( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) e ( ) ( )2 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Digilander

ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
RACCOLTA DI ESERCIZI DAI VECCHI APPELLI DI ANALISI C
APPELLO DEL 11/06/03 (TOSQUES)
Dopo aver ricordato le definizioni si studi la continuità e la differenziabilità in  0, 0  della funzione
 x  sen y 2

f  x, y    x 2  2 y 2
0

se  x, y    0, 0 
se  x, y    0, 0 
Definizione di funzione continua in un punto: sia f  x  una funzione definita su un aperto 
f : 
n

m
e sia x  . f  x  è continua in x se  lim f  x   f  x  . Specializzando la
xx
notazione per funzioni in due variabili reali a valori reali diciamo che se f  x, y  è una funzione
definita su un aperto  , f :  

lim
 x , y  x0 , y0 
2
e  x0 , y0   , f  x, y  è continua in  x0 , y0  se

f  x, y   f  x0 , y0  .
Verifichiamo la continuità della funzione in esame: la funzione è nulla lungo gli assi quindi se il
limite esiste vale 0. Inoltre possiamo scrivere la funzione come prodotto: f  x, y   g  x, y   h  y  ,
 sen y  . In questo modo calcoliamo il limite come prodotto dei
xy 2
dove g  x, y   2
e h y 
2
y2
x  2y
2
limiti. Il limite per y  0 della funzione h  y  si riconduce ad un limite notevole, e vale 1. Resta
da studiare il limite
In coordinate polari
xy 3
, che per la continuità della funzione f dovrebbe valere 0.
 x , y  0,0  x 2  2 y 2
lim
 3 cos  sen 2 
cos  sen 2 


  0
cos 2   2sen 2 
 2  cos 2   2sen 2  
Possiamo quindi affermare che f  C 0 
2
.
Verifichiamo l’esistenza delle derivate prime:
   x 2  2 y 2   sen y 2

2
2 2
f

x

2
y


x
,
y

  
x

0
0
lim
 h 0 h 2
se  x, y    0, 0 
se  x, y    0, 0 
1
ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
 x sen y cos y  x 2  2 y 2   4 xy  sen y 2

2
f
 x2  2 y 2 
 x, y   
y

0
0
lim
 h 0 h 2
se  x, y    0, 0 
se  x, y    0, 0 
Le derivate prime, però, sono continue solo sull’insieme
esempio,
x
lim
 x , y  0,0
2
 2 y 2   sen y 
x
2
 2y
2
\  0,0  . Infatti nell’origine si ha, ad
2

2 2
1
,
2
 , perché la restrizione f  0, y  tende al valore
mentre f  x, 0  è identicamente nulla.
Questo significa che possiamo applicare il teorema del differenziale totale solo all’insieme
2
\  0,0  , ma non significa ancora che la funzione non sia differenziabile nell’origine.
Definizione di differenziabilità: sia f  x  una funzione definita su un aperto  f :  
sia x  . f  x  è differenziabile in x se lim
f  x   f  x   f  x  x  x
xx
xx
n

m
e
 0.
Specializzando la notazione per funzioni in due variabili reali a valori reali diciamo che se f  x, y 
è una funzione definita su un aperto  , f :  
in  x0 , y0  se
f  x, y   f  x0 , y0  
lim
 x , y  x0 , y0 
2

e  x0 , y0   , f  x, y  è differenziabile
f
f
 x0 , y0    x  x0    x0 , y0    y  y0 
x
y
 x  x0    y  y0 
2
2
 0.
x  sen y 
x2  2 y2
2
Dato che f  x0 , y0   0 e f  x0 , y0    0,0  il limite da calcolare si riduce a
lim
 x , y  0,0 
x2  y 2
Questo limite però non esiste, come si mostra con la restrizione lungo la bisettrice del I e del III
quadrante:
lim
 x , x  0,0 
x  sin x 
2
3 2 x2 x
.
APPELLO DEL 03/09/04 (BELLONI, COSCIA E LORENZI)
Data la funzione f  x, y   8  2 x 2  2 y 2 determinate, motivando opportunamente le risposte,
A  l’insieme dei punti dove f risulta continua, B  l’insieme dei punti dove f risulta
differenziabile.
dom f   x, y  
2
| x 2  y 2  4 .
2
.
ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
La funzione è continua sul suo dominio perché somma e composizione e di funzioni elementari
continue, perciò A   x, y  
2
| x 2  y 2  4 .


2 x
2 y
 , e le componenti del
;
Il gradiente della funzione è f  x, y   
 8  2 x2  2 y 2 8  2 x2  2 y 2 


gradiente sono funzioni continue su tutto il dominio privato dei punti di frontiera perché somma,
quoziente e composizione di funzioni elementari. Per il teorema del differenziale totale, poiché la
funzione è di classe C 1 sull’aperto B   x, y  
2
| x 2  y 2  4 , allora è anche differenziabile su
B.
APPELLO DEL 27/01/05 (TOSQUES)
Sia data la funzione f :
2
\  0,0  
definita da f  x, y  
x3 y
.
x2  y 2
Dopo aver ricordato la definizione di continuità, definire f in  0, 0  affinché essa sia continua in
 0, 0 
(giustificando le affermazioni fatte).
Si enunci il teorema del differenziale totale ed usando tale teorema si dimostri che f è
differenziabile in  0, 0  (con il valore con cui è stata definita in  0, 0  in modo da essere continua).
La funzione data è definita su
2
\  0,0  . L’origine è un punto di accumulazione del dominio. Le
restrizioni della funzione agli assi cartesiani sono nulle, quindi se il limite esiste è 0. Passando a
 4 cos3  sin 
  2  0 . La funzione è continua su
coordinate polari abbiamo
2

2
\  0,0 
perché somma, prodotto e quoziente di funzioni elementari continue. La funzione sarà continua
anche in  0, 0  se definiamo f  0,0   0 , perché abbiamo visto che questo è il valore del limite
nell’origine.
 x3 y

Sia quindi f  x, y    x 2  y 2
0

se  x, y    0, 0 
se  x, y    0, 0 
3
.
ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
Calcoliamo le derivate parziali prime con le usuali regole di derivazione nell’insieme
2
\  0,0  ,
f  h, 0   f  0, 0 
f
0
 lim  0 e
 0, 0   lim
h 0
t 0 h
x
h
f  0, h   f  0, 0 
f
0
 lim  0 .
 0, 0   lim
h 0
h 0 h
y
h
mentre in  0, 0  abbiamo
Abbiamo così:
 x 4 y  3x 2 y 3

2
f
 x, y     x 2  y 2 
x


0
 x5  x3 y 2

2
f
 x, y     x 2  y 2 
y


0
se  x, y    0, 0 
e
se  x, y    0, 0
se  x, y    0, 0 
.
se  x, y    0, 0
Le derivate prime sono funzioni continue su tutto il piano, infatti passando a coordinate polari
abbiamo rispettivamente
 5 cos3   cos 2   sin 2  
4
 5 cos 2  sin  1  2sin 2  
4
  0 e
   0.
Teorema del differenziale totale: sia  
esistono continue le n derivate prime
n
un aperto e sia f :  
una funzione per la quale
f
nel punto x . Allora f è differenziabile nel punto x .
xi
Si può applicare il teorema del differenziale totale alla funzione in esame, perciò essa è
differenziabile in  0, 0  . Inoltre poiché f  C1 
2
 la funzione è differenziabile su tutto il piano.
APPELLO DEL 16/09/05 (BELLONI, COSCIA E LORENZI)
sen  2 xy 
x2  y 4
1) Determinare il dominio massimale di f.
2) Stabilire se esiste il lim f  x, y  .
Considerare la funzione f  x, y   x 4  y 2 
 x , y  0,0
3) Determinare i punti in cui f è continua, motivando accuratamente la risposta.
Si ha: dom f 
accumulazione.
2
\  0,0  . L’origine non appartiene al dominio ma ne è un punto di
4
ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
sen  2 xy  

lim  x 4  y 2  2
 non esiste perché
 x , y  0,0 
x  y4 

lungo gli assi le restrizioni hanno per limite 0, mentre lungo la bisettrice dei quadranti I-III la
restrizione ha limite 2.
In ogni punto del piano diverso dall’origine la funzione è continua perché somma, quoziente e
composizione di funzioni elementari continue.
La funzione non ha limite nell’origine. Infatti
APPELLO DEL 21/07/06 (BELLONI, COSCIA E LORENZI)
Considerare la funzione f  x, y   4  x 2  y 2 log  y  x  .
1) Determinare il dominio massimale di f , i punti in cui f vale 0 e il segno di f nei restanti
punti.
2) Determinare il gradiente di f precisando in quali punti ha senso calcolarlo.
3) Determinare l’equazione del piano tangente al grafico nel punto corrispondente a
 x  0, y  1 .
La funzione è definita sul sottoinsieme del piano delimitato dalla circonferenza di raggio 2 centrata
nell’origine e dalla bisettrice del I e del III quadrante. I punti della circonferenza sono punti di
frontiera. La funzione si annulla sui punti della retta y  x  1 appartenenti al dominio. La funzione
assume valori positivi fra questa retta e la circonferenza (rosa in figura 1), mentre assume valori
negativi fra le due rette (azzurro).
figura 1
Il gradiente della funzione è il vettore
  x log  y  x 
4  x 2  y 2  y log  y  x 
4  x2  y 2

f  x, y  

,

 4  x2  y 2
yx
yx
4  x2  y 2

punti di frontiera del dominio.
5

 , e non è definito per i


ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
L’equazione del piano tangente al grafico della funzione f nel punto f  x0 , y0 , f  x0 , y0   si ottiene
da z  f  x, y   f  x0 , y0  
 0,1
f
f
 x0 , y0  x  x0    x0 , y0  y  y0  . In corrispondenza del punto
x
y


abbiamo f  0,1  0 e f  0,1   3, 3 , quindi il piano tangente in  0,1, 0  ha equazione
z   3x  3 y  3 .
APPELLO DEL 05/09/07 (TOSQUES)
Disegnare approssimativamente il grafico della seguente funzione f :
0
f  x, y   
2
2

definita da
se xy  0
se xy  0
e ricordando la definizione di continuità e differenziabilità dire se
1) f è continua in  0, 0  ;
f
f
 0, 0  e  0, 0  ;
y
x
3) f è differenziabile in  0, 0  .
2) esistono le
La funzione è nulla su tutto il piano mentre vale 2 al di sopra degli assi cartesiani.
La funzione non è continua in  0, 0  . Infatti la condizione di continuità sarebbe
lim
 x , y  0,0
f  x, y   f  0, 0   2 , ma questo limite non esiste, poiché i limiti assumono valori diversi a
seconda della direzione lungo la quale ci avviciniamo all’origine: 2 lungo gli assi e 0 per qualunque
altra direzione.
Esistono invece le derivate prime:
f  h, 0   f  0, 0 
f
22
 lim
0 e
 0, 0   lim
h 0
h 0
x
h
h
f  0, h   f  0, 0 
f
22
 lim
 0.
 0, 0   lim
h 0
t 0
y
h
h
Per la differenziabilità si dovrebbe avere
f
f
f  x, y   f  0, 0    0, 0    x  0    0, 0    y  0 
x
y
lim

2
2
2
2
x  y 0
x y
ma anche questo limite non esiste.
6
lim
x 2  y 2 0
f  x, y   2
x2  y 2
 0,
ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
Il calcolo del limite, in realtà, non è necessario, perché una funzione differenziabile in punto è
anche continua in quel punto, quindi la funzione assegnata non essendo continua in  0, 0  non è
nemmeno differenziabile.
DERIVATE SUCCESSIVE, TEOREMA DI SCHWARZ E MATRICE HESSIANA
Nell’eseguire le derivate seconde di una funzione di due variabili ci troviamo a derivare la funzione
gradiente, cioè una funzione vettoriale. Possiamo quindi derivare la prima componente del gradiente
rispetto alla prima o alla seconda variabile, e la seconda componente rispetto alla prima o alla
seconda variabile. Si costruisce, allora, la matrice Hessiana, delle derivate seconde, utilizzando la
solita convenzione: nella prima riga abbiamo le derivate della prima componente del gradiente, fatte
2 f
2 f
e
la
seconda
rispetto
a
y,
e
la
indichiamo
con
.
x 2 ,
yx
Nella seconda riga abbiamo invece le derivate della seconda componente del gradiente, la prima
la prima rispetto a x, e la indichiamo con
2 f
2 f
fatta rispetto a x, cioè
, e la seconda fatta rispetto a y,
. Abbiamo quindi
xy
y 2
 2 f

2 f
x
,
y
 x0 , y0  
 2  0 0
x
yx
.
Hf  x0 , y0    2
2
 f

 f
x , y0  
 x0 , y0 

2  0
y
 xy

Sulla diagonale principale della matrice Hessiana abbiamo le derivate seconde pure, sulla diagonale
secondaria le derivate seconde miste. Una funzione si dice derivabile due volte in un punto  x0 , y0 
se esistono finite tutte e quattro le sue derivate seconde. Se le derivate seconde sono tutte funzioni
continue su un aperto A allora la funzione si dice di classe C 2 su A. Una funzione di classe C 2 ha
derivate miste uguali (è l’enunciato del teorema di Schwarz).
Calcolare gradiente e matrice Hessiana della funzione f  x, y   x 2  y 2  x 2 y
1.
La funzione è un polinomio, è definita e continua su tutto il piano.
Le derivate parziali prime sono
f
f
 x, y   2 x  2 xy e  x, y   2 y  x 2 ; sono definite e
x
y
continue su tutto il piano.
Calcoliamo le derivate seconde sono
2 f
2 f
x
,
y

2

2
y
,
 x, y   2 x ,
 
yx
x 2
2 f
2 f
 x, y   2 x e 2  x, y   2 ; sono definite e continue su tutto il piano. La funzione è di
xy
y
classe C 2 su
2
.
7
ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
 2  2 y 2 x 
Abbiamo quindi: f  x, y    2 x  2 xy, 2 y  x 2  e Hf  x, y   
.
2 
 2 x
Calcolare gradiente e matrice Hessiana della funzione f  x, y   log 1  x 2 y 2 
2.
La funzione è definita e continua su tutto il piano perché composizione di funzioni continue.
Le derivate parziali prime sono
f
2 xy 2
f
2x2 y
x
,
y

x
,
y

e
; sono definite e
 
 
x
1  x 2 y 2 y
1  x2 y 2
continue su tutto il piano.
2 y 2 1  x 2 y 2   2 x 2 y 4 2 y 2 1  x 2 y 2 
2 f
Calcoliamo le derivate seconde sono
,

 x, y  
2
2
x 2
1  x2 y 2 
1  x2 y 2 
2 x 2 1  x 2 y 2 
2 f
4 xy
2 f
4 xy
2 f
x, y  
,
e
; sono definite
 x, y  
 x, y  
2
2
2
2 
yx
1  x2 y 2 
1  x2 y 2  xy
1  x2 y 2  y
e continue su tutto il piano. La funzione è di classe C 2 su
2
.
 2 xy 2
2x2 y 
,
Abbiamo quindi: f  x, y   
e
2 2
2 2 
 1 x y 1 x y 
 2 y 2 1  x 2 y 2 

2
 1  x 2 y 2 
Hf  x, y   

4 xy

2
 1  x 2 y 2 

3.


2 2 2
1

x
y

 
.
2 x 2 1  x 2 y 2  

2 2 2 
1  x y  
4 xy
Calcolare i punti nei quali si annulla il gradiente della funzione
f  x, y    x3  x 2 y  xy 2  2 x  y 3  2 y e scrivere la matrice Hessiana in tali punti.
La funzione è definita e continua su tutto il piano, perché è un polinomio.
f  x, y    3x 2  2 xy  y 2  2, x 2  2 xy  3 y 2  2  .
x   y x  y
 2
Uguagliando a 0 entrambe le componenti del gradiente otteniamo  2
e
3x  1  x  1
1   1 1 
 1
,
,
quindi i punti 1,1 ,  1, 1 , 
 e 
.
3 
3 3
 3
 2 y  6x 2x  2 y 
La matrice Hessiana generale ha forma Hf  x, y   
 e quindi
 2x  2 y 6 y  2x 
8
ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
 8

 4 0 
4 0 
1  
 1
3
Hf 1,1  
,

 , Hf  1, 1  
 , Hf 

3  4
 3
 0 4
 0 4 

 3
 8
 1 1   3
Hf  
,

3 3  4


3

4.

4 
3 
8 


3
4 
3 
.
8 

3 
 x3 y  xy 3

Verificare che la funzione f  x, y    x 2  y 2
0

se  x, y    0, 0 
ha derivate seconde
se  x, y    0, 0 
miste diverse in  0, 0  .
2
La funzione è continua su tutto il piano: su
\  0,0  perché quoziente di funzioni
continue, invece in  0, 0  perché si può mostrare che
in coordinate polari abbiamo
lim
 x , y  0,0
 4  cos3  sen   cos  sen 3  

2
f  x, y   f  0, 0   0 . Infatti
 2  0.
Le derivate parziali prime della funzione sono:
 x4 y  4 x2 y3  y5

2
f
 x, y     x 2  y 2 
x


0
se  x, y    0, 0 
e
se  x, y    0, 0
 x5  4 x3 y 2  xy 4
se  x, y    0, 0 

f

2
2 2
.
 x, y     x  y 
y

se  x, y    0, 0

0
Le derivate parziali prime sono continue: infatti si verifica facilmente che una volta scritte in
coordinate polari sono entrambe maggiorate dalla funzione g      .
Vediamo le derivate seconde:
 4 xy 3  3 y 2  x 2 

2 f
2
2 3
x
,
y



 x  y 
2
x

0
 4 x3 y  y 2  3x 2 

 f
2
2 3
x
,
y



 x  y 
2
x

0
2
se  x, y    0, 0 
se  x, y    0, 0 
se  x, y    0, 0 
se  x, y    0, 0 
9
ANALISI 2
ESERCITAZIONE DEL 29/11/2010
È immediato notare che le derivate seconde pure non sono continue nell’origine: le
restrizioni agli assi sono nulle mentre la restrizione alla bisettrice vale 1 per la derivata fatta
due volte rispetto a x e 1 per la derivata fatta due volte rispetto a y. La funzione è quindi
di classe C 2 solo su
2
\  0,0  .
Su questo insieme le derivate miste sono uguali:
2 f
2 f
x6  9 x 4 y 2  9 x 2 y 4  y 6
per  x, y    0,0  .
 x, y  
 x, y  
3
xy
yx
 x2  y 2 
Nel calcolare le derivate seconde miste in  0, 0  , invece, incontriamo il seguente caso:
f
f
h5
0,
h

0,
0

0
 
 
4
2 f

x

x
h
 lim
 lim
 1 , mentre
h 0
yx h0
h
h
f
f
h5
h, 0    0, 0 

0
2
4
 f
y
y
h
0,
0

lim

lim
 1.
  h 0
h 0
xy
h
h
10