1. calcolo dei sequenti

APPUNTI ILLOGICI - CALCOLO DEI SEQUENTI
Che cos'è il calcolo dei sequenti?
GHIOTTOLINO: Non so, chiedi a LUI..
LUI: Mmm, chiedi all'ALTRO...
L'ALTRO: Non vorrei dire stupidaggini...
1.
calcolo dei sequenti
1.1. Che cos'è.
Il calcolo dei sequenti è un sistema di calcolo, che a dierenza
della deduzione naturale non lavora sulle fbf, ma su asserzioni di
derivabilità del tipo
Γ ` ∆.
Come la deduzione naturale gode delle
proprietà di:
•
•
CORRETTEZZA: il sistema deduttivo non inferisce proposizioni non valide
COMPLETEZZA: ogni formula valida è dimostrabile con il sistema deduttivo
1.2. Notazione.
• Γ ` ∆ è un sequente
• Γ e ∆ sono insiemi di fbf
• Le formule di Γ vanno pensate come unite dal connettivo ∧.
• Le formule di ∆ vanno pensate come unite dal connettivo ∨. Ad esempio,
una cosa come P1 , P2 ` Q1 Q2 va pensata come P1 ∧ P2 ` Q1 ∨ Q2 .
• Le regole introducono sempre connettivi, e non ne eliminano mai.
• Un assioma è un sequente della forma A ` A.
1.3. Come funziona. Si procede dal basso verso l'alto: in basso c'è il sequente da
dimostrare, e salendo si arriva (eventualmente) agli assiomi.alle ipotesi. Per risalire,
si applicano le regole presentate nella sezione 1.4, in modo automatico, partendo
dal connettivo più esterno.
Se in cima all'albero si arriva ad un assioma, la dimostrazione è terminata.
Altrimenti, no.
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APPUNTI ILLOGICI - CALCOLO DEI SEQUENTI
1.4. Regole.
•
perm-l (strutturale)
Γ, P, Q, Γ0 ` ∆
Γ, Q, P, Γ0 ` ∆
•
perm-r (strutturale)
Γ, ` ∆, P, Q, ∆0
Γ, ` ∆, Q, P, ∆0
•
indeb-l (strutturale)
Γ, ` ∆
Γ, P, ` ∆
•
indeb-r (strutturale)
Γ, ` ∆
Γ ` ∆, P
•
taglio
Γ, ` P, ∆
Γ 0 , P ` ∆0
0
Γ, Γ ` ∆, ∆0
• ∧−l
(logica)
Γ, P, Q ` ∆
Γ, P ∧ Q ` ∆
• ∧−r
(logica)
Γ ` P, ∆
Γ ` Q, ∆
Γ ` P ∧ Q, ∆
• ∨−l
(logica)
Γ, P ` ∆
Γ, Q ` ∆
Γ ` P ∨ Q, ∆
• ∨−r
(logica)
Γ ` P, Q, ∆
Γ ` P ∧ Q, ∆
• ∼ −i
(logica)
Γ ` P, ∆
Γ, ∼ P ` ∆
• ∼ −r
(logica)
Γ, P ` ∆
Γ, ` Q, ∆
Γ `∼ P, ∆
• → −l
(logica)
Γ ` P, ∆
Γ, Q ` ∆
Γ, P → Q ` ∆
• → −r
(logica)
Γ, P ` Q, ∆
Γ ` P → Q, ∆
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