitá della reazione R(x) sia data da
K(a-x)(b-x). Se R(x)=9 quando x=1 quale é il valore di K? Determinare il
grafico di R(x) per tale valore di K e l’intervallo su cui tale funzione può
rappresentare tale fenomeno.
K(3-1)(4-1)=9 sse k=3/2. Ovviamente ciascuno dei due fattori (a-x) ed (bx) devono essere positivi come lo stesso x, per avere un significato in questo
contesto.
Es. 15 Un infezione micotica colpisce una serra e partire da una pianta centrale si evolve diffondendosi radialmente alla velocitá di 40 cm al giorno.
Determinare l’area della regione infetta in funzione del tempo misurato in
3
October 15, 2009
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura 1: y=3/2(3 − x)(4 − x)
giorni o secondi.
Si tratta di una funzione del tipo π(kt)2 il valore della costante k dipende
dalle unità di misura considerate, per sec. e cm. k=2160−1 .
Es. 16 Determinare il grafico della funzione V(x) (potenziale di Morse)
V (x) = D(1 − e−β(l − l0 ) )2
ove D= 7.61x10−19 J, β=0.0193 pm−1 l0 = 74.1.
Occorre costruire i grafici delle funzioni che compongono V(x).
12
4
20
40
60
80
100
120
10
3
-1
8
6
2
-2
4
1
2
-3
20
40
60
80
100
120
-50
-25
25
50
75
100
Figura 2: y=e−β(l−l0 ) ,y=1 − e−β(l−l0 ) ,y=(1 − e−β(l−l0 ) )2
Es. 17 Determinare quante fra le seguenti funzioni siano pari o dispari o
monotone (relativamente al loro campo di esistenza):
4
0.4
0.00008
0.2
0.00006
0.00003
0.000025
-50
-25
25
50
75
0.00002
0.00004
100
0.000015
-0.2
0.00001
0.00002
-6
5. 10
-0.4
-50
-25
25
50
75
Figura 3:
y=7.6110−19 (1 − e−β(l−l0 ) )2 ,
−6
y=7.6110 (1 − e−β(l−l0 ) )2
100
100
200
300
400
500
600
y=7.6110−6 (1 − e−β(l−l0 ) )2 ,
e|x| = e|−x| quindi f1 é pari e non monotona.Come
√ la precedente per√f2 . f3
é dispari poiché log |x2 − 1| é pari, poiché f3 (− 2) = f3 (0) = f3 ( 2) non
é monotona. f4 é somma di funzioni pari. ex e [x] sono crescenti o non
decrescenti, per cui f5 é non decrescente;non é né pari né dispari poich’e
0 = f5 (−1) 6= f5 (1) = 2 ed f5 (0) = 1. f6 non é né pari né dispari poich’e
f6 (−2) < 1 < f6 (2) ed 1 = f6 (0) = f6 (1). Quindi sono 4 le funzioni o pari o
dispari o monotone.
Es. 18 Sia f(x)= - 3x+2. Determinare (f (x))2 , f (f (x)) e se possibile l’inversa di f(x).
f (x)2 = 9x2 − 12x + 4, f (f (x)) = −3(−3x + 2) + 2 ed f −1 (x) = (2 − x)/3
Es. 19 f (g(g −1 (f −1 (x)))) = x ed g −1 (f −1 (f (g(x)))) = x quindi l’inversa di
f(g(x)) è g −1 (f −1 (x))
Es. 20 Qualunque sia x f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))ed f(-x)h(-x)=(-f(x)) h(x)=f(x)h(x) mentre h(f(-x))=h(-f(x))=h(f(x)) e f(-x)g(-x)= (-f(x))(-g(x))=f(x)g(x).
f (g(x1 )) − f (g(x2 ))
f (x1 ) − f (x2 )
> 0 per x1 6= x2 .
=
x 1 − x2
x 1 − x2
f (g(x1 )) − f (g(x2 )) g(x1 ) − g(x2 )
> 0 in quanto le due frazioni sono non
g(x1 ) − g(x2 )
x 1 − x2
nulle e di segno concorde.Se viceversa una funzione é crescente e l’altra decrescente la composizione è decrescente.
Es. 21 f(x) crescente equivale a
5
October 15, 2009
Es. 22 loga x = − log 1 x.
a
Es. 23 Quale delle seguenti funzioni da [-3,3] in R è iniettiva
2
g(x) = ex − x − 21
f (x) = log(21 + x − x2 )
2
h(x) = ex − 21x − 1
Le funzioni logaritmo ed esponenziale sono monotone, quindi se in [-3,3] i loro
argomenti sono funzioni monotone si avrá anche l’iniettivitá. I tre polinomi
di secondo grado hanno come grafici parabole, ma nel caso delle prime due
il vertice ha ascissa compresa tra -3 e 3 e quindi non rappresentano funzioni
iniettive su tale intervallo.
Es. 24 Se f −1 é l’inversa di f allora f −1 (y0 ) = x0 se y0 = f (x0 ) Se
f (x1 ) − f (x2 )
>
x 1 − x2
x 1 − x2
f −1 (y1 ) − f −1 (y2 )
1
=
=
> 0 per ogni
f (x1 ) − f (x2 )
f (x1 ) − f (x2 )
y 1 − y2
x 1 − x2
y1 , y2 . In modo analogo per la decrescenza.
0 allora
50
4
40
20
3
30
15
2
20
10
1
-2
10
5
2
4
6
-2
-1
1
2
3
-2
2
4
6
Figura 4: y=|x − 2|, y=ex + 3, y=e|x−2| + 3
Es. 25 I primi due grafici si ottengono con una traslazione ( rispettivamente
lungo l’asse x e lungo l’asse y) da quelli di funzioni elementari. Data la
simmetria del primo grafico rispetto alla retta x=2, il grafico della funzione
composta sará anch’esso simmetrico rispetto a tale rette. Poiché ex + 3 é
crescente ovunque come |x − 2| per x >2 si ottiene il terzo grafico in fig. 1
per simmetria rispetto alla parte per x >2.
6
1
4
2
20
0.8
3
1
15
0.6
2
10
0.4
5
1
2
4
6
3
4
5
6
1
0.2
-2
2
-1
-2
2
4
6
-2
-2
2
4
6
Figura 5: y=x2 + 1, y=(x2 + 1)−1 y=log0.4 x y=log5/2 (x2 + 1)
Conviene determinare il grafico di − log0.4 (x2 + 1) = log5/2 (x2 + 1) equivalente a f2 . Comunque presentiamo in fig.2 anche il grafico di (x2 + 1)−1 .
Ancora dalla simmetria del grafico di x2 + 1 basta studiare solo x ≥0. Dalla
crescenza di − log0.4 segue il grafico di fig. 7.
x2
Infine l’ultimo grafico deve essere compreso tra quelli di ±( − 1), che sono
2
parabole simmetriche rispetto all’asse x (fig.8 e 9) Il grafico richiesto oscilla
2
10
8
-4
-2
2
4
6
-2
6
4
-4
2
-6
-8
-4
-2
4
2
6
-10
-2
x2
x2
Figura 6: y= − 1, y=− + 1
2
2
6
4
2
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
Figura 7: y=(
x2
− 1) sen x
2
tra i due precedenti con zeri, massimi e minimi dati da quelli di sen x (fig 7).
Es. 26 La prima funzione ove definita é composizione di funzioni crescenti,
ex − 1
.
l’inversa é data da
2
October 15, 2009
7
Anche la seconda funzione, definita su tutto l’asse reale,√é composizione di
funzioni crescenti ed é quindi crescente.L’inversa é log4 ( 3 x − 3) é definita
solo se x >27.
La terza é una forma complicata di 1 − 2x /2, che é decrescente e con inversa
1
log2 2(1 − x). Ancora nel caso della quarta si tratta di 3
; dal grafico di
x +2
x3 + 2 si ricava che non é monotona ma ha inversa definita al di fuori di zero
µ
¶
1 − 2z 1/3
.
z
Numeri complessi
Es. 27 Il quadrato del modulo di (a+ i b)(c +i d)= (a c-b d)+i(b c+a d) é
(ac − bd)2 + (bc + ad)2 = (a2 + b2 )(c2 + d2 ).
Es. 28 Calcolare argomento e modulo di (3-3i) ( 2√9 3 + 23 i)
Conviene calcolare moduli ρ1 , ρ2 e argomenti θ1 , θ2 dei due fattori: ρ1 =
√
π
π
3 2, ρ2 = 3, θ1 = − , θ2 =
4 √ 6
π
.
Il prodotto ha modulo 9 2 ed argomento
12
Es. 29 (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(bc + ad) = (ac − bd) − i(bc + ad) =
(a − ib)(c − id).Analogo per la somma.
√
Es. 30 Il problema si riduce a risolvere z 6 = 6 ± 2 14 con termini noti reali una positivo ed una negativo; i loro moduli coincidono con il loro valore
assoluto, mentre gli argomenti sono rispettivamente 0 e π.