Soluzioni del compito del 25 febbraio 2015

FISICA GENERALE I
2° appello di Febbraio A.A. 2013-2014
25.02.2015
Cognome
Nome
n. matr.
Corso di Studi
Docente
Voto
9 crediti
10 crediti
12 crediti
Esercizio n. 1 Un disco di raggio R, il cui centro di massa è inizialmente fermo e che ruota intorno al suo
asse orizzontale con velocità angolare 𝜔
⃗ , viene lasciato cadere sotto l’azione della forza di gravità. Si calcoli
al tempo t*: i) il modulo della velocità lineare di un punto P sul bordo del disco che inizialmente si trova sulla
verticale passante per il centro di massa, al di sopra di questo; ii) le coordinate di un punto del disco nel quale
la velocità assoluta è nulla. Si eseguano i calcoli per |𝜔
⃗ | = 1 𝑟𝑎𝑑/𝑠, R=0.5 m e t*=0.04 s
In un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro del disco la posizione del punto P all’istante generico t è data da
𝑥(𝑡) = 𝑅 sin 𝜔𝑡
{
1
𝑦(𝑡) = 𝑅 cos 𝜔𝑡 − 𝑔𝑡 2
2
Derivando per ottenere le componenti della velocità
𝑥̇ (𝑡) = 𝑅 ω cos 𝜔𝑡
{
𝑦̇ (𝑡) = −𝑅 𝜔 sin 𝜔𝑡 − 𝑔𝑡
Ne deriva che
𝑣 = √𝑅2 𝜔 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜔𝑡 ∗ + 𝑅2 𝜔 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 ∗ + 𝑔2 (𝑡 ∗ )2 + 2𝑅 𝜔 𝑔 𝑡 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 ∗ = √𝑅2 𝜔 2 + 𝑔2 (𝑡 ∗ )2 + 2 𝑅 𝜔 𝑔 𝑡 ∗ sin 𝜔𝑡 =0.65 m/s
Per un qualunque punto sul diametro orizzontale, a sinistra dell’asse del disco e distante d da questo, affinché la velocità, che ha solo
componente verticale sia zero, deve essere
𝜔𝑑 − 𝑔𝑡 ∗ = 0 e quindi 𝑑 =
𝑔𝑡 ∗
𝜔
=0.39 m
Esercizio n. 2 In una guida circolare di raggio R, posta su un piano orizzontale, (cfr. figura), ruota
un sistema costituito da due dischi di raggi e massa R1, m1 e R2, m2 rispettivamente e da una sbarra di
massa m e lunghezza 𝑙 che collega i centri dei dischi. La sbarra ruota senza attrito intorno a un perno
posto al centro della guida con velocità angolare di modulo Ω. Le distanze tra il perno e i centri dei
due dischi sono 𝑙1 e 𝑙2 rispettivamente. A causa della rotazione della sbarra, i dischi, potendo ruotare
senza attrito intorno ai loro assi incernierati agli estremi dell’asta, rotolano senza strisciare sulla guida.
Si calcoli: i) il modulo delle velocità angolari dei dischi; ii) l’energia cinetica del sistema dischi più
asta. Si eseguano i calcoli per l1=0.4 m, l2=0.5 m, R1=0.2 m, R2=0.1 m, m1=0.2 kg, m2=0.1 kg, m=0.1
kg e Ω=0.03 rad/s
L’asta ruota intorno a un perno che non corrisponde con il suo centro di massa. Il suo momento d’inerzia, considerando elementi di
lunghezza dr a distanza r da uno degli estremi, risulta essere
𝑙2
𝑚
1 𝑚
𝑚
(𝑙13 + 𝑙23 ) = (𝑙12 + 𝑙22 − 𝑙1 𝑙2 )=0.007 kg m2
𝐼𝑎 =
∫−𝑙 𝑟 2 𝑑𝑟 =
𝑙1 +𝑙2
3 𝑙1 +𝑙2
1
3
Analogo risultato si ottiene applicando Huyghens Steiner.
Considerando che i dischi ruotano sulla guida con puro rotolamento, si ottiene che
𝑙
𝑣𝑐1 = 𝑙1 Ω e 𝜔1 = 1 Ω = 0,06 𝑟𝑎𝑑/𝑠 analogamente 𝜔2 = 0.15 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑅1
da cui deriva che l’energia cinetica del sistema è
1
1 𝑚1 𝑅12
2
2
𝐾 = 𝐼𝑎 𝜔2 + (
2
1 𝑚2 𝑅22
+ 𝑚1 𝑅12 ) 𝜔12 + (
2
2
+ 𝑚2 𝑅22 ) 𝜔22 = 4x10-5 J
Esercizio n. 3 In un condotto di sezione circolare e di diametro variabile scorre un fluido
ideale di densità ρ. Il fluido, in corrispondenza delle due estremità del condotto, di diametro
D1e D2, ha velocità in modulo pari a v1 e v2. Sempre alle estremità del condotto sono inseriti
due tubi verticali aperti, che risultano riempiti di fluido fino alle altezze h 1 e h2 (cfr. figura), al
cui pelo libero agisce la pressione atmosferica. Se la portata è Q, si calcoli h2-h1. Si eseguano i
calcoli per v2=0.2 m/s, D1=0.2 m e D2=0.1 m
𝑄=
𝜋𝐷12
4
𝑣1 =
𝜋𝐷22
4
𝑣2 da cui
𝑣1
𝑣2
Dal teorema di Bernoulli 𝑝1 +
1
𝑣12
2
𝑣22
𝜌𝑔(ℎ2 − ℎ1 ) = 𝜌𝑣22 (
𝐷
= ( 2)
2
𝐷1
1
𝜌𝑣12 =
2
1
𝑝2 + 𝜌𝑣22 con 𝑝1 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ1 e 𝑝2 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ2
2
− 1) ne deriva che (ℎ2 − ℎ1 ) =
𝑣22
2𝑔
𝐷2
2
[( 22) − 1] =- 2 mm
𝐷1
Esercizio n. 4 Una macchina termica è usata per trasferire calore da una sorgente a temperatura T s a un corpo di capacità termica C,
inizialmente alla temperatura T0. Il corpo viene successivamente staccato dalla macchina e il lavoro complessivamente prodotto dalla
macchina è trasformato integralmente, in modo irreversibile, in calore e ceduto al corpo, che raggiunge la temperatura finale Tf. Si
calcoli la variazione di entropia del sistema. Si eseguano i calcoli per T f=500 K, Ts=450 K, T0=315 K e C=0.2 J/K
Il risultato dell’intero processo è aver portato il corpo alla temperatura T f e aver sottratto alla sorgente una quantità di calore 𝑄𝑆 .
Ai fini del calcolo dell’entropia si può immaginare di aver compiuto questi processi reversibilmente per cui
𝑇𝑓
𝑇𝑓 |𝑄𝑠 |
𝑑𝑄𝑐 |𝑄|𝑠
∆𝑆 = ∫
−
= 𝐶 𝑙𝑜𝑔 −
𝑇
𝑇𝑠
𝑇0
𝑇𝑠
𝑇0
Complessivamente il lavoro prodotto è nullo e quindi per il primo principio della termodinamica applicato al sistema
|𝑄𝐶 | − |𝑄𝑠 | = 0
dove 𝑄𝐶 e 𝑄𝑆 sono i calori (con segni espliciti) complessivamente scambiati rispettivamente dal corpo e dalla sorgente durante la
trasformazione. Inoltre 𝑄𝐶 = 𝐶(𝑇𝑓 − 𝑇0 ) per cui sostituendo
∆𝑆 = 𝐶 𝑙𝑜𝑔
𝑇𝑓 𝐶(𝑇𝑓 − 𝑇0 )
−
= 0.01 𝐽/𝐾
𝑇0
𝑇𝑠