di Analisi Matematica II Anno accademico 2006-2007

Corso di laurea di primo livello in Fisica
Programma (minimo) di Analisi Matematica II
Anno accademico 2006-2007
(Prof. Alfonso Villani)
1. Derivate e differenziali delle funzioni di due o più variabili. Derivate parziali
delle funzioni di due o più variabili. ∗ Teorema di Schwarz. Funzioni differenziabili. Condizioni necessarie per la differenziabilità. Teorema del differenziale totale. ∗ Differenziali
di ordine superiore. ∗ Derivazione delle funzioni composte. Derivate direzionali. Integrali
dipendenti da parametri: teoremi di continuità e di derivabilità.
Parte II, Capitolo III: nn. 1 (Teorema I∗ ), 2, 3, 4∗ (fino all’ennuciato del Teorema IV), 5, 6.
2. Prime applicazioni del calcolo differenziale delle funzioni di due o più variabili. Funzioni con gradiente nullo. Funzioni positivamente omogenee. ∗ Formula di Taylor
per le funzioni di più variabili. Massimi e minimi relativi per le funzioni di due o più variabili; condizioni necessarie e ∗ condizioni sufficienti. Ricerca del massimo e del minimo
assoluto di una funzione di due o più variabili.
Parte II, Capitolo IV: nn. 1 (fino al Teorema II), 2 (fino alla dimostrazione del Teorema II), 3∗ , 4 (omettere
il Teorema IV e le dimostrazioni dei Teoremi III e VI), 5 (fino al penultimo periodo di pag. 126).
3. Funzioni implicite. Funzioni implicite. Teorema del Dini. ∗ Continuità e derivabilità
delle funzioni implicite. ∗ Matrici jacobiane. ∗ Sistemi di funzioni implicite. Curve piane in
forma implicita. ∗ Problemi di estremo condizionato.
Parte II, Capitolo VI: nn. 1 (Teorema II∗ ), 3∗ , 4∗ , 7 (fino al penultimo periodo di pag. 184), 9∗ (fino alla
regola per la risoluzione dei problemi di estremo condizionato).
4. Curve parametriche. Integrali curvilinei. Forme differenziali. Curve parametriche in Rn . Curve semplici. ∗ Lunghezza di una curva. Parametrizzazione intrinseca.
Integrali curvilinei delle funzioni di più variabili. Curve regolari. Versore tangente ad una
curva regolare. Curve generalmente regolari. Integrali curvilinei delle forme differenziali
lineari. Forme differenziali integrabili. Criterio generale di integrabilità di una forma differenziale. Calcolo della funzione primitiva di una forma differenziale integrabile. Forme
differenziali chiuse. Insiemi semplicemente connessi. ∗ Secondo criterio di integrabilità di
una forma differenziale. ∗ Teorema di Jordan (sulle curve semplici e chiuse in R2 ). Domini regolari di R2 . Integrali curvilinei delle forme differenziali in due variabili estesi alla
frontiera di un dominio regolare.
Parte II, Capitolo I: nn. 2 (fino alle formule (12)), 3∗ , 4 (fino alle formule (30)).
Parte II, Capitolo VII: nn. 1, 2∗ , 3∗ , 4, 5, 6 (omettere le dimostrazioni delle affermazioni riguardanti i
domini convessi rispetto ad un punto e la dimostrazione del Teorema IV), 8∗ .
5. Integrali delle funzioni di più variabili. ∗ La misura secondo Peano-Jordan. Integrali di funzioni continue su domini limitati e misurabili. ∗ Misurabilità dei rettangoloidi
e degli insiemi normali. ∗ Proprietà degli integrali. ∗ Formula generale di riduzione degli
integrali delle funzioni di più variabili. La formula di riduzione nel caso dei domini normali.
Formule di Gauss. Dimostrazione del secondo criterio di integrabilità di una forma differenziale nel caso di un dominio regolare di R2 ad un solo contorno. Calcolo della misura
di un dominio regolare di R2 . ∗ Cambiamento delle variabili negli integrali multipli. ∗ Uso
delle coordinate polari per il calcolo degli integrali doppi. ∗ Uso delle coordinate cilindriche
o polari per il calcolo degli integrali tripli. Integrali di funzioni generalmente continue
su domini limitati e misurabili. Integrali di funzioni continue su domini non limitati e
misurabili.
Parte II, Capitolo VIII: nn. 1∗ , 2∗ , 3∗ , 4∗ , 5∗ , 6 (Teorema I∗ ), 7 (omettere la dimostrazione del Teorema
I nel caso dei domini normali rispetto all’asse x), 8, 9, 10∗ , 11 (omettere le dimostrazioni dei Teoremi II e
III), 12 (omettere le dimostrazioni dei Teoremi II e III).
Parte II, Capitolo X: nn. 1∗ , 2 (Teorema II∗ ; il Teorema III solo nel caso in cui T è un parallelepipedo),
3∗ , 4∗ .
6. Equazioni differenziali. Definizioni e generalità. Problema di Cauchy. Teoremi
sul problema di Cauchy per le equazioni differenziali del primo ordine in forma normale:
∗
teorema di esistenza “in piccolo”, teorema di esistenza ed unicità “in piccolo”, teorema
di esistenza ed unicità “in grande” e ∗ sue varianti. ∗ Analoghi teoremi per le equazioni di
ordine n. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili. Equazioni a coefficiente omogeneo. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni di Bernoulli.
Equazioni differenziali lineari di ordine n. ∗ Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. ∗ Equazioni di Eulero. Metodo della variazione delle costanti. ∗ Equazioni
differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti.
Parte I, Capitolo XIV: nn. 1, 2, 4.
Parte II, Capitolo XI: nn. 1∗ , 2 (omettere la dimostrazione del Teorema IV), 4 (solo la risoluzione delle
equazioni (35) e (36)), 7, 8∗ , 9∗ , 11, 12 (omettere l’esempio (104) e le dimostrazioni).
Testo di riferimento:
Carlo Miranda, Lezioni di Analisi Matematica, Parte I (nuova edizione), Liguori, Napoli,
1973 e Parte II (nuova edizione), Liguori, Napoli, 1976.
(Le dimostrazioni relative agli argomenti contrassegnati con
∗
possono essere omesse.)