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IMPLOSIONE DEI SISTEMI LOGICI
ELVIO CECI
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P rima Edizione, Novembre 2011
Elvio Ceci, laureato in Linguistica presso l’Università degli studi di Bologna con una tesi sui linguaggi interni
a sistemi connessionistici, si occupa di vari aspetti dello studio del linguaggio: aspetti di sociolinguistica,
psicolinguistica, neurolinguistici.
Dopo aver approfondito aspetti di apprendimento del linguaggio e deficit linguistici, sta sviluppando temi di
logica dei linguaggi naturali.
Attualmente si occupa di studio e ricerca di logica e linguistica presso il Glocal University Network.
TONK: IMPLOSIONE DEI SISTEMI LOGICI.
1. PREMESSA
Prawitz, nella terza delle “Sei lezioni sulla Conseguenza Logica” tenutasi a Bologna nel 2007, si
chiede come mai è la nozione di conseguenza logica (ⱵD, ⇒ ), nella concezione standard nella
𝐷𝑒𝑑
logica, che da significato agli operatori logici. Il significato non è dato dalla teoria della
dimostrazione, ma è la “sintassi che ci dà i linguaggi formali e ci dice quali sono le formule di questi
linguaggi e quali sono le dimostrazioni e le regole d’inferenza, e poi c’è una semantica che ci dice
cosa significhino queste formule e quand’è che sono vere” 1. È attraverso la semantica che i
linguaggi formali ottengono significato.
In questo modo di vedere il significato la proprietà della correttezza (soundness) diventa
fondamentale:
Γ ⱵD A implica Γ ⊨ A
Se questa relazione vale, allora il sistema deduttivo può conferire significato al linguaggio. Se,
invece,è fondamentale l’altra condizione,
Γ ⊨ A implica Γ ⱵD A
ovvero tutte le conseguenze logiche sono deducibili, vuol dire che è il sistema deduttivo a dare il
significato, e non la semantica la quale “deve rispettare il significato che esso da alle costa nti
logiche”2. Questa idea porta a concepire, quindi, il significato come uso o, più specificamente,
come regole che governano l’uso.
2. IL MORBO DI PRIOR
Contro l’idea del significato come concepito come regole d’uso, Prior nel 1960 porta un controesempio: egli presenta un connettivo particolare, che chiama tonk.
Inizialmente, parla di inferenze la cui validità dipenda da “the meaning of certain expressions
occurring in them” 3 : inferenze che chiama analiticamente valide. Prende, come esempio,
l’inferenza analiticamente valida “Grass is green and the sky is blue, therefore grassi s green”, la
cui validità dipende quindi solamente dal significato di AND. Ma qual è il significato di AND?
1
[Prawitz 2007, lezione 3, pag. 2].
[ibidem, pag 3].
3 [Prior 1960: 1].
2
(i)
(ii)
(iii)
“[F]rom any pair of statement P and Q we can infer the statement formed by joining P
to Q by AND”4.
Da ogni asserzione congiunta P-and-Q possiamo inferire P.
Da ogni P-and-Q possiamo inferire Q.
Il fatto che un’espressione debba avere qualche significato determinato indipendentemente,
prima che abbiamo scoperto se le inferenze coinvolte siano valide o meno, viene considerato da
Prior una “old superstitious view” [ibidem].
Egli mette in evidenza come da ogni asserzione, se analiticamente valida, se ne possa affermarne
una qualsiasi altra espressione:
"2 and 2 are 4"
2 and 2 are 4 𝑡𝑜𝑛𝑘 "2 and 2 are 5"
"2 and 2 are 5"
Se pensiamo, infatti, che il significato di una qualsiasi costante logica sia dovuta alla
formalizzazione delle sue regole d’introduzione e di eliminazione, questa nuova costante logica,
tonk, con le seguenti regole:
tonk-I
A
A 𝑡𝑜𝑛𝑘 B
tonk- E
A 𝑡𝑜𝑛𝑘 B
B
Queste due regole, tuttavia, stanno a significare, come abbiamo visto, che “da una proposizione A
segue una proposizione B, per qualunque B” 5 [ibidem]. Se, infatti, “A tonk B” segue da A e B segue
da “A tonk B”, allora per transitività da A segue B per qualunque B e per qualunque A:
𝐴
𝐴 𝑡𝑜𝑛𝑘 𝐵
𝐵
Se si accetta, tuttavia, tale connettivo come logico e le sue regole come truth-preserving, esso può
rendere ogni logica banale (trivial).
Belnap, nell’articolo “Tonk, Plonk an Plink” del 1962, sottolinea il fatto che le regole per tonk
sbagliano a definire un operatore logico come legittimo. Prior, infatti, non considera che la
definizione del connettivo tonk non è data ab initio; ma piuttosto in termini di “antecedently given
context of deducibility”6, il quale prevede di possedere alcune nozioni già definite. Un problema
precedente, quindi, a quello di caratterizzazione dei connettivi logici, è di esplicitare le nostre
assunzioni sulla natura della deducibilità. Si può vedere, per esempio, come Prior utilizza la
transitività della deducibilità. Se ciò fosse vero, “it is impossible to create a situation in which we
are forced to say things inconsistent with those assumption”7. Le proprietà dei connettivi sono
4
5
[ibidem].
[Usberti 1995: 60].
[Belnap 1962: 131].
7 [ibidem].
6
relative alla nostra caratterizzazione della deducibilità: “if we had initially allowed a˫b, there would
have been no objection to tonk”8.
Cook riassume questo argomento sostenendo che, per ogni relazione di conseguenza →, se → è
transitiva ( e la logica risultante contiene un teorema) allora l’aggiunta di tonk produce banalità
(“triviality”). Sembra, comunque, che tonk crei problemi anche in logiche che non posseggono la
transitività 9.
Il problema successivo, a cui Belnap non è riuscito a dare un’argomentazione, è il seguente: esiste
una relazione di conseguenza → tale che è transitiva, contiene un teorema e l’aggiunta di tonk
fallisce nel produrre trivialità.
Ciò che vuole dimostrare Cook è che esiste una nozione di conseguenza logica, ovvero una logica
in cui la relazione di conseguenza possa essere motivata indipendentemente da tonk, la quale
permette a sua accettabilità.
La soluzione che da Belnap è chiamato requisito di consistenza. Quali sono le condizioni necessarie
e sufficienti affinché questo requisito sia soddisfatto? Prima di tutto, attraverso un sistema
formale S, si dia una “caratterizzazione completa delle proprietà astratte (cioè non dipendenti dal
significato di alcuna costante logica) della relazione ˫ di deducibilità; e quindi richiede che la
definizione di ogni nuova costante logica C soddisfi la condizione seguente:
(15) L’estensione di SI di S ottenuta aggiungendo a S le C-regole è conservativa”10.
Abbiamo quindi un sistema logico privo di costanti logiche che estendiamo aggiungendo una
costante logica per volta, “il cui significato viene definito dalla totalità delle regole logiche che la
concernono”11.
Belnap, quindi, prova a caratterizzare il problema del requisito di consistenza dal punto di vista
sintetico. Per prima cosa, egli prova a definire la deducibilità come un insieme di assiomi:
1) Axiom:
𝜑⇒𝜑
𝛤 ⇒𝜑
2) Weakening: 𝜓,𝛤 ⇒𝜑
𝜓 𝜓,𝛤⇒𝜑
3) Contraction:
𝜓,𝛤 ⇒ 𝜑
4) Permutation:
5) Transitivity:
8
𝜑,𝜓,𝛤⇒𝜔
𝜓,𝜑,𝛤 ⇒𝜔
𝛤⇒𝜑
𝜑,𝛥 ⇒ 𝜓
𝛤,𝛥 ⇒𝜓
[ibidem: 133]
Neil Tennant, INTUITIONISTIC RELEVANT LOGIC, 1996.
10 [Usberti 1995: 67].
11 [ibidem].
99
Nell’articolo Belnap sono formalizzate secondo le regole della deduzione naturale di Gentzen. Ma
le regole strutturali di quella formalizzazione sono equivalenti alla formalizzazione nel calcolo dei
sequenti. L’ Equivalence Theorem for N an the Sequent Rules sostiene, infatti, che:
“Γ ⱵN iff Γ⇒ φ is provable by sequent rules” 12.
Possiamo prendere questo piccolo sistema come esprimente di tutte e sole le asserzioni
universalmente valide “and rules expressible in the given notation: it completely determines the
context”13.
Se definiamo ora un nuovo connettivo (plonk) come estensione del sistema formale caratterizzato
dalla deducibilità, vedremo che esso ne è l’estensione in due sensi particolari: primo, la nozione di
sentence è estesa introducendo A-plonk-B come proposizione, per qualsiasi proposizione A e B;
secondo, aggiungiamo assiomi e regole che governano A-plonk-B come occorrenti delle premesse
o come delle conclusioni delle asserzione di deducibilità. Queste costituiscono la definizione di
plonk.
La richiesta di consistenza del nuovo connettivo plonk adesso si può esprimere. L’estensione deve
essere conservativa, ovvero se può possedere le nuove asserzioni di deducibilità, esse
includeranno plonk: “[i]t will not lead to any deducibility-statement A1, …, An ˫ B not containing
plonk, unless that is already provable in the absence of the plonk-axiomas and plonk-rules”14.
Il problema di tonk, quindi, consiste nell’essere inconsistente: ci da un’estensione che non è
conservativa; nell’estensione, e non nell’originale, da ogni A e B arbitrario, allora A Ⱶ B. Dobbiamo,
quindi, affermare che l’inclusione di un connettivo con delle proprietà rispetto ad un altro dipende
sempre dalla caratterizzazione della deducibilità.
3. ESTENSIONE DI CONSEGUENZA LOGICA
Nel 2005, Cook pubblica un articolo in cui tenta di mostrare l’esistenza di una logica in cui una
nozione di conseguenza può essere motivata indipendentemente da tonk, che permette la sua
accettabilità.
Modifica, infatti, quella logica che possiede la relazione di conseguenza transitiva, come in
[Anderson&Belnap 1975], di first- degree entailment (FDE), dando un contesto per accettare tonk.
Il vocabolario di questa nuova logica è quello standard della logica proposizionale (PL), con le
relative formule ben formate (WFF). La prima differenza con la logica proposizionale è che
un’interpretazione delle formule non è una funzione che va da lettere proposizionali a valori di
verità; ma una relazione tra una formula e uno o più valori di verità.
La relazione standard è, quindi, così data:
12
[Scott 1981:132] a cui rimandiamo per una trattazione più completa.
[Idibem: 132].
14 [Ibidem].
13
R ⊆ {0, 1} X PL
Estendiamo questa interpretazione, con la relazione R I :
RI ⊆ {0, 1} X WFF
per tutte le formule in accordo con le seguenti regole.
Per lettere proposizionali Pi:
RI (1, Pi) sse R (1, Pi)
RI (0, Pi) sse R (0, Pi)
Per qualsiasi φ, ψ ∈ WFF:
RI (1, ~𝛷) sse RI (0,φ)
RI (0, ~𝛷) sse RI (1, φ)
RI (1, φ Λ ψ) sse RI (1, φ) e RI (1, ψ)
RI (0, φ Λ ψ) sse RI (0, φ) o RI (0, ψ)
RI (1, φ ⋁ ψ) sse RI (1, φ) o RI (1, ψ)
RI (0, φ ⋁ ψ) sse RI (0, φ) e RI (0, ψ)
Le regole sopra elencate posseggono tavole di verità con quattro valori, cioè T={1} F={0} B={0, 1}
e N=∅. Per avere la FDE logica, Cook adotta la definizione di Truth Preservation Consequence
Δ⇒Φ
𝑇
sse
per tutte le interpretazioni di R (le associate R I):
se RI (1, ψ) per tutti i ψ ϵ Δ , allora RI (1, Φ).
Si noti che RI (1, Φ) non garantisce anche il caso che R I (0, Φ), come risulta dall’ ex falso quodlibet:
𝛷
~𝛷
𝜓
che fallisce in FDE visto che R I (1, Φ), RI (0, Φ) e non RI (1, ψ). FDE è, quindi, una logica relevant15.
La relazione di conseguenza di FDE è transitiva e sarà utile per formulare un operatore tonk
triviale: FDE è lo sfondo per generare logiche non classiche.
Abbiamo visto che la nostra logica è polivalente e possiamo ottenere un sistema equivalente a
quello della logica classica aggiungendo la Classical Constraint alla semantica.
CC: Per ogni lettera proposizionale Pi, esattamente uno tra R (1, Pi) e R (0, Pi).
15
La logica rilevante ha come obiettivo quello di “formalizzare l’implicazione in modo da evitare i paradossi
dell’implicazione materiale, assumendo che: quando una proposizione è implicata da altre occorre che queste ultime
intervengono effettivamente per stabilirle” [Palladino&Palladino 2008: 108].
Cook ottiene un sistema equivalente alla logica dialetica16 aggiungendo il meno forte Dialethic
Constraint.
DC: Per ogni lettera proposizionale Pi, almeno uno tra R (1, Pi ) e R (0, Pi).
In entrambi i casi dobbiamo abbandonare la nozione precedentemente introdotta di conseguenza:
⇒ corrisponde all’idea che la conseguenza preservi la verità, cioè che la verità della premessa
𝑇
garantisca la verità della conclusione. Si può, tuttavia, ipotizzare che la nozione di preservazione
della non-falsità sia ugualmente legittima nel conto della conseguenza: la non-falsità (e non la
verità) delle premesse garantisce la non falsità (e non la verità) della conclusione. Cook formalizza
la nozione di Non-falsity Preservation Consequence come segue:
Δ⇒ Φ
𝑁𝐹
per tutte le interpretazioni di R (le associate R I):
sse
se RI (0, Φ), allora R I (0, Φ) per alcune ψ ∈ Δ.
Mentre per quanto riguarda le logiche polivalenti, la Truth Preservation Consenquence, in simbolo
⇒, ci permetteva di scegliere tra i valori di verità {{1}, {1,0}}, come prevede l’insieme di valori
𝑇
precedentemente dato; la Non-falsity Preservation Consequence, in simbolo ⇒ , potrebbe
𝑁𝐹
corrispondere a una logica che ha come valori designati {{1}, ∅}.
Con questa notazione, Cook prova a costruire una logica equivalente alla analethic logic17,
aggiungendo la Gappy Constraint (il quale con la Non-falsity Preservation Consequence generano
una logica corrispettiva alle logiche dialetiche):
GC: Per ogni lettera proposizionale Pi , non più che una R(1, Pi) e R(0, Pi).
Cook studia una cornice leggermente differente da quello previsto dalla FDE che chia ma Tonk
logic. In questo sistema, infatti, non si da nessuna restrizione a ciò a cui il valore di verità di una
formula può essere relazionato. Questo comporta una relazione di conseguenza più complessa, la
quale viene chiamata da Cook Tonk Consequence:
Δ⇒Φ
Ө
sse
o,
per tutte le interpretazioni di R (le associate R I):
se RI (1, ψ) per tutti i ψ ϵ Δ , allora RI (1, Φ).
Oppure, per tutte le interpretazioni di R (le associate R I):
se RI (0, Φ), allora R I (0, Φ) per alcune ψ ∈ Δ.
La quale si può riscrivere anche:
Δ⇒Φ
Ө
16
17
[Priest 1979].
[Beall&Ripley 2004].
sse
Δ ⇒Φ
𝑇
OR Δ ⇒ Φ
𝑁𝐹
Per essere adottato, questo sistema deve includere anche altre due affermazioni. Per prima cosa,
bisognerebbe accettare anche le frasi che possono cadere in una delle quattro categorie (T, F, B,
N), basate sulle relazioni di due valori indipendenti (1, 0). Secondo, nella codifica delle inferenze
corrette, non c’è ragione di preferire la Truth Preservation Consequence dalla Non-Falsity
Preservation Consequence, e viceversa.
Detto ciò, si può affermare che un particolare insieme di premesse e conclusioni è un’istanza della
conseguenza logica se e solo se soddisfa qualcuna delle più semplici (ma incomplete) nozioni. Tonk
conseguence è transitiva: a differenza di FDE e delle altre logiche considerate precedentemente, la
proprietà della transitività può cambiare molto nell’aggiungere connettivi proposizionali.
Dobbiamo tener conto, comunque, che nel calcolo dei seguenti di un sistema deduttivo per la
Tonk Logic, la regola del “cut” è ammissibile ma non derivabile.
Ora possiamo, dunque, aggiungere l’operatore tonk alla Tonk Logic, secondo la seguente
interpretazione:
Per un arbitrario Φ, ψ ∈ WFF
RI (1, (ΦӨψ)) sse R I (1, Φ)
RI (0, (ΦӨψ)) sse R I (0, ψ)
Riprendendo i valori di verità precedentemente dati (T, F, N, B), la tavola di verità per tonk è la
seguente:
Tonk
T
B
N
F
T
T
T
N
N
B
B
B
F
F
N
T
T
N
N
F
B
B
F
F
Le regole d’introduzione e d’eliminazione sono valide nella Tonk Logic: la prima soddisfa il primo
disgiunta della nozione di conseguenza, la seconda il secondo disgiunto.
Cook afferma, infine, che “a rejection of tonk as illegitimate depends on a prior (at least partial)
account of what constitutes a legitimate notion of logical consequence”18.
4. SUPER-TONK
“Connective stranger than tonk” è un articolo del 2006 di Heinrich Wansing, mostra che gli effetti
individuati di tonk sono presenti anche in certi contesti in cui tonk è accettabile. Wansing chiama
tali connettivi, che in contesti non triviali producono trivialità, non-trivially trivialing connettives.
18
[Cook 2005: 223].
Il punto di partenza è la semantica proof-teoretica come è stata formalizzata da Gentzen e
Jeskowski: il significato delle costanti logiche è, o può essere, dato da regole d’inferenza adatte
nella deduzione naturale o in alcune versioni del calcolo dei sequenti. Tonk dimostra che non tutti
gli insiemi di regole inferenziali definiscono operatori logici.
Prende, come esempio, una logica Λ che può essere definita in tre modi differenti: (L, Ⱶ ), come (L,
⊨) o come (L, Ⱶ, ⊨), in cui L è il linguaggio formale, Ⱶ è la relazione di derivabilità sintattica e ⊨ è
l’equazione semantica di conseguenza.
Per quanto riguarda la relazione di derivabilità sintattica, possiamo assumere che:
Ⱶ ⊆ LxL
o
Ⱶ ⊆ P(L)
Ⱶ ⊆ P(L)x P(L)
o
dove P(L) è il powerset di L. Per quanto riguarda le formule A, B ∈ L, invece di avere {A} Ⱶ B oppure
{A} Ⱶ {B}, possiamo anche scrivere A Ⱶ B. In maniera analoga, possiamo definire ⊨, nella logica (L,
⊨). Per quanto riguarda la logica con la tripla (L, Ⱶ, ⊨), dobbiamo assicurare che sia almeno sound:
Ⱶ ⊆ ⊨.
Una logica (L, Ⱶ) non è triviale se se solo se Ⱶ ≠ ∅ e ∃𝐴∃𝐵 (A⊬ B). Se la logica Λ corrisponde (L, ⊨),
non è triviale se e solo se ⊨ ≠ ∅ e ∃𝐴∃𝐵(A ⊭B). (L, Ⱶ, ⊨) è una logica non triviale se e solo se ⇝ ≠
∅ e ∃𝐴∃𝐵(A ∕ ⇝ B) in cui ⇝ ∈ { Ⱶ, ⊨}.
Le regole per il calcolo dei sequenti per tonk sono:
I-rule
⇒ Δ, A Ⱶ (AtonkB)
E-rule
⇒ (AtonkB) Ⱶ Δ,B
in cui Δ è un insieme finito di formule.
Cosa significa aggiungere tonk alla logica Λ? Come abbiamo visto nel paragrafo secondo,
dobbiamo assumere la relazione Ⱶ come definita nel calcolo dei sequenti per la deduzione
naturale. Se Λ=(L, Ⱶ), allora aggiungendo tonk dobbiamo anche comprendere cosa significhi
aggiungere delle regole di introduzione e di conclusione dei sequenti di tonk nel sistema proofteoretico di Λ. Se Λ=(L, ⊨), allora dobbiamo dare un’interpretazione semantica (algebrica o modelteoretica) di tonk e che le regole dei sequenti della deduzione naturale per tonk siano sound:

A⊨ (AtonkB)

(AtonkB) ⊨ B(⋀ 𝛥˄𝐴 ⊨ (AtonkB) e (AtonkB) ⊨ ⋁ 𝛥˅𝐵)
Se, invece, Λ=(L, Ⱶ, ⊨) dovremmo assumere che entrambe le condizioni siano soddisfatte:
l’aggiunta delle regole d’introduzione e la loro soundness. Quest’ultima proprietà, per le regole
della deduzione naturale con le deduzioni come premesse, prende la forma di una regola. Per
aggiungere, per esempio, la regola d’introduzione dell’”implica” classica e intuizionista, il requisito
dovrebbe essere : ⋀ 𝛥˄𝐴⊨ B implica ⋀ 𝛥\{𝐴}⊨A⊃A.
Wansing, successivamente, definisce S come una classe di logiche e # un connettivo non
appartenente ai connettivi primitivi di ciascun Λ ∈ S. Il connettivo # è detto non conservativo
rispetto a S se e solo se # può essere aggiunto alle logiche in S, ma non può essere aggiunto
conservativamente a ciascun Λ ∈ S; # è detto un connettivo triviale rispetto a S se e solo se # può
essere aggiunto alle logiche S e, per ogni Λ∈S, # è trivializzante.
Se formalizziamo la Tonk Logic e la Tonk Consequence di Cook, potremmo dire che una valutazione
delle formule ben formate è una funzione v che va da un insieme di variabili proposizionali a
P({T,F}), ovvero l’insieme delle parti dell’insieme dei valori di verità classici, il quale è esterno alla
funzione V dell’insieme di tutte le formule (il cui linguaggio contiene congiunzione, disgiunzione,
negazione) a P({T, F}). La Tonk Consequence è un sottoinsieme di P(L)xL, definita:
Δ⇒
𝑡𝑜𝑛𝑘
A
sse
o,
per tutte le interpretazioni di v:
se T ∈ V(B) per tutte i B ϵ Δ , allora T∈ V(A).
Oppure, per tutte le interpretazioni di v:
se F ∉ V(B) per tutte i B ϵ Δ, allora F∉V(A).
Aggiungere tonk alla Tonk Logic significa equipaggiarlo di una tavola di verità, come abbiamo visto
precedentemente e che riportiamo di seguito:
Tonk
T
B
N
F
T
B
N
F
T
T
N
N
B
B
F
F
T
T
N
N
B
B
F
F
Tonk non è conservativo rispetto alla Tonk Logic. “It therefore seems appropriate to point out that
what is wrong with tonk in any logical system with a transitive derivability is wrong with another
connettive in any logic with a non-trivial derivabilità relation” 19.
La relazione sintattica Ⱶ in una logica (L, Ⱶ) ci dice quale insieme delle L-formule seguono
sintatticamente da altri insieme di L-formule. Per semplicità Wansing considera solo logiche (L, Ⱶ):
le altre due seguono di conseguenza. Egli definisce sette classi di logiche non triviali:


General ≔ {Λ⃒⊢≠∅ & ∃𝐴∃𝐵 A⊬B};
Forward ≔ { Λ⃒ ∀𝐴∃𝐵 A⊢B, ⊢ ≠∅ & ∃𝐴∃𝐵 A⊬B};
 Backward ≔ { Λ⃒∀𝐴∃𝐵 B⊢A, ⊢ ≠∅ & ∃𝐴∃𝐵 A⊬B };
 Coherent ≔ { Λ⃒⩝A (∃𝐵 A⊢B o ∃𝐵 B⊢A), ⊢≠∅ & ∃𝐴∃𝐵 A⊬B };
 Reflexive ≔{ Λ⃒∀𝐴 A⊢B, ⊢≠∅ & ∃𝐴∃𝐵 A⊬B };
 Transitive ≔ { Λ⃒∀𝐴∀𝐵∀𝐶 ((A⊢B & B⊢C)⇒ 𝐴 ⊢ 𝐶), ⊢≠∅ & ∃𝐴∃𝐵 A⊬B };

19
Quasi-ordered ≔ { Λ⃒∀𝐴 A⊢A, ∀𝐴∀𝐵∀𝐶 ((A⊢B & B⊢C)⇒ 𝐴 ⊢ 𝐶), ⊢≠∅ & ∃𝐴∃𝐵 A⊬B };
[Wansing 2006: 656]
le quali sono organizzate nella maniera seguente: F ⊆ C, B ⊆ C, R ⊆ F, R ⊆ B, Q ⊆ R e Q ⊆ T. Se X e
Y sono una qualsiasi di quelle logiche, e X ⊆ Y, allora ogni connettivo che trivializza Y, è
trivializzante anche rispetto X.
Wansing definisce, in maniera esplicita, un connettivo come coerentemente trivializzante se e
soltanto se è un connettivo trivializzante rispetto a C. Un connettivo è detto non-trivially
trivializing se e soltanto se è un connettivo trivializzante rispetto a G.
Per ottenere l’effetto trivializzante di tonk (per le logiche Transitive e Quasi-ordered), un
connettivo a zero-posti dovrebbe combinarsi con le regole d’eliminazione e di introduzione con un
altro paio di operazioni a due posti: la teoremicità e l’assurdo. Così uno può considerare un’altra
constante logica *tonk, introdotta dalle regole della deduzione naturale (e per il calcolo dei
sequenti):
𝐴
∗𝑡𝑜𝑛𝑘
∗𝑡𝑜𝑛𝑘
𝐵
⇒ *tonk Ⱶ Δ)
(⇒ Δ Ⱶ *tonk
*tonk non può essere aggiunto alla Tonk Logic in quanto nessuna assegnazione dei valori di verità
di {T, B, N, F} a *tonk valida rende valide le regole di introduzione ed eliminazione per *tonk:
questo connettivo non è conservativo rispetto alla {Tonk Logic}.
Consideriamo le seguenti regole per la deduzione naturale (e le simmetrie nel calcolo dei sequenti)
del connettivo a zero posti tonk>:
𝐴.
..
𝑡𝑜𝑛𝑘>
𝐵
𝐴.
..
𝐵
𝑡𝑜𝑛𝑘>
(Δ Ⱶ Γ ⇒ Δ Ⱶ tonk>
Δ Ⱶ tonk> ⇒ Δ Ⱶ Γ )
dove Δ e Γ sono un insieme arbitrario e finito di formule.
Consideriamo, ora, anche le seguenti regole di deduzione naturale per il connettivo a zero posti
<tonk:
[ 𝐵]
..
.
𝐴 𝐴
<𝑡𝑜𝑛𝑘
(Γ Ⱶ Δ ⇒ Δ Ⱶ <tonk
𝐴.
..
<𝑡𝑜𝑛𝑘
𝐵
Δ Ⱶ <tonk ⇒ Δ Ⱶ Γ)
dove Δ e Γ sono un insieme arbitrario e finito di formule e le parentesi quadre a significare che la
premessa viene scaricata.
La costante proposizionale <tonk>, infine, è data dalle seguenti regole di deduzione naturale (e
dalle corrispettive del calcolo dei sequenti):
[ 𝐵]
..
.
𝐴 𝐴
<𝑡𝑜𝑛𝑘>
𝐴.
..
<𝑡𝑜𝑛𝑘>
𝐵
𝐴.
..
𝐵
<𝑡𝑜𝑛𝑘>
( Γ Ⱶ Δ ⇒ Δ Ⱶ <tonk>
Δ Ⱶ Γ ⇒ Δ Ⱶ <tonk>
Δ Ⱶ <tonk> ⇒ Δ Ⱶ Γ)
Supponiamo che Λ ∈ F, per ogni A, esiste una formula B per cui A Ⱶ B. Di conseguenza, abbiamo A Ⱶ
tonk> per la regola della tonk>-introduction; un’applicazione di tonk>-elimination ci da un A Ⱶ C per
una C arbitraria.
Possiamo dunque assumere che:

Tonk> è un connettivo trivializzante rispetto a F.


<tonk è un connettivo trivializzante rispetto a B.
<tonk> è un connettivo coherently trivializing.
Per ottenere regole d’inferenza per un connettivo non-trivially trivializing, consideriamo le regole
per la deduzione naturale (e le corrispettive del calcolo dei sequenti) per un connettivo a zeroposti super-tonk:
[𝐶 ]
..
.
𝐷 𝐴
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟−𝑡𝑜𝑛𝑘
( ψⱵ Θ ⇒ Δ Ⱶ super-tonk
𝐴.
..
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟−𝑡𝑜𝑛𝑘
𝐵
Δ Ⱶ super-tonk ⇒ Δ Ⱶ Γ)
Se (L, Ⱶ) non è triviale, allora esistono L-formule C, D tali che C Ⱶ D. Per la regola d’introduzione di
super-tonk, allora, A Ⱶ super-tonk per qualsiasi A. Così le regole d’eliminazione di super-tonk
applica A Ⱶ B per un arbitrario A, B.
Nel calcolo dei sequenti è evidente che ∅ ⇒ A Ⱶ B è autorizzato dalla transitivià di ⇒: la relazione
sintattica Ⱶ non è necessariamente transitiva.
Super-tonk è un connettivo non-trivially trivializing.
Tutto questo mostra che, mentre la Tonk Consequence è una cura per la “tonkite”, nessuna
nozione non triviale di conseguenza è una cura per la “super-tonkite”. Un connettivo introdotto da
regole d’inferenza è semplicemente inaccettabile se è non-trivially trivializing: e, come abbiamo
visto, esistono tali connettivi.
5. CONCLUSIONE
Il problema è che le regole per tonk sono inconsistenti con le assunzioni fatte finora, come lo è
l’operatore “?” di Peano definito come segue:
𝑎 𝑐
𝑎+𝑐
𝑏 𝑑
𝑏+𝑑
? ≝
Infatti la definizione è chiara, ma non porta risultati corretti:
1 1
2
1 2
3
1 2
3
1 4
5
? =
e
? =
1
Le frazioni 2 e
2
4
sono equivalenti e, quindi, dovremmo trovare anche risultati equivalenti, ma non
è così. Il problema principale è che abbiamo assunto le seguenti regole come esaurienti le
asserzioni universalmente valide sulla deducibilità, cosa che non può essere fatta senza l’uso di
qualche limitazione logica. Belnap, come abbiamo visto, propone queste cinque limitazioni:
Identity, Weakening, Permutation, Contraction, Transitivity. L’aggiunta di questo connettivo ad un
sistema logico aventi queste regole strutturali rimane, comunque, non è conservativa.
il concetto di estensione conservativa non è l’unico via per cercare di risolvere il problema. Prawitz
sostiene che si può pensare ad un connettivo governato da qualsiasi regola di introduzione, poiché
non si può avere un’estensione conservativa prendendo solo le regole di introduzione. Che fare
allora con le regole di eliminazione? Qui entra in gioco il concetto di normalizzazione: le regole di
eliminazione sono valide se niente che può essere provato con esse, possa, in linea di principio
essere provato senza di loro 20. Prawitz e altri studiosi di proof-theory costruiscono un complesso
sistema logico, la cui semantica è formata da derivazioni, argomentazioni (canoniche e non, chiuse
o aperte) e riduzioni in cui uno degli obiettivi e proprio tentare di evitare la trivializzazione
prodotta dal connettivo tonk.
20
[Prawitz 1985].
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